新乡市2023-2024学年高三第三次模拟考试（三模）数学试卷（含答案）

2023—2024学年高三第三次模拟考试

数学

注意事项：

L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.下列集合中有无数个元素的是

A.{jr€N|-6N}B.

X7

4,4

C.MGNl^eZ>1A.rC'QFeN}

2.已知N=(l-3i)(a+i)(a£R)为纯虚数,则

A.3B.—3C.gD.

0o

3.已知向量a=(4,3),㈤=1.若a与b的夹角为名,则a•b=

o

A.10B.105/3C.5D.5点

4.已知直线21：笈十山与一1=0"2：(加+1)工+3?+1=0,则“6=2”是“/1〃/2”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知球O的半径为5,点A到球心。的距离为3,则过点A的平面a被球。所截的截面面积

的最小值是

A.97tC.16KD.207r

6.如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形,是将杨辉三角形中的C；换成

［皋？得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是

AJ-4_1_=一I_十

("-DC"1

R1I1_1TT

D-nC^nC^111

C(〃+DC：+(〃(1)C：7=1111

T12~\2~

口(n+l)C；,+(n+DCr1=心

।203020

【高三数学第1页(共4页)】

7.倾斜角为e的直线I经过抛物线C：y=16^的焦点F,且与C相交于A,B两点若垢臂，杂,

贝IJIAFIIBFI的取值范围为

A.1128,2561B.[64,256]C.[64,竽]D.[苧，128]

8.设。=野,6=上泻,‘=£用,其中e是自然对数的底数，则

A.，<a<cB.a<Zc<ZbC.b<c<aD.c〈b<a

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7,方差为2,现再加入一个数据1,组成一组新数

据，则

A.这组新数据的平均数为3B.这组新数据的平均数为6

C.这组新数据的方差为与D.这组新数据的方差为苧

10.已知〃为空间中三条不同的直线,a,dy为空间中三个不同的平面；则下列说法中正确

的是

A.若&。8=m,7〃_1_八则a±/./?±y

B.若7〃Ua,〃Da,则m与n为异面直线

C.若山£=/，如17=〃?，柏<1=〃，且/小〃=2，则PG〃

D.若〃i_La,7"_LS，a〃7,则8〃X

11.已知定义在R上的函数/（二）满足/（2工+6）=八一2]），且八1-1）+。++1）=>一2）,

若八*）=1，则

A./（2024）=1

B./殳）的图象关于直线z=-3对称

C./（z）是周期函数

20251

D.-一卷）=2025

IN

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

22

12.双曲线E：T^一再^=1的实轴长为4，则。=▲.

a十a十，Na十3---------

13.已知函数/（a-）=sin5-6cos〃r（s>0）,若存在w使得/但）=一2,则3的最

小值为▲.

14.如图.在扇形OAB中，半径OA=4,/AOB=90°,C在半径OB上,D在半八

径OA上,E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周D

长的取值范围是▲.

OCB

[高三数学第2页（共4页））

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知函数/（j-）=jln.r.

（1）求/（工）的极值；

（2）若过点3,6）可以作两条直线与曲线）=/（公相切,证明：6〈川114

16.（15分）

如图.在四面体ABCD中.AB=AC=AD=BC=8D.3C_LBD,E.F分别为AB.AC的

中点.

（1）证明：平面ACD±平面HCD.

（2）求平面3DF与平面CDE夹角的余弦值.

17.（15分）

甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球,其中甲袋中有3个红球、3个

黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球.

（1）若从两袋中各随机地取出1个球•求这2个球颜色相同的概率；

（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋

中取出的红球个数为X.求X的分布列与期望.

【高三数学第3页（共4页）】

18.（17分）

已知椭圆C：£+£=l（a>/>>0）的左、右顶点分别是A1,Az，椭圆C的焦距是2,

尸（异于A，A?）是椭圆C上的动点，直线与A2P的斜率之积为一*

（D求椭圆C的标准方程.

（2）F,,F2分别是椭圆C的左、右焦点,Q是△PRF2内切圆的圆心，试问平面上是否存在

定点M,N,使得|QM|十|QN|为定值？若存在，求出该定值;若不存在,请说明理由.

