复数讲义-2024届高考数学三轮复习冲刺

2024年高考数学三轮冲刺之复数

一.复数的概念及其几何意义

【知识梳理】

1、我们把形如。+初（a,bwR）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数所

构成的集合C={a+4|a,叫做复数集.

2、复数通常用字母z表示，即2=。+初（a,beR）.以后不作特殊说明时，复数

z=a+沅都有a,b^R,其中的。和6分别叫做复数z的实部与虚部.

3、在复数集C={a+bi\a,/?eH}中任取两个数a+初，c+di（a,b,c,

dwR）,我们规定：

a+bi与c+di相等当且仅当a=cS.b=d.

4、对于复数a+沅（a,bGR）,当且仅当6=0时，它是实数；当且仅当a=Z?=0

时，它是实数0；当Z?W0时，它叫做虚数；当a=0且6W0时，它叫做纯虚数.

5、建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚

轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

6、复数z=a+初的模或绝对值，记作|z|或|a+加1,BP|z|=|a+bi|=7«2+b2,其中

a,如果6=0,那么z=a+初是一个实数a,它的模就等于|a|（a的绝对值）.

【针对性训练】

1.在下列四个复数中，实部大于虚部的是（）

A.-4-3zB.2+2zC.2zD.3+2;

2.已知复数z=4-5i,若复数z「Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则公等于（

）

A.-4-5iB.4+5zC.-4+5zD.4-5z

3.已知a,beR,(3a—3)—(4b—5)i=6—7i,贝！||疯z+沅|=（)

A.6B.5C.4A/2D.721

4.下列命题为真命题的是（）

A.形如a+6zQeR）的数一定是虚数

B.若z「Z2互为共朝复数，贝1匕|=匕|

C.在复平面中，虚轴上的点对应的复数不一定是纯虚数

D.若复数z=（m+l）+（疗-9）i<0（根eR）,则实数m=一3

5.若复数cosO+isin，和sinJ+icos，相等，则。的值为（）

A.-B.工或包C.2k7r+-（k^Z）D.k7r+-（k&Z）

44444

6.若复数（储-。-2）+（|°-1|-1）山€尺）不是纯虚数，则4的取值范围是（）

A.a#—1或。片2B.aH—1且。片2C.。片一1D.a手2

7.如果（苏一1）+（苏_2%»>1,则实数的值为.

8.已知0<a<2,复数z=a+i（z•是虚数单位），贝U|z|的取值范围是（）

A.Q,®B.（1,6C.（1,3）D.（1,5）

9.设。为原点，向量04,03对应的复数分别为2+3,，-3-22,那么向量54对应的复

数为（）

A.-1+zB.1-zC.—5—5，D.5+5，

10.已知复数z对应的向量为0Z（。为坐标原点），0Z与实轴正向的夹角为120。，且复数

Z的模为2,则复数2为（）

A.1+/B.2C.（-1,aD.-1+73/

二.复数的四则运算

【知识梳理】

1、一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轨复

数.虚部不等于。的两个共钝复数也叫共辗虚数.复数Z的共辗复数I用表示，即如果

z=a+bi,么z=a一4.

2、两个复数相加，类似于两个多项式相加.设Z]=a+Z?，，z2-c+di(a,b,c,

dwR)是任意两个复数，那么它们的和(a+应)+(c+力)=(a+c)+(b+d)i.

3、对于任意2],z2,z3eC,有

Zj+22=Zj+Zj,(Zj+Z)+Zj=Z]+

2(z2+z3).

4、两个复数相减，类似于两个多项式相减.设Zi=a+A,z2=c+di(a,b,c,

dwR)是任意两个复数，那么它们的和(a+应)—(c+力)=(a—c)+g—2)i.

5、两个复数相乘，类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把『换成-1,并且把实

部和虚部分别合并即可.设4=。+初，z2=c+di(a,b,c,dwR)是任意两个

复数，那么它们的积

(〃+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i

6、复数的除法法则是：(a+次)+(c+成)=与当+"二，(a,b,c,deH且

c+dc+d

c+成wO).在进行复数运算时，通常先把(a+次)+(c+㈤写成”"的形式，再把

c+di

分子与分母都乘分母的共辗复数c-龙，化简后就可得到上面的结果.这里分子分母都

乘分母的“实数化因式”(共辗复数)，从而使分母“实数化”.

