2024届甘肃省定西市中考五模数学试题含解析

2024届甘肃省定西市名校中考五模数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.图1〜图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法:

弧①是以O为圆心，任意长为半径所

画的弧；弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P为圆

心，任意长为半径所画的弧；

其中正确说法的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

2.学校小组5名同学的身高（单位：cm）分别为：147,156,151,152,159,则这组数据的中位数是（）.

A.147B.151C.152D.156

3.把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+l）（x-3）,则a、b的值分别是（）

A.a-2,b=3B.a=-2,b=-3

C.a=-2,b=3D.a=2,b=-3

4.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率？与加工时间

t（单位：分钟）满足的函数关系p=a户+4+c（a,b,c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和

实验数据，可得到最佳加工时间为（）

0.5----------L十一〒

।।!

•।

•।

•।

।；

-----------!--!--->--->

O345?

A.4.25分钟B.4.00分钟C.3.75分钟D.3.50分钟

5.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）

俯视图主视图左视图

A.棱柱B.正方形C.圆柱D.圆锥

6.用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形ABC。，下列作法错误的是()

7.在-3,-1,0,1四个数中，比-2小的数是（）

A.-3B.-1C.0D.1

8.如图，甲从A点出发向北偏东70。方向走到点B,乙从点A出发向南偏西15。方向走到点C,则NBAC的度数是()

A.85°B.105°C.125°D.160°

9.“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共

互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是()

A.x(x+1)=210B.x(x-1)=210

C.2x(x-1)=210D.—x(x-1)=210

2

10.下列函数中，二次函数是()

A.y=-4x+5B.y=x(2x-3)

C.y=(x+4)2-x2D.y=4

〜x

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

3x-5>1

11.关于X的不等式组LS有2个整数解，则a的取值范围是____________.

5x-a<12

12.如图，在:O中，AB为直径，点C在O上，/ACB的平分线交O于D,则—ABD=.

QB

13.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm,则水的最大深度CD是

mm.

14.因式分解2/_4X+2=.

15.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E,NA=30。，NACB=80。，则NBCE=

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）（1）问题发现

A5

如图1,在R3ABC中，ZA=90°,——=1,点P是边BC上一动点（不与点B重合），ZPAD=90°,ZAPD=ZB,

AC

连接CD.

PB

(1)①求而的值；②求NACD的度数.

(2)拓展探究

A5

如图2,在RtAABC中，ZA=90°,——=k.点P是边BC上一动点(不与点B重合)，ZPAD=90°,NAPD=NB,

AC

连接CD,请判断NACD与NB的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由.

（3）解决问题

如图3,在AABC中，ZB=45°,AB=4j^,BC=12,P是边BC上一动点（不与点B重合），ZPAD=ZBAC,

NAPD=NB,连接CD.若PA=5,请直接写出CD的长.

c

c■D

图2图3

18.（8分）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90。得到AEFC,NACE的平分线CD交EF于点D,连接AD、

19.（8分）如图，抛物线y=ax?+ax-12a（aVO）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C,点M

是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N.

(1)求点A、B的坐标;

27

(2)若BN=MN,且SAMBC=一，求a的值;

4

20.（8分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加

为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.该项绿化工程原计划每天完成多少米2?该项绿化工程中有一块

长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及

周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米?

21.（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把

所得数据整理后绘制成如下的统计图：

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？

（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图;

（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间.

22.（10分）如图1,在等边三角形ABC中，CD为中线，点。在线段CD上运动，将线段QA绕点。顺时针旋转,

使得点A的对应点E落在射线上，连接3Q,设（0°＜。＜60°且（z/3O°）.

AA

图1备用图

（1）当0°＜。＜30°时，

①在图1中依题意画出图形，并求/BQE（用含a的式子表示）;

②探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系，并加以证明;

（2）当30°＜60°时，直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系.

23.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1,1）,B（4,0）,C（4,4）.按

下列要求作图：

①将△ABC向左平移4个单位，得到△AiBiCi；

②将AAiBiG绕点Bi逆时针旋转90。，得到AAiBiG.求点G在旋转过程中所经过的路径长.

%

24.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分另IJ在AD、BC边上，且AE=CF.

求证：(1)AABE^ACDF；四边形BFDE是平行四边形.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

根据基本作图的方法即可得到结论.

【详解】

解：(1)弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；

(2)弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误;

(3)弧③是以A为圆心，大于‘AB的长为半径所画的弧，错误；

2

(4)弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法.

2、C

【解析】

根据中位数的定义进行解答

【详解】

将5名同学的身高按从高到矮的顺序排列：159、156、152、151、147,因此这组数据的中位数是152.故选C.

