2024年北京市朝阳区中考数学一模试卷（含解析）

2024年北京市朝阳区陈经纶中学中考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体为（）

B.圆柱C.棱锥D.圆锥

2.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

a4

40123

A.a+c>0B.\a\<\b\C.be>1D.ac>0

3.如图，菱形28CD的顶点4B,C的坐标分别(0,2),(2,1),(4,2),则顶

点D的坐标是()

A.(2,2)

B.(2,4)

C.(3,2)

D.(2,3)

4.若一个多边形每一个内角都为144。，则这个多边形是边形.（）

A.6B.8C.10D.12

5.掷一枚质地均匀的硬币小次，正面向上n次，则3的值（）

A.一定是3

B.一定不是3

C.随着小的增大，越来越接近，

D.随着7H的增大，在T附近摆动，呈现一定的稳定性

6.以下图形绕点。旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（）

8.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=5,BC=10.动点M,N分别从力，C两点同时出发，点M从点4开

始沿边4C向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移

动.设运动时间为t,点M,C之间的距离为y,AMCN的面积为S,贝卯与t,S与t满足的函数关系分别是

()

A.正比例函数关系，一次函数关系B.正比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，正比例函数关系D.一次函数关系，二次函数关系

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.函数y=—=的自变量的取值范围是______.

V1—2x

10.如果多项式+by2只能因式分解为(3x+2y)(3比-2y),则ab=.

11.写出一个比，豆大且比，而小的整数是.

12.如果3--%-1=0,那么代数式(2%+3)(2%-3)-x(x+1)的值为.

13.如图，在Rt△力BC中，乙4cB=90。，BC=2,AC=2/3,P是以斜边4B为直径的半

圆上一动点，M为PC的中点，连结BM,贝UBM的最小值为.

B

14.如图，有两张矩形纸片48CD和EFGH,AB=EF=2cm,BC=FG=

8cm,使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合.当两张纸片交叉所成

的角a最小时重叠部分的面积等于.

15.在平面直角坐标系xOy中，已知点(7?-2,%)，(n-l,y2),(n+1,%)在抛物线丫=a/-2ax-2(a<

0)上，若0<几<1,则为，y2,乃的大小关系为,(用“<”表示)

16.如图，双骄制衣厂在厂房。的周围租了三幢楼力、B、C作为职工宿舍，每幢宿A

舍楼之间均有笔直的公路相连，且8c>AC>4艮已知厂房。到每条公路的距离相

等.

(1)则点。为△ABC三条的交点(填写：角平分线或中线或高线)；°B

(2)如图设BC=a,AC=b,AB=c,OB=y,OC=z,现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停

放，那么最短路线长是.

三、计算题：本大题共1小题，共5分。

f2(x-1)<%+2

17.解不等式组：L+1

I—<x

四、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(本小题5分)

计算：弓)一】一兀一2020°+2|-3tan30°.

19.(本小题5分)

关于久的一元二次方程/—mx+2m-4=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于1,求小的取值范围.

20.(本小题5分)

下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

21.(本小题5分)

如图，四边形4BCD是平行四边形，AC.BD相交于点。，E为48的中点，连接。E,过点E作EF1于点

F,过点。作。G1BC于点G.

(1)求证：四边形EFG。是矩形；

(2)若四边形2BCD是菱形，AB=10,BD=16,求。G的长.

22.(本小题5分)

在平面直角坐标系工。了中，一次函数y=for+b(k70)的图象由函数y=-%的图象平移得到，且经过点

(0,1).

(1)求这个一次函数的表达式；

（2）当x＜-l时，对于久的每一个值，函数丫=znx（zn片0）的值小于一次函数y=kx+力0）的值，直接

写出小的取值范围.

23.（本小题6分）

为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机

抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部

分信息.

a.这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：

八第二次成绩/分

100-

*

95-•

•••

*

•••

90-・“・

*

85-二••

80-

_|_______I_______I_______I_______I____a

80859095100第一次成绩/分

反这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表:

参与奖优秀奖卓越奖

人数101010

第一次竞赛

平均分828795

人数21216

第二次竞赛

平均分848793

（规定：分数290,获卓越奖；85（分数＜90,获优秀奖；分数＜85,获参与奖）

c.第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：

90909191919192939394949495959698

d.两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表:

平均数中位数众数

第一次竞赛m87.588

第二次竞赛90n91

根据以上信息，回答下列问题：

（1）小松同学第一次竞赛成绩是90分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用圈出代表小松同学的点;

(2)直接写出m,n的值；

(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高？请说明你的理由(至少两个方面).

