河北省2023-2024学年高三第三次质量检测数学试题(含答案)

郑口中学2023〜2024学年度高三第三次质量检测

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

L答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指

定位置。

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区

域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;

字体工整，笔迹清楚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数与基本初等函

数，一元函数的导数及其应用，数列，概率与统计，三角函数与解三角形，平面向量和复数，

立体几何。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|2xN3—x},8==2必卜则'(A5)=()

-℃,2)D.(2,+<»)

7

2.复数z=—.—i(l—i)的模为(

B.y/2D.6

3.对于实数mb,c,下列说法正确的是(

22

A.若a〉■b,则一<一B.若则ac>be

ab

ab

C.若。>0>b,则D.若c>a>。，则---->-----

c-ac-b

4.己知是R上的奇函数，则函数g(x)=/(x+l)—2的图象恒过点(

A.(l,-2)B.(l,2)C.(-l,2)D.(-l,-2)

5,已知4(1,2,1),3(0,1,2),C(3,l,l),若平面ABC的一个法向量为”=(羽以1),则〃=()

1

6.如图，在平行四边形A3CD中，。为对角线的交点,E为A£）的中点，/为CO的中点，若ER=xOC+y。。，

贝ij九-2y=()

7.生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如

图所示的正四棱锥S-ABCD，其所有棱长都为6,且AC,BD交于点、O,点E在线段SC上，且CE=%。，

3

则△S4O的重心G到直线0E的距离为（）

27354^/35

D.-----

55

8.已知函数〃x）=sin8-1（0〉0）在0噂上单调递增,在工崂上单调递减,将函数八》）的

图象向左平移90<°<］个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）为偶函数，则°=（）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，公差为d,%=%—4,跖=154,则（）

A.d=—2B.a】=30

C.-320是数列｛4｝中的项D.Sn取得最大值时，〃=14

10.给出下列命题，其中正确的命题是（）

A.若空间向量a,Z?满足|。|=蚓，则a=b

2

B.空间任意两个单位向量必相等

C.在正方体ABCD-中，必有BD=BR

D.向量a=（1,1,0）的模为J5

11.如图，已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为2,AB,CD分别为上、下底面的直径，AC,

8。为圆台的母线，E为弧的中点，则（）

A.圆台的侧面积为6兀

7T

B.直线AC与下底面所成的角的大小为-

3

C.圆台的体积为百

JT

D.异面直线AC和DE所成的角的大小为一

4

12.已知函数/（x）=xlnx-at+l,则（）

A.当a=0时，函数/（X）的最小值为1—工

B.当a=l时，函数的极大值点为尤=1

C.存在实数a使得函数/（%）在定义域上单调递增

D.若0恒成立，则实数a的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=（1，—3）,/?=（m-2,l）-若卜+征卜•+囚，贝i]〃z=.

14.一组样本数据为1,a,4,5,b,8,若a,6是方程,-3|=1的两根，则这个样本的方差是.

15.已知向量a=（3,—2,1）,b=（―1,3,—2）,c=（3,5,X）,若a,b,c三个向量2=共面，则2=.

16.如图，在四棱锥尸―ABCD中，底面A3CD为矩形，PC,平面A3CD,AB=4,PC=BC=3,E,

F,G分别为AO,AB,PC的中点，点“在棱PC上，且5H〃平面跳G,则三棱锥H—A5D的外接球

的表面积为.

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.(本小题满分10分)

在ZSABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a-c)(a+c)sinC=c(b-c)sinB.

(1)求A；

(2)若△ABC的面积为6,sinBsinC=—,求a的值.

4

18.(本小题满分12分)

在前”项和为S”的等比数列｛4｝中，4=2,S3=3%+2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记2=2log,an-l,将数列｛4｝和数列｛〃｝的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列｛c,J,

求数列｛%｝的前50项的和.

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥尸-A5co中，平面A3CD,底面A3CD是平行四边形，且△A5D是等边三角形,

AB=2.

(1)求证：平面PAC；

(2)若△上钻是等腰三角形，求异面直线PB与AC所成角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学

生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30),[30,40),•••,[80,90],并整理得到频率分布直方图如图所

示.

4

(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；

(2)估计测评成绩的第75%分位数；

(3)已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样

本中分数小于40的学生中随机抽取一人，贝广抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否

独立?请证明你的结论.

21.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥尸―ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC//AD,ABLBC,平面K45,平面ABCD,

PA=PB,AP±BP,BA=2,BC=1,AD=3,PE=2PD(0<2<1).

(1)若CE〃平面求;l的值；

(2)若2求平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值.

2

22.(本小题满分12分)

已知函数/"(X)=—x—oln(x+l).

(1)讨论函数“X)的单调性；

(2)当。>0时，若机为函数的正零点，证明：m>2y/a+l.

郑口中学2023〜2024学年度高三第三次质量检测.数学

参考答案、提示及评分细则

5

1.A由A={%|xNl},5=1x|x>2|,有5=[l,+oo),可得々(A3)=(^o,l).

