北京市2024年中考数学五模试卷含解析

北京市京源学校2024年中考数学五模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根，则k的值是

()

A.27B.36C.27或36D.18

2.下列计算或化简正确的是（）

A.2石+4行=6百B.场=4点

C-心守=-3D.后+6=3

3.如图，在四边形ABCD中，NA+ND=a,NABC的平分线与/BCD的平分线交于点P,则NP=（）

D.3600-a

则下列结论正确的是（）

Z3=Z4C.Zl+Z3=180°D.Z3+Z4=180°

5.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()

A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)

6.的倒数是()

A.B.C.D.

-J

7.如图，四个有理数在数轴上的对应点M,P,N,Q,若点M,N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最

小的数的点是（）

—•----------・・-9->

MPNQ

A.点MB.点NC.点PD.点Q

8.△ABC在网络中的位置如图所示，则cosNACB的值为（)

¥@

二2

A.2

9.BI.*

A.9T

隈

5-k

!1

911

B.C-

一

5-5-D.⑵一

125

10.下列运算正确的是（）

A.2a2+3a2=5a4B.(--)2=4

2

C.(a+b)(-a-b)=a2-b2D.8abv4ab=2ab

11.如图，在△ABC中，AB=AC,NA=30。，AB的垂直平分线1交AC于点D,则NCBD的度数为（）

A.30°B.45°C.50°D.75°

12.某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和

C.13,20D.15,15

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，△ABC是直角三角形，ZC=90°,四边形ABDE是菱形且C、B、D共线，AD、BE交于点O,连接OC,

14.如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为（0』），表示慕田峪长城的点的坐标为

（-5,-1）,则表示雁栖湖的点的坐标为.

15.因式分解：3/—12=.

16.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个

单位，得到点Ai(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),...那么点Am+i(n为自然数)的坐标为(用n

表示）

17.已知二次函数y=/-4x+k的图像与x轴交点的横坐标是看和乙，且归一%|=8，则左=

18.如图，在△ABC中，CA=CB,ZACB=90°,AB=2,点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90。的扇形

DEF,点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）在R3ABC中，NBAC=,D是BC的中点，E是AD的中点.过点A作AF〃BC交BE的延长线于点

F.

（1）求证：AAEF^^DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4,AB=5,求菱形ADCFD的面积.

20.（6分）如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长

77

BA与。。相交于点F.若后歹的长为则图中阴影部分的面积为

13

不等式5x+2>3（x—1）与一xW2-----x都成立？

22

22.（8分）随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案.针

对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为：赞成、无所谓、反对），并将调查结果绘制成图1和图2

两个不完整的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：此次抽样调查中，共调查了多少名学生？将图1补充完整；求出扇形统计图

中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数;根据抽样调查结果,请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无

所谓”意见.

23.（8分）对于平面直角坐标系中的点。（乂y）（x丰0）,将它的纵坐标y与横坐标X的比上称为点Q的“理想值”,

X

9

记作4.如。（—1,2）的“理想值"％=口=-2.

(1)①若点Q(l,a)在直线y=x-4上，则点。的“理想值等于；

②如图，C(6』)，：二。的半径为1.若点。在。上，则点。的“理想值的取值范围是.

(2)点。在直线丁=-gx+3上，。的半径为1,点。在。上运动时都有0＜%〈石，求点。的横坐标程的

取值范围；

(3)M(2,m)(m＞0),。是以厂为半径的M上任意一点，当0＜与＜2夜时，画出满足条件的最大圆，并直接

写出相应的半径厂的值.(要求画图位置准确，但不必尺规作图)

24.(10分)在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),点B(0,273).点O(0,0).△AOB绕着O顺时针旋转，

得AA9B，，点A、B旋转后的对应点为A，、B，，记旋转角为a.

(I)如图1,若a=30。，求点B，的坐标；

(II)如图2,若0。＜01＜90。，设直线AA，和直线BB，交于点P,求证：AA,±BB,；

(in)若0。＜。＜360。，求(II)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果即可).

26.（12分）如图，点D,C在BF上，AB//EF,ZA=ZE,BD=CF.求证：AB,=EF.

A

D

BC

E

27.(12分)如图，反比例函数y=K(x>0)的图象与一次函数y=2x的图象相交于点A,其横坐标为1.

x

(1)求k的值；

(1)点B为此反比例函数图象上一点，其纵坐标为2.过点B作CB〃OA,交x轴于点C,求点C的坐标.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：(3)当3为腰时，其他两条

边中必有一个为3,把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否

符合题意即可；(3)当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=()可求出k的值，再求出方

程的两个根进行判断即可.