24.(本小题6分)

某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上

某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为八米.

根据上述信息，解决以下问题：

(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示八与d函数关系的图象；

(2)若水柱最高点距离湖面的高度为小米，则爪=；

(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方

通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不

小于0.5米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度(喷

水头忽略不计)(结果保留一位小数).

图1图2

25.(本小题8分)

如图，在矩形2BCD中，AB=6,BC=8,点4在直线I上，4。与直线相交所得的锐角为60。点F在直线1

上，AF=8,EFL直线垂足为点F且EF=6,在EF的左侧作半圆。，点M是半圆。上任一点.

发现：AM的最小值为,AM的最大值为,OB与直线1的位置关系是.

思考：矩形4BCD保持不动，半圆。沿直线/向左平移，当点E落在4D边上时，重叠部分面积为多少？

A

26.(本小题10分)

如图，AB是。。的一条弦，E是4B的中点，过点B作。。的切线交CE的延长线于点0.

(1)求证：DB=DE-,

(2)若4B=12,BD=5,求。。的半径.

27.(本小题10分)

在AABC和△4DE中，BA=BC,DA=DE,点E在△ABC的内部，连接EC,EB^WED,设EC=k•

图I图2图3

(1)当乙4BC=N4DE=60。时，如图1,请求出k值，

(2)当N4BC=^ADE=90°时：

①如图2,(1)中的k值是否发生变化，如无变化；如有变化，请求出k值并说明理由；

②如图3,当D,E,C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan/EAC的值.

28.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系久Oy中，点S(-l,0),7(1,0)(0°<a<180°),将一个图形先绕点S顺时针旋转a,

再绕点T逆时针旋转a.

(1)点R在线段ST上，则在点4(1,一1),5(3,-2),C(2,-2),D(0,-2)中，有可能是由点R经过一次“90。对

称旋转”后得到的点是;

(2)x轴上的一点P经过一次“a对称旋转”得到点Q.

①当a=60。时，PQ=；

②当a=30。时，若QTlx轴，求点P的坐标；

(3)以点。为圆心作半径为1的圆.若在。。上存在点M,使得点M经过一次“a对称旋转”后得到的点在久轴

上，直接写出a的取值范围.

备用图

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键.

由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥.

【解答】

解：由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，

故选c

2.【答案】C

【解析】解：由数轴可以发现a<0<6<c,而|a|>|c|>\b\,

a+c<0,\a\>\b\,ac<0

又由数轴可发现1<6<2,2<c<3

be>1正确.

故选：C.

根据数轴可以发现a<0<b<c,而|a|>|c|>网，可以逐一判断每个选项即可得出正确答案.

本题考查的是实数与数轴的相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：如图，连接AC、BO交于点E,

•••四边形4BCD是菱形，

•••AC1BD,AE=CE,BE=DE,

•.•菱形力BCD的顶点力，B,C的坐标分别(0,2),(2,1)

AC1y轴，4C〃x轴，。4=2,

8D//y轴，BE=DE=2—1=1,

;顶点。的坐标是(2,2+1),

即(2,3),

故选：D.

连接AC、BD交于点E,由菱形的性质和顶点4,B,C的坐标得出BD〃y轴，BE=DE=1,即可求解.

本题考查的是菱形的性质、坐标与图形性质等知识,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：•••一个多边形每一个内角都为144。，

工外角为180。-144°=36°,

•••多边形的边数为360。+36°=10,

故选：C.

根据多边形的内角与外角的关系可求解外角的度数，再利用多边形的外角和可求解.

本题主要考查多边形的内角和外角，求解多边形的外角的度数是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：投掷一枚质地均匀的硬币机次，正面向上71次，随着根的增加，巴的值会在〈附近摆动，呈现

m2

出一定的稳定性，

故选：D.

利用频率估计概率求解即可.

本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动

的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是

这个事件的概率.

6.【答案】D

【解析】解：力、最小旋转角度=等=120。；

B、最小旋转角度=写=90。；

C、最小旋转角度=乎=72。；

D、最小旋转角度=嗒=60。；

故选：D.

求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断.

