山西省运城市2024届高三年级下册第二次模拟调研测试数学（A）试卷(含答案)

山西省运城市2024届高三下学期第二次模拟调研测试数学（A）试

卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.已知复数Z满足（4—3i）z=l+2i,则忖=（）

A.昱B,1dD当

5555

2.已知圆锥的侧面积为12兀，它的侧面展开图是圆心角为目的扇形，则此圆锥的体

3

积为（）

A.60兀B.电况C.6岛D.16扃

33

3.已知向量。和b满足何=3,恸=2,卜+0=6，则向量b在向量a上的投影向量

为（）

A.—aB.—uC.—uD.a

33

22

4.已知双曲线二-3=1（。>0,5>0）的两条渐近线均和圆C：V+y2+8x+7=0相

ab

切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）

22

A.土-乙=1=1

97

5.将函数〃x）=2sin3x+：的图象向右平移姒0>0）个单位长度，得到函数g（x）

的图象，若函数g（x）在区间（0,°）上恰有两个零点，则（p的取值范围是（）

5兀3兀5兀3兀「，3兀1371

A.

129T129TU12

6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家

大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路

名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路,

四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总共有（）

A.360种B.316种C.288种D.216种

7.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若儿〉0,与＜0,则?的取值范围是（）

8.已知正方形ABCD的边长为2,点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则

|尸3「+归。『+归式最小值为（）

A.18-8V2B.18-873C.19-8A/3D.19-8V2

二、多项选择题

9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本

因素构成.某实验基地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试

验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下：

甲（单位:kg）250240240200270

乙（单位:kg）250210280240220

则下列说法正确的是（）

A.甲种水稻产量的极差为70

B.乙种水稻产量的中位数为240

C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数

D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差

10.已知函数“X）的定义域为R,且对任意的x,yeR,都有/（肛）=灯＞（丁）+W（x），

若/（2）=2,则下列说法正确的是（）

A.〃l）=0BJ（x）的图象关于y轴对称

20242024

C.^/（2,）=2023X22025+2D./（2;）=2024x22026+2

z=li=l

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A4Gq中，点P是侧面AD24内的一点，

点E是线段CG上的一点，则下列说法正确的是（）

A.当点P是线段4。的中点时，存在点E,使得平面尸耳2

B.当点E为线段CG的中点时，过点A,E,2的平面截该正方体所得的截面的面积为

9

4

C.点E到直线BA的距离的最小值为0

D.当点E为棱CG的中点且PE=2拒时，则点P的轨迹长度为y

三、填空题

12.已知集合A=<%€七<3.<27,,B={x|x2-3x+m=o},若leAB,则AB

的子集的个数为..

13.已知tana=2tan〃，sin(a+夕)=；,则sin(/?-1)=.

22

14.已知椭圆C：-^z-+Y7=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为《，F,过工的直线与C

ab2

交于A,3两点，且|A周=|A@,若△04耳的面积为£〃，其中。为坐标原点，则

J~L的值为.

闺用

四,解答题

15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c

csin—Z?sin2C+—csinCcos5.

242

⑴求sinA的值;

(2)如图，a=66,点。为边AC上一点，且2OC=5D5,ZABD=|,求△ABC的

面积.

B

AD

16.长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体

呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7-8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和

繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变

粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行

了调查，调查男、女生人数均为200,统计得到以下2x2列联表：

喜不喜合

欢欢计

男

12080200

生

女

100100200

生

合

220180400

计

⑴试根据小概率值c=0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有

关联？

(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样

的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽

到的3人中女生的人数，求X的分布列；

(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜

欢长跑的人数为匕求¥的数学期望.

9n(ad-bcY廿上

附：%一=7----------------------77；~其中〃=a+》+c+d.

a0.1000.0500.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

17.如图1,在△ABC中，AC=BC=4,AB=4应，点。是线段AC的中点，点E

是线段上的一点，且小，将△相＞后沿翻折到△P"的位置，使得

PE±BD,连接P5,PC,如图2所示，点歹是线段PB上的一点.

c

(1)若BF=2PF,求证：CF〃平面PDE；

(2)若直线Cb与平面PBD所成角的正弦值为警,求线段BF的长.

18.已知抛物线C：=2pX(P>0)的准线与圆。：f+y2=l相切.

⑴求C的方程；

(2)设点尸是C上的一点，点A,3是C的准线上两个不同的点，且圆。是的内

切圆.

①若|AB|=2行，求点尸的横坐标；

②求面积的最小值.

19.已知函数/(x)=(x-a)e*+x+a(awR).

