2022-2023学年广东省阳江地区初三年级下册第一次统考数学试题含解析

2022-2023学年广东省阳江地区重点名校初三下学期第一次统考数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.二次函数y=axl+bx+c(a邦)的部分图象如图』所示，图象过点(-1,0),对称轴为直线x=l,下列结论：(l)4a+b=0；

(1)9a+c>-3b；(3)7a-3b+lc>0；(4)若点A(-3,yi)>点B(-J,yi)、点C(7,y3)在该函数图象上，

则yi<y3<yi;(5)若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为Xi和Xi,且xi<xi,则xi<-1V5<XI.其中正确的结论

有()

A.1个B.3个C.4个D.5个

2.一次函数丁=丘-左与反比例函数y=±(左H0)在同一个坐标系中的图象可能是()

x

3.已知关于x的一元二次方程mx2+2x-l=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是().

A.m>-l且m邦B.mVl且m利C.m<-lD.m>l

4.在-3,-1,0,1四个数中，比-2小的数是()

A.-3B.-1C.0D.1

5.据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米

()

A.36x107B.3.6xlO8C.0.36xl09D.3.6xl09

6.如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A(-1,0),B(4,0),则函数y=(kx+b)(mx+n)中，贝!]

不等式(而+。)(如+")>0的解集为()

y

v=kx+bv=mx^n

十

A.x>2B.0<x<4

C.-l<x<4D.x<-1或x>4

7.如图所示,将含有30。角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若/1=35。,则N2的度数为（）

A.10°B.20°C.25°D.30°

l-2x<3

8.不等式组x+1的正整数解的个数是（）

------<2

12

A.5B.4C.3D.2

9.如图，直线与x轴交于点（-4,0）,则y>0时，x的取值范围是（）

A.x>-4B.x>0C.x<-4D.x<0

1。.」的绝对值是（）

1

A.-4B.-C.4D.0.4

4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在RtAABC中，D,E为斜边AB上的两个点，且BD=BC,AE=AC:,则NDCE的大小等于__________

度.

4

ADEB

12.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=6,E.F分别是线段AD,BC上的点，连接EF,使四边形ABFE为正方

形，若点G是AD上的动点，连接FG,将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应

点为P,则线段AP的长为______.

EGD

13.在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a,a）,如图,

2

若曲线y=—（x>0）与此正方形的边有交点，则a的取值范围是

X21

14.计算：—+—=.

x—11—X

15.分解因式：a2b-2ab+b=.

m—2

16.已知反比例函数丫=---,当x>0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是.

x

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，RtA6P的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数丁=人图象的两支上，且PBLx

X

轴于点C,PALy轴于点D,AB分别与X轴，y轴相交于点F和E.已知点B的坐标为（L3）.

（1）填空：k=:

（2）证明：CD//AB；

（3）当四边形ABCD的面积和_PCD的面积相等时，求点P的坐标.

18.（8分）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台

电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.求每台电脑、每台电子白板各多少万

元?根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有

几种购买方案，哪种方案费用最低.

19.（8分）如图，一次函数丫=a*+11的图象与反比例函数V=勺的图象交于A,B两点，与X轴交于点C,与Y轴交

X

于点D,已知OA=回，A（n,1）,点B的坐标为（-2,m）

（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；

（2）连结BO,求4AOB的面积；

（3）观察图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是.

20.（8分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的

部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1,图2）,请根据统计

图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查的学生人数是人；

（2）图2中a是度，并将图1条形统计图补充完整；

（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有人；

（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D,其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流,

用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率.

21.（8分）如图，已知。O的直径AB=10,弦AC=6,NBAC的平分线交。O于点D,过点D作DE,AC交AC的

延长线于点E.求证：DE是。。的切线.求DE的长.

B

22.（10分）某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猿猴桃和芒果共50千克，后再到水果市场去卖,

已知舜猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示：

品名狒猴桃芒果

批发价（元/千克）2040

零售价（元/千克）2650

（1）他购进的猿猴桃和芒果各多少千克？

（2）如果舜猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱?

23.（12分）如图，八钻。是等腰三角形，AB=AC,NA=36.

（1）尺规作图：作的角平分线瓦），交AC于点。（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）判断5CD是否为等腰三角形，并说明理由.

24.如图1,四边形ABCD中，ABLBC,AD//BC,点P为DC上一点，且=分别过点A和点C作直

线BP的垂线，垂足为点E和点F.