试题解析：分两种情况：

(3)当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，

得：33-33x3+k=0

解得:k=37

将k=37代入原方程，

得：X3-33X+37=0

解得x=3或9

3,3,9不能组成三角形，不符合题意舍去；

(3)当3为底时，则其他两边相等，即A=0,

此时：344-4k=0

解得：k=3

将k=3代入原方程，

得：X3-33X+3=0

解得：x=6

3,6,6能够组成三角形，符合题意.

故k的值为3.

故选B.

考点：3.等腰三角形的性质；3.一元二次方程的解.

2^D

【解析】

解：A.不是同类二次根式，不能合并，故A错误；

B.亚=2叵,故B错误；

C.J(-3)2=3,故C错误；

D.a+&=，27+3=囱=3,正确.

故选D.

3、C

【解析】

试题分析：•.,四边形ABCD中，ZABC+ZBCD=360°-(ZA+ZD)=360°-a,

VPB和PC分别为NABC、ZBCD的平分线，

/.ZPBC+ZPCB=(ZABC+ZBCD)=-(360。-a)=180°--a,

22

贝！］NP=180°-(ZPBC+ZPCB)=180°-(180°--a)=-a.

22

故选C.

考点：1.多边形内角与外角2.三角形内角和定理.

4、D

【解析】

分析：依据AB〃CD,可得N3+N5=180。，再根据N5=N4,即可得出N3+N4=180。.

详解：如图，；AB〃CD,

.,.Z3+Z5=180°,

XVZ5=Z4,

.,.Z3+Z4=180°,

故选D.

XX

点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补.

5、c

【解析】

根据二次函数的性质y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k)进行求解即可.

【详解】

抛物线解析式为y=3(x-2)2+5,

二次函数图象的顶点坐标是Q,5),

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增

减性等.

6、C

【解析】

由互为倒数的两数之积为1,即可求解.

【详解】

V的倒数是.

-3x(-i)=1'

故选C

7、C

【解析】

试题分析：•••点M,N表示的有理数互为相反数，原点的位置大约在O点，.•.绝对值最小的数的点是P点，故选C.

OPN0

考点：有理数大小比较.

8、B

【解析】

作AD1BC的延长线于点D,如图所示:

在RtAADC中，BD=AD,则AB=0BD.

cosZACB=^=1

ABy[22

故选B.

9、B

【解析】

同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化.

【详解】

11

——x

15125

【点睛】

本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

10、B

【解析】

根据合并同类项的法则、平方差公式、塞的乘方与积的乘方运算法则对各选项依次进行判断即可解答.

【详解】

A.2a2+3a2=5a2,故本选项错误;

B.(--)-2=4,正确；

2

C.(a+b)(-a-b)=-a2-2ab-b2,故本选项错误;

D.8ab4-4ab=2,故本选项错误.

故答案选B.

【点睛】

本题考查了合并同类项的法则、平方差公式、塞的乘方与积的乘方运算法则，解题的关键是熟练的掌握合并同类项的

法则、平方差公式、塞的乘方与积的乘方运算法则.

11,B

【解析】

试题解析：'：AB=AC,ZA=30°,：.ZABC=ZACB=75°,,：AB的垂直平分线交AC于O,...ADuBD,，ZA=ZABD=30°,

：.ZBDC=f>Q°,：.ZCBZ>=180°-75°-60°=45°.故选B.

12、D

【解析】

将五个答题数，从小打到排列，5个数中间的就是中位数，出现次数最多的是众数.

【详解】

将这五个答题数排序为：10,13,15,15,20,由此可得中位数是15,众数是15,故选D.

【点睛】

本题考查中位数和众数的概念，熟记概念即可快速解答.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

1

13、一

2

【解析】

AC

利用勾股定理求出AB,再证明OC=OA=OD,推出NOCB=NODC,可得tanNOCB=tanNODC=——，由此即可解

CD

决问题.

【详解】

在RtAABC中，VAC=4,BC=3,ZACB=90°,

；.AB=，32+42=5,

•••四边形ABDE是菱形，

；.AB=BD=5,OA=OD,

.,.OC=OA=OD,

.\ZOCB=ZODC,

AC41

**•tanNOCB=tanNODC=-----=------——,

CD3+52

故答案为!.

2

【点睛】

本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

14、(1,-3)

【解析】

直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案.

【详解】

解：如图所示：雁栖湖的点的坐标为：(1,-3).

故答案为(1,-3).

【点睛】

本题考查坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键.

15、3(x-2)(x+2)

【解析】

先提取公因式3,再根据平方差公式进行分解即可求得答案.注意分解要彻底.

【详解】

原式=3(x2-4)=3(x-2)(x+2).

故答案为3(x-2)(x+2).

【点睛】

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底.