(1)若。=4,求/(x)的图象在无=0处的切线方程；

(2)若/(x)20对于任意的恒成立，求a的取值范围；

⑶若数列｛%｝满足q=1且a用=3」(〃eN*),记数列｛叫的前〃项和为黑，求证：

“〃+2

S0+g<ln[("+l)(〃+2)].

参考答案

1.答案：A

解析：因为复数z满足（7”=—所以"詈=渭粕>g%

2.答案：B

解析：设圆锥的底面半径为「，母线长为/,贝1]兀〃=12兀，迎=0,解得厂=2,

I3

1=6,所以此圆锥的高/z=J/2——=4夜,所以此圆锥的体积

V^-7tx22x4^=16^7r>j^B.

33

3.答案：A

解析：因为卜+0=近，所以卜|+2a0+恸=7,又卜|=3,=2,所以

----n-h-31

9+2〃,Z?+4=7,解得〃力二一3,设。与b的夹角为0,贝ljcos6=f-pyj=-----=—,

理3x22

所以向量b在向量a上的投影向量为Wcos6.jp故选A.

4.答案：D

A

解析：双曲线的一条渐近线方程为y=2%,所以区-电=0.圆C%2+y+8%+7=0

a

的标准方程为（x+4y+y2=9,所以圆心为C（T,0）,r=3,所以尸|=3,又

yja2+b2

_22

a2+b2=16,解得。=近，b=3,所以双曲线的方程为上-乙=1.故选D

79

5.答案：C

解析：将函数/（x）=2sin°x+£|的图象向右平移0（0>0）个单位长度，

得至Uy=2sin3（x-0）+：=2sin[3x-3o+：）,

所以g(x)=2sin-3。+己)，

当x£(0,0)时，3x—30+：£1—3e+：,?),

又函数g(%)在区间(0,(p)上恰有两个零点，

所以一2兀《—3夕+/<—兀，解得变<"〈型，

4124

即。的取值范围是(女，型］.故选C.

1124」

6.答案：C

解析：若小张、小胡、小李、小郭这四人中，没有人选择“乔家大院”线路，则报名情

况有C；xA；=144种.

若小张、小胡、小李、小郭这四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，则报名情况有

C；(C；xAj)=144种.

所以不同的报名的情况总共有144+144=288种.故选C.

7.答案：B

解析：由题意知九=1"巧；囚5)=151〉o,所以霰〉。，

又&=16(。；®6)=8侬+。9)<0'

所以小+<0，所以。9V-。8<0.

设等差数列｛%｝的公差为d,则d=%-%<0,

线=4+7d〉0,

所以%>0.所以<

/+。9=q+7d+q+8d=24+15d<0,所以一11

所以及=幺±@=]+&€

Ml,即空的取值范围是.故选B.

8.答案：D

解析：以A为坐标原点，AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,

如图所示.

--------------------71c

设P(x,y),所以公+_/=1,又3(2,0),C(2,2),D(0,2),

22222

所以|PB「+|pc|+|PZ)|=(X-2)+V+(x-2)+(y—2?+Y+(y-2)

=19-8(x+y),

令x+y=/,即x+y-，=0,所以直线x+y-f=0与圆好+,2=i有公共点，所以

J£<1

g

解得,

所以(|P3「+|PC「+|PD「)=19-80.故选D.

9.答案：ABD

解析：由表中数据可知，甲种水稻产量的极差为270-200=70,故A正确；

由表中数据可知，乙种水稻产量从小到大排列为210,220,240,250,280,所以乙

种水稻产量的中位数为240,故B正确；

对于C,甲种水稻产量的平均数为gx(250+240+240+200+270)=240,乙种水稻产

量的平均数为1x(250+210+280+240+220)=240,所以甲种水稻产量的平均数等于

乙种水稻产量的平均数，故C错误；

甲种水稻产量的方差为

-xF(250-240)2+(240-240)2+(240-240)2+(200-240)2+(270-2407]=520,

5L-

乙种水稻产量的方差为

|X[(250-240)2+(210-240)2+(280-240)2+(240-240)2+(220-240)2]=600,

所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确.

故选ABD.

10.答案：AC

解析：令x=l,y=l,得/(1)=/(1)+/(1)，解得/(1)=0,故A正确；

令x=-l,y=-l,所以==解得=令y=-l,所以

/(-x)=#(-l)-/(x)=-/W,所以“X)是奇函数，所以〃力的图象关于原点对

称，故B错误；

因为/(2n)=f(2,!-'x2)=2"-1/(2)+2/(2"-]),令4=eN*)，

则4=24_1+2"("22,〃eN*),所以2f4=2｛川4_1+1,

令2=2一％”，则用=%+1，

又4=2-)2=1,所以｛%｝是首项为1,公差为1的等差数列,

所以〃=4+5-1)=〃，所以a“=〃」2",

23

令5'=£/的这以=%+。2+…+%,=1X2+2X2+3X2+---+H-2",

k=lk=l

则2s“=1x22+2x23+3x24+…+(〃-1>2"+〃-2"1,

所以—S“=2+22+23+-+2"—N-2"+I

2x(1—2")

=—；2-",2'用=(1—〃)2"M—2,

所以S,,=(“—l)-2"+i+2,

2024

所以=2023X22。25+2,故C正确，D错误.

i=l

故选AC.