7、在复数范围内，实系数一元二次方程G2+云+。=0(awO)的求根公式为:

⑴当屋。时，》—4讹；

2a

⑵当A<0时，-W-4叫

2a

8、(选学)一般地，任何一个复数2=。+方都可以表示成r(cos6»+，sin。)的形式，简

称三角形式.

【针对性训练】

11.已知Z1,z2eC,|Z1+z21=272,|z"=2,|z21=2,则|z「Zzl等于()

A.1B.-C.2D.20

2

12.复数4=4+4*Z2=-3+W,若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a,6的值为

()

A.a=-3fb=—4B.a=—3,Z?=4C.a=3,Z?=TD.a=3,Z?=4

13.己知复数x满足z(i-2)=3+2进为虚数单位)则复数z在复平面中对应的点位于(

)

A.第一象限B.第二象限c.第三象限D.第四象限

14.若复数x满足士二=二则|zb(

)

l+2z

r

i「回D.妪

A.-B.72

555

15.已知复数Z1,Z2在复平面中对应的点分别为(-3,5),(-1,-7),则Z1+Z2=

16.若复数z=0的实部与虚部相等，则实数。=

3+ai

17.已知复数z=(a+i)2,。=4一3i,其中。是实数.

(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限，求a的取值范围;

(2)若a=2，求三.

co

18.若z=4+3力，则二等于（）

|z|

「43.4_3

A.1B.-1C.—l—iD.

555-5

19.—=()

1+z

A.1+2ZB.l-2zC.2+iD.2-i

20.复数2

：（i为虚数单位）的共辆复数是（)

l-l

A.1+zB.1-zC.-1+zD.-l-i

2024年高考数学三轮冲刺之复数

参考答案与试题解析

复数的概念及其几何意义

1.在下列四个复数中，实部大于虚部的是（）

A.-4-3zB.2+2zC.2zD.3+2z

【答案】D

【考点】虚数单位，、复数；复数的运算

【专题】数学运算；方程思想；数系的扩充和复数；定义法

【分析】利用复数的定义直接求解.

【解答】解：对于A,T-3z•的实部为T,虚部为-3,实部小于虚部，故A错误；

对于8,2+2,中，实部为2,虚部为2,实部等于虚部，故8错误；

对于C,2i中，实部为0,虚部为2.实数小于虚部，故C错误；

对于。，3+2,中，实部为3,虚部为2,实部大于虚部，故。正确.

故选：D.

【点评】本题考查复数的实部和虚部等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.已知复数4=4-57,若复数z「Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则石等于（

）

A.-4-5zB.4+5zC.-4+5zD.4-5z

【答案】A

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算；共轨复数

【专题】综合法；数学运算；转化思想；数系的扩充和复数

【分析】利用z「为在复平面内对应的点关于虚轴对称，得Zz=T+5i,进而求解结论.

【解答】解：因为复数4=4+5/，且z「4在复平面内对应的点关于虚轴对称，

则Z,=-4+5i,故Z[=—4—5/,

故选：A.

【点评】本题考查复数运算相关知识，属于基础题.

3.已知a,bwR,(3a-3)-(4Z>-5)z=6-7z,贝!||+历.|=()

A.6B.5C.472D.回

【答案】A

【考点】复数的模

【专题】定义法；数系的扩充和复数；方程思想；数学运算

【分析】由复数相等的条件列式求得。与6的值，再由复数模的计算公式求解.

【解答】解：由（3a-3）-（46-5»=6-7乙

3。一3=6

得即。=3,6=3.

4b—5=7

6a+4|=|3百+3z|=7（3A/3）2+32=6.

故选：A.

【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题.

4.下列命题为真命题的是（）

A.形如a+40eR）的数一定是虚数

B.若z-z?互为共轨复数，则匕Rzj

C.在复平面中，虚轴上的点对应的复数不一定是纯虚数

D.若复数z=（/"+l）+0〃2-9）i<0（〃?eR）,则实数m=一3

【答案】BCD

【考点】复数的模；虚数单位，、复数

【专题】对应思想；数系的扩充和复数；定义法；数学运算

【分析】利用虚数的定义判断A;利用共辗复数的定义、复数的模判断3；对于C,利用

虚轴上的点对应的复数判断C；由复数的定义和性质判断D.

