山西省天一2024届高三年级下册联考仿真模拟（二模）数学试题（含答案与解析）

山西省天一名校2024届下学期联考仿真模拟卷(二模)

高三数学

注意事项：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区

域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.本试卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，(JD(2T+i=a+历(aS'R),则而=()

A1B.2C.-2D.-1

2.已知集合4=卜|1<工2<9bB=<x；<2*<4>,则AB=()

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-3,-2)o(2,3)D,(-2,-l)o(l,2)

3.已知向量q与6满足|a|=l,|6|=2,(a+Z?)J_a,则向量a与6的夹角为()

2兀兀3兀兀

A.—B.一C.—D.一

3344

4.已知焦点为产抛物线V=2px(p>0)上有一点P,准线/交X轴于点。.若归耳=3|。同，则直线冲

的斜率无=()

R.75

A.±75D.土-----C.±2D.±3

2

5.己知。是坐标原点，若圆。：炉+9+2工—4y+a=0上有且仅有2个点到直线2尤—y—1=0的距离

为2,则实数。的取值范围为()

A.(-4-4A/5,4A/5-4)B.[-4-475,475-4]

C.(-2-275,275-2)D.[-2-275,275-2]

6.已知sinasin]a+巳

)

A.73B.火C.2-73D.2+73

3

7.一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球（不放回），记事

件A表示“第左次取出的球是黑球"，左=1,2,.,5,则下面不正确的是（）

A.P（A）=5B.P（AA）=-

Q1

c.P（A4+4）=-D.P（AIA）="

<1012A2023/1013产5

8.设a=0,Z.=—，则下列关系正确的是（）

Uoii）U012J

A.e2<a<bB.e1<b<aC.a<b<e2D.b<a<^

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是（）

A.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则每个个体被抽到的概率

是0.2

1Q

B.已知一组数据2,2,m,5,7的平均数为4,则这组数据的方差是不

C.数据76,69,87,65,62,96,92,81,76,82的第70百分位数是82

D.若样本数据看,々，・，玉0的标准差为5,则数据2%+3,2x2+3,L,2七0+3的标准差为20

10.已知长方体ABC。—A4G。的棱A5=百，44=1,点P满足:

AP=AAB+iuAD+yAAl,下列结论正确的是（）

A.当〃=1时，点尸到平面瓦距离的最大值为亚

2

B.当彳=0,〃=1时，直线PB与平面A3CD所成角的正切值的最大值为正

3

C.当4=1,》=。时，P到4A的距离为2

D.当2=〃=1,7=工时，四棱锥P—3片。。的体积为1

丫2

11.已知双曲线C:、-y2=i的左、右焦点分别为月，F2,左、右顶点分别为M,N,。为坐标原

点，直线/交双曲线C的右支于P,。两点（不同于右顶点），且与双曲线。的两条渐近线分别交于A,

8两点，则（）

A.QA.08为定值

B.陷=股|

C.点尸到两条渐近线的距离之和的最小值为0

D.不存直线/使MP.A/Q=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.1―?］（》+2>）5的展开式中的系数为.

13.柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯

西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量。=（玉,％）,沙=（%,%），由

\a-b\<卜帆得到（石龙2+X%）2〈（X1+y；）（考+¥），当且仅当占%=々％时取等号.现已知a>Q,

b>0,a+b=9,则J2a+4+，加斤的最大值为.

14.已知正三棱锥尸-ABC的底面边长为6,体积为18石，动点/在棱锥侧面P4C上运动，并且总保

持MBLAP,则动点M的轨迹的长度为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.已知函数/（%）=（尤2-依一。）/在（0,/（0））处的切线平行于直线2%+丁+3=0.

（1）求。的值；

（2）求八％）的极值.

16.某高校对参加军训的4000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取200名军

训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.

（1）根据频率分布直方图，求出。值并估计这200名学生测试成绩的平均数（单位：分）.

（2）现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射

击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元、300元、500元，不通过则不

奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为|,假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.

记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量J,求自的分布列和数学期望E（J）.

（3）若该高校军训学生的综合成绩X近似服从正态分布N（〃,100）,其中〃近似为样本平均数，规定军

训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.

参考数据：若X~N（〃Q2）,则P（〃—bWXW〃+cr卜0.6827,

尸X<〃+2b）B0.9545,P（//-3cr<X<//+3cr）«0.9973.