16、(2n,1)

【解析】

试题分析：根据图形分别求出n=L2、3时对应的点A4»I的坐标，然后根据变化规律写出即可：

由图可知，n=l时，4xl+l=5,点A5(2,1),

n=2时，4x2+l=9,点A9(4,1),

n=3时,4x3+1=13,点An(6,1),

・♦点A411+1（2n,1）.

17、-12

【解析】

令尸0，得方程f一以+左=0,再和％即为方程的两根，利用根与系数的关系求得%+%和玉・%，利用完全平方式

并结合归-马|=8即可求得左的值.

【详解】

解：•.•二次函数y=Y-4尤+上的图像与x轴交点的横坐标是看和巧，

令y=0,得方程f-4x+左=0，

则再和马即为方程的两根，

/.%；+x2-4,xt-x2-k,

|x[-x2|=8,

两边平方得：（w-当了=64,

2

（x；+x2）-4%1-x2=64,

即16—4左=64,解得：左=—12,

故答案为：-12.

【点睛】

本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，解题的关键是利用根与系数

的关系，整体代入求解.

n1

18、-----.

42

【解析】

连接CD,根据题意可得△DCE之△BDF,阴影部分的面积等于扇形的面积减去△BCD的面积.

【详解】

解：连接CD,

B

作DM_LBC,DN±AC.

VCA=CB,ZACB=90°,点D为AB的中点,

1/9

/.DC=-AB=1,四边形DMCN是正方形，DM=—.

22

则扇形FDE的面积是：90万x1=工.

3604

VCA=CB,ZACB=90°,点D为AB的中点,

ACD平分NBCA,

XVDM1BC,DN1AC,

/.DM=DN,

,:NGDH=NMDN=90°,

.\ZGDM=ZHDN,

ZDMG=ZDNH

则在△DMG和小DNH中，＜ZGDM=NHDN,

DM=DN

.♦.△DMG之△DNH(AAS),

.1

••S四边形DGCH=S四边形DMCN=­•

2

JT1

则阴影部分的面积是：----

42

771

故答案为：-----.

42

【点睛】

本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证明ADMG丝△DNH,得到S四哪DGCH=S四边形DMCN

是关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)证明详见解析；(2)证明详见解析；(3)1.

【解析】

(1)利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；

(2)由(1)可得AF=BD,结合条件可求得AF=DC,则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性

质可证得AD=CD,可证得四边形ADCF为菱形；

(3)连接DF,可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案.

【详解】

(1)证明："：AF//BC,

：.ZAFE=ZDBE,

是的中点，

：.AE=DE,

在4AFE和小DBE中，

ZAFE=NDBE

<ZFEA=NBED

AE=DE

工AAFE义ADBE(AAS)；

(2)证明：由(1)知，AAFE出ADBE,则A尸=03.

为3C边上的中线

：.DB=DC,

：.AF=CD.

\'AF//BC,

四边形ADCF是平行四边形，

VZBAC=90°,。是的中点，E是的中点，

1

：.AD=DC=-BC,

2

二四边形AOC尸是菱形；

(3)连接。尸，

'：AF//BD,AF=BD,

二四边形尸是平行四边形,

:.DF=AB=5,

•.•四边形AOC歹是菱形，

:・S菱形4。。/=二"AC・DF=—x4x5=l.

22

【点睛】

本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用.

71

20、S阴影=2--.

2

【解析】

由切线的性质和平行四边形的性质得到BA±AC,ZACB=ZB=45°,ZDAC=ZACB=45°=ZFAE,根据弧长公式求

出弧长，得到半径，即可求出结果.

【详解】

如图，连接AC,；CD与。A相切，

ACD1AC,

在平行四边形ABCD中，；AB=DC,AB〃CD〃BC,

ABA1AC,VAB=AC,

.,.ZACB=ZB=45°,

；AD〃BC,

.,.ZFAE=ZB=45°,

/.ZDAC=ZACB=45°=ZFAE,

，EF=EC

.£45%R7i

•.后厂的长度1A为L一两「=不

1oUZ

解得R=2,

此题主要考查圆内的面积计算，解题的关键是熟知平行四边形的性质、切线的性质、弧长计算及扇形面积的计算.

21、-2,—190,1

【解析】

解不等式5x+2>3(x—l)得：得x>-2.5；

13

解不等式一xW2——x得xWL则这两个不等式解集的公共部分为-2.5<x<1,

22

因为x取整数，则x取一2,-1,0,1.

故答案为一2,-1,0,1

【点睛】

本题考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，最后确定公共的整数解(包括

正整数，0,负整数).

22、(1)200名;(2)见解析;(3)36；(4)375.