⑴证明：ABEsBCF；

/\什#BP,»

⑵o若A疏B求3彳的值；

pr\7

⑶如图2,若45=6。，设/D4P的平分线AG交直线BP于G.当Cb=l,而=^时，求线段AG的长.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

b

根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=丁=1,即b=-4a,变形为4a+b=0,所以（1）正确；

由x=-3时，y>0,可得9a+3b+c>0,可得9a+c>-3c,故（1）正确；

因为抛物线与x轴的一个交点为可知a-b+c=0,而由对称轴知b=-4a,可得a+4a+c=0,即c=-5a.代入可得7a-

3b+lc=7a+lla-5a=14a,由函数的图像开口向下，可知aVO,因此7a-3b+lcV0,故（3）不正确；

根据图像可知当x<l时，y随x增大而增大，当x>l时，y随x增大而减小，可知若点A（-3,yi）、点B（-

yi）>点C（7,y3）在该函数图象上，则yi=y3〈yi,故（4）不正确；

根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5,0）,所以若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为xi和xi,

且xiVxi,则xi<-l<xi,故（5）正确.

正确的共有3个.

故选B.

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=axI+bx+c（a加），二次项系数a决定抛物线的开口方向和

大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的

位置，当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右；常数项c决

定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，A=bi-4ac>0时，抛物线与x

轴有1个交点；△=b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；A=bi-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

2、B

【解析】

当Q0时，一次函数尸h-M的图象过一、三、四象限，反比例函数产4的图象在一、三象限，...A、C不符合题意,

X

B符合题意；当《<0时，一次函数尸质-左的图象过一、二、四象限，反比例函数产月的图象在二、四象限，...D

x

不符合题意.

故选B.

3、A

【解析】

•.•一元二次方程w，+2x—1=0有两个不相等的实数根，

”30,且22—4x/nx(-1)>0,

解得：，〃>T且m^O.

故选A.

【点睛】

本题考查一元二次方程依2+法+0=0(存0)根的判别式：

(1)当△="-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

(2)当A="-4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；

(3)当A=^-4acV0时，方程没有实数根.

4、A

【解析】

因为正数是比0大的数，负数是比0小的数，正数比负数大;负数的绝对值越大，本身就越小，根据有理数比较大小的法则即

可选出答案.

【详解】

因为正数是比0大的数，负数是比0小的数，正数比负数大;负数的绝对值越大,本身就越小，

所以在-3,-1,0,1这四个数中比-2小的数是-3,

故选A.

【点睛】

本题主要考查有理数比较大小,解决本题的关键是要熟练掌握比较有理数大小的方法.

5、B

【解析】

分析：科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小

数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，

n是负数.

详解：将360000000用科学记数法表示为：3.6x1.

故选：B.

点睛：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl°n的形式，其中N|a|<10,n为整数，表示时

关键要正确确定a的值以及n的值.

6、C

【解析】

看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可.

【详解】

,直线与直线y2=，"x+"分别交x轴于点4(-1,0),B(4,0),

.,•不等式(左x+3(mx+")>。的解集为-l<x<4,

故选C.

【点睛】

本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个

函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变.

7、C

【解析】

分析：如图，延长AB交CF于E,

；NACB=90°,ZA=30°,.,.ZABC=60°.

VZl=35°,:.ZAEC=ZABC-Zl=25°.

；GH〃EF,.,.Z2=ZAEC=25°.

故选C.

8、C

【解析】

先解不等式组得到-1VXW3,再找出此范围内的正整数.

【详解】

解不等式L2xV3,得：x>-l,

解不等式一「W2,得：x<3,

2

则不等式组的解集为-l〈xW3,

所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确得出一元一次不等式组的解集.

9、A

【解析】

试题分析：充分利用图形，直接从图上得出x的取值范围.

由图可知，当yVl时，x<-4,故选C.

考点：本题考查的是一次函数的图象

点评:解答本题的关键是掌握在x轴下方的部分y<L在x轴上方的部分y>L

10、B

【解析】

直接用绝对值的意义求解.

【详解】

的绝对值是

44

故选B.

【点睛】

此题是绝对值题，掌握绝对值的意义是解本题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、45

【解析】

试题解析：设NDCE=x,ZACD=y,则NACE=x+y,ZBCE=90°-ZACE=90°-x-y.

VAE=AC,

:.ZACE=ZAEC=x+y,

VBD=BC,

.,.ZBDC=ZBCD=ZBCE+ZDCE=90°-x-y+x=90°-y.

在小DCE中，,:ZDCE+ZCDE+ZDEC=180°,

•\x+(90°-y)+(x+y)=180°,

解得x=45。，

/.ZDCE=45°.

