安徽省A10联盟2024届高三最后一卷（三模）数学试题

安徽省A10联盟2024届高三最后一卷（三模）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.样本数据：1,3,5,1,9,5,6,11,8的60%分位数是（）

A.5B.5.5C.6D.7

2.已知集合4={0,1,2,3,4},3=卜€^^©可，则AcB的子集的个数为（）

A.16B.8C.4D.2

3.已知数歹!的前w项和S“满足S"="+〃,贝|J%=（）

A.272B.152C.68D.38

4.已知函数/（x）=I。g2（x+^/77I）,则对任意实数々/,“a+6W0”是“fm）+/（6）W0”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件

2

5.己知尤>0,y>0,且2无+y=l,则二±£的最小值为（）

xy

A.4B.4忘C.45/2+1D.272+1

6.某年级在元旦活动中要安排6个节目的表演顺序，其中有3个不同的歌唱节目和3个不

同的舞蹈节目，要求第一个和最后一个都必须安排舞蹈节目，且不能连续安排3个歌唱节目，

则不同的安排方法有（）

A.144种B.72种C.36种D.24种

7.过双曲线=的下焦点下作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐近线

ab

相交于两点，若行=2fM,则C的离心率为（）

A.空B.上C.2也D.3

3

8.已知〃=eA3,Z?=ln（e7i—2e）,c=7i-2,贝ij（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

二、多选题

9.已知向量〃=(1,2),〃—/?=(3,1),贝！J()

A./?=(—2,1)B.a//b

C.a-LbD.〃一办在〃上的投影向量为〃

10.已知函数/(x)=|sinx|-73cos尤,则()

A.是偶函数B.的最小正周期是兀

C.的值域为卜石,2]D./(x)在［-兀上单调递增

11.在棱长为2的正方体ABC。-AAGA中，点石为棱。。的中点，点厂是正方形CD2G内

一动点(包括边界)，则()

A.三棱锥3-4出厂的体积为定值

B.若用尸//平面ABE,则点尸的轨迹长度是四

C.当点。在直线BG上运动时，AQ+QC的最小值是26

D.若点尸是棱G2的中点，则平面AB尸截正方体所得截面的周长为20+26+2

三、填空题

12.若复数z满足i(z-l)=2,则八.

13.在一ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足a=6,

sini_ccq

(a+c)(sinA+sinC)=Z?sinB+3csinA,----=-------,贝|,ABC的面积是___________.

sinBcosB

14.已知曲线G：(x-2)2+(y+l)2=5与曲线C?:y=x2在第一象限交于点A,记两条曲线在

点A处的切线的倾斜角分别为名£(&<£),贝Ijtan(力-□)=.

四、解答题

15.甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初

始积分均为60分，两人答题相互独立.已知甲答对每题的概率均为。，乙答对每题的概率

试卷第2页，共4页

Qi

均为q(O<p<q<l),且某道题两人都答对的概率为木，都答错的概率为不

(1)求。，4的值；

(2)乙回答3题后，记乙的积分为X,求X的分布列和期望E(X).

16.如图，在四棱锥中，底面A3CD为直角梯形，ABLAD,AD//BC,平面

平面ABC2E为尸。上一点，S.PB=AB=AD^2,BC^4.

(1)若一脸是直角三角形，求证：CD工BE；

⑵若NP8A为锐角，且四棱锥P-ABCD的体积为2世，求平面P4B与平面PCD夹角的余

弦值.

17.已知椭圆C:]+y'l的右焦点为凡C在点P(x°,%)(%xO)处的切线/分别交直线》=1

和直线x=2于两点.

⑴求证：直线x°x+2%y-2=0与C相切；

\MF\

⑵探究：焉是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

18.已知函数/(无)=碇*-e-*-(a+l)x,a>。.

⑴求证：/(丈)至多只有一个零点；

(2)当0<a<l时，小％分别为了(X)的极大值点和极小值点，若〃%)+必伍)>0成立，求实

数左的取值范围.

19.特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法.一般地，若数列｛〃"｝满

足为+2=她+1仅。20万+4c>0),q=s,a2=t,则数列｛。,｝的通项公式可按以下步骤求

解：①。“+2=儿同+外,对应的特征方程为无2=bx+c,该方程有两个不等实数根&,夕；②令

nn

an=A-a+B-/3,其中A,B为常数,利用4=$,4=»求出4B,可得｛%｝的通项公式.已

知数列也｝满足bn+2=bn+l+2,4=1也=3.