本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360。）后能与原图形重合，那

么这个图形就叫做旋转对称图形.求出各图形的最小旋转角度是解题关键.

7.【答案】D

【解析】解：力、有3数条对称轴，

B、有2条对称轴，

C、有无数条对称轴，

D、有1条对称轴，

所以对称轴条数最少的是选项D.

故选：D.

根据轴对称图形的定义，分别找出题干中的图形的所有对称轴条数，即可进行判断.

此题考查了利用轴对称图形的定义确定轴对称图形的对称轴的条数的灵活应用.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t,S与t的函

数关系式是正确判断的关键.

求出y与3S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可.

【解答】

解：由题意得，AM=t,CN=2t,

■■.MC=AC-AM=5-t,

即y=5-3

1»

S=^MC-CN=5t-t2,

因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，

故选：D.

9.【答案】

【解析】解：由题意得：1一2%>0,

解得：x<

1

X<

故答案为:2-

根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案.

本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关

键.

10.【答案】-36

【解析】解：根据题意可得，

ax2+by2=(3%+2y)(3x—2y),

ax2+by2=9x2—4y2,

•••a=9,b=—4,

••・ah=9x(-4)=—36.

故答案为：-36.

根据题意可得，ax2+by2=(3x+2y)(3x-2y),应用平方差公式可得a/+如2=9久2—4y2,根据等

式的性质可得a,b的值，计算即可得出答案.

本题主要考查了因式分解-应用公式法，熟练掌握因式分解-应用公式法进行求解是解决本题的关键.

11.【答案】2或3

【解析】【分析】

本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键.

先估算出门、，花的大小，然后确定范围在其中的整数即可.

【解答】

解：•••门<2,3<710

AA3<2<3<AHU

即比/百大且比，IU小的整数为2或3,

故答案为：2或3

12.【答案】-8

【解析】解：：3%2-%-1=0,

3x2—x=1,

(2x+3)(2%—3)—x(x+1)

=4%2—9—x2—x

=3x2—x—9

=1-9

=-8.

故答案为：-8.

先根据已知条件式得到3/一％=1,再把所求式子去括号并合并同类项化简得到3/一万一9,把3支2一

%=1整体代入求解即可.

本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的化简求值的方法是解题的关键.

13.【答案】73-1

P

【解析】解：取4B的中点。、2C的中点E、8c的中点F，连接OC、OP、OM、0E、

OF、EF,如图，

在ABC中，Z.ACB=90°,BC=2,AC-2/3>

AB=VXC2+BC2=4,

11

AOC=^AB=2,OP=^AB=2,

•••M为PC的中点，

OM1PC,

ZCMO=90°,

.•.点M在以。。为直径的圆上，

当点P点在4点时，M点在E点；当P点在B点时，M点在F点,

取。C的中点。'，连接B。'交。。'于M',

则BM'的长度即为BM的最小值，

延长BO'交O0'于G,连接FM',

•:乙FBM'=/.GBC,乙FM'B=NGCB（圆内接四边形的性质）,

BFM's&BGC,

..*.-B-F=_-B-M-',

BGBC

即」=眦,

BM'+22

解得：B"=，1一1（负值舍去），

故的最小值为：6—1,

故答案为：-\f3—1-

取4B的中点。、AC的中点E、8c的中点F,连接OC、OP、OM,OE、OF、EF,如图，根据勾股定理得到

AB=VXC2+SC2=4,根据直角三角形的性质得到。。=2,OP==2,根据圆周角定理得

到点M在以。C为直径的圆上，当点P点在4点时，M点在E点；当P点在B点时，M点在尸点，取。C的中点

O',连接B。'交O于M',贝的长度即为BM的最小值，延长BO'交O0'于G,连接FM',根据相似三角

形的性质即可得到结论.

本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解

题的关键.

14.【答案】y

【解析】解：设A0交于K,如图所示：

••・四边形/BCD和四边形ETGH是矩形，

••・乙ADC=乙HDF=90°,CD=AB=EF=DH=2cm,zH=zC=

90°,

・•・乙CDN=乙HDK,

••.△CDN之△HDKQ4S/),

・•.ND=KD,

••・四边形。NMK是平行四边形，

・•・平行四边形DNMK是菱形，

・•.MN=DN,

•・•将两纸片按如图所示叠放，使点。与点G重合，且重叠部分为平行四边形,

・・・当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，

.・.FN=DN=4,

设DN=MN=acm,贝!JCN=(8—a)cm,

•・,DN2=CD2+CN2,

・•・a2=22+(8-a)2,

解得：a=y(cm),

DN=cm,

重叠部分的面积=DN•EF=。2=*,

4Z

故答案为：y.

