湖南省衡阳市2022-2023学年高二年级下册7月期末联考数学试题（解析版）

高二数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合A={M2T<1},8="215<0},贝,B=()

A.(1,5)B.(1,3)

c.(-5,1)D.(-3,1)

【答案】B

【解析】

【分析】计算并求解集合A，B,利用交集的定义求解AcB.

【详解】2-x<l.解得x>l；x2+2%-15<0>解得一5<x<3,

所以集合4=5={x|-5<x<3},

所以AcB=(l,3).

故选：B

2.已知aeR,复数(a—2i)(3+i)是实数，则。=()

,22

A.—B.

33

C.6D.-6

【答案】C

【解析】

【分析】对已知化简后，由虚部等于零可求得结果.

【详解】因为(。一2。(3+。=3。+2+3-6万为实数，

所以。一6=0,解得a=6.

故选：C

【解析】

【分析】根据函数解析式确定函数性质，利用排除法去掉不符合的选项即可.

【详解】/(X)定义域为R,

222

因为/(-X)+/(x)=XIn(J》?+1+x)+fin^Jx+\-xj=xIn+]++1-x)]=0,

所以/(x)是奇函数，排除C,D.

当x>0时，&+i<x+i,则6+1一%<1，-%)<0,所以/(x)<0,排除B.

故选：A.

4.某高校现有400名教师，他们的学历情况如图所示，由于该高校今年学生人数急剧增长，所以今年计

划招聘一批新教师，其中博士生80名，硕士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后硕士生的比例下

降了4%,招聘后全校教师举行植树活动，树苗共1500棵，若树苗均按学历的比例进行分配，则该高校

本科生教师共分得树苗的棵数为（）

本科生10%

B.120

C.200D.240

【答案】B

【解析】

【分析】设招聘x名硕士生,然后根据题意结合扇形统计图列方程可求出工的值，再根据比例可求得结果.

【详解】设招聘X名硕士生，由题意可知，x+40()X0.4=(40()+80+x)x(0.4-0.04),

解得x=20，

40

所以本科生教师共分得树苗x1500=120棵.

400+80+20

故选：B

7T

5.设0<x<2,贝“xcosxcl”是“％<1”的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合余弦函数的性质分析判断即可.

兀11

【详解】若0<X<-，xcosxvl,则-----，而----->1,

2cosxcosx

所以“XCOS%V1”推不出“x<r；

TT

若x<l,又0cxe-，则0<cosx<l,

2

所以0<XCOSX<1,即"X<1”可以推出"XCOSX<1

所以“XCOSX<1”是“X<1”的必要不充分条件，

故选：B

6.若a=log3（）.3,6=sin一,c=5°/，则（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<h

【答案】C

【解析】

【分析】由指数函数、对数函数、三角函数的性质可得4<0,Z?G（O,1）,C>1,即可得答案.

3兀

【详解】因为a=log30-3<0,/J=sinyG（0,1）,c=5°」>l，所以a<6<c.

故选：C.

7.已知正三棱柱ABC-A4G的顶点都在球。的球面上，若正三棱柱ABC-44G的侧面积为6,底

面积为K，则球o的表面积为（）

19兀77r

A.——B.—

33

C.2兀D.7兀

【答案】A

【解析】

【分析】设正三棱柱的底面边长为。，高为〃，根据题意里程方程组求得。=2,力=1,设的外接

圆半径为r,求得/•=区5,结合球的截面圆的性质，列出方程求得球。的半径为R,进而求得球的表

3

面积.

【详解】由正三棱柱ABC-A4G是直三棱柱，设其高为〃，AC=5C=A5=a,

因为正三棱柱ABC-A4G的侧面积为6,底面积为内，

可得3ax/z=6,且且〃=百，解得。=2,〃=1,

4

2r——2、同

设一ABC的外接圆半径为广，则一.兀，解得r=£巴，

sin—3

3）

设球。的半径为R,则R2=/2+（—h）2=4—+—1=1」0，

23412

1919TI

所以球。的表面积为4兀、==上.

123

故选：A.

8.弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，其中“五经”是国学经典

著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》.小明准备学习“五经”，现安排连续四天进

行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》不能安排在相邻两天学习，

《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有()

A.32种B.48种

C.56种D.68种

【答案】D

【解析】

【分析】利用排列组合分别讨论不排《周易》，排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，排《周易》且

《诗经》与《礼记》只安排一个，三种情况，再利用分类加法计数原理将所有情况相加即可.

【详解】①若《周易》不排，先将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，

再将《诗经》与《礼记》插空，则共有A；A；=12种安排方式.