考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理.

12、1或1-2a

【解析】

当点P在AF上时，由翻折的性质可求得PF=FC=1,然后再求得正方形的对角线AF的长，从而可得到PA的长；当

点P在BE上时，由正方形的性质可知BP为AF的垂直平分线，则AP=PF,由翻折的性质可求得PF=FC=1,故此可

得到AP的值.

【详解】

解：如图1所不：

由翻折的性质可知PF=CF=1,

；ABFE为正方形，边长为2,

；.AF=2夜.

，PA=l-20.

如图2所示：

由翻折的性质可知PF=FC=1.

VABFE为正方形，

ABE为AF的垂直平分线.

/.AP=PF=1.

故答案为：1或1-2&.

【点睛】

本题主要考查的是翻折的性质、正方形的性质的应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键.

13、V2<tz<V2+l

【解析】

因为A点的坐标为(a,a),则C(a-1,a-1),根据题意只要分别求出当A点或C点在曲线上时a的值即可得到

答案.

【详解】

解：•••A点的坐标为(a,a),

AC(a-1,a-1),

22

当C在双曲线丫=—时，则a-l=——，

xa-1

解得a=72+1;

22

当A在双曲线丫二—时，则④二一，

xa

解得a=应，

，a的取值范围是正Wag&+1.

故答案为夜WaW&+L

【点睛】

本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于根据题意找到关键点，然后将关键点的坐标代入

反比例函数求得确定值即可.

14、x+1

【解析】

先通分，进行分式的加减法，再将分子进行因式分解，然后约分即可求出结果.

【详解】

2

解：工r+,1

X-l1-X

_1_

x-lX—1

x2-l

~x-l

(x+l)(x-l)

x-l

=x+l.

故答案是：x+1.

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键.

15、

【解析】

先提取公因式b,再利用完全平方公式进行二次分解.

解答：解：a'-lab+b,

=b(a^la+l),...(提取公因式)

=b(a-1)1....(完全平方公式)

16、m>l.

【解析】

yn—2

分析：根据反比例函数广——，当”>0时，y随X增大而减小，可得出机-1>0,解之即可得出机的取值范围.

x

rn—2

详解：•.•反比例函数广——，当x>0时，y随x增大而减小，...机-1>0,解得：m>l.

x

故答案为机>1.

点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)1；(2)证明见解析；⑴P点坐标为。，一3后一3).

【解析】

(1)由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；

⑵设A点坐标为(a,£|,则D点坐标为］o,£|,P点坐标为",I1,C点坐标为(1,0),进而可得出PB,PC,PA,

PCPD

PD的长度，由四条线段的长度可得出——=—,结合NP=/P可得出PDCsPAB,由相似三角形的性质可得

PBPA

出ZCDP=/A,再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CD//AB；

(3)由四边形ABCD的面积和PCD的面积相等可得出sPAB=2SPCD，利用三角形的面积公式可得出关于a的方程,

解之取其负值，再将其代入P点的坐标中即可求出结论.

【详解】

k

(1)解：-B点(1,3)在反比例函数y=—的图象，

X

k=1x3=3・

故答案为：1.

3

（2）证明：反比例函数解析式为y=一,

X

•••设A点坐标为

PBLx轴于点C,PA，y轴于点D,

D点坐标为[o,j],P点坐标为",

C点坐标为（1,0）,

33.

PB=3—,PC=—,PA=1—a,PD=1,

aa

_3

.PC__1PD_1

一PB，3a'PA-l-a；

3-------

a

PCPD

,PB-PA'

又NP=NP,

PDCsPAB,

.../CDP=/A,

.-.CD//AB.

（3）解：四边形ABCD的面积和_PCD的面积相等,

•Q-9Q

,•JPAB-4°PCD9

4[3一|卜（j）=2x；xlx[—|）

整理得：（a-1）2=2,

解得：a1二1—a2=l+，^（舍去），

.•下点坐标为。,-3a-3）.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题关键

是：(1)根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；(2)利用相似三角形的判定定理找出

PDCsPAB;(3)由三角形的面积公式，找出关于a的方程.