2.B由2=2i—i—1=—1+i,有忖=V5.

3.C若a=0或》=0,1或,显然无意义.故A选项错误；

ab

若c=0,则ac2=be?.故B选项错误；

因为a>0>Z?,所以各项同时乘以。得/>。>次?.故C正确；

若c=0,则a=一1=b.故D错误.故选C.

c-ac-b

4.D由〃0)=0,有g(—=1+1)—2=—2,可知函数g(x)的图象恒过定点(-1,-2).

5.CAB=(-1,-1,1),AC=(2,-1,0),所以〃43=0,n-AC=Q,即—x—y+l=0,2=0,解

得x=，，y=—»所以〃二(，,2,i],故选c.

33(33J

6.B连接O石，

有所=O9—OE=工OC—工(04+。。)=工OC+工OC—J。£>=OC—』0。，

22、'2222

有无=1,y=——,可得x—2y=2.

因为棱长都为6,则。L=30,SO=36,

由题意知G(0,—2,J勾,网—2,2,⑹，

6

则G到直线0E距离d=joGj—」谓石=/6—［焉［=胃5.故选已

8.D由题意有石■力一,二2左兀+5(左£Z),可得力=--—\~2(左£Z),

又由丁二2卫兀＞5卫71，有0＜刃＜12匕，可得当左=0时，S=2,

co65

可得/(x)=sin12x_；),g(x)=sin2(\兀sin12%+2夕一三

X+(P)~~

又由一百＜20一百〈女，有2夕一色=殳

33332

57T

解得9=3.

12

9.AC由2d=%—%——4,可得d=—2,

又由S7=7("+%)=7%=154,可得q=22,

可得=%—3d-22—3x(—2)=28,

有。〃=28-2(〃-1)=30-2〃，

令30—2〃=—320,解得〃=175,

令可得〃＜15,故S〃中岳4，S15最大，故选AC.

10.CD两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以忖=忖不能得到。=6,A错误；

空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误，

BD

正方体A3CD—4与。1。中，^的方向相同，长度相等，故故C正确;

向量a=(1,1,0)的模为+仔+o=后,故D正确.故选CD.

1LABD过点C作CHJ_A3,取AB的中点。，

连接OE,OD,AH=1,

圆台的高CH=j22—(2—I)?=#),

圆台的侧面积为兀x(l+2)x2=6兀，

圆台的体积为:兀xGx(F+1x2+2?)=半兀，

7

「JT

又由tanNC4H=J=6,可得NC4H=乌，可得AC与下底面所成的角为色.

AH33

又由AC〃OD,平面A3DC,可得异面直线AC和£史所成的角为NODE,

TT

在加△ODE中，OE=2,OD=2,可得NO£>E=—,

4

TT

故异面直线AC和。£所成的角为一.故选ABD.

4

12.ADfr^x)=lnx+l—a.

对于A选项，当a=0时，f(x)=lnx+l,令/>'(x)>0有x〉：，可得函数/(x)的减区间为,增

1

区间为1,+°°，可得=/=1--,故A选项正确;

ee

对于B选项，当a=l时，f'(x)=lnx,令/''(x)=0,可得x=l,可知x=l是〃尤)的极小值点，B选项

错误；

对于C选项，由/''(x)eR,故不存在实数。使得函数了(%)单调递增，故C选项错误；

对于D选项，令/'(x)>0有x>e〃T,可得函数了(力的减区间为(0,e°T),增区间为(e-y),可得

ala11

f(x)mm=f(e)=(a-l)e^-ae^+1=1-e^,若/(无)N0恒成立，有l—e"T»0,可得a<l,故D

选项正确.故选AD.

13.-10由a+Z?=(m—l,—2),2a+b=(m,-5),有-I)?+(-2)2=疗+(-5)~,解得加=—10.

14.5|%-3|=1,解得x=2或4,不妨设a=2,b=4,则样本平均数是4,根据方差公式得

(1—41+(2—4+(4—钎+(4-钎+(5—4)2+(8—钎

s2—-----------------------------------------------------二5.

6

15.-4因为〃，b,c三向量共面，

所以可设。=加。+九匕，

即(3,5,2)=m(3,—2,1)+〃(一1,3,-2)=(3m—n,—2m+3n,m—2〃)，

8

3m-n=3,

所以<—2"z+3〃=5,解得=2,n=3,A=—4.

m-In=2,

16.26兀如图，

延长CB和昉相交于点N,

连接NG,过B作BH〃NG,

由AE=A®,可得BC=2NB,

又由BH〃NG,可得CH=2GH,

223

又由CP=3,可得C"=—CG=—x'=l.

332

取3。的中点。，记三棱锥H-A6D的外接球的球心为。，半径为K,连接OQ,OH,

又由AB=4,BC=3,有BD=5,BQ=g有R2=oQ2+[g],

22

可得R2=QQ2+上，7?=(c>e-l)+—，解得0Q=_，R=—,

~4v7422

13

故三棱锥H-ABD的外接球的表面积为4兀尺29=4兀x—=26兀.