设4。交£7/于K,由“ASA”可证△CDN之AHDK,可证ND=KD,即可证四边形DNMK是菱形，当点B与

点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，由勾股定理求出ON的长，再根据菱形的面积公式即可得出答

案.

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含30。角直角三角形的性质、勾

股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关键.

15.【答案】Vi<y2V

【解析】解：・抛物线y=ax2-2ax-2(a<0),

抛物线开口向下，对称轴为直线式=-1,

0<n<1,

—2Vzi-2<—19—1<C71-1V0,1<TI+1V2,

.•.点(?1-2,%)到对称轴的距离最大，(71+1/3)到对称轴距离最短，

•••yi<y2<y3>

故答案为：为<%<%•

求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离的大小判断即可.

本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键.

16.【答案】角平分线y+c+b+z

【解析】解：(1)•••点。到每条公路的距离相等，

.•.点。是△4BC的角平分线的交点.

故答案为：角平分线；

(2)设。4=x,

共有6条线路：d1=x+c+a+z,d2—x+b+a+y,d3=y+c+b+z,d4—y+a+b+x,d5—

z+b+c+y,d6=z+a+c+x,

在CB上截取CE=C4连接。E,

在△AC。和△EC。中，

CA=CE

乙ACO=(ECO,

CO=CO

•••△/CO^2kECO(S4S),

OA=OE,

在^EB。中，

y-x<a—b,

**,cig—d]<0,

同理di—d，2V0,d±-c?4V0fd]—盛V0,d1—V0,

,,,c/3最,

故答案为：y+c+b+z.

(1)根据角平分线性质直接回答即可；

(2)设。4=久，列出所有线路，并表示出线路长，在CB上截取CE=C4连接。E,可证出

ECO,得到。力=0E,利用三角形的三边关系可比较各线路长的大小，从而解决问题.

本题考查几何知识的应用，解答中涉及角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系,

理解题意，能灵活运用相关知识是解题的关键.

[2(x-1)<x+2①

17.【答案】解：二1三,

匕〈久②

由①得：%<4,

由②得：%>1,

则不等式组的解集为1<久<4.

【解析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.

此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键.

18.【答案】解：©)T-7T-2020°+|73-2|-3tan30°

=3-兀-1+2-0-3*苧

=4—7T—2y/-3.

【解析】根据负整数指数哥，零次哥，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解.

本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幕，零次塞，化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关

键.

19.【答案】(1)证明：a=1,b=-m,c=2m-4,

；.△=b2-4ac

=(—m)2—4(2m—4)

=m2—8m+16

=(m—4)2>0,

此方程总有两个实数根.

(2)解：•；△=(m-4)2>0,

——b+Jb2—4ac_m±|m—4|

K=五=-2一•

■■■—m—2,x2—2.

•••此方程有一个根小于1.

m—2<1.

m<3.

【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于山的一元二次方程，求出m的值即可；

(2)利用求根公式得到与=m-2,x2=2,根据题意得到m-2<1.即可求得m<3.

本题考查的是根的判别式及一元二次方程解的定义，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键.

20.【答案】证明：方法一：《DE〃BC,

•••Z-B=乙BAD,Z.C=Z,CAE,

•・•乙BAD+Z.BAC+^CAE=180°,

・•・乙B+^BAC+ZC=180°；

方法二：延长BC,如图，

•・•CD//AB,

Z.A=4ACD,Z-B=Z.DCE,

•・•乙ACB+匕ACD+乙DCE=180°,

・•・NA+Z-ACB+ZB=180°.

【解析】方法一：由平行线的性质得：4B=4BAD,zc=ACAE,再由平角的定义可得NB4D+ABAC+

^CAE=180°,从而可求解；

方法二：延长BC,由平行线的性质得：4力=乙4CD,4B=ADCE,再由平角的定义可得+N力CD+

Z.DCE=180°,从而可求解.

本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.

