云南省昆明市2023-2024学年高三三模数学试题（含详细解析）

昆明市2024届“三诊一模”高考模拟考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.如图，已知集合”=[12,3,4},'={3,4,5,6},则图中阴影部分所表示的集合为(

{34}C.{5,6}D,{3,4,5,6}

【答案】A

【解析】

【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.

【详解】由题可知阴影部分表示集合为：卜归右人且兀任用，即{1,2}.

故选：A.

2.已知点A(l,2)在抛物线。：丁2=2勿(0>0)的图象上，尸为。的焦点，则|”|=()

A.V2B.2C.3D.2夜

【答案】B

【解析】

【分析】先根据点4(1,2)在抛物线上求出p,再根据抛物线的定义求出焦半径即可.

【详解】将4(1,2)代入3=2px,即2?=2xpxl,

所以夕=2,

所以|AE|=1+~|=1+1=2.

故选：B.

3.已知ABC中，AB=3,BC=4,AC=5贝UABC的面积等于（）

A.3B.711C.5D.275

【答案】B

【解析】

【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出sinB,再根据三角形面积公式计算即可.

【详解】由余弦定理得，COGB/八靖—北=32+42一阴=5,因为8为三角形内角，

2ABBC2x3x46

则sinB=Vl-cos2B=，

所以S=-AB-BC-sinB=-x3x4x^=Vll-

由226

故选：B.

4.某学校邀请A民C,D,E五个班的班干部座谈，其中A班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位

班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则A班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（）

A.10B.12C.16D.20

【答案】C

【解析】

【分析】由分类加法和分步乘法计数原理计算即可.

【详解】由题分两类讨论，当A班选到1位班干部发言有C；种选法，其余班级有C：种选法；

当A班选到2位班干部发言有C?种选法，其余班级有C；种选法；

故共有C©+C；C；=2X6+1X4=16种选法，

故选：C.

5.已知私”是两条不重合的直线，名尸是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）

A.若加_L。，贝！是JL〃”的必要条件

B.若加（22,〃ua,贝V加〃〃”是“加〃的充分条件

C.若相，贝『'加'是〃6''的充要条件

D.若加〃a,贝（J“加〃〃”是“〃〃。”的既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用线面垂直的性质可判断A；利用线面平行的判定和性质可判断B；利用线面垂直的性质和面面

平行的判定可判断C；利用线面平行的性质可判断D.

【详解】对于A,若加，则“八〃cT是“加，〃”的充分不必要条件，故A错误；

u

对于B,maa,nua,贝1]“加〃〃”二>“机〃然”=>m,w平行或异面，

所以加〃〃是相〃口的充分条件，故B正确；

对于C,m±a,贝广〃尸”，

则“改，力”是“a〃/”的充要条件,故C正确；

对于D,m//a,贝广〃""〃1或“ua”，

“n/7a”nam,”相交、平行或异面”，

所以“m//n”是“n//a”的既不充分也不必要条件，故D正确.

故选：A.

37

6.在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为一，第二次投篮命中的概率为一，若小明在第一次

510

命中的条件下第二次命中的概率是P,在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是gp,则。=

（）

725

ATB.-C.-D.一

4857

【答案】B

【解析】

【分析】利用全概率公式即可求解.

【详解】设事件A表示“小明第一次投篮命中”，事件8表示“小明第二次投篮命中”，

则P⑷（叫=

所以P（B）=P（A）P（MA）+P（Z）P（5B）=[X°+，_^X；P=1，

J\D）乙JLU

7

解得p=—.

8

故选：B.

7.某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图.底座A3CD是边长为4a的正方形，垂直于底座且长度

为6的四根吊挂线AA-BBX,CC-一头连着底座端点，另一头都连在球。的表面上（底座厚度忽

略不计），若该艺术吊灯总高度为14,则球。的体积为（）

Bi

图1图2

108K256兀500兀864兀

A.----B.----C.----D.----

3333

【答案】C

【解析】

【分析】由题意做出该艺术吊灯的主视图，确定正方形Aga。的外接圆圆心为连接。反，由勾股定

理及球体积公式计算即可.