【解答】解：对于A,当b=0时，。+加不是虚数，故A错误；

对于若Z],z?互为共辗复数，设Z[=a+6i,贝!|z2=a-6i,

22

则|Zj|=|z2|=>Ja+b,故B正确；

对于C,在复平面中，虚轴上的点对应的复数不一定是纯虚数，有可能是0,故C正确；

对于D,若复数z=(m+l)+(疗—9)力＜0(meR),

则解得实数相=—3,故。正确.

\m-9=0

故选：BCD.

【点评】本题考查复数、共轨复数、复数的模、虚轴上的点等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

5.若复数cose+isin。和sinO+icos。相等，则6的值为()

A.-B.工或2C.2Qr+至伏eZ)D.力r+出伏eZ)

4444'4

【考点】加：虚数单位，、复数

【专题】5N：数系的扩充和复数

【分析】直接由实部等于实部，虚部等于虚部得到sin。=cos。，由此可得。的值.

【解答】解：，复数cos6+isine和sinO+icos，相等，

TT

...sin，=cos。，贝！|。=左乃H——，k&Z.

4

故选：D.

【点评】本题考查复数相等的条件，考查了三角函数的求值，是基础题.

6.若复数(I—。-2)+(|。-ll-l)i(aeR)不是纯虚数,则"的取值范围是()

A.。关一1或。片2B.aw—1且a#2C.。关一1D.a+2

【答案】C

【考点】复数的代数表示法及其几何意义

【专题】计算题

【分析】首先做出复数是纯虚数时的。的值，即使得复数的实部为0,虚部不为0,得到。的

值，当复数不是纯虚数时，只要使。不等于前面做出的。的值即可.

【解答】解：,当复数-2)+(|°-1|-1»是纯虚数，

。—2=0且|a—11-1力0

..a=2,ci——1,且awO,

/.CL——19

复数("-a-2)+(|a-l]J-l)z(aeR)不是纯虚数时，a关一1,

故选：C.

【点评】本题考查复数的概念，考查一个复数不是纯虚数，这种题目要求并不多见，但本题

是一个基础题，解题时细节较多，注意运算不要出错.

7.如果（疗-1）+（苏-2%），>1,则实数%的值为2.

【考点】虚数单位，、复数

【专题】计算题；综合法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】由（加？+-2根）i>l得（〃z2-1）+（m2-2机）i为实数，可解决此题.

2

［解答］解：由（m-1）+（77?-2in）i>1得（疗-1）+（疗_2m）i为实数，

2

...由m—1>1且JTT—2m=0,解得=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查复数运算，考查数学运算能力，属于基础题.

8.已知0<a<2,复数z=a+i（z•是虚数单位），则|z|的取值范围是（）

A.（1,A/3）B.（1,屿C.（1,3）D.（1,5）

【答案】B

【考点】复数的模

【专题】数系的扩充和复数

【分析】直接由复数模的公式写出|z|=7777,再由0<a<2求得1<4+1<5,则答案可

求.

【解答】解：「复数z=a+i,则|z|=J?TT,

由0v〃v2,得1<〃2+I<5,

.­.IZ|e（1,后）.

故选：B.

【点评】本题考查了复数模的求法，考查了函数的值域，是基础的计算题.

9.设。为原点，向量OA,08对应的复数分别为2+3,，-3-2?,那么向量对应的复

数为（）

A.-1+zB.1-zC.-5-5zD.5+5z

【答案】D

【考点】复数的代数表示法及其几何意义

【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】利用向量的减法运算求得BA的坐标，进一步求出向量助对应的复数即可.

【解答】解：由题意，。4=(2,3),。8=(-3,-2),

则8A=OA?OB=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),

向量BA对应的复数为5+5i,

故选：D.

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题.

10.已知复数z对应的向量为OZ(。为坐标原点)，OZ与实轴正向的夹角为120。，且复数

Z的模为2,则复数2为()

A.1+A/3ZB.2C.(-1,>/3)D.-1+育

【答案】D

【考点】复数的模

【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】设复数z对应的点为(尤,y),求解直角三角形可得x,y值，则z可求.

【解答】解：设复数z对应的点为(x,y),

则x=|z|cosl2()o=2><(-g)=-l,y=|z|sinl20o=2x^=V3,

复数z对应的点为(一1,百)，贝|2=-1+若，.

故选：D.