②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，

在《尚书》和《春秋》中先选1种，然后将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，

再将《诗经》与《礼记》插空，减去将《周易》排在第一天的情况即可，

共有C；A；A；-C；A；=2()种安排方式；

③若排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个，

先在《诗经》与《礼记》中选1种，然后将《周易》排在后三天的一天，

最后将剩下的3种书全排列即可，

共有C；C；A；=36种安排方式.

所以共有12+20+36=68种安排方式.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线/：4x+3y+6=0与圆C：(x—+V=9相交于E,F两点,贝U()

A.圆心C到直线/的距离为1B.圆心C到直线/的距离为2

C.|EF|=V5D.|EF|=2A/5

【答案】BD

【解析】

【分析】根据点到直线的距离公式计算可知A错误，B正确；利用几何法求出弦长可知C错误，D正确.

【详解】因为圆心C（1,O）到直线/的距离〃=一产=2,所以A错误，B正确.

因为1=2,9-22=2#>,所以C错误,D正确.

故选：BD

1（Q

10.已知函数/（无）=；；sin2x--,下列说法正确是（）

2\6）

TT

A.f（x）的最小正周期为一

2

B./（X）的极值点为x=]+—（«€Z）

1Ji

C./（x）的图象可由函数y=gsin2x的图象向右平移五个单位长度得到

D.若毛）=/（%2），则X=X2+E（%GZ）

【答案】BC

【解析】

【分析】由正弦函数的最小正周期的计算公式可判断A；对Ax）求导，令/'（x）=O可判断B；由三角函数

27r

的平移变换可判断C；由/（玉）=/（w）,求出％=%+也（左€2）或玉=3■-工2+E（左€2）可判断口.

27c

【详解】/（X）的最小正周期为7=1=兀，所以A错误；

由/'（X）=cos（2x-y]=0,得彳=二+蛆（ZGZ）,

I6；32

由三角函数的性质可验证/（X）的极值点为X=^+与（&eZ）,所以B正确；

将y=gsin2x的图象向右平移三个单位长度得到=gsin（2x-2]的图象，所以c正确；

若/&）=/（马），则小11（2%-看）=小11（2工2-胃，

所以sin（2X[-看）=sin2々一巳），则一季=2々一《+2E（keZ）或

兀71

2%|---F2X—=兀+2kli（kwZ）

6~969

则%=%+kn(k€Z)或％=三一%2+kn(kGZ),所以D错误.

故选：BC.

22

11.已知双曲线c：\-1=1（。>02>0）的右焦点招（g,o）到渐近线的距离为i,p为c上一点，下

列说法正确的是（）

A.C的离心率为理

2

B.|尸周的最小值为交

C.若A,8为C的左、右顶点，P与A,8不重合，则直线R4，尸3的斜率之积为；

D.设C的左焦点为《，若△「耳用的面积为坐，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意列关于8c的等式，从而可得双曲线的方程，计算离心率，|桃|的最小值，结合动点

2

P满足的方程手-公=1,列式计算原八•即8,在焦点三角形鸟中，由双曲线的定义，余弦定理以

及三角形面积公式列式即可计算出/耳2居.

L\cb\L

【详解】由已知可得C=J5，/1=b=\,所以a=0,

yla2+b2

则C的方程为工—V=i,离心率为卓=逅，A正确；

2722

因为的最小值为c-a=G-四，所以B错误；

2

设/伍，几）,则/_y：=i,A（-V2,o）,B（V2,0）

2日-1

卜卜一约y。_2__L，所以c正确；

|附HP-=2a

设N6P6=e,由.恒用2=归耳『+归名「—2|pf；||p周cose

S"=:®||PKkin。

S_♦_1一百

可得0~一7一号，得tan—=>/3,

tan—tan—2

22

则N£P居=二三，所以D正确.

3

故选：ACD

12.已知函数/(x)=e'T—x,若Vxe(0,+«o),/(幻之。#一x-xlnx),则实数”的取值可能为

()

A.2B.-e

C.yD.1

【答案】BCD

【解析】

【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法，构造新函数，利用导数的性质判断其单调性，再利用单调

性进行求解判断即可.

【详解】因为x>0,

pXT

所以/(x)>"(x?-x-xlnx)=>-------1>a(x-l-lnx)=>et-l-lnx-1>a(x-l-ln.r).