【详解】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形A与G，为正方形，则用2=8,

设正方形AB1G2的外接圆圆心为。「连接。a交球面于点石，如图所示，则用“,

所以=BQ[=4,

因为该艺术吊灯总高度为14,DD]=BBi=6,所以O1E=8,

设球半径为A,则OQ=8—R,

在RtOOj与中，（8—R『+42=玄，解得R=5,

所以球。的体积为刍兀代=±兀x53=里蛔，

333

故选：C.

8.函数y=/(x)在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与X轴有且仅有一个交点，对任意x,yeR,

/⑴+/3=/(商+/卜/⑴=1,则下列说法正确的是()

A.42)=2B."X)为奇函数

C./(%)在(0,+8)单调递减D.若〃x)W4,则xe[—2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件，通过赋值法求出/(0),/(1),/(2)及奇偶性，结合函数单调性的定义判断出单调性,

即可得出判断.

【详解】令x=y=0得，2/(0)=/(0),则/(0)=0；

对于A,令x=y=l,有=则/(四)=2,

令x=y=0\有2/(&)=〃2),则/(2)=4w2,故A错误；

y(x),%>o

对于B,令y=0,贝ij/(x)=0,x=0,,故/(无)为偶函数，故B错误；

/(-%),%<0

对于C,因为/(X)在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与X轴有且仅有一个交点，

f(0)=0JQ)=l>0,

所以当x>0时，f(x)>0,设。<玉<尤2，令?=再,y=>0,

则/4)+/(在-竟)=f(旧+其-4)=/(%2)，即/(々)一/(^i)=)>。，

所以『⑴在(0,+。)单调递增，故C错误；

对于D,由上述结论得，/(X)为偶函数，且在(0,+8)单调递增，/(0)=0,/(2)=4,

所以若/（x）W4,则xe[—2,2],故D正确;

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在一个有限样本空间中，事件A5C发生的概率满足P（A）=P（3）=P（C）=g,P（AB）=g,A与

C互斥，则下列说法正确的是（）

A.P（AC）=-B.A与3相互独立

18

C--DB<

ABC(A-9-

27

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，根据互斥得到尸（AC）=O,P（AC）=P（A）-P（AC）=1；B选项，根据

P（AD5）=P（A）+P（5）—P（Ac5）求出P（AC3）=B，故。（人^^5）=。（4）尸（5）,B正确；C选

QQ

项，A与C互斥，故AB与C互斥，故C正确；D选项，根据「—P（3C）V§求出D正

确.

【详解】A选项，A与C互斥，故AcC=0,尸（AC）=O,则^包含事件人，故

P（AC）=P（A）=|,A正确；

B选项,P（AuB）=P（A）+P（B）-P（AnB）,

即：+；—P（Ac3）=故P（Ac3）=；,

故尸（Ac5）=尸（A）P（5）,A与B相互独立，B正确;

C选项，A与C互斥，故A5与C互斥，故P（A3C）=尸[（A3）cC]=0,C错误;

D选项，P（AuBuC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）~P（AC）+P（ABC）

33333v79v7

QQ

因为P(BC)NO,故「(AuBuCjug—P(5C)<3,D正确.

故选：ABD

10.己知函数/(x)=sin［s+>0)的最小正周期大于若曲线y=/(X)关于点［J,0)中心对称,

则下列说法正确的是()

人佃*B.、=/(工+5］是偶函数

C.x=^1是函数/(%)的一个极值点D./(%)在，单调递增

【答案】ABC

【解析】

【分析】由最小正周期大于m，关于点［三,0)中心对称，可知/(x)=sin［2x+m),对于A,直接代入函

数解析式求解即可；对于B，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于C,通过求导，令导函数为0,求得x

7T

的值，并判断x=一左右两端函数的单调性即可判断；对于D,通过求函数的单调递增区间即可求解.