⑴求数列｛2｝的通项公式；

(2)求满足不等式(3+班)”+(3-百)”>2024的最小整数n的值；

]n+1

(3)记数列也｝的所有项构成的集合为求证：都不是M的元素.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.

【详解】样本数据按照从小到大的顺序为1,1,3,5,5,6,8,9,11,

因为60%x9=5.4,

所以样本数据的60%分位数是第6个数，为6.

故选：C.

2.B

【分析】利用交集定义与子集个数与元素个数的关系计算即可得.

【详解】由4={0,1,2,3,4},3=卜€1^]€1^,可得A3={0,2,4},

则AcB的子集的个数为23=8.

故选：B.

3.B

【分析】借助数列前"项和性质计算即可得.

【详解】==(43+4)-(33+3)=68-30=38,

贝I]%=38x4=152.

故选：B.

4.C

【分析】根据/(x)的解析式判断出了(%)在R上是奇函数、增函数，然后可以判断出答案.

【详解】/(X)的定义域为R,且在R上是增函数,

因为J(-X)=log2

所以=所以f(x)是奇函数,

所以由a+bVO可得6,所以/⑷"(询=-/伍)，所以/3)+/S)40,

反之，由〃。)+/(6)<0得/⑷<-/(»=/(—>),所以aW—A,a+b<0.

所以“a+6<0”是"⑷+于(b)40”的充要条件,

答案第1页，共14页

故选：c.

5.D

【分析】由2x+y=l,可得工±1=1+)+三，再利用基本不等式计算即可得.

xyxy

【详解】4=，］_=2+2=1+2+生21+2,^=2五+1,

xyxyxyxyxy

当且仅当上=2，即丫=应-1,尤=1-比时，等号成立.

xy2

故选：D.

6.B

【分析】先排第一及最后一个节目，再排歌唱节目，最后用插空法计算即可得.

【详解】先从3个不同的舞蹈节目选出2个分别安排在第一及最后一个，有A；种,

再将3个不同的歌唱节目排成一列，有A；种,

3个不同的歌唱节目中间有2个空，从中选1个安排最后一个节目，有C；种,

故共有A；A；C；=6x6x2=72.

故选：B.

7.A

【分析】过点尸作另一条渐近线的垂线E0'于借助双曲线的对称性计算可得即可

0

得离心率.

【详解】过点尸作另一条渐近线的垂线列，于由对称性可得|根|=|引01,

由NF=2FM，则有|NF|=2|W|,则g

6

Z.NOM=—,故NNO_F=工，故—=tan|-------|=tan—=y[3,

36b<26J3

即e―=、唐J+产■友.

a\a2V3J3

故选：A.

答案第2页，共14页

8.A

【分析】构造函数/(x)=e'T-x,利用导数求取单调性可得。、c之间大小关系，构造函数

g(x)=lnx-x+1,利用导数求取单调性可得6、c之间大小关系，即可得解.

【详解】由。=0鹏力=111(颂—2e),

即a=,£>=In(ere—2e)=In(7r—2)+1,

令y(x)=ex-'-x(x>l),

则f(x)=八一1>0在(1,+8)上恒成立,

故〃x)在(1,+8)上单调递增，

则有/(兀_2)=/-2户一(兀一2)>/⑴=0,即a>c,

令g(x)=lnx-x+l(x>l),

11_

则g'(x)=上-1=」r<0在(1,+⑹上恒成立，

XX

故g(x)在(1,+8)上单调递减，

贝I有g(?r—2)=ln(兀-2)+1-(兀-2)<g(l)=0,即Z?<c,

t^b<c<a.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数/(x)=e'T-x、g(x)=lnx-x+1,以比

较a、c与6、c之间大小关系.

9.ACD

【分析】由向量的线性运算、平行以及垂直的坐标表示可判断ABC,由投影向量的定义可

判断D.

答案第3页，共14页

【详解】对于A,=o-(fl-=(1,2)-(3,1)=(-2,1),故A正确;

对于BC,由于1*1-2*(-2)=5-0,lx(-2)+2x(-l)=0,故B错误，C正确;

^a-b^-a

5

对于D,4一匕在［上的投影向量为a=a,故D正确.