【点睛】

本题主要考查中位数，解题的关键是熟练掌握中位数的定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列,

处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数)称为中位数.

3、B

【解析】

分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.

详解：(x+1)(x-3)

=x2-3x+x-3

=x2-2x-3

所以a=2,b=-3,

故选B.

点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.

4、C

【解析】

根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的性质可得.

【详解】

根据题意，将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)RAp=at2+bt+c,

9a+3b+c=0.7

得：＜16。+4b+c=0.8

25a+5b+c=0.5

解得：a=-0.2,b=l.5,c=-2,

即p=-0.2t2+1.5t-2,

当t=--^K=3.75时，p取得最大值，

-0.2x2

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键.

5、C

【解析】试题解析：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，

根据俯视图是圆可判断出该几何体为圆柱.

故选C.

6、A

【解析】

根据菱形的判定方法一一判定即可

【详解】

作的是角平分线，只能说明四边形ABCD是平行四边形，故A符合题意

B、作的是连接AC,分别做两个角与已知角NCAD、NACB相等的角，即/BAC=/DAC,NACB=NACD,能得到

AB=BC,AD=CD,又AB〃CD,所以四边形ABCD为菱形，B不符合题意

C、由辅助线可知AD=AB=BC,又AD〃BC,所以四边形ABCD为菱形，C不符合题意

D、作的是BD垂直平分线，由平行四边形中心对称性质可知AC与BD互相平分且垂直，得到四边形ABCD是菱形,

D不符合题意

故选A

【点睛】

本题考查平行四边形的判定，能理解每个图的作法是本题解题关键

7、A

【解析】

因为正数是比0大的数，负数是比0小的数，正数比负数大;负数的绝对值越大，本身就越小，根据有理数比较大小的法则即

可选出答案.

【详解】

因为正数是比0大的数，负数是比0小的数，正数比负数大;负数的绝对值越大,本身就越小，

所以在-3,-1,0,1这四个数中比-2小的数是-3,

故选A.

【点睛】

本题主要考查有理数比较大小,解决本题的关键是要熟练掌握比较有理数大小的方法.

8、C

【解析】

首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解.

【详解】

根据题意得：ZBAC=(90°-70°)+15°+90°=125°,

故选：c.

【点睛】

本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键.

9、B

【解析】

设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(xT)本；

则总共送出的图书为x(x-l)；

又知实际互赠了210本图书，

贝!Ix(x-l)=210.

故选：B.

10、B

【解析】

A.y=-4x+5是一次函数，故此选项错误；

B.y=x(2x-3)=2x2-3x,是二次函数，故此选项正确；

C.y=(x+4)2-x2=8x+16,为一次函数，故此选项错误；

D.y=Z是组合函数，故此选项错误.

x

故选B.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11,8<a<13；

【解析】

首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以

得到关于a的不等式，从而求出a的范围.

【详解】

解不等式3x-5>l,得：x>2,

解不等式5x-a<12,得：x4产，

•••不等式组有2个整数解，

,其整数解为3和4,

解得：8<a<13,

故答案为：8<a<13

【点睛】

此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键

12、1

【解析】

由AB为直径，得到NACB=90，由因为CD平分/ACB,所以/ACD=45，这样就可求出/ABD.

【详解】

解：AB为直径，

../ACB=90，

又CD平分/ACB,

..NACD=45，

../ABD=NACD=45.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的

一半•同时考查了直径所对的圆周角为90度.

13、200

【解析】

先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论.

【详解】

解：的直径为1000mm,

/.OA=OA=500mm.

VOD±AB,AB=800mm,

/.AC=400mm,

*"•OC=doA_AC?=75002-4002=300mm,

/.CD=OD-GC=500-300=200(mm).

答：水的最大深度为200mm.

故答案为：200

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键.

14、2(x-l)2.

【解析】

解：2尤2—4X+2=2，_2X+1)=2(X—1)2,故答案为：2(x-l)2.

15、1

【解析】

根据△ABC中DE垂直平分AC,可求出AE=CE,再根据等腰三角形的性质求出NACE=NA=30。，再根据NACB=80。

即可解答.

【详解】

；DE垂直平分AC,ZA=30°,

/.AE=CE,ZACE=ZA=30°,

VZACB=80°,

.,.ZBCE=80°-30°=l°.

故答案为：L

16、-5

【解析】

两边同时乘以(x+3)(x-3),得

6-X2+9=-X2-3X,

解得:x=-5,

检验：当x=-5时，(x+3)(x-3)#0,所以x=-5是分式方程的解，

故答案为：-5.