12

【详解】因为/(可=5由，%+1}0〉0)的最小正周期大于,

所以—>—,即0<GV4,

CD2

又y=/(x)关于点中心对称,

JTJT

所以§口+耳=kn(kGZ),

所以G=—1+3左，因为0<GV4,所以当女=1时，co=2,

所以/(x)=sin2x+—

3

对于A,上卜in,河卜—sin”字故A正确;

对于B,

由cos(-2x)=cos2x且尤是全体实数，所以_y=/|x+白|是偶函数，故B正确;

对于C,/，(x)=2cosf2x+jj,令/<x)=0得工=E,keZ,

5兀71

当xe时，/(%)>0,/(x)单调递增,

12，12

717兀

当时，r(x)<0,/(x)单调递减,

xe12，12

所以x=《是函数〃尤)的极大值点，故C正确；

7CJLJL

对于D,由---H2kli<2xH—V—F2kli，kwZ,

232

-+^7T<X<—+^71,

1212

5兀兀

函数单调递增区间为----卜kit,-----Hkit,kEZ,

1212

5兀71

当左二0时，XG

12912

7兀13K

当人=1时,xe

!7'石"

显然函数在上不单调，故D不正确.

故选：ABC.

2

11.已知月，工分别是双曲线好一匕=1的左、右焦点，M是左支上一点，且在X在上方，过工作

2

角平分线的垂线，垂足为N,。是坐标原点，则下列说法正确的是()

JT

A.若/MRF2=-,则直线的斜率为-6

JT-------------

B.若/5月=5,则用M.与N=2

C,若鸟=a,贝ij|QV|=l

D.若NMRF2=a,则|QV|=coscr

【答案】AC

【解析】

【分析】根据垂直关系以及角平分线可得NM。玛=彳，即可求解斜率，判断A,根据数量积的几何意义

即可根据长度求解B,根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC.

【详解】a=l,b=Rc=5不妨设M在第二象限，

当时后时，则河小时，则用—后0),月(百,0),故皿—6,2),

闺司=2c=2&,|“里|=42+耳耳2=4,故NF%=^,ZMF2F}=6，

jr2九

由于NM是鸟的角平分线，所以NM陷=：,进而可得/加。鸟=丁，故斜率为-百，故A正

63

确，

由于；W，£N,所以月M・£N=£N2=4,B错误，

由于是/耳咽的角平分线，NM±F2N,所以.MNH三/INF?,

故N是收的中点，|HM|=|EM，

由双曲线定义可得优—闺闸=2a=>\HM\-\FiM\=2an|班|=2a,

又。是耳工的中点，|ON|=T"G|=a=l,故C正确，D错误，

故选：AC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知复数z满足也=2—i，贝U|z|=

【答案】^5

【解析】

【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解.

【详解】因为复数z满足iz=2—i，所以z=T=—1—2i,所以忖="74=石.

故答案为：5

13.过点(1,m)可以向曲线=作〃条切线，写出满足条件的一组有序实数对(加,“)

【答案】(e,l)(答案不唯一)

【解析】

【分析】设切点坐标为(玉)，/0颉)，利用导数表示出切线方程，代入点。,加)，通过构造函数，研究新函数

的单调性和极值，对用的取值范围进行讨论，得到为解的个数，可得对应的切线条数.

【详解】f(x)=xe',(x)=e'+J®'=(x+1)ev,

设所求切线的切点坐标为(/，/e*。)，则切线斜率为左=(xo+l)e%,

得切线方程为勾=(%+l)e与(x—~),

由切线过点(1,机)，<m-x^=(%0+1)6"®(1-%0),

化简得m=(l+Xo—x；)e而,

设8(彳)=(1+J_)2贮,则g，(x)=(2-x-—)e”,

g'(x)<0,解得X<—2或尤〉1；g'(%)>0,解得一24<1,

g⑴在-2)和(1,+。)上单调递减，在(-2,1)上单调递增,

极大值g(l)=e,极小值g(—2)=—"

e

且或X>噌时g(x)<0,时，g(x)>0,

g(x)的函数图象如图所示,

则当〃2>e时，与无解，n=Q-,当7〃=e或加〈一与时，马有一个解，n=l；

当〃z=1或OWm<e时，与有两个解，〃=2；当—■"<根<0时，为有三个解，〃=3.

ee-

故答案为：(e,l)(答案不唯一)

14.以maxA表示数集A中最大数.已知a>0,b>0,c>0,则M=max,」+2,」-+4f+c|的最

tcaacbJ

小值为__________

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意求出M所满足的不等式，再结合基本不等式求解即可.