JT

17.如图，四棱锥P—ABCD中，二面角P—CD—A的大小为90°，ZDCP=ZDPC<-,

4

/DAB=ZABC=2ZADB=2ZDCB=90°，E是的中点.

（1）求证：平面平面PCD；

（2）若直线与底面A3CD所成的角为60°，求二面角3—ED—C的余弦值.

22=l（a〉6〉0）的离心率为弓，且椭圆C过点—乎］

18.已知椭圆C：——+-^―,P,Q,R,S分

a2b2

别是椭圆。上不同的四点.

（1）求椭圆C的标准方程;

(2)若直线PQ与直线器交于点(1,1),且左相+编=0，归。|=加|郃］，求实数加的最大值.

19.已知集合A={1,2,3,…㈤，其中"eN*，A，&,都是A子集且互不相同，记必=4的元素

个数，%=(4八4)的元素个数亿/€{1,2,

(1)若〃=4,4={1,2}，4={1,3},23=乂3=1,直接写出所有满足条件的集合A3；

(2)若〃=5,且对任意者陌“〉0,求加的最大值；

(3)若〃之7,",<3。=1,2,、加)且对任意1W，</«机，都有^7=1,求〃z的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，(1)(2—i)+i=°+历(aS'R),则而=()

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算及复数相等计算得解.

【详解】依题意，。+历=1—3i+i=l—2i,而a,〃eR,则a=l,b=-2,

所以aZ?=—2.

故选：C

2己知集合4=卜［1</<9},B=<x^<2x<4>,则AB=()

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-3,-2)o(2,3)D,(-2,-l)o(l,2)

【答案】D

【解析】

【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义即可得解.

【详解】4={$1</<9}={目—3<》<—1或

X

B=\x-<2<4>{R-2<x<2},

4

所以AB=(-2,-1)o(l,2).

故选：D.

3.已知向量q与/，满足|；|=1,|.|=2,(a+b)la,则向量a与6的夹角为()

2兀兀3TC兀

A.—B.-C.—D.一

3344

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出“.0，再利用向量夹角公式求解即可.

,1..rrrr2rrrr，--

详解】由|Q|=1,(a+b)-La得(a+/?).〃=〃+a-b=l+a-b=Q,解得〃•/?=—1，

1]2兀

而曲=2,因此cos〈〃,Z?〉=------=—，又〈4,。〉£[0,兀],则〈〃,力=—,

|。|屹|23

2兀

所以向量〃与b的夹角为7.

故选：A

4.已知焦点为产的抛物线y2=2»(p>0)上有一点P,准线/交X轴于点。.若|尸耳=3|。同，则直线小

的斜率无=()

A.±75B.土好C.±2D.±3

2

【答案】B

【解析】

【分析】由抛物线焦点与准线定义可得|。叫=〃，结合抛物线焦半径公式与斜率定义计算即可得.

【详解】由抛物线/=2内，故/[,()],Q[/，O]，则|。耳=〃，

设尸(2p/2,20),由|PF|=3|Q司=3〃，则2p/+e=3p,即/=?走

22

2pt2t+为

故心~~2-

42

故选：B.

5.已知。是坐标原点，若圆。：必+)?+2》—4y+a=0上有且仅有2个点到直线2x—y—1=0的距离

为2,则实数。的取值范围为()

A.(-4-475,475-4)B.[-4-475,475-4]

C.(-2-275,275-2)D.[-2-275,275-2]

【答案】A

【解析】

【分析】求出平行于直线2x-y-1=0且距离为2的直线方程，再求出与圆心较近的直线与圆相交，另一

条平行直线与圆相离的。的范围.

【详解】圆C:(x+l)2+(y—2)2=5—a(a<5)的圆心C(—L2),半径r—yj5—Cl，

设与直线l：2x-y-l=。平行且距离为2的直线方程为2x-y-t=0(tw1),

I%—1|rr

则汇+㈠尸=2,解得1=±2正+1，直线4：2x—y+2V5—1=0,Z2:2x-y-2V5-1=0,

点C(-l,2)到直线4的距离4=-5+^61=75-2,到直线的距离d,=15/⑹=百+2,

V5V5

由圆C上有且仅有2个点到直线2x-y-1=0的距离为2,得圆C与直线式相交，且与直线4相离,

d<ry[5—2<卜5—a广广

?}，即

则厂----------，Wl#-4-4v5<a<4V5-4,

d2>rV5+2>y/5-a

所以实数。的取值范围为(-4-475,475-4).

