2024年高二数学专项练习：平面向量的数量积

2024年高二数学专项练习平面向量的数量积

一、知识要点：

1.两个非零向量夹角的概念

2.平面向量数量积(内积，点积)的定义

说明：_______

(1)设a=(%y),则|a『=/+1或|q|=+,2。若向量。的

起点和终点的坐标分别为4占,以)和3(%,为)，那么

|a|=|A51=-/J+(X-%。°

(2)a_L6oX]4+X%=。。

(3)设向量a力的夹角为。，则有

a-b_

=

\a\-\b\^+y^l+yl

(4)a-b<\a\\b\^(石々+%%)?〈(片+片)(君+£)。

(5)已知向量。，4c和实数2,则向量的数量积满足下列运算律:

a-b=b-a；(2a)-b=•〃)=〃•(2Z?)；(a+byc=a-c+b-co

注意：

(1)两个向量的数量积称为内积，写成。力。

符号“♦”不能用“x”代替。

(2)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos。的

符号所决定。

(3)=0oa=0或Z?=0或2J_b。

(4)若贝!)a,/?=a・c¥>〃=c。

(5)向量不存在所谓的结合律：(a・b)・c=a,(b,c)。

3.“投影”的概念

4.向量的数量积的几何意义

5.两个向量的数量积的性质

设〃、b为两个非零向量，它们的夹角是8(0<^<180),

e是与b同向的单位向量，则有

(1)e-a=a-e=\a|cos0o

(2)alb=a・b=0。

(3)当〃与6同向时,a-b=\a\\b|；

当a与b反向时，a-b=-\a\\b|o

特别的，a=。・〃=|〃|2或|〃|=，^o

(4)0<。<90<^0<a-b<\a\-\b\；

90<8<180<=>-\a\-\b\<a-b<Qo

/、八a*b

(5)cos"---------o

⑷闻

(6)\a-b\<\a\­\b\o

二、典型例题

例1.判断以下命题的正误：

(1)a0=0；

(2)0-a—0；

(3)\a-b\=\a\-\b\；

(4)若。2=0,则。力中至少有一个为零向量;

(5)aw0=|a|+1b|〉0。

解析：

例2.已知|。|=2，万，b=(—2,3),且。_1_6,则。的坐标为

解析：

例3.(1)若a=(3,4),^=(2,-1),且(a+根。)_L(a-b),

则实数机等于;

(2)已知a=(1,2),/?=(〃,1),J.(a+2b)//(2a-b),

则实数〃等于。

解析：

例4.已知|。|=2,仍|=5,。•方=一3,求|a-61,|a+Z?|。

解析：

例5.已知a,。,c为非零向量，^.\b-a-c\^a-b-c\,\a+b+c\=\a+b-c\,

求证：a±c,b_Lco

解析：

三角函数最值及综合应用

一、知识要点

考查由三角函数式确定的函数的周期性、单调性，应先将解析式化为

一个三角函数的形式。利用正、余弦函数的值域及换元法，将三角函

数转化为代数函数，是确定最值或值域的常用方法。

二、典型例题：

冗

例1.设=4cos(ox--)sina)x-cos(2ox+»),其中0>0.

(1)求函数丁=/(耳的值域

(II)若/(%)在区间言，9上为增函数，求力的最大值.

TT

例2.已知函数/(%)=4cosxsin(%+—)—1.

6

(1)求了(%)的最小正周期;

(2)求/(x)在区间［-々7T勺7T上的最大值和最小值。

64

兀兀II

例3.已知函数f(x)=cos(y+x)cos^y~x^8(x)=~sin__

(I)求函数f(x)的最小正周期；

(II)求函数h(x)=f(x)—g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的X的集合。

2

例4.已知函数/(x)=2cos2x+sinx-4cosxo

7T

(I)求/(I-)的值；

(II)求/(X)的最大值和最小值。

例5.在AABC中，A、B、C所对的边分别为a,6,c,若a,6,a力,c成等

1+sin25

比数列，求丁=--------------的取值范围.

sinB+cosB

例6.设aeH,

满足=/(O),求函数/(x)在［£,\］上的最大值和最小值.