【详解】由题意可知

caacb

所以有2M2+b,2M»«+c+L+2,因为a>0/>0,c>0

bacbca

所以3+c+°+622G+2］工24,

bacva

当且仅当?="c=L,a=1,即a=b=c=l时取等号，

baca

另外@+C+』+2»4,当且仅当q=2,c=,即a=b,c=l时取等号,

bcabac

综合上述，所以有2M24即MN2,当且仅当a=〃=c=l时取等号.

故答案为：2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加

了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如

下:

甲：93958172808292

乙：858277809486928485

经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.

(1)求甲乙两位同学测试成绩的方差；

(%-1)哦；

(2)为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量々其中々个数据的方

(%-

差为，2,%个数据的方差为S2?，且S；〉S22.若％_2产％则认为两组数据有显著性差异，否则

不能认为两组数据有显著性差异.若心的临界值采用下表中的数据:

'%一1

12345678

T

1161200216225230234237239

218.519.019.219.219.319.319.419.4

310.19.559.289.129.018.948.898.85

47.716.946.596.396.266.166.096.04

56.615.795.416.195.054954.884.82

65.995.144.764.534.394.284.214.15

75.594.744.354.123.973.873.793.73

85.324.464.073.843.693.583.503.44

例如：々3,5)对应的临界值1为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否

有显著性差异.

230

【答案】甲一

（1）S2=~9~

（2）没有显著性差异

【解析】

【分析】（1）根据数据求出两位同学的均值，再结合均值用方差公式求解即可;

（2）根据题意求出々6,8）的近似值，比较々6.8）的临界值即可求解•

【小问1详解】

上—93+95+81+72+80+82+92.—85+82+77+80+94+86+92+84+85

依题意：碣！=-----------------------------=85,x?=-----------------------------------=85，

79

1432

所以，S甲2=-(64+100+16+169+25+9+49)=—,

1230

s乙2=-(0+9+64+25+81+1+49+1+0)=—.

【小问2详解】

22

由于S甲2〉S乙2,则s「=sj=3，%=7,S2=s^=^,“2=9,

e7432

(省-力后8X7X.288

则“广时而T嬴尹二正-50，

9

查表得々6,8）对应的临界值为3.58,则々6,8）*2.5°<3.58,

所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.

16.正项数列｛4｝的前几项和为％等比数列也｝的前几项和为7“，4s〃=4+2%+1,

也=〃+2〃+1

（1）求数列｛%｝,｛2｝的通项公式;

（2）已知数列｛c“｝满足g=2•幺tL求数列｛c“｝的前〃项和乩.

anan+\

【答案】⑴4=2〃-1；2=（-1）n-1

1

J2〃+1，〃为偶数

2

⑵H“=

1

1+2n+l，〃为奇数

2

【解析】

【分析】（1）由0与s〃的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求;

(2)求得g后，讨论〃为奇数或偶数，由数列裂项相消求和，即可得到所求.

【小问1详解】

当〃=1时，4S]=+2%+1,即4%=〃；+2q+1,(q—l^*2=0,

所以为=1,同理4=1.

aa+aa

当〃之2时，an=Sn-Sn_x=^(n-n-l)~(n~n-\)>化简得：

1(«„+an-i)(«»-an-i-2)=0,因为。“〉°，所以a“—q”i=2,

即。“一。“-1=2,故d=2,又q=l,所以

同理,bn+2_1=。或2一2_1=2,

因为｛〃｝是等比数列，所以或+或_】=。，即4=—1,所以

【小问2详解】

,.,../八“-Ia„+1/八2n(―1)(11

由(D知c“二(—l)——=(-1)-------7--------?=~-------+--------

anan+l(2”-1)(2九+1)22n+l

所以当“为奇数时，H“=q+C2+…+G

11+11111

+■■■+-----------------1-------------+----

2352n-32n-l2n-l2n+l

1+京

2

H.=g1-九

同理当”为偶数时,

1

，“为偶数

2n+l

所以““=,

1

1+.，〃为奇数

2

17.如图，在三棱台ABC-43G中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，A^l^ABC,设

平面ABiGi]平面A5C=/,点分别在直线/和直线8片上，且满足跖，/,EF±BBX.