设f=x-l-lnx(x>0),则有r'=l-L

x

当x>l时，f'>0,函数f=x—1—Inx单调递增，

当0<x<l时，t'<0,函数f=x-l-lnx单调递减，所以f(X)min=f(D=。，

所以原问题转化为当Vze[0,+oo),e'一1N成恒成立，

由e'—1Na,=e'—1一勿20，设g(7)=e'—>0),

g'(f)=e'—a,因为「20,所以e'Nl，

当aVl时,gV)>0,函数g(f)=e'—l-at单调递增,

所以有g(f)min=g(°)=0，显然Vre[0,+8),e'-INa，恒成立;

当。>1时，当，>lna时，函数g(f)=e'-l-af单调递增，当OWtvlna时，g(f)=e'-1一必单调递减,

因此有g⑺<g(0)ngQ)<0,所以VpO,+oo),不恒成立,

综上所述：a<\,故选项BCD符合题意，

故选：BCD

【点睛】关健点睛：对不等式进行变形，构造函数，利用导数的性质是解题的关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13已知向量。=(1,2),6=(1,2机-4),若a//。，则m=.

3

【答案】一##1.5

2

【解析】

【分析】由平行向量的坐标运算求解即可.

3

【详解】因为a//b，所以2加-4=2(1-加)，解得根=］.

3

故答案为：一.

2

2

14.已知sin则cosf2at+y

3

【答案】—

【解析】

分析】利用诱导公式及倍角公式变形计算cos(2a+5)即可.

［详解］cos|2aH—|—cosI2aH----兀］=_cos|2a----|=2sin~|cc—|_1

故答案为：-A

9

15.如图，某圆柱与圆锥共底等高，圆柱侧面的展开图恰好为正方形，则圆柱母线与圆锥母线所成角的正

切值为

因为M到x轴的距离为6,所以|MN|=6+4=10.

由抛物线的定义知^\AF\,\BD\=怛目，

所以2|MV|=|Aq+|叫=|A月+忸F|=20.

因为|A同+忸月当点尸在线段AB上时等号成立，

所以|AB|W20,即1481的最大值为20.

故答案为：20.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等比数列｛%｝中，q=3,且3%是4和%的等差中项.

(1)求｛q｝的通项公式；

⑵若勺＞0,2=号，求数列｛么｝前〃项和S..

【答案】(1)答案见解析

(2)5“=(〃-1)x2"+1

【解析】

【分析】(1)根据等比数列的通项公式和等差中项的含义即可得到关于9的方程，解出即可；

(2)分析计算得以=〃X2"T,利用错位相减法即可得到答案.

【小问1详解】

设｛4｝的公比为4，＜7^0,因为3%是为和牝的等差中项，

22

所以6a,=4+%,则6%q=atq+q/,

化简得42+4—6=0,解得g=2或q=-3,

当4=2时，a“=qq"T=3x2"T,

当4=—3时，«„=%q"T=3x(-3)e=-(一3)".

【小问2详解】

因为%＞0,所以勺=3x2"T,=〃X2"T,

S„=1X2°+2X2'+3X22+L+nx2n-1,①

则2s.=1x2/2x22+3x23++〃x2",②

则①一②得—S“=2°+2i+22++2"T——〃x2"=(l-〃)x2"—1.

"1-2

故S“=(〃—l)x2"+l.

18.已知6ABe的内角A,B,C的对边分别为“，b,c.

3

(1)若a=10,c=3,tan6=—,求_A8C的面积；

4

(2)若/二伏人+3，证明：A=2B.

【答案】(1)9(2)证明见解析

【解析】

3

【分析】(D先由tan5=-求出sinB,然后利用三角形面积公式求解即可；

4

(2)由已知条件结合余弦定理可得c=b(l+2cosA),再利用正弦定理统一成角的形式，化简后可证得结

论.

【小问1详解】

因为tan6=』，所以1n巨=3,即4sinB=3cosB,

4cosB4

因为sin?3+cos?8=1，8e(0,7t)

3

所以解得sinB=1.

113

所以ABC的面积S=—acsinB=—xl0x3x—=9.

~225

【小问2详解】

证明：因为q2=8S+c),片=/+C2-28CCOSA，

所以》2+c?-2bccosA=b2+be化简得。=仇1+2cosA),

所以sinC=sinB(1+2cosA),

即sin(A+3)=sin8+2sinBcosA,

所以sinAcosB+cosAsinB-sinB+2sinBcosA,

所以sin(A-B)=sinB.

因为A-BG(0,TI),Be(0,2,

所以A—3=3或4-3=兀一3（舍去），

所以A=23.

19.某单位准备从8名报名者（其中男性5人，女性3人）中选4人参加4个副主任职位竞选.

（1）设所选4人中女性人数为X，求X的分布列与数学期望；

（2）若选出的4名副主任分配到A，B,C,。这4个科室上任，一个科室分配1名副主任，且每名副

主任只能到一个科室，求A科室任职的是女性的情况下，B科室任职的是男性的概率.