21.【答案】(1)证明：•••四边形力BCD是平行四边形，

OA=OC,

•••E为48的中点，

OE是△ABC的中位线，

OE//BC,

•••EF1BC,OG1BC,

：.EFHOG,AEFG=90°,

.•・四边形EFG。是平行四边形，

又乙EFG=90°,

・•.平行四边形EFG。是矩形；

(2)解：•••四边形ABCD是菱形，BD=16,

1

.・.BC=AB=10,OA=OC,OB=OD=^BD=8,AC1BD,

・•・乙BOC=90°,

・•.OC=BC2-OB2=V102-82=6,

由(1)可知，四边形EFG。是矩形，

・•・(OGF=90°,

OG1BC,

WC=|BC-OG=|OF-OC,

八「OBOC8x6.门

•••°G=HF=4.8,

即OG的长为4.8.

【解析】(1)由平行四边形的性质得。4=OC,进而证明。E是AdBC的中位线，得OE//BC,再证明四边形

EFG。是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；

1

(2)由菱形的性质得8C=2B=10,OA=OC,OB=OD=《BD=8,AC1BD,进而由勾股定理得。C=

6,再由矩形的性质得NOGF=90。，则。G1BC,然后由三角形面积求出。G的长即可.

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理以

及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

22.【答案】解：(1)1•,一•次函数丫=fcr+b(kH0)的图象由函数y=-方y=x-H斗

的图象平移得到，\J

1•,一•次函数y=-x+6的图象过点(0,1),、、1sx-

IrKjX?

・・・这个一次函数的表达式为y=-x+1.

(2)・当x<-1时，对于x的每一个值，函数y=m久(mK0)的值小于一次函数y=-x+1的值，

m>—1.

【解析】(1)据一次函数平移时k不变可知k=-1,再把点(0,1)代入求出b的值，进而可得出结论.

(2)根据图象即可求得.

本题考查的是一次函数的图象与几何变换及一次函数和不等式的关系，熟知一次函数平移的性质是解答此

题的关键.

23.【答案】解：(1)如图所示.

f第二次成绩/分

100

95••••••

••

••❸•

90■•••♦

•••

••

•••

85••••

80

80859095100第一次成绩/分

82x10+87x10+95x10„„

(2)m=--------------------------=88,

••・第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：

90909191919192939394949495959698,

.•・第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，

1

...n=A(90+90)=90,

m=88,n=90；

(3)可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛学生成绩的平均

数、中位数、众数都高于第一次竞赛.

【解析】(1)根据这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标是90,纵坐标

是91的点即代表小松同学的点；

(2)根据平均数和中位数的定义可得a和n的值；

(3)根据平均数，众数和中位数这几方面的意义解答可得.

本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键.

24.【答案】1.5

【解析】解：(1)以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示:

(2)根据题意可知，该抛物线的对称轴为x=2,此时最高，

即m=1.5,

故答案为：15

(3)根据图象可设二次函数的解析式为：h.=a(d-2产+1.5,

将(0,0.5)代入h=a(d-2)2+1.5,得a=—

••・抛物线的解析式为：h=-^d2+d+0.5,

4

设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h=-^d2+d+0.5+n,

由题意可知，当横坐标为2+1=夕寸，纵坐标的值大于1.5+0.5=2,

17

X+++n>2

-4-2-,5-

解得n＞白，

lo

水管高度至少向上调节3米，

1O

■■萤=1|(米),

•••公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到工米才能符合要求.

16

(1)依据题意，建立坐标系，描点.用平滑的曲线连接即可；

(2)依据题意，观察图象即可得出结论；

(3)依据题意，根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析

式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可.

本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型.

25.【答案】773-310平行

【解析】解：发现：如图1,连接A。、AE.B。，作BP1AF于P,

由题意知，EF=6,AF=8,ADAF=60°,

OM=OF=3,

当4、M、。三点共线时，4M最小，

由勾股定理得，2。=7AF?+。？2=,82+32=，方，

.••4M的最小值为依一3;

当M、E重合时，AM最大，

由勾股定理得，AE=yjAF2+EF2=V82+62=10,

・••4M的最大值为10；

•••四边形4BCD是矩形，AB=6,

ABAD=90°,

.­.Z.BAP=30°,

BP=^AB=3=OF,

又：BP〃。尸，

••・四边形BPFO是平行四边形，

OB//PF,即。B〃/;

故答案为：773-3;10；平行；

思考：如图2,连接。G,作。H1AD于H,

ADAF=60°,EF1AF,

.­•乙AEF=30°,

OH=^OE=|,

•・•0E=0G,

图2

NEOG=120°,GE=2EH=2VOE2-OH2=J32-(|)2=3/3>

S重叠=S扇形£OG-S&ECG=12富3-1x3^3X|=3兀一罕，

.•.重叠部分面积为3兀-写.