故选：A

,贝！Jtan12a—：)

A.73B.*C.2-73D.2+6

3

【答案】C

【解析】

【分析】先根据已知结合两角和差的正弦公式及二倍角公式化简，求出tan2c,再根据两角差的正切公式即

可得解.

【详解】由sintzsin[tz+巳]=cosasin]]-c],

彳曰百.2,1.，21.

待——sin<z+—sintzcosor=——cosa——sinfzcosa>

2222

cos2tz-sin2tz)=sinacosa，所以走cos2a=-sin2a，

即

'22

所以tan2a=J5"，

所以tan12a_三]二石二]=2-5

I4j1+V3xl

故选：C.

7.一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球（不放回），记事

件A表示“第左次取出的球是黑球"，左=1,2,•,5,则下面不正确的是（）

33

A.P（A,）=-B.P（A4）=而

o1

c.P（A4+4）=-D.P（AIA）=-

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，借助排列、组合应用问题，利用古典概率、条件概率公式逐项计算即得.

【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是A；,它们等可能,

c1A43

对于A,43表示第3次取出黑球，「（4）=」^=—,A正确；

A|5

A2A33

对于B,44表示第1次、第2次取出的球都是黑球，2（44）=」^=一，B正确;

A,10

C1A43A2A3Q

对于C，P（A）=P（A）=逮=y,P（A4A）=^/=-,

9

所以p（&+A）=P（A4）+P（4）-P（A44）=—,c正确；

3

对于D,P（A）=婴=[,所以p（&ia）=曾卢=4=:,D错误.

A55尸（A）£2

5

故选：D

(1012A2023(1013Y025

8.设a=0,/,=—，则下列关系正确的是()

U011)U012J

A.e1<a<bB.e2<b<aC.a<Z?<e2D.b<a<e.2

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得lna=20231n器=(2xl011+l)ln(l+，^)、lnb=20251n黑=(2xl012+l)ln(l+春)，

12x

构造函数/(x)=(2x+l)ln(l+—)=(2x+l)[ln(x+l)-lnx](尤>1)、/z(x)=ln(x+l)---:一(X>0)，利用导数讨论

xx+2

两个函数的单调性可得。＞以b＞e2,即可求解.

【详解】lna=20231n1^-=(2xl011+l)ln(l+^—),

10111011

In6=2025In=(2x1012+1)ln(l+」一)，

10121012

设函数/(x)=(2尤+l)ln(l+-)=(2x+l)[ln(x+l)-lnx](x>1),

X

mil/'(%)=21n(x+l)—21nx+(2x+l)(----)=21n(l+—)-----------f•(—+!)

则X+lXX]+，XX

X

丫2_i_Oy九2

设g(x)=21n(l+x)----------(0<x<l),贝!)g'(x)=-----------y<0,

1+x(1+x)

所以g（元）在（0,1）上单调递减，且g（x）＜g（0）=0,即r（x）＜0,

所以/（丈）在（L+8）上单调递减,

则“1011)>1(1012),即lna>ln〃，所以。>瓦

QV1A丫2

设/九)=山(九+1)——-(%>0),则旗犬)=々—=7JN>。，

x+2%+1(%+1)(x+l)(x+2)

所以h(x)在(0,+oo)上单调递增，且/7(-)>/2(0)=0,

X

2

i-i?(2x+l)ln(l+-)-2

即ln(l+-)--=ln(l+-)-------___________XZ^>o,

x9+2x2x+l2x+l2x+l

x

得了(x)>2,所以"012)>2,即ln6>2,解得人川？.

综上，e2<b<a-

故选：B

【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导

数判断单调性，进而比较大小.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

A.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则每个个体被抽到的概率

是0.2

1Q

B.已知一组数据2,2,m,5,7的平均数为4,则这组数据的方差是不

C.数据76,69,87,65,62,96,92,81,76,82的第70百分位数是82

D.若样本数据和马，的标准差为5,则数据2%+3,2X2+3,L,2%+3的标准差为20

【答案】AB

【解析】

【分析】A选项，根据分层抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据平均数公式得到方程，求出

m=4,再利用方差公式计算出结果；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；

D选项，先得到玉,马,•,占0的方差，根据方差性质得到2七+3,2%+3,•,2为0+3的方差，进而得到其

标准差.