【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边同时乘以最简公分母，切记要进行检验.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)1,45°；(2)ZACD=ZB,理=四=k;(3)近

CDAC2

【解析】

PB

(1)根据已知条件推出△ABP段4ACD,根据全等三角形的性质得到PB=CD,ZACD=ZB=45°,于是得到—=1；

AHAp

(2)根据已知条件得到△ABC-AAPD,由相似三角形的性质得到—=—=左，得到ABP-ACAD,根据相似

ACAD

三角形的性质得到结论;

(3)过A作AHLBC于H,得到△ABH是等腰直角三角形，求得AH=BH=4,根据勾股定理得到

AC7AH2+CH?=4非,PH7PA-AH2=3,根据相似三角形的性质得到—,推出

AC

△ABP-ACAD,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】

(1)VZA=90°,

『1,

AC

,\AB=AC,

.*.ZB=45°,

VZPAD=90°,ZAPD=ZB=45°,

.♦.AP=AD,

r.ZBAP=ZCAD,

在/kABP与人ACD中，

AB=AC,ZBAP=ZCAD,AP=AD,

.,.△ABP^AACD,

.♦.PB=CD,ZACD=ZB=45°,

PB

-----=1

CD

DDAR

(2)ZACD=ZB,—=—=k,

CDAC

VZBAC=ZPAD=90°,NB=NAPD,

/.△ABC^AAPD,

ABAP,

-----------k

ACAD

VZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAD=90°,

.\ZBAP=ZCAD,

AAABP^ACAD,

:.NACD=NB,

PBAB,

--=--=k,

CDAC

(3)过A作AH±BC于H,

图3

VZB=45°,

.•.△ABH是等腰直角三角形，

VAB=4A/2,

；.AH=BH=4,

VBC=12,

；.CH=8,

；•AC=yjAH2+CH2=4A/5,

•••PH=,PA2—=3,

/.PB=1,

VZBAC=ZPAD=,NB=NAPD,

/.△ABC^AAPD,

.ABAP

**AC-AD5

,:ZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAD,

...NBAP=NCAD,

/.△ABP^ACAD,

理一，即华J,

ACCD4A/5CD

・•。=芈

过A作AH±BC于H,

图4

VZB=45°,

.,.△ABH是等腰直角三角形,

VAB=4A/2,

AAH=BH=4,

VBC=12,

ACH=8,

・•・AC=A/AH2+CW2=475,

：•PH=yjPA2—AH2=3,

APB=7,

VZBAC=ZPAD=,ZB=ZAPD,

AAABC^AAPD,

ABAP

•••一_,

ACAD

VZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAD,

NBAP=NCAD,

AAABP^ACAD,

.AB_PB口口4桓7

••,f——•

ACCD475CD

”二迦.

2

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定

和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

18、(1)75°(2)见解析

【解析】

(1)由等边三角形的性质可得NACB=60。，BC=AC,由旋转的性质可得CF=BC,NBCF=90。，由等腰三角形的

性质可求解；

(2)由“SAS”可证△ECD丝Z\ACD,可得NDAC=NE=6(T=NACB,即可证AD〃BC.

【详解】

解：(1)•••△ABC是等边三角形

.\ZACB=60o,BC=AC

•.•等边△ABC绕点C顺时针旋转90。得到△EFC

.\CF=BC,ZBCF=90°,AC=CE

；.CF=AC

VZBCF=90o,ZACB=60°

；.NACF=NBCF-NACB=30。

/.ZCFA=-(1800-ZACF)=75°

2

(2)..•△ABC和AEFC是等边三角形

.,.ZACB=60°,ZE=60°

VCD平分NACE

.\ZACD=ZECD

VZACD=ZECD,CD=CD,CA=CE,

/.△ECD^AACD(SAS)

NDAC=NE=60。

/.ZDAC=ZACB

，AD〃BC

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键.

19、(1)A(-4,0),B(3,0)；(2)--；(3)

46

【解析】

(1)设y=0,可求x的值，即求A,B的坐标；

27

(2)作MDLx轴，由CO〃MD可得OD=3,把x=-3代入解析式可得M点坐标，可得ON的长度，根据SABMC=一，

4

可求a的值；

MN_

(3)过M点作ME〃AB,设NO=m,——=k,可以用m,k表示CO,EO,MD,ME,可求M点坐标，代入可

NB

得k,m,a的关系式，由CO=2km+m=-12a,可得方程组，解得k,即可求结果.