H5

故选：ACD.

10.AC

【分析】对于A,直接用偶函数的定义即可验证；对于B,直接说明了(0)。〃兀)即可否定;

对于C,先证明-64〃力<2,再说明对—总有/(力=瓦有解即可验证；对于D,

直接说明"―gbg］即可否定.

【详解】对于A,由于/(力的定义域为R,且

/(—x)=|sin(―x)|—\/3cos(―x)=|—sinx|—A/3COSx=|sinx|—V5cosx=f(x),

故是偶函数，A正确;

对于B,由于〃0)=bin0|_gcos0=_G,f(7c)=|sinTI|-A/3COS7C=73,故/(。)w/(兀)，

这说明兀不是的周期，B错误;

对于C,由于/(x)=|sinx|-A/3cosx<

Jsin2x+3cos2x+2^/31sinxcosx|+3sin2x+cos2%一2君|sinxcosx|

=v4sin2x+4cos2x=V4=2，

_&/(x)=|sinX|-A/3COSX>-百cosx>-V3,故-石4〃x)42.

而对有/'(())=-若=故由零点存在定理知一定存在

57r

xe。，不使得/(x)=".

所以/(x)的值域为［-6,2］,C正确；

对于D,由于5<_T=道=/(一gj,故〃x)在,兀「鼻上

答案第4页，共14页

并不是单调递增的，D错误.

故选：AC.

11.AB

【分析】对A：由平面平行可得点歹到平面AB4A的距离为定值，结合体积公式即可得；

对B：借助线面平行的判定定理与性质定理与面面平行的性质定理可得平面与〃平面

ABE,计算即可得点尸的轨迹长度;对C：将BCG沿Bq翻折到与△人（出在同一个平面,

借助两点之间线段最短计算即可得；对D：画出截面图形后计算即可得.

【详解】对于A：平面ABBA"平面CDDG,则点尸到平面ABB{\的距离为定值2,

114

则匕一型犷=VF-AB,B=JX^X2X2X2=,故A正确；

对于B：如图1,分别取GQ、GC中点M,N,连接B\N,NE,MN,B\M,

则NEV/GQ,且NE=CR,又A4//CQ1，A4=G2，

故NE//A\BI且NE=AB、,所以四边形4月八石是平行四边形,

所以AE//BW，因为用N<z平面平面ABE,

所以8户//平面A8E,同理MN〃CR//A8,有MN〃平面

因为4NcMN=N且都在面B,MN,所以平面B,MNII平面A{BE,

因为平面B\MN1平面CDD£=MN,

所以点尸的轨迹是线段MN,其长度为近，故B正确；

对于C,把BCG沿BC翻折到与△ACS在同一个平面（如图2所示），

连接AC,则4c是A。+QC的最小值，

其中田是边长为2&的等边三角形，

BCG是直角边为2的等腰直角三角形，

由对称性得4。=4。+。。=20、咚+0=n+夜，

即4Q+QC的最小值是遍+夜，故C错误；

答案第5页，共14页

对于D：如图3,由B选项知，四边形A出NP就是平面截正方体所得截面的图形,

其周长为0+2&+正+石=30+26，故D错误.

故选：AB.

【分析】借助复数四则运算与共轨复数定义计算即可得.

2

【详解】由i(z—l)=2,则z-l=：=-2i,即z=l-2i,

1

故7=1+2i.

故答案为：l+2i.

13.£!/33

44

【分析】先化角为边结合余弦定理得出B,利用tin吗C=1—rca:C可得A=5,利用面积公式

sinBcosB

可得答案.

［详解］因为(。+c)(sinA+sinC)=bsinB+3csinA,

〃242_yi

由正弦定理可得(Q+C)2=〃+3CQ,整理得/+o2_/=QC，COSB=-

2ac2

因为3e(O,7t),所以3=］；

sinC1—ccsC

由----=--------得sinCcosB+sinBcosC=sinB,即sin(B+C)=sinB,

sinBcosB

因为sin(+C)=sin(兀一A)=sinA,

jr

所以sinA=sin5,即A=3=§,所以三角形是正三角形,

因为〃=所以ABC的面积是S=且x3=±叵.