18、(1)每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元(2)见解析

【解析】

解：(1)设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得:

x+2y=3.5x=0.5

£+y=2.5'解得：｛y"5

答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元。

(2)设需购进电脑a台，则购进电子白板(30—a)台,

0.5a+1.5(30-a)>28

则｛解得：15<a<17,即a=15,16,17o

0.5a+1.5(30-a)<30

故共有三种方案：

方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为0.5x15+1.5x15=30万元；

方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为0.5x16+1.5x14=29万元；

方案三：购进电脑17台，电子白板13台.总费用为05x17+1.5x13=28万元。

方案三费用最低。

(1)设电脑、电子白板的价格分别为x,y元，根据等量关系：“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”，“2台电脑+1台电

子白板=2.5万元”，列方程组求解即可。

(2)设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解。设购进电脑x台，电子白板有(30-x)台，然

后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答。

3115

19、(1)y=—；y=—x；(2)—；(1)-2<x<0或x>l；

x224

【解析】

(1)过A作AMLx轴于M,根据勾股定理求出OM,得出A的坐标，把A得知坐标代入反比例函数的解析式求出

解析式，吧B的坐标代入求出B的坐标，吧A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出解析式.

(2)求出直线AB交y轴的交点坐标，即可求出OD,根据三角形面积公式求出即可.

(1)根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案.

【详解】

解：

(1)过A作AM_Lx轴于M,

则AM=1,OA=：flQ,由勾股定理得：OM=1,

即A的坐标是(111),

把A的坐标代入y=k得：k=L

X

即反比例函数的解析式是y=上.

X

把B(-2,n)代入反比例函数的解析式得：n=-日,

即B的坐标是(-2,--1),

rl=3k+b

把A、B的坐标代入y=ax+b得：，3，

▼必+b

解得：k=1.b=-

22

当x=0时,y=-

即OD』

*••△AOB的面积是SABOD+SAAOD=-T-X4~X2+47X~X1=~«

22224

(1)一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是-2Vx<0或x>l,

故答案为-2<x<0或x>L

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及用待定系数法求函数的解析式，函数的图象的应用.熟练掌握相关知

识是解题关键.

20、(1)40；(2)54,补图见解析；(3)330；(4)

2

【解析】

(1)根据由自主学习的时间是1小时的人数占30%,可求得本次调查的学生人数；

(2)«=—x360°=54°,由自主学习的时间是0.5小时的人数为40x35%=14；

40

(3)求出这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比乘以600即可；

(4)根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况，再利用概率公式求解即可求

得答案.

【详解】

(1)•••自主学习的时间是1小时的有12人，占30%,

/.124-30%=40,

故答案为40；

(2)«=—x360°=54°,故答案为54；

40

自主学习的时间是0.5小时的人数为40x35%=14；

补充图形如图：

,、14+8

(3)600x--------=330；

40

故答案为330；

(4)画树状图得：

开始

ABCD

/1\/1\/T\

BCDACDABDABC

•.•共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能，

,、61

；.P(A)=——=-.

122

21、(1)详见解析；(2)4.

【解析】

试题分析：(1)连结OD,由AD平分NBAC,OA=OD,可证得NODA=NDAE,由平行线的性质可得OD〃AE,再由

DELAC即可得OELDE,即DE是。。的切线；(2)过点O作OFLAC于点F,由垂径定理可得AF=CF=3,再由

勾股定理求得OF=4,再判定四边形OFED是矩形，即可得DE=OF=4.

试题解析：

(1)连结OD,

VAD平分NBAC,

；.NDAE=NDAB,

VOA=OD,

/.ZODA=ZDAO,

:.ZODA=ZDAE,

；.OD〃AE,

VDE±AC

AOE1DE

；.DE是。O的切线；

(2)过点O作OFLAC于点F,

；.AF=CF=3,

；•OF=^A0:-.4F:=H-3：=』’

ZOFE=ZDEF=ZODE=90°,

.1四边形OFED是矩形，

/.DE=OF=4.

考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质.

22、(1)购进猿猴桃20千克，购进芒果30千克；(2)能赚420元钱.

【解析】

(1)设购进狡猴桃x千克，购进芒果y千克，由总价=单价x数量结合老张用1600元从水果批发市场批发獗猴桃和芒

果共50千克，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)根据利润=销售收入-成本，即可求出结论.

【详解】

(1)设购进猿猴桃x千克，购进芒果y千克，

(%+y=50

根据题意得：20x+40y=1600,

(x=20

解得：y=30.

答：购进猿猴桃20千克，购进芒果30千克.

(2)26x20+50x30—1600=420(元).

答：如果皮猴桃和芒果全部卖完，他能赚420元钱.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系,

列式计算.

23、（1）作图见解析（2）为等腰三角形

【解析】

（1）作角平分线，以B点为圆心，任意长为半径，画圆弧；交直线AB于1点，直线BC于2点，再以2点为圆心，

任意长为半径，画圆弧，再以1点为圆心，任意长为半径，画