平面向量的应用举例

—知识要点

年面向量是数学的基础和相关学科的工具，广泛应用于平面几何、

三角、函数、解析等内容。

二、典型例题

例1.P是△ABC所在平面上一点，若PAPB=PBPC=PCPA,

则P是AABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解析：

例2.平面内△ABC及一点。满足04+05+00=0,则点。

是△ABC的()

A.重心B.垂心C.内心D.外心

解析：

例3.平面内△ABC及一点。满足A%=3%•层，BOBC^COCB,

则点。是AABC的()

A.重心B.垂心C.内心D.外心

解析:

例4.已知正方形ABCD的边长为1,点E是A3边上的动点，则

DECB的值为；DE-DC的最大值为.

解析：

例5.利用平面向量证明三角形的余弦定理。

解析:

三角恒等变换

一、知识要点

1.三角'函数式的变形应利用三角公式从以下三个方面入手：

(1)变名：注意条件与结论中三角函数式的名称有什么差别及联系,

通过同角三角函数公式，诱导公式，万能公式等，达到统一函数名称的

目的.

(2)变角：注意条件与结论中三角函数式的角有什么差别及联系，

通过诱导公式、和、差、倍、半角的三角函数公式等，达到把三角函数

中的角统一起来的目的.

(3)变运算形式：根据需要，将条件与结论的运算形式化一，将等

式一边的运算形式化成另一边的运算形式，通过升次与降次的转化以达

到目的.

2.应用三角变换公式，要注意公式间的联系，公式成立的条件.每

个三角公式的结构特征，都决定了它的双向功能，从左到右及从右

到左常常可起到不同的作用.所谓三角恒等变形是指在有意义的条件

下有恒等关系，但三角变换常常会改变三角式中角的取值范围，因

此在讨论由三角函数式表示的函数性质时，应首先确定其定义域，

以确保变形后的函数与原函数是同一函数.

二、典型例题

例1.某同学在一次研究性学习中发现，

以下五个式子的值都等于同一个常数.

⑴sin213°+cos2170-sinl3ocosl7°

⑵sin215°+cos2150-sin150cos15°

(3)sin218°+cos2120-sin18°cos12°

(4)sin2(-18°)+cos2480-sin(-18°)cos48°

(5)sin2(-25°)+cos2550-sin(-25°)cos55°

I试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数

II根据(I)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,

并证明你的结论.

例2.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,

已知cos2C=-工

4

(I)求sinC的值；

(II)当a=2,.2sinA=sinC时，求b及c的长.

例3.求函数y=的值域。

2(X4+2X2+1)

例4.已知定义在R上的函数F(x),G(x)满足:

F(x)+G(x)+F(y)-G(y)=sinx+cosy，求F(x),G(x)的解析式。

三角恒等变换综合

—*、知识要点

1.三角函数式的变形应利用三角公式从以下三个方面入手：

(1)变名：注意条件与结论中三角函数式的名称有什么差别及联系，

通过同角三角函数公式，诱导公式，万能公式等，达到统一函数名称的目

的.

(2)变角：注意条件与结论中三角函数式的角有什么差别及联系，通

过诱导公式、和、差、倍、半角的三角函数公式等，达到把三角函数中的

角统一起来的目的.

(3)变运算形式：根据需要，将条件与结论的运算形式化一，将等式

一边的运算形式化成另一边的运算形式,通过升次与降次的转化以达到目

的.

2.应用三角变换公式，要注意公式间的联系，公式成立的条件.每

个三角公式的结构特征，都决定了它的双向功能，从左到右及从右到左常

常可起到不同的作用.所谓三角恒等变形是指在有意义的条件下有恒等关

系，但三角变换常常会改变三角式中角的取值范围，因此在讨论由三角函

数式表示的函数性质时，应首先确定其定义域，以确保变形后的函数与原

函数是同一函数.

二、典型例题

例1.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一

个常数.

(l)sin2130+cos2170-sinl3°cosl7°

(2)sin2150+cos2150-sinl5