44

故答案为：史

4

3

14.-/0.75

4

答案第6页，共14页

【分析】求出交点后，借助圆的切线的性质与导数的几何意义计算即可得.

22

(x-2)+(y+l)=5=0XQ—1/、

【详解】＜,解得2「故A。」),

y=x2%=o'%=1

设曲线C1在点A处的切线为/］：y=%(x-l)+l,即/|：《尤一〉一勺+1=0,

曲线C?在点A处的切线为4：y=&(x-l)+l,

由G：(x-2)2+(y+l)2=5可得其圆心为(2,-1),半径为右,

|2勺+1-勺+1|/Z2解得勺=；，

则有।而+1'=小,即46-4勺+1=。,

对C2：y=x2,有y'=2x,则切泡=2x1=2,贝I］左？=2,

即tan0=匕=；,tan〃=&=2,

2一13

则皿尸一小韦黑3

____2_=2.=

l+2x-24

2

3

故答案为：--

(2)分布列见解析，E(X)=72

【分析】(1)借助相互独立事件的乘法公式可得方程组，解出该方程组即可得；

(2)得出X的所有可能取值后计算相应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得其期望.

答案第7页，共14页

11n

【详解】(1)由题意可得。-0)(i-g)=y,解得；

q=一

p<qI5

(2)X的可能取值为0,40,80,120,

p(x=o)=c4i-1P(X=40)=C；.|/l-13

5

2

3543?_27

p(X=80)=C1-产(X=120)=C；

■ri125-125

则其分布列为:

X04080120

8365427

P

125125125125

£(X)=0x—+40x—+80x—+120x—=72

''125125125125

16.(1)证明见解析

⑵骼

【分析】(1)借助面面垂直的性质定理与线面垂直的性质定理可得线面垂直，再利用线面垂

直的性质定理推导即可得；

(2)利用面面垂直的性质定理及体积公式计算相应长度，再建立适当空间直角坐标系，借

助空间向量计算即可得.

【详解】(1)连接因为是直角三角形，PB=AB,所以PB_L54,

因为平面PAB_L平面45cD,平面PABc平面ABCD=AB,P8u平面

所以尸3_L平面ABC。，CDu平面ABCD,所以B5_LCD,

因为四边形ABCD为直角梯形，ABLAD,AB=AD=2,BC=4,ZDBC=45°,

2122

所以=2&CD=ylBD+BC-2BD?BC-cosZDBC=2夜，所以瓦y+C£>=BC,

所以BDLCD,因为PBcBD=B,尸8,8。u平面「即，

所以CD_L平面PBD,因为BEu平面P8D,所以CD_L3E；

答案第8页，共14页

（2）因为NP8A为锐角，作「于0,则点。在线段上，

因为平面平面ABC。，平面PABc平面ABC£>=AB,尸Ou平面P4B,

所以P。」平面ABCD,则P。为四棱锥尸-ABCD的高，

因为四棱锥尸-ABCD的体积为2TL

所以％.AB8=；xgx（2+4）x2-OP=2百，解得0尸=血，则OB7PB2-0「2=1，

以。为坐标原点，。4,。尸所在直线分别为x，z轴，过。与4）平行的直线为>轴，

建立空间直角坐标系如图，则。（-1,4,0）,。（1,2,0）,尸（0,0,白），

所以PC=卜1,4,-右）,CD=（2,-2,0）,

设平面PCD的法向量为〃=x,y,z,则，即>”,

n-CD=Q|2x-2y=0

令x=l,得y=l,z=逐，即平面PCD的一个法向量为〃=（1,1,8）,

易知平面R4B的一个法向量为加=（0』,0），

m-n\1V5

设平面P4B与平面PCD的夹角为a,则cosa=

网同逐I5'

17.（1）证明见解析

⑵孝,理由见解析

【分析】（1）联立曲线后消去纵坐标可得一元二次方程，借助椭圆方程代入计算可得该一元

答案第9页，共14页

二次方程有唯一解即可得证;

MF

（2）由（1）可得直线/的方程，即可得",N两点坐标，计算出,|〃,目,与,|杯|即可得\帚.\

xox+2yoy-2=0

【详解】（1）联立反+2_1，整理得：（片+2'）》2-4%环+（4-4尤）=0,

、万+y-

又因为当+/=1,即x；+2y；=2,则Y-Z/x+x：=0,

即（x-尤。）2=0,此方程有唯一解，即直线x。x+2%y-2=。与椭圆C相切；

2—xx

（2）由（1）知，直线/的方程为天工+2%,-2=。，即,

将直线X=1和直线x=2分别与上式联立，

由题意可得M1,

因为尸（1,0）,所以开=（2；1），

即曾为定值也.

