2025优化设计一轮课时规范练5　基本不等式

课时规范练5基本不等式一、基础巩固练1.(2024·河北沧州模拟)函数y=4x2(6-x2)的最大值为()A.36 B.6 C.9 D.182.(2024·陕西西安模拟)已知a>0,b>0,则1+a2bA.2 B.3 C.4 D.53.(2024·陕西榆林模拟)已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为()A.14 B.12 C.1 D4.(2024·山西太原联考)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a3-a1=2,则a4+a3的最小值是()A.4 B.9 C.6 D.85.(2024·湖北宜昌模拟)若正数x,y满足x+2y=2,则yx+1A.2+1 B.22+1 C.2 D.56.(2024·广东韶关模拟)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的下底面为矩形,AB=2A1B1,高为3,且该棱台的体积为63,则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是()A.15 B.14 C.13 D.127.(多选题)(2024·海南海口模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=2,则()A.ab的最大值为12 B.a+4C.a2+4b2的最小值为2 D.2a8.(2024·河南洛阳模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值是.

9.(2024·河北邢台模拟)已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,则a+b的最小值为.

10.(2024·福建泉州模拟)(1x+1y)(x+4y二、综合提升练11.(2024·广东佛山模拟)如果一个直角三角形的斜边长等于22,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为()A.2 B.1 C.2 D.612.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知正实数a,b满足lga+lgb=lg(a+2b),则4a+2b的最小值是()A.5 B.9 C.13 D.1813.(多选题)(2024·山东日照模拟)已知实数a>0,b>0,且满足(a-1)(b-1)=4,则下列说法正确的是()A.ab有最小值 B.ab有最大值C.a+b有最小值 D.a+b有最大值14.(2024·福建龙岩模拟)一个矩形的周长为l,面积为S,给出下列实数对:①(1,4);②(6,8);③(7,12);④(3,12),可作为数对(S,l)的序号是(A.①③ B.①③④ C.②④ D.②③④15.(2024·山东济南模拟)若a>0,b>0,则ba2+A.2 B.2 C.22 D.416.(2024·重庆八中检测)若实数x,y满足x>2y,且xy=1,则x2+4y2

课时规范练5基本不等式1.A解析y=4x2(6-x2)≤4·(x2+6-x22)2=36,当且仅当x2=6-x2,即x=±2.A解析因为a>0,b>0,所以ab>0,1+a2b2ab=1ab+ab≥21ab·ab=所以1+a2b2ab3.A解析因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥24ab=4ab,可得ab≤当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab的最大值为14,故选4.D解析设{an}的公比为q.由a3-a1=2,得a1q2-a1=2,且q>1,即a1=2q则a4+a3=a1(q3+q2)=2q2q-1=2(q-1)+2q-1+4≥8,当且仅当2(q-1)=2q-5.A解析由x+2y=2得x+2y2=1,x,y>0,所以yx+1y=yx+当且仅当x2=2y2,x+2y=2,即x=26.D解析设棱台的上底面矩形边长分别为a,b,则下底面矩形边长分别为2a,2b,则棱台的体积V=13×3×(ab+ab×4ab+4ab)∴棱台的上底面的周长为2(a+b)≥4ab=12,当且仅当a=b=3时等号成立,即上底面的周长最小值为12,故选D.7.AC解析对于A选项,因为a>0,b>0,a+2b=2,由基本不等式可得a+2b≥22ab,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以ab≤(a+2b22)2=12,故A正确;对于B选项,根据基本不等式可得a+4a≥2a·4a=4,当且仅当a=2时,等号成立,此时b=0,故B错误;对于C选项,因为a+2b=2,所以(a+2b)2=4,即a2+4b2=4-4ab.由2ab≤(a+2b)24=1,得a2+4b2≥2,当且仅当a=2b=1时,等号成立,故C正确;对于D选项,2a+1b=a+2bab=28.4解析因为x>0,y>0,所以由基本不等式得4=x+2y≥2x·2y,所以x·2y≤2,得xy≤2,所以xy≤4,当且仅当x=2y即x=4,y=19.22解析因为ab=a-b+3,解得b=a+3a+1=1+2a+1,则a+b=a+1+2a+1≥22,当且仅当a=2-1,b=2+1时10.9解析(1x+1y)(x+4y)=5+xy+4yx≥5+24=9,当且仅当x所以(1x+1y)(x+4y11.C解析设斜边c=22,直角边为a,b,则a2+b2=8,因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b=2时,等号成立,此时a+b取最大值,则三角形周长取最大值,此时面积为12×2×2=2,故选12.D解析由题意,正实数a,b满足lga+lgb=lg(a+2b),则ab=a+2b,∴2a+1b=1,故4a+2b=(4a+2b)(2a+1b)=当且仅当4ba=4ab,结合2a+1b=1,即a=b=3时,等号成立,13.AC解析因为(a-1)(b-1)=4,所以ab-a-b+1=4,则ab=a+b+3≥2ab+3,解不等式得ab≤-1(舍去)或ab≥3,故ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立,故ab有最小值9,则A正确,B错误;ab=a+b+3≤(a+b2)2,解不等式得a+b≤-2或a+b≥6,又因为a>0,b>0,故a+b≥6,当且仅当a=b=3时,等号成立,故a+b有最小值6,则C正确,D14.A解析设矩形的长、宽分别为x,y(x,y>0),则x+y=l2,S=xy,因为x+y≥2xy,当且仅当x=y时等号成立,所以l2≥2S,即l2≥16S.将四组实数对:①(1,4),②(6,8),③(7,12),④(3,12),逐个代入检验可