19.（17分）

函数/（"=（>］称为取整函数，也称为高斯函数，其中［>］表示不超过实数z的最大整数,

例如：［3.2］=3,CO.6］=0,L-1.6］=-2.对于任意的实数工，定义（］）=

R,工<［7］+］，

<数列储“）满足心=（6），.

［z］+l,/>［工］+歹.

（1）求<2）3»«2024的值.

（2）设4=〃+a”,从全体正整数中除去所有儿，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数

列上｝.

①求储力的通项公式；

②证明：对任意的〃GN+,都有工+工+工+…+上<^^.

【高三数学第4页（共4页）】

2023—2024学年高三第三次模拟考试

数学参考答案

1.D{工£阳"£叶={1,2,4},《工€2|告6}={1,2,4},（工6|*£叶=<1,2,4}都有有限

个元素，MGQlN}有无数个元素.

2.B2=（1—3。（4+。=4+1—3浦一3[2=4+3+（1—34）1,因为2为纯虚数，所以

a+3=0,

,,解得

1-3ar0,

3.A因为°=（4,3）,所以|°|=，42+32=5.

又=4,a与2的夹角为=，所以a•b=\a\|&|cos-^-=5X4Xy=10.

oJ乙

4.C当加=2时4&+2»—1=0"2：3才+3、+l=0,此时人〃，2.当八〃。时，告=集产

芋，解得m=2.故“加=2"是的充要条件.

5.C因为球。的半径为5,点A到球心。的距离为3,所以过点A的平面a被球。所截的截

面圆的半径的最小值为==斤斤=4.则所求截面面积的最小值为一=16几

6.D观察莱布尼茨三角形，可知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和,故万%;十

1_1

（〃+15

7.A不妨设A在第一象限，则|人5|=力+=尸|（：05九|5n=力一|毋'|8$仇整理得|4n=

』‘旧四=』,以臼|8臼=1^=焉・因为吒[?于[,所以而汨£

牛外然。128,2561.

8.B令/殳）=坦三则/'殳）=1劈.当z6a,+8）时则/1）在（e,+8）上

XX

单调递减.因为4=竽=苧"=崂,c=号<=匕誓=]n¥—，3<9<4,所以八3）

乙4jeee乙

~2

>/（f»/（4）^Pa<c<b.

9.BC由题可知，这组新数据的平均数为*^=6,方差为■|•X[2+（7—6）2H/X[o+（l

_6）汨=综

O

【高三数学•参考答案第1页（共6页）】

10.ACD对于A选项，因为mUa,mU0,m_Ly,所以a_L八尺17,A正确.对于B选项，由mU

a,〃Ua,可得利与〃可能平行、相交，也可能为异面直线,B不正确.对于C选项，由

8rly=m，/n，〃=P,可知点P在平面a,S，7内，即P为平面a,/5,，的公共交点，因为/Aa=

“，所以尸为直线相，〃,/的交点，所以点P在直线〃上，即尸G〃,C正确.对于D选项，由“

_La,/n，⑶可得a〃自因为a〃%所以(3//y,D正确.

11.BCD因为f(1r-1)+/殳+1)=/(—2),所以/殳+1)+八2+3)=/(—2),所以于(工一

D=/Cz+3),即八/=/殳+4),所以/(工)是周期为4的周期函数，则C正确.

令7=—1,得/(-2)+/(0)=/.(—2),则/(0)=0,从而/(2024)=/(0)=0,故A错误.

因为/(2i+6)=/(-2a-),所以/殳+6)=〃一外，所以/(一1)=/(工一6),所以/Cr)的

图象关于直线Z=-3对称，则B正确.易得了般)的周期为4,且其图象关于直线1=-3及

z=3对称,则直线_r=-3+4〃及工=3+4〃(〃£2)均为/'(工)图象的对称轴，从而/(-2)=

r(o)=o,f(J)=/(%=i.令得•一D+f(?+i)=o,即/(4-)=-/(4)=

乙乙乙乙乙乙乙

1QQ20处11R4

T,则f号)=/(1)=/号)=一1，故左(T)叼凌一七=一/弓)+2/号)-3/号)

+4/(-1)----2025/(竽)=(1-2-3+4)H----H202〕一2022—2023+2024)+2025=

乙乙

2025,故D正确.