2

17.解：(1)由正弦定理，Wc(a-c)(6z+c)=Z?c(Z?-c),

可化为。=b+c-be,

b2+c2-a2b1+C1-[b1+c'2-be)_1

有cosA=----------=---------------9

2bc2bc2

TT

又由0vA<7i,可得A=—；

3

(2)由△至。的面积为g,有L/?csin

—=A/3,可得Z?c=4,

23

,bea.4a1

又由----------二—=，有丁=------；r，可得〃=2g.

sinBsinCsin2A£(石、

4V

9

18.解：⑴设数列｛4｝的公比为q,

由§3=3。2+2，有q—2a?+。3=2，有4(l—2q+/)=2,

又由6=2,有l-2q+q2=l,解得q=2或q=0(舍去)，

可得q=2x2n-1=2",

故数列｛«„｝的通项公式为an=2n；

(2)由(1)有么=21(^2"—1=2〃—1,

又由q=2,%=4，%=8,a4—16,a5—32,a6—64,%=128,

可得数列｛%｝的前50项和为

2X(1-26)44X(1+87)

q+1?2+%+'—Fg+4+%+,—I-。44=-------------1-----------------=2062.

1—22

19.(1)证明：因为底面A3CD是平行四边形，且AA血是等边三角形，

所以四边形A3CD是菱形，则有3。，AC,

又K4_L平面ABCD,5£>u平面ABCD,

所以9，班),

又R4AC=A,B4u平面PAC,ACu平面尸AC,

所以，平面PAC；

(2)解：设ACBD=O,

•.•△上45是等腰三角形，，/%=43=2,AO=OC=6,

以。为坐标原点，射线。3,0c分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系。-孙z,

如图，

则P(0,—6,2),A(0,-V3,0),3(1,0,0),C(0,73,0),

所以P3=(l,6,—2),AC=(0,273,0),

10

设？8与AC所成角为氏

\PB-AC\

所以cos8=y_n~j

|1XO+V3X2V3+(-2)XO|6_V6

^12+(73)2+(-2)2x^O2+(273)2+022A/2X2A/3-4

即—所成角的余弦值为当

20.解：（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：（0.02+0.04+0.02）xl0=0.8,

则分数小于60的频率为：1-0.8=02

故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.2；

（2）由频率分布直方图易得分数小于70的频率为0.4,分数小于80的频率为0.8,

则测评成绩的第75%分位数落在区间[70,80）上,

所以测评成绩的第75%分位数为70+10、些=78.75；

0.4

（3）依题意，记事件A="抽到的学生分数小于30”，事件5="抽到的学生是男生”,

3

P（B）=号，因为分数小于40的学生有5人，其中3名男生；所以“抽到的学生是男生”的概率为P（B）=],

?

因为分数小于30的学生有2人，其中1名男生，所以“抽到的学生分数小于30”的概率为P（A）=g,

因为事件AB表示“抽到的学生分数小于30且为男生”，满足条件的只有1名男生，所以P（A8）=；,

因为P（A）P（B）丰P（AB）,所以这两个事件不相互独立.

21.解：（1）如图，过点E作的平行线，与AP相交于点尸，

•：EF//AD,BC//AD,：.EF//BC,

'：EF//BC,：.B,C,E,尸四点共面，

〃平面平面平面？46=5/，CEu平面BCEF,ACE//BF,

VCE//BF,所〃3C,.•.四边形3CEF为平行四边形，

:四边形5CEF为平行四边形，EF=3C=1,

PFFF

•：EF//BC,：.——二——，

PDAD

11

(2)如图，取AB的中点O,CD的中点T,连接。P,OT,

VPA=PB,APA.BP,BA=2,：.OPLAB,OA=OB=OP=1,

•.•平面PLB,平面ABCD,平面ABCD平面ABCD=AB,OP上AB,0「匚平面2钻，，0尸，平面

ABCD,

VOA=OB,CT=TD,BC//AD,：.OT//BC,

•：OT//BC,BCLAB,：.OTLAB,

由。8,OT,OP两两垂直，以。为坐标原点，向量。8,OT,0P方向分别为尤，y,z轴的正方向建立

如图所示的空间直角坐标系，

可得0(0,0,。)，3(1,0,0)，A(-l,0,0),c(l,l,o),0(—1,3,0),尸(0,0,1)，£L

设平面PCD的法向量为7〃=(x,y,z),由CD=(—2,2,0),CP=(-1,-1,1),

CD-m=-2x+2y=0,

有《

CP•加=-x-y+2=0,

取x=l,y=l,z=2,可得初=(1,1,2),

由()

设平面ABE的法向量为〃=(a,b,c),AB=2,0,0,AE=j,

AB-n=2a=0,

13…13)

有《131取a=0,c---可得〃=|0,--,-,

AE,n——ciH—bH—c—0,2I22

222

5

半