【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为2=0.2,故A正确；

10

G。।ICIr7

B选项，已知一组数据2,2,私5,7的平均数为4,则------y----------=4,解得加=4,

(2—4『+(2—4)2+(4—4『+(5—4『+(7—=身,则这组数据的方差是电，故B正确；

555

C选项，这10个数据从小到大排列为62,65,69,76,76,81,82,87,92,96,

由于10x0.7=7,故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，

即2——=84.5,所以第70百分位数是84.5,故C错误；

2

D选项，若样本数据不,々，，凡0的标准差为5，则，%的方差为25,

设X］,-，项o的平均数为X，则%+/+,+番0=10%，

）［（犬1_元）2+（%2-HP++（玉0一元）2=25,

歹2玉+3+2X2+3++2玉0+3_2（%+x2++x10）+30_

1010

故（2X1+3-2元-3『++（2/+3-2元-3）2_电2-』），+（/.）［_,

10_10-

则2为+3,2々+3,,2税+3的标准差为而5=10，故D错误.

故选：AB

10.己知长方体ABCD-4与4。］的棱A5=AD=6，A&=1,点P满足：

AP=AAB+juAD+yAAl,下列结论正确的是（）

A.当〃=1时，点尸到平面3DR与距离的最大值为必

2

B.当2=0,〃=1时，直线PB与平面A3CD所成角的正切值的最大值为且

3

c.当％=1,y=o时，p到42的距离为2

D.当2=〃=1,7=g时，四棱锥P—的体积为1

【答案】ACD

【解析】

【分析】由〃=1时，推得点P在平面CD2G上，转化为C到平面的距离，可判定A正确；由

4=0,〃=1时，得到点尸在线段。，上，得到点尸与点R重合时，直线PB与平面A3CD所成角的正切

值最大，可判定B不正确；由2=1,7=0时，得到点尸在线段上,进而可判定C正确；由彳=〃=1,/=；

时，得到点P在线段CG的中点，结合题意公式，可判定D正确.

【详解】对于A中，当〃=1时，AP=AAB+AD+yAAl=AD+ADC+yDDl,

即AP—=,可得DP=2DC+yDR,所以点P在平面上,

则点P到平面BDD[B]距离的最大值为点C或G到平面BDD}B}的距离,

连接AC,交于点。，因为A3CD为正方形，可得AC，BD,

又因为33]_L平面A3CZ),ACu平面A3CD,所以AC，5B1,

因为BDcBB]=B且BD,BB]u平面吕力^自，所以AC上平面BDRB1,

因为正方形A3CD中，AB=AD=5所以CO，AC=^，

22

即点P到平面BDDlBi距离的最大值为国,所以A正确；

2

对于B中，当2=0,〃=1时，AP-AD+yAAi-AD+yDDx,

即AP-AD=op=7r>2,可得点p在线段。2上，

当点P与点。重合时，直线PB与平面ABCD所成角的正切值最大，

在直角中，可得tanN〃8D=迫=《=迈，所以B不正确；

BD娓6

对于C中，当4=1,/=。时，可得AP=AB+〃A£>=A3+〃3C,

即AP—ABuBPn/zBC,可得点P在线段上，

在长方体ABC。—A4G。],可得AQ//6C,

所以点尸在线段4。的距离等于点8在线段的距离，

又由A2，平面,且ABu平面A54A，所以A3,an，

在直角△AA3中，可得==2,

所以点尸到4。的距离为2,所以C正确.

对于D中，当X=〃=l,7=g时，可得APnAB+AD+gM=AC+gcq,

即AP—AC=CP=；CG,所以点P在线段CG的中点，

此时点P到平面BDD/I的距离为d=—，

2

所以匕，BBDD=—SBBDD-d=—x^6xlx-^-=1,所以D正确.

r-DDjZJjU3DDyLJyU3▼2

故选：ACD.

v-2

11.已知双曲线C:5-y2=1的左、右焦点分别为耳，K，左、右顶点分别为N,。为坐标原

点，直线/交双曲线C的右支于尸，。两点（不同于右顶点），且与双曲线。的两条渐近线分别交于A,

5两点，则（）

A.QA.OB为定值

B.照=忸0

c.点尸到两条渐近线的距离之和的最小值为J5

D.不存在直线/使=O

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,根据西.。方=|Q4|.|OB|cosNAO8,取垂直于x轴的直线，结合条件可判断A；对

于B,设直线/的方程为％=6+加，利用韦达定理可得％+%=至一，联立直线与渐近线方程，可分

k—2

别解得力，VB，结合弦长公式可判断B；对于C,设尸(%,%)，可得尸到两渐近线距离可判断C；由题

7T

可得ZPMQ<,恒成立可判断D.