【解析】

(1)根据统计图中的数据可以求得此次抽样调查中，共调查了多少名学生；

(2)根据(1)中的结果和统计图中的数据可以求得反对的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

(3)根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数；

(4)根据统计图中的数据可以估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见.

【详解】

解：(1)130-65%=200,

答：此次抽样调查中，共调查了200名学生；

(2)反对的人数为：200—130—50=20,

补全的条形统计图如右图所示；

20

(3)扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是：—x360=36；

(4)1500X—=375,

200

答：该校1500名学生中有375名学生持“无所谓”意见.

【点睛】

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用

数形结合的思想解答.

23、(1)①-3；®0<£o<V3；(2)<273;(3)近

Y4

【解析】

(1)①把Q(Ea)代入y=x-4,可求出a值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与x轴夹

角越大，可得直线。。与。相切时理想值最大，。与X中相切时，理想值最小，即可得答案；（2）根据题意，讨

论。与％轴及直线>=后相切时，LQ取最小值和最大值，求出。点横坐标即可；（3）根据题意将点M转化为直

线x=2,。点理想值最大时点。在y=2缶上，分析图形即可.

【详解】

（1）①•••点Q。,。）在直线y=x—4上，

a=l—4=—39

/.点Q的“理想值"L=—=-3,

o1

故答案为：-3.

②当点。在。与x轴切点时，点。的“理想值”最小为0.

当点。纵坐标与横坐标比值最大时，。的“理想值”最大，此时直线。。与口。切于点。，

设点Q（x,y）,。与x轴切于A,与OQ切于Q,

VC（6,1）,

CAJ3

/.tanZCOA=-----=,

0A3

/.ZCOA=30°,

TOQ、OA是。的切线，

:.ZQOA=2ZCOA=60°,

:.—=tanZQOA=tan60°=石,

x

・•・点。的“理想值”为石，

（2）设直线与x轴、y轴的交点分别为点A,点8,

当x=0时，y=3,

当y=0时,———x+3=0>解得：x=3^3>

3

A(373,0),6(0,3).

・•・04=3505=3,

AtanZOAB=—=—,

OA3

•••NOAB=30°.

\'0<LQ<j3,

...①如图，作直线y=Gx.

当。与x轴相切时，LQ=O,相应的圆心2满足题意，其横坐标取到最大值.

作2月轴于点片,

DRPOB,

.DRAEI

"BO~AO'

；。的半径为1,

:.D[E]=1.

•••AEi=5

：.OEl=OA-AEl=2A/3.

xn=2-\/3.

②如图

当。与直线y=gx相切时，5=6,相应的圆心。2满足题意，其横坐标取到最小值.

作D2E21.Y轴于点62，则D2E21.OA.

设直线y=6x与直线y=—@x+3的交点为p.

3

直线y=6x中，k=血，

:.AAOF=60°，

：.OF±AB,点F与Q重合，

则AF=OA-cosZOAF^3sj3x—^-.

22

。的半径为1,

:.D2F=1.

7

：.AD=AF-D,F=-.

?222

AE2=AD2-COSZOAF=-X^-=^-,

224

,-,OE2=OA-AE2=^.

由①②可得，X。的取值范围是孚<x»

(3)VM(2,m),

点在直线x=2上，

V0<£e<2A/2,

...LQ取最大值时，』=2&，

二作直线产2ax,与x=2交于点N,

当M与ON和x轴同时相切时，半径r最大，

根据题意作图如下：M与ON相切于Q,与x轴相切于E,

把x=2代入y=2&x得：y=4后，

，NE=40,OE=2,ON=7A®2+OE2=6-

:.ZMQN=ZNEO=90°,

XVZONE=ZMNQ,

\NQM:\NEO,

.MQMNNE-ME442-r

••——9BPr--=-----------f

OEONON26

解得：r=0.

，最大半径为0.

【点睛】

本题是一次函数和圆的综合题，主要考查了一次函数和圆的切线的性质，解答时要注意做好数形结合，根据图形进行

分类讨论.

24、(1)B，的坐标为(6，3)；(1)见解析；(3)6-1.

【解析】

(1)设A，B，与x轴交于点H,由OA=LOB=1«,NAOB=90。推出NABO=NB=30。，

由NBOB，=a=30。推出BO〃A，BT由OB，=OB=h/5推出OH==OB，=J5，B，H=3即可得出；

(1)证明NBPA，=90。即可;

(3)作AB的中点M(1,、石)，连接MP,由NAPB=90。，推出点P的轨迹为以点M为圆心，以MP==AB=1为半

径的圆，除去点(1,2«)，所以当PMLx轴时，点P纵坐标的最小值为若-1.

【详解】

(I)如图1,设A，B，与x轴交于点H,

图1

,."OA=1,OB=