【详解】

(1)设y=0,则0=ax2+ax-12a(a<0),

xi=-4,X2=3,

AA(-4,0),B(3,0)

(2)如图1,作MDLx轴，

图1

•.•MD_Lx轴，OC_Lx轴,

/.MD/7OC,

MBOB广

——=——且NB=MN,

MNOD

.•.OB=OD=3,

AD(-3,0),

.,.当x=-3时，y=-6a,

：.M(-3,-6a),

/.MD=-6a,

VON/7MD

.ONOB_1

•・丽―茄―5'

AON=-3a,

根据题意得：C(0,-12a),

・・27

<•*SAMBC=—,

4

1、27

•••—(z-12a+3a)x6=—，

24

1

a=-----，

4

(3)如图2：过M点作ME〃AB,

VME/7AB,

:.ZEMB=ZABM且NCMB=2NABM,

AZCME=ZNME,且ME=ME,ZCEM=ZNEM=90°,

AACME^AMNE,

/.CE=EN,

“MN

设NO=m,------=k(k>0),

NB

VME/ZAB,

ENMNME

・・-----=---------------=k,

ONNBOB

/.ME=3k,EN=km=CE,

/.EO=km+m,

CO=CE+EN+ON=2km+m=-12a,

rr皿-12

即一二

a2k+l

.*.M(-3k,km+m),

/.km+m=a(9k2-3k-12),

m

(k+1)x—=(k+1)(9k-12),

a

-12

--------=9k-12,

2k+l

5

k=—,

6

MN_5

NB~6"

【点睛】

本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，是二次函数与解析几何知识的综合应用，难度较大.

20、(1)2000；(2)2米

【解析】

(1)设未知数，根据题目中的的量关系列出方程;

(2)可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程

【详解】

解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成X米2,

46000-2200046000-22000

根据题意得:---------------------=4

x1.5%

解得：x=2000,

经检验，x=2000是原方程的解；

答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米;

(2)设人行道的宽度为x米，根据题意得，

(20-3x)(8-2x)=56

解得：x=2或(不合题意，舍去)•

答：人行道的宽为2米.

21、(4)500；(4)440,作图见试题解析；(4)4.4.

【解析】

(4)利用0.5小时的人数除以其所占比例，即可求出样本容量；

(4)利用样本容量乘以4.5小时的百分数，即可求出4.5小时的人数，画图即可;

(4)计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可.

【详解】

解：(4)由题意可得：0.5小时的人数为：400人，所占比例为：40%,

二本次调查共抽样了500名学生；

(4)4.5小时的人数为：500x4.4=440(人)如图所示：

（4）根据题意得：-----------------------:--------=4.4,即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间为4.4

100+200+120+80

小时.

考点：4.频数（率）分布直方图；4.扇形统计图；4.加权平均数.

22、⑴①60。+20;®CE+AC=y/3CQ；（2）AC-CE=y/3CQ

【解析】

（D①先根据等边三角形的性质的QA=QB,进而得出。3=QE,最后用三角形的内角和定理即可得出结论；②先

判断出AQA/三AQEC,得出Qb=QC,再判断出AQb是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可

得出结论；（2）同②的方法即可得出结论.

【详解】

（1）当0°＜。＜30°时，

①画出的图形如图1所示，

,/AABC为等边三角形，

:.ZABC=60.

VCD为等边三角形的中线

•••CD是的垂直平分线，

为线段CD上的点，

：.QA=QB.

VA.DAQ=cc,

：.AABQ=ADAQ=a,/QBE=60°—a.

•••线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得,

：.QE=QA.

：.QB=QE.

/.ZQEB=ZQBE=60°—a,

ZBQE=180°-2NQBE=180°-2（60°-«）=60°+2（z;

@CE+AC=y/3CQ；

如图2,延长C4到点P，使得A^=CE,连接QF,作Q"_LAC于点

•.•ZBQE=600+2a,点E在BC上，

:.NQEC=ZBQE+ZQBE=（60°+2a）+（60。-a）=120。+a.

•.•点/在C4的延长线上，ZDAQ=c（,

:.NQAF=NBAF+ZDAQ=120°+a.

：.NQAF=ZQEC.

又,：AF=CE,QA^QE,

；.AQAFs\QEC.

：.QF=QC.

•.•Q"J_AC于点〃，

：.FH=CH,CF=2CH.

•.•在等边三角形ABC中，CD为中线，点。在CD上，

ZACQ=^ZACB=30°,

即AQb为底角为30的等腰三角形.

ACH^CQ-cosNQCH=CQ-cos30°=*CQ.

:.CE+AC=AF+AC=CF=2CH=欣。.

(2)如图3,当30°＜。＜60°