【详解】双曲线—丁=1的渐近线为土变X，

272

对于A：因为。403=|。4,。@<05403,

作直线x=〃2,X=n,且行<加<〃，分别交X轴上方渐近线于a，4,

交X轴下方渐近线于61,B”

UUIIuuiruuiruuur

有对称性可知:OAX-OBX<OA2-0B2

UUIII।uuirIuuirIiiiuir

此时O^\pBx<\p^\OB2

UUUUUIIUUUUUL1

又因为cosNAQS为定值，所以wO&OB?，

即QVQ5不是定值，故A错误;

对于B,由题意可知：直线/不与y轴垂直，设直线/的方程为％加,

x=ky+m

联立得《尤22,得（左2—2）y2+2ktny+_2—0,

工一y=

贝1Jk2,2，JLA=4k2m2-4（42_2）（根2—2）=8r+8m2-16>0,

所以+

K—Z

x=ky+mx=ky+m

「m

联立《y=A得弘=忑工联立y=一显x'彳"E'

22

m—m—2mk

所以%+%=E+m=K'则为一%=为一为’

结合弦长公式可得II%—力I,忸Q|=HF1M,

即|B4|=|BQ],故B正确；

对于C,设P(X。,%),则予一%2=1,渐近线为'=±I》,

所以尸到两渐近线距离为：

立出+^^2、亨1=2『亚

127373V3\33

当且仅当卜°+夜％|=,一及为|时，等号成立，故C错误；

对于D,设NAOx=ee(0,g],则tan6=也<l，可得6<3,

I2J24

7Tjr

由图可得ZPMQ<ZAOB=20<-,即ZPMQ〈二恒成立，

22

故不存在直线/使MP-MQ=O,故D正确.

故选：BD.

点睛】关键点点睛：本题D选项可借助/PMQ<NA08,结合tan/AQx=Y2<tan巴

,得到

24

TT

ZPMQ<~,从而得解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.—：｝x+2y)5的展开式中的系数为

【答案】30

【解析】

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.

【详解】对（x+2y）s,有4+1=C*5d（2y）*=2及（2%5-％3

则当左=2时，有《=22C；x3y2=40x3y2,

当左=1时，有《=2434丁=10/,，

则有lx40dy2—』xl0x4y=30x3y2,

X

故［1—?］（x+2y）5的展开式中/产的系数为30.

故答案为：30.

13.柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯

西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量。=（%,%）,沙=（/,%），由

,川眼M得到（玉龙2+X%）2<（x；+y；）（x；+£），当且仅当/乂时取等号.现已知aNO,

b>0,a+b=9,则J2a+4+痴斤的最大值为.

【答案】6

【解析】

【分析】令七=后,乂=1,々=而5,%=痂斤，代入公式即可得解.

【详解】令%=拒,％=1,%=Ja+2,y2=Jb+1,

又“20,b>0,a+b=9,

所以（<（2+1）（a+2+Z?+1）=3X12=36,

所以j2a+4+7^ZTw6,

当且仅当行•，^工1=即a=6力=3时取等号，

所以J2a+4+y［b+l的最大值为6.

故答案为：6

14.已知正三棱锥P-A5C的底面边长为6,体积为18省，动点M在棱锥侧面P4C上运动，并且总保

持则动点/的轨迹的长度为.

［答案］）叵##▲而

22

【解析】

【分析】由正三棱锥的性质可知只需再作&5LAP，即可证得上4,平面5CD,从而求得点

M的轨迹CD,再通过解三角形即可得到CD的长度.

如图，取JRC的中心为。，连接P0,作应＞，心于。，连接CD,延长AO交于点E，

注意到底面三角形ABC是等边三角形，所以AEL3C,

由正三棱锥的性质可得P0为高，

因为底面边长为6,体积为18班,

所以V=」S,fir-OP=-x-x6x6x—xOP=1873，所以。P=6,

3ABe322

注意到底面三角形ABC是等边三角形，所以。4为三角形ABC外接圆的半径，

所以由正弦定理有2。4=」一，所以。4=2退，

sin60

所以PA=PB=PC=1AO?+O产=4方-

因为「01面ABC,BC^^ABC,

所以PO18C,

又因为AE_L3C,AECPOMOAEU面APO,POu面APO,

所以3cl面APO,

因为APu面APO,

所以B4L5C,

因为且PALBRBCBD=D,BCu面BCD,BDu面BCD,

所以上4，平面BCD,

因为CDu平面BCD,

所以B4LCD,

又因为动点M在棱锥侧面PAC上运动，并且总保持MB±AP，

所以点M的轨迹为线段CD.