4

发现：如图1,连接a。、AE,作BP14尸于P,由题意知，0M=3,^DAF=60°,当2、M、。三点共线

时，4M最小，为力。一。M；当M、E重合时，AM最大，由勾股定理求解即可；由题意知NB4P=30。，则

BP==3=OF,进而求解作答即可；

思考：如图2,连接OG,作。“14D于"，则乙4EF=30°,OH=^OE=^,由。E=OG,可得NEOG=

120°,GE=2EH,根据S重叠=S嬷形EOG—SAECG,计算求解即可.

本题主要考查了几何变换的综合，包括勾股定理，含30。的直角三角形，平行线的判定，矩形的性质，平

行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，扇形面积等知识.正确作出辅助线并能灵活利用相关

知识是解题的关键.

26.【答案】⑴证明：••・"是。。的切线，

.­.乙OBD=90°,即4。84+/.EBD=90°,

OA=OB,

•••Z.OAB=/.OBA,

•••^OAB+NCE力=180°-LACE=90°,/.CEA=乙BED,

/.EBD=/.BED,

DB=DE；

(2)解:如图，连接。E,作DF14B于F,

vE是4B的中点,AB=12,DB=DE,

1

•••OE1AB,AE=EB=6,EF=^BE=3,

由勾股定理得，DF=DE2-EF2=4,

v2LA0E+2L0AE=90°,NCEZ+NOZE=90。,乙CEA=幺BED,

•••Z-AOE=乙BED,

••sin^AOE=~=sin/DEF=器，即3=’

解得，。4=苧，

••.o。的半径为手.

【解析】(1)由切线，可知NOBD=90°,即4。84+NEB。=90。，由。4=。8,可得NOAB=NOB4由

三角形内角和、对顶角相等可得NEBD=NBED,进而结论得证；

1

(2)如图，连接。E,作DF1AB于F,则。E_L4B,AE=EB=6,EF=^BE=3,由勾股定理得，DF=

4,证明=贝Usin乙4OE=煞=sin乙DEF=需，即鲁=?，计算求解，然后作答即可.

本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦等知识.熟练掌

握切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦是解题的关键.

27.【答案】解：(l)fc=1,

理由如下：如图1,•••N4BC=N4DE=60。，BA=BC,DA=DE,

△2BC和△4DE者B是等边三角形，

AD=AE,AB=AC,Z.DAE=^.BAC=60°,

/.DAB—/-EAC,

在△ZMB和△£1"中，

AD=AE

Z-DAB—/-EAC,

AB=AC

.••△DABg△瓦4c(SAS),

EC=DB,即k=1；

(2)①k值发生变化，k=<2,

•••乙ABC=^ADE=90°,BA=BC,DA=DE,

43。和4ADE都是等腰直角三角形，

AJ7,­ACi-

.•.煞=/I,%=y[2,/.DAE=乙BAC=45°,

ADAD

AJ7AC

•.•芸=%，^DAB=^EAC,

ADAB

EAC^LDAB,

.端=煞=。即EC=2B。，

DUAD

•••k=V-2；

②作EFLAC^F,

图3

设力D=DE=a，贝！ME=ypia,

•.•点E为DC中点，

CD=2a,

由勾股定理得，AC=VXD2+CD2=/5a，

•・•Z.CFE=4CDA=90°,乙FCE=^DCA,

CFEs^CAD,

.EF_CE即E产_a

''A5-CA9即至一月？

解得，EF=ga，

AF=7AE2-EF2=苧小

则tan血C=喋=]

【解析】(1)根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△。的0△瓦4C,根据全等三角形的性质

解答；

(2)①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；②作EF12C于F,设4D=DE=a,证明△

CFESAC4D,根据相似三角形的性质求出EF,根据勾股定理求出4F,根据正切的定义计算即可.

本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知

识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

28.【答案】B,C2

【解析】解：(1)由一次“对称旋转”定义，将4(1,-