3

【答案】（1）分布列见解析，£（X）=-

2

⑵-

7

【解析】

【分析】（1）根据题意得X的可能取值为0，I,2,3,求出X取每个值的概率可得分布列，由期望公式

可得期望：

（2）根据条件概率公式可求出结果.

【小问1详解】

依题意，X的可能取值为0，1,2,3,

c41c'c33

所以P（X=0）=W=五，P（x=\）=-j^=-,

X_xri1fct/

c©3P(X=3)=詈=1

P(X=2)=中:

C：7c；14

X的分布列为

X0123

1331

p

147714

3313

所以E(X)=lx=+2x—+3x—=二.

77142

【小问2详解】

设加="A科室任职的是女性"，N="B科室任职的是男性”，

P(MN)1585

所以P(NIM)______=__x_=_

P(M)-563-7

20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，A4£>为等边三角形.

(1)若PC_LA£>,证明：AC^CD.

（2）在（1）条件下，若尸。=3，AC=2,求平面RS与平面P4O夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

13

【解析】

【分析】（1）根据等边三角形的三线合一性质，结合线面垂直的判定定理以及性质定理，可得答案;

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，结合夹角的求解公式，可得答案.

【小问1详解】

证明：取AD的中点。，连接OP,OC.

因为Q4Z）为等边三角形，所以POLAD.

又PC_LAO,POPC=P,PO,PCu平面POC,

所以AT>J_平面PCO,因为COu平面尸OC,

所以ADJ_CO,即OC是线段的中垂线，

所以AC=C£）.

【小问2详解】

由（1）知POJ.A。，又AC=C£>=2,所以COLAO,且ADJ_平面PCO.

以。为坐标原点，分别以OC，的方向为x,V轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则A(0,—l,0),C(V3,0,0),D(0,1,0).

在△POC中，P0=0C=6PC=3,由余弦定理易得/POC为120。,

所以点P的坐标为一—-,0,—,

（22）

TN

所以A3=OC=(6,一1,0),AP,AD=(0,2,0).

22/

下)x-y=0,

设〃=（x,y,z）是平面Q钻的法向量，可得〈733令y=3,得〃=(百

-------x+y+—z=0,

2-2

r2乂=0,

设12=（玉,%，4）是平面P4£）的法向量，可得，63令Z|=l,得〃2=(6,0,1).

--相看+y+产=0,

设平面Q43与平面？A£>所成的二面角为。,

\n-m\_V13

则Icos0\=

\n\\m\13

22

21.已知4-2,0）是椭圆。：与+技=13">0）的左顶点，过点0（1,0）的直线/与椭圆。交于P,。两

点（异于点A）,当直线/的斜率不存在时，|PQ|=3.

（1）求椭圆C的方程;

（2）求△4PQ面积的取值范围.

22

【答案】（1）工+匕=1;

43

⑵*-

【解析】

3

【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C过点（1,^）,再代入求解作答.

（2）设出直线/的方程，与椭圆C的方程联立，结合韦达定理求出4人尸。面积的函数关系，再利用对勾

函数的性质求解作答.

小问1详解】

31Q

依题意，4=2,当直线/的斜率不存在时，由归。=3,得直线/过点（1，5）,于是1+正=1,解得62=3,

22

所以椭圆。的方程为土+匕=1.

43

【小问2详解】

依题意，直线/不垂直于y轴，设直线/的方程为x=(y+l,P(x，x),Q(X2，%)，

x=ty+\

由＜炉2消去x整理得(3『+4))，+6/＞-9=0,则乂+%=，乂必=，

—+—=13/+43r+4

43

△4PQ的面积S-JAO||＞「必1=浊+为『-外出

_18，1+)_18____

—3户+4—er.―21，令“=J1+户21，对勾函数y=3"+—在[1,48)上单调递增,

Vi+7

89

1O

12<-<-

4从

而

即>

-->4+/*+-12

123+当且仅当f=0时取等号,

〃1+ZVF

动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.

22.己知函数+cx(aHO),且6a+〃=0,/(l)=4a.

(1)讨论/(幻的单调性；

(2)若xe[0,3],函数F(x)=/(x)-xef'有三个零点X1,巧，W，且王＜工2＜工3，试比较

%+W与2的大小，并说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)xt+x2+x3<2,理由见解析

【解析】

【分析】（1）分类讨论。＞0与。＜0,结合导数与函数的关系即可得解;

(2)观察式子先确定芭=0,再利用转化法与换元法得到21nf2—2皿4=。2-4,进而利用双变量处理方

法得到J+G—4=2(巴+1)瓜什4(“-1),利用导数证得/,+4-4>0,从而得解.

u-1

【小问1详解】

由/(1)=4。，得3a—〃一c=0,