在等腰三角形R4C中，由余弦定理有cos/PAC=MJ+」-(拓)=正，

…"2X4A/3X64

从而sinNPAC=巫，所以CD=AC-sinNPAC=6x^=^l.

442

故答案为：主叵.

2

【点睛】关键点点睛：关键是得出点M的轨迹为线段CD,由此即可顺利得解.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.己知函数〃无)=(尤2-依—a)e*在(OJ(O))处的切线平行于直线2x+y+3=0.

(1)求。的值；

(2)求了(%)的极值.

【答案】(1)。=1

(2)/(盼的极大值为三，极小值为-e

e~

【解析】

【分析】(1)由导数的几何意义计算即可；

(2)利用导数研究函数的极值即可.

【小问1详解】

由己知可得了'(%)=(2x-a)e*+(x?-ax-ajex=(.^2+2x-ax-2ajex,

而直线2x+y+3=0斜率为左=—2,

所以/'(。)=-2。=—2=>a=1；

【小问2详解】

由⑴得/(尤)==>广(%)=e*.(无2+x—2)=e*.(%—l)(x+2),

当xe(-oo,-2)时,fr(x)>0,函数/(%)单调递增；

当xe(—2,1)时，f(x)<0,函数/(x)单调递减;

当xe(l,+oo)时，f'(x)>o,函数/(X)单调递增；

故极大值为/(-2)=1，极小值为〃1)=—e.

e

16.某高校对参加军训的4000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取200名军

训学生，对其测试成绩(满分：100分)进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.

八频率/组距

0.035-------------r—

0.025----------1—

a------------------

0.010-p

---------V~~——►

°5060708090100成绩/分

(1)根据频率分布直方图，求出〃的值并估计这200名学生测试成绩的平均数(单位：分).

(2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射

击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元、300元、500元，不通过则不

奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为--假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.

325

记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量占,求自的分布列和数学期望E(切.

(3)若该高校军训学生的综合成绩X近似服从正态分布N(〃,100),其中〃近似为样本平均数，规定军

训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数(结果取整数).

参考数据：若X~N(〃Q2),则P(〃—crWXW〃+cr)a0.6827,

P(//-2cr<X<//+2cr)«0.9545,P(//-3cr<X<//+3cr)«0.9973.

【答案】(1)a=0.015,x=78

(2)分布列见解析，E(J)=F

(3)91人

【解析】

【分析】(1)借助概率和为1可得。，借助平均数定义可得平均数；

(2)得出自的所有可能取值及其对应概率，即可得分布列，借助期望定义即可得其期望；

(3)借助正态分布性质可得军训成绩不低于98分的概率，即可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数.

【小问1详解】

有图可得+0.025+0.035+Q)=1,解得a=0.015,

X=(0.010X55+0.015X65+0.025x75+0.035x85+0.015x95)x10=78；

【小问2详解】

J的可能取值为0、200、300、500、700、800、1000,

P("200)VJ-|1g,

P("500)=3：(l一；卜|+河“用

P("700)=乳TRW，

P(^=800)=fl-|L|x|=-l,

\DJ乙J_LJ

P(^=1000)=-x-x--—,

,732515

则其分布列为:

402003005007008001000

1]_14212

P

1051015151515

II142121450

x—+200x-+300x—+500x—+700x—+800x—+1000x—=----；

''10510151515153

【小问3详解】

〃=1=78,tr=Vi00=10.则P(X298)=P(X2〃+2cr),

又P(〃-2。VXV〃+2o■卜0.9545,故P(X298卜匕竺竺=0.02275,

4000x0.02275=91,故可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数为91人.

JT

17.如图，四棱锥P—ABCD中，二面角尸—CD—A的大小为90°，/DCP=NDPC<—,

4

ZDAB=ZABC=2ZADB=2ZDCB=90°，E是的中点.

（1）求证：平面班£），平面PCD；

（2）若直线与底面A3CD所成的角为60°，求二面角5—ED—C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】（1）由题意可