18.（1）证明见解析

⑵(-8,-1]

答案第10页，共14页

【分析】(1)分“=1、0<。<1及。>1进行讨论，利用导数求得函数的单调性后结合零点的

存在性定理即可得；

(2)由⑴可将/&)+如2)>0转换为伫再构造函数

g(x)=lnx-^l-^.1^-,xe(O,l),分左W-l及-1<%<0进行分类讨论即可得.

【详解】(1)由题意得，(何=*一(〃+1)+?=.-1)["(]=!伫川(加，一1),

当a>0时，令/''(x)=0,解得玉=0,々=-lna,

①当。=1时，〃x)=e一厂一2尤/(尤)=1；1)20,所以在R上单调递增，

又"0)=0,此时函数〃x)有唯一的零点0；

②当Ovavl时，-Ina>0,

所以xe(-8,0)时，/'(X)>0,/㈤单调递增,

xe(0,-lna)时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

xe(-Ina,+8)时，r(x)>O,/(x)单调递增，

又/(-Ina)<〃。)=a-l<0,

则函数/(x)在区间(-co,-Ina)上无零点，

在(-山4,+8)上至多只有一个零点，

所以函数/(%)至多只有一个零点；

③当a>l时，-lna<0,

所以xe(-8,—Ina)时，/(x)>0,/(x)单调递增,

xe(-IM,。)时,/'(x)<OJ(x)单调递减,

x«0,+8)时,4(x)>OJ(x)单调递增,

又〃-lna)>/(0)=a-l>0,

则函数〃元)在(-^,-lna)上至多只有一个零点，在区间(-Ino,+e)上无零点，

所以函数/(“至多只有一个零点，

答案第11页，共14页

综上，函数/(X)至多只有一个零点;

(2)由(1)知，当Ovavl时，”X)在(—8,0),(—Ina,+8)上单调递增，在(。，-Ina)单调递

减,

所以/(X)的极大值点为玉=0，极小值点为％2=Tn。,

此时/(A；)=/(O)=6Z-l,/(x2)=/(-ln^)=l-6Z+(«+l)lna,

因为/(石)+V>(%2)>0，所以a-l+%[l-a+(a+l)ln〃]>0,

因为0<avl,所以〃%2)</(石)<°，所以化<0,

1a-\

所以左(a+l)lna>(a-l)(女一1),即ln〃<1*

k)a+1

设g(x)=lnx]l一J,,尤eg)，2d+4+l

k

XyfCJ(X+1J%(x+l)2

c24

令d+—x+l=O,贝必=丁4,

kk

①当左4—1时,A<0,此时g'(x)»O恒成立，则g(x)在(0,1)上单调递增,

所以g(x)<lnl一号=0,此时1皿〈『力㈡

2

②当一1〈人<0时，A>0,设％2+—尤+1=。的两个根为退,%4，且％3<%4,

k

2

则%+%4=-_7>°，£乂=1，所以。<%3<1<工4，

k

则当退<%<1时，/(尤)<0,此时g⑴在(.1)上单调递减,

力方与(*)矛盾'不合题意・

所以当天<。<1时，g(〃)>g(l)=。，止匕时Ina>1

综上所述，上的取值范围是

【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助第一问所得，将双变量4、巧变为单

变量，从而可构造函数g(x)=lnx-卜一。1=,xe(O/)，分左V—1及一1<%<0进行讨论即

可得.

(2)5

答案第12页，共14页

(3)证明见解析

【分析】(1)借助题目中所给特征根方程法计算即可得;

(2)(3+君)”+(3-石y>202402”•%,>2024,结合数列｛2"也“｝是单调递增数列，计算

即可得;

]〃+i22

(3)由%2=6向+2计算可得丁-»2=%2-厂，由2eN*可得厂eN*,即可得