11.答案：ACD

解析：以。为坐标原点，DA,DC,所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立

空间直角坐标系，

如图所示.

则。（0,0,0）,A（0,0,2）,A（2,0,2）,4（2,2,2）,

当点p是线段4。的中点时，P(I,O,I),

设E(0,2,a)(0WaW2),

所以PR=(T0,l),PBi=(1,2,1),4E=(—2,2,a—2),

假设存在点E,使得A.E1平面PBR,

则P〃.AE=2+a—2=0,PB1-AlE=-2+4+a-2=0,

解得a=O,

所以存在点E,使得平面尸耳2，此时点E与点C重合，故A正确；

取5C的中点E连接Bq,EF,FA,AD,,D.E,如图所示.

则EF〃5Ci，ADJ/BQ,所以

又易得他=2亚,EF=42,AF=D[E=5

所以梯形的面积为

AD.+EF(AD.-EF^2夜+亚I(272-72?9

,代-,付JF

Q

所以过A,E,R点的平面截该正方体所得的截面的面积为2,故B错误;

2

又5(2,2,0),<E(0,2,m)(0<m<2),

所以期=(一2,-2,2),BE=(-2,0,m),

所以点E到直线的距离

d=,@sin(BD],明=|BE|-J—cos?

/、2

m122

3一半半=JI(-)+

〔I"

所以《jin=3，

此时机=1,所以点E到直线3A的距离的最小值为夜，故C正确;

取。2的中点G,连接EG,EP,GP,

易得GEL平面AADQ,又GPu平面相。。，

所以GELGP,所以GP=J*_GE?=J（2可—22=2,

则点P在侧面内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，

分别交AZ）,于鸟，4，

TTjr

则NAGR=ZPGD=J,则N<G马=j,

2

所以点P的轨迹长度为二x2=@,故D正确.

33

故选ACD.

12.答案：8

解析：由题意知A=<xeNg<3Ai<27，={0,1},又leAB,

所以IEB,所以I2—3+机=。，解得根=2,

所以3=卜尸-3X+2=0}={1,2},所以A6={0,1,2},所以A-8的子集的个数为

23=8.

13.答案：-工

12

解析：因为tana=2tan〃，即电吧=2甄2,

C0S6ZCOS。

所以sinacos〃=2sin/?cosa,

因为sin(a+尸)=sinacos/?+cosasin/?=：,

所以3cosasinJ3=—9解得cosasinJ3=—,sinacosJ3,

1

所以sin=sin/cosa-cos/sino=-----

12

".答案:半

解析：因为△04耳的面积为7^2,所以=2x4",

63

在心中，设N4A马=，，。€（0,兀）,

2

由余弦定理可得阳阊2用之+|AK|-2|A^||A^|cos^,

即4c2=Q"|+14才—21MM用一21MM用cos。

=4a2+(-2-2cos6>)|A^||AK|,

则(2+2cos6>)|呵/=4/—牝2=4加,

所以△耳4月的面积S=J4用|A用sin6=sin”白=息白

1+cos。3

所以gsin6-cos0=1,

£71571

即sin16一£由于e—所以

2669~6

又所以是等边三角形,即|馍|=|班|=|AB|,

由椭圆的定义可得|4周+忸制+|AB|=4a,所以|然|=%,

则|人闾=+，忸用=g,所以A3,占工，

=2tanNA斗片=竿

|耳闻闺闾

4

15.答案：(l)sinA=g

(2)18

242

由正弦定理得

sinCsin=—sinBsin2C+—sin2CcosB

242

=sinBsinCcosC+sin2CcosB

22

=好sinC(sini3cosC+sinCcosB)=-^-sinCsin(B+C),

又sinCwO,所以sin°=¥sin(g+C),所以sin气&sin(兀一A),

pA(八兀)A八.AyJ5AL=.2A2<5

—G0,_9cos—w0,n\以sin—=—,cos—.1—sin——-,

2{2j2252V25

所以5也74=25也40)54=3.