12.1因为公+&+2>0恒成立，所以双曲线E的焦点在1轴上，则J2"7k解得

.l2a+3>0,

=1或a=—2(舍去).

13.圣/(jr)=sin>/3cosx(g>0)=2sin(car—冬(川>0).因为存在耳6[0,加],使得

0O

/(为(=-2,所以34一年>竽，解得卷.

14.(8,12]如图，连接OE,AB.设NAOE=2。,则NBOE=｝一20,/ABE=:区二次后

仇故NOBE=d+£.在△OBE中，由正弦定理可得———=\/\\\

sin瞪—26)X戈

°c13

cpO£?sin(-y—20)OEsin(2d+~^)

———,则BE=------------=-----------=8cos(0+f.

sin(j+手)sin(j+M)sin(j+手)

444

DFOF

在RtZ\ODE中，由正弦定理可得则DE=OEsin28=4sin20平行四边形

sin£(7sinyu

BCDE的周长为2(BE+DE)=16cosS+£)+8sin2J=16cos(d+于)-8cos(2<?+今)

=-16cosz^)+16cos(d+£)+8=-16]cos(d+7)—1-J2+12.

JC44乙

【高三数学•参考答案第2页(共6页)]

因为OV2K号，所以OVOVj所以于〈什孑〈号，所以0<cos(0+£)<零，所以0<

[cos(0+£)—I'Tv),则8V—16[COS(6+£)—^[2+12<12,即平行四边形BCDE的

周长的取值范围是(8,121.

15.(1)解：因为/(公二忆足],所以/(/nlnx+l.........................................................1分

令人工尸。,得，当zG(0,看)时,f(z)VO"3单调递减，当zG(十,十8)时,

/0)>0,/(久)单调递增，.....................................................3分

故当2=5时,/(尤)取得极小值，且极小值为/(5)=一十,无极大值.............5分

(2)证明:设切点为(殉,iolnHo),则切线的方程为y—JCoInxo=(l+lnxo)(x—xo)».......

..................................................................................................................................6分

则6-zoln_ro=(l+lnzo)(a—死)，整理得〃=alnm一zo+a...................................7分

由过点(。，份可以作两条直线与曲线V=/Cr)相切，可得方程b=a\n工一工十。有两个不相

等的正根.....................................................................9分

g(jr)=alnx—7+a,贝!]g'(z)="J.......................................................................10分

当a<0时,g'(>z)<O,g(H)单调递减,则方程b=ulna：~'：r+a最多只有一个正根，不符合题

意..........................................................................11分

当a>0时，若HG(0,a)，则g'(G>O，g(>r)单调递增，若xE(a,+8),则g'(2)V0,g(①)

单调递减，则g(z)max=g(a)=ahu,..............................................................................12分

故要使得方程6=aln7一丁十〃有两个不相等的正根，则b<a\na................................13分

16.(D证明:取CD珀中点O,连接OA,OB.

因为BC=BD,所以OB_LCD,且OB=挈.......................................1分

乙

又AC=AD=BC,所以OAJ_CD,且OA=挈...................................3分

乙

因为AB=BC=4<D,所以OB2+Q42=AB2,则OB_LOA.......................................4分

乙

又OAC|CD=O,所以O8_L平面ACD...............................................................................5分

又OBU平面BCD,所以平面ACD_L平面BCD...............................................................6分

(2)解：由(1)可知，OD,OB,OA两两垂直，以O为坐标原点，力

OD,OB,CM所在的直线分别为①轴、y轴、z轴建立如图所示的

空间直角坐标系.；\

设CD=4,则A(0,0,2),B(0,2,0),C(—2,0,0),D(2,0,0).