小

（1）证明：E尸工平面BCC]B「

（2）若直线所和平面ABC所成角的正弦值为〜5,求该三棱台的高.

3

【答案】（1）证明见解析

（2）底

【解析】

【分析】（1）根据面面平行的性质定理及线面平行的性质定理可得//ABC,根据线面垂直的判定定理可得

结果；

（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面BCCZ与平面ABC的法向量，利用线面角的向量求法可得结果.

【小问1详解】

证明：由三棱台ABC-AgG知，4。"平面ABC，

因为gGu平面ABC，且平面ABC1平面ABC=/,所以耳C]〃/,

又BQ/BC,所以///BC,

因为跖，/,所以EE工BC,

又EFIBB〉BCBB[=B,且5Cu平面3。£用，3片€=平面5。。1瓦，

所以石产工平面

【小问2详解】

以A为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为人,

则网2,260）,C（-2,2A/3,0）,CB=（4,0,0）,丽=卜1,-6孙

4x=0

设平面3CG用的法向量为〃=（羽y,z）,贝叶，

-x-y/3y+hz=0

令y=3则z=6,所以平面3CC4的一个法向量〃=（0,九退），

易得平面ABC的一个法向量加=（0,0,1）,

设所与平面ABC夹角为。，由(1)知EF〃n，

所以由已知得sin8=|cosm，H=

\m\-\n\，丸2+33

解得a=遥，所以三棱台的高为逐.

18.已知函数/(x)=e*-sinav；

(1)当。=一1时，证明：对任意xe1一巳,+8；/(%)>0；

(2)若x=0是函数/(力的极值点，求实数。的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【解析】

兀

【分析】(1)求导得到函数的单调区间,求出/(力〉/e不-->0结合对数的运算可得结果;

2

⑵求导得到函数的单调区间，可得/(%)在单调递减，在(0,+“)单调递增，满足％=0是/(%)

的极值点，进而求出结果即可.

【小问1详解】

当〃=一1时，/(x)=ex+sinx,/"(x)=ex+cosx,

当X£(0,+oo)时，ex>1>-sinx，则

当xe—巳,0时，cosx>0,eCO,故用或>0,所以/(%)在一单调递增，

因为e<2.8<20，所以enve,vG-所以兀<61n2,

所以弓<ln2,所以/<2,故

综上，对任意工€[-^，+°°)，/(X)>0.

【小问2详解】

XGR,/,(x)=e'-acosat,因为x=0是/(尤)的极值点，

所以/'(0)=1—a=0,即a=l.

当。=1时，/(x)=eA-siax,令g(x)=/，(%)=e*-co&x,则g，(x)=e*+sinx,

由⑴可知，对任意xe，F，+co],g'(x)>0,故g(x)在单调递增，又g(0)=0,

故当时，g(x)<0,gp/(x)<0,当xe(O,+»)时，g(x)>0,即制x)>0,

故/(%)在单调递减，在(0,+e)单调递增，满足x=0是/(%)的极值点，

综上，实数。的值为1.

【点睛】关键点点睛：第二问由极值点求参数可先分析单调性，再由极值点处导数为零求参数即可.

2

19.已知曲线。由半圆£+y2=l(Xw0)和半椭圆]+>2=1(%〉0)组成,点加在半椭圆上，A(-l,0),

5(1,0).

(1)求|上到+|加司的值；

(2)N在曲线C上，若OM工ON(。是原点).

(i)求W〃v|的取值范围；

TT

(ii)如图，点N在半圆上时，将y轴左侧半圆沿y轴折起，使点A到A,使点N到N',且满足/4。3==,

求MN'的最大值.

【答案】⑴\MA\+\MB\=2y/2

(2)(i)(V2,^];(ii)出

【解析】

2

【分析】(1)AB是椭圆]+>2=1的左、右焦点，由椭圆的定义求|舷4|+|加司的值；

(2)(i)OMLON,\MNf=\OMf+\ONf,M,N两点的位置，分类讨论的值，利用换

元法和二次函数的性质可求|〃N|的取值范围；

(ii)过N'作2V为垂直y轴，垂足为E,"NOy=a,把表示为a