225

(2)设05=2x(%>0)，又2DC=5DB,

所以DC=5x,cosZBDC-cosfA+-|-j=-sinA=

在△me中，由余弦定理得

4X2+25X2-(6A/5)2

DB°+DC?-BC?4

cosZ.BDC=

2DBDC2-2x-5x5

解得x-2,

所以应)=4,DC=10,

DB44

又sinA=——=—=-,所以ZM=5,AC=DA+DC=15,

DADA5

y.AB2+BD2=AD2,所以AB=3,

ii4

所以△ABC的面积S=—AB-ACsinA=—x3xl5x—=18.

225

16.答案：（1）学生对长跑的喜欢情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于

0.050

(2)分布列见解析

⑶E")=M

解析：(1)零假设为“。：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.

根据列联表中的数据，经计算得到

_400x（120x100-80x100）2_姬

x4.040>3.841=x0050

200x200x220x18099

根据小概率值2=0.050的独立性检验，我们推断4不成立，即认为学生对长跑的喜

欢情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050.

(2)从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生

9x-^

的人数为:=4人,

80+100

100

女生人数为:9x=5人.

80+100

X的所有可能取值为0,1,2,3,

「31S

所以P（X=0）=W=—,p（x=l）=^^=—

\7Cg21'7Cg14

123

P（X=2）=^CC^=—in,P（X=3）=^c=—5,

''21'/C；42

所以入+口，所以E(y)=i2xH

17.答案：(1)证明见解析

解析：(1)证明：过点C作垂足为H,

在PE上取一点使得PM=LpE,连接FM,

3

如图所示.

因为PA/=」PE,PF=-PB,所以FM〃仍且RM=1E3,

333

因为。是AC的中点，且DELAB,所以CH//EB且CH=工EB,

3

所以CH//FM且CH=FM,所以四边形CEW"是平行四边形，所以CF//HM,

又CFU平面PDE,HMu平面PDE,所以C/〃平面PDE.

（2）因为PE_LED,PELBD,ED\BD=D,ERBDu平面3CDE,所以PE_L平面

BCDE,

又3Eu平面3CDE,所以PELBE,PB=y/PE2+BE2=275.

又EBLED,所以EB,ED,£P两两垂直，

故以E为坐标原点，EB,ED,EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示.

所以3（3行,0,0）,D（0,V2,0）,P（0,0,V2）,C（V2,272,0）.

设平面PBD的一个法向量"=（x,y,z）,

又BP=（—30,0,0）,BD=（-372,72,0）,

匚口、」〃・5尸=—3岳+夜z=0,

所以-一lL

TI,BD——3v2x+N2y=0,

令1=1,解得y=3,z=3,

所以平面P5D的一个法向量〃=（1,3,3）.

设5尸=/L3P=（—3何,0,&）（0＜九＜1）,

所以"=C3+M=(20,—2仓0)+(-3A/22,0,V22)

=(2A/2-3屈,-2夜,怎)，

设直线。尸与平面P3D所成角的大小为e,

/\\n-CF\

所以sin6=cos(n,CF)=\-r,---\

'1HICFI

_____________________4V2___________________4屈

Jl+9+9义J(20—3衣+卜2何+(仞『57

解得或彳=工，所以BF」BP=百或BF，BP=^"

2102105

18.答案：(1)/=4%

⑵①3

②4指

解析：(1)由题意知C的准线为》=-言，又C的准线与圆。：必+产=1相切，所以

上=1,

2

解得夕=2,所以C的方程为

(2)设点？(如%),点A(-L〃z),点6(-1,〃)，直线Q4方程为y-相=当——(x+1),

%+1

化简得(为_/4*_(%0+l)y+(y0-m)+m(x0+1)=0.

又圆。是的内切圆，

所以圆心0(0,0)到直线PA的距离为1,即呢+"-=1,

J(…了+(.+1)2

22222

故(%-m)+(x0+1)=(%-m)+2根(%-m)(x0+l)+m(x0+1)，

易知％0>1，上式化筒得，(九0—1)加2+2%加—(%+1)=0,

2

同理有(x0-l)zz+2yon-(xo+l)=O,

所以根〃是关于1的方程+2W-(/+1)=0的两个不同的根，

所以根+〃=2%,mn-(玉)+1)

所以\AB^=(m-n)-=(m+/J_4mn=_4yo+4(*°+1),

(%-1)%-1

又点P是C上的一点，所以y；=4%,

16%।4(/+1)=2XQ2+4XQ-1

所以|明=

(%-if/-1U-i)2

①若|阴=26，则2=2后,

解得％=3或%(舍)，所以点尸的横坐标为3.

②因为点P(%,为)到直线x=-1的距离d=毛+1，

所以的面积

1*

S5i加

2(3-1)2

/+10。+竺+*+32,

令/-1=/(/〉0),贝”=,2

因为人手221；=8,10r+y>