..........................................................................................7分yi^:"XT……

因为E,F分别为AB,AC的中点，所以E(0,1,1),F(—1,0,1),\

..............................................................................................8分c

【高三数学•参考答案第3页(共6页)】

：-LT叱

则加=（2,—2,0）,彷=（一1,一2,1）,6=（4,0,0）,琵=（2,1,1）.9分

设平面BDF的法向量为小=（11，加,zi），

m•豆方=0,2xi—2yl=0,

由〃一防=0,得令工1=1,得故=(1,1,3).11分

一4—2yi+zi=0,

设平面CDE的法向量为”=（72，山，22）,

[n•CD=O,

由(=0,得412=0，人

C.,令)2=1，得〃=(0，1，—1).13分

2力2+1y2+之2=°，

cos5,〃〉=谓芾一胃泰=一喑,故平面BDF与平面CDE夹角的余弦值为冬.

..............................................................................................................................................15分

17.解：（1）由题可知，从两袋中各随机地取出1个球，总的事件有00=36个，........2分

其中这2个球颜色相同的事件有QC+C|Cg=18个，.............................4分

故这2个球颜色相同的概率为1|=义.............................................6分

ObZ

（2）设从甲袋中取出寅3=0,1,2）个红球为事件4,则？（4）=售-4，尸（41）=萼=春,

1，6053

P（A2）=^f=1..................................................................................................................7分

设从乙袋中取出j(j=O,l⑵个红球为事件%则P(Bo)=P(Ao)P(Bo|Ao)+P(AI)•

P(Bo|A1)+P(A2)P(Bo|A2)=P(^1B0)+P(AIBo)+P(A2Bo)=yx1j4-|-x|f+-i-X

P(B])=P(A())P(B]|AQ)+P(A)P(B]IA1)+尸(A2)P(B]|A?)=P(,AQB\)+P(A】B])+

P(Ap)—1*C：¥3乂।1xQ_29..........................................................i-izv

n

P(A2&)—5Xc|+5Xa十5义a-70-分

P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=P(AIB2)+P(A2B2)=4XS+-F><3=

5145c4

X的分布列为

X012

19293

P

357070

..............................................................................................................................................14分

1Q9QRI

E(X)=0X越+1X祭+2><奈=今..........................................15分

O0«UIVLa

18.解:设P5，⑨），Mro.

【高三数学•参考答案第4页（共6页）］

（1）由题意可得4（一”,0）,42（4,0）,则〃P=消%，研/,=京£,

从而kAp-•~^~=/2・.....................................................................2分

12与十。x\-ajq-a4

因为点尸在椭圆C上,所以■+1=1,所以认=空谭"，

/,2Q

则&AJ•氏&/,=—/=—彳.①.................................................4分

因为椭圆C的焦距是2,所以2c=2.②.......................................5分

联立①②，解得a=2"=点，...................................................6分

则椭圆C的标准方程为＜十f=1..........................................7分

，O

（2）设QCr。,3）,因为S△%F?=]＜尸F1I+IPF2I+IBF2I）•121=。尸出|•|例|,

所以3,o=g............................................................9分

由（1）可知Fi（—1,0）,则直线PB的方程为「=TrrCr+l）,即刈工-5+1方+二=0,

...................................................................10分

从而点Q到直线PB的距离〃二1％①。（H毕2=R。I，...............11分

v5十I）・十VI

2

即|3(m+1)—(彳1+1)|={(©+1»+、)彳.即9(a*o+l)—6(m+1)(幻+1)=1yl......

...................................................................12分

因为苧+5=1,所以-=3（1—苧），所以35+1）2-25+1）（乃+1）=1—苧,......

..............................................................13分

所以12曷+（16—8zi）彳o+若-8xi=0,即（25）一1i）所4o—x\+8）=0..........14分

因为一lOoVl,—2VriV2,6%o—©+8＞0,所以2%0=为・.....................15分

因为乎+F=L所以"衿=L即忌+3%=1......................16分

故存在定点M（专,0）,N（一考,0）,使得|QM|+|QN|=2....................17分

19.⑴解:因为多＜y＜4,所以所以

所以刃3=（