【点评】本题考查复数的模，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

二.复数的四则运算

11.已知Z|,z2eC,|z,+z21=2>/2,|zj=2,|z21=2,则匕-z2|等于()

A.1B.-C.2D.20

2

【答案】D

【考点】复数的模

【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】设4=Q+初，z2=c+di(a,b,c,deR),由已知歹U式求得片+/=4,

c2+J2=4,ac+bd=0,再由复数模的计算公式求I%-z?I.

【解答】解：设Z]=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),

则Z1+z2=(a+c)+g+d)i,

22

若|z"=2,|z21=2,则4+52=4,C+CZ=4,

又由IZ[+z?|=2A/2,则(a+c)2+(Jb+=a2+b1+c1+d2+2(ac+bd)=8,

则有ac+bd=0,

Z1-z2=(a—c)+S-d)i,

2222222

IZ]-z21=(a-c)+3-d)=a+b+c+d-2(ac+hd)=8.

.'.IZj-z21=2A/2.

故选：D.

【点评】本题考查复数模的求法，考查运算求解能力，是中档题.

12.复数4=。+今，z2=-3+bi,若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a,6的值为

()

A.a=-3,b——4B.a=-3,6=4C.a=3,b——4D.a=3,b—4

【答案】A

【考点】虚数单位i、复数

【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】利用复数的加减运算，结合实数以及纯虚数的定义，列式求解即可.

【解答】解：因为复数z=a+4i,z2=-3+bi,它们的和为实数，差为纯虚数，

所以4+++(-3+瓦)=0一3+(4+6»为实数，则》=~4,

。+期一(一3+山)=。+3+(4—6»为纯虚数，所以。+3=0且4—6x0,故a=-3.

故选：A.

【点评】本题考查了复数的运算，实数以及纯虚数的定义，考查了运算能力，属于基础题.

13.已知复数x满足z(i-2)=3+2i(z•为虚数单位)，则复数z在复平面中对应的点位于(

)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算

【专题】数学运算；综合法；对应思想；数系的扩充和复数

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

阳3+2i(3+20(-2-z)-6-3z-4/+247.

【解答】解:由z(，-2)=3+2i,付z=-----=--------------=--------------=-------1

-2+i(-2+ZX-2-0555

复数Z在复平面中对应的点的坐标为，位于第三象限.

故选：C.

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础

题.

14.若复数X满足上三=7•，则|z|=()

1+2z

A.ZB.四C.MD.亚

555

【答案】B

【考点】复数的运算；复数的模

【专题】数系的扩充和复数；转化思想；计算题；数学运算；综合法

【分析】利用方程可得z=(-可求|z|.

【解答】解：-——=if.e.3—z=/+2iz,

l+2z

3-z_(3-0(l-2/)3-2-Z-6Z17.

.*.(2z+l)z=3-z,-----------=-----1

1+2Z-12-(2Z)2555

”3

•••Iz|=

故选：B.

【点评】本题考查复数的运算，属基础题.

15.已知复数4，Z2在复平面中对应的点分别为(-3,5),(-1,-7),则4+Z2=

-4-2z_.

【答案】-4-2z.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算

【专题】转化思想；数系的扩充和复数；数学运算；转化法

【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解.

【解答】解：复数z-z?在复平面中对应的点分别为(-3,5),(-1,-7),

贝！Jz「=-3+5i,z2=-l-7z,

故Z]+Z2=-3+5，+(-l—7i)=7—2i.

故答案为：-4—2/.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题.

16.若复数z=l±"的实部与虚部相等，则实数〃=2.

3+ai

【答案】2.

【考点】复数的运算

【专题】转化法；方程思想；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，由实部和虚部相等，列方程求解.

l+5i_(1+5力(3-出)3+5。15-tz.

【解答】解:------1------1

3+ai(3+oi)(3-ai)9+a9+a

复数的实部与虚部相等'

3+5。15—a

解得a=2.

9+a9+Q

故答案为：2.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，属于基础题.

17.已知复数z=(a+i)2,0=4-33其中a是实数.

(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限，求a的取值范围；

(2)若a=2,求二.

(D

【答案】(1)(L+oo);(2)i.

【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义

【专题】数学运算；定义法；方程思想；数系的扩充和复数

【分析】(1)先由复数的乘方求得z="_i+2由，再由解出。的范围即可;