2025届吉林省白山市第七中学数学高一下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2025届吉林省白山市第七中学数学高一下期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生2．已知为不同的平面,为不同的直线则下列选项正确的是（）A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3，6，10记为数列，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测:（）A．1225 B．1275 C．2017 D．20184．在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧最有可能的是（）A． B． C． D．5．已知，，下列不等式成立的是（）A． B．C． D．6．在正四棱柱中，，，则与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．已知、是不重合的平面，a、b、c是两两互不重合的直线，则下列命题：①；②；③.其中正确命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．08．已知的内角的对边分别为，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形9．的内角，，的对边分别为，，．已知，则（）A． B． C． D．10．已知数列的通项公式为，则72是这个数列的（）A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设为等差数列，若，则_____．12．设，为单位向量，其中，，且在方向上的射影数量为2，则与的夹角是___．13．已知直线与相互垂直，且垂足为，则的值为______.14．若、、这三个的数字可适当排序后成为等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________________.15．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值为________．16．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和．18．已知向量，.（1若，求实数的值：（2）若，求实数的值.19．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为和，可能的最大亏损率分别为和.投资人计划投资金额不超过亿元，要求确保可能的资金亏损不超过亿元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？20．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值.21．设，，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．【点睛】本题主要考查系统抽样.2、C【解析】

通过对ABCD逐一判断，利用点线面的位置关系即可得到答案.【详解】对于A选项，有可能异面，故错误；对于B选项，可能相交或异面，故错误；对于C选项，，显然故正确；对于D选项，也有可能，故错误.所以答案选C.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力，难度不大.3、A【解析】

通过寻找规律以及数列求和，可得，然后计算，可得结果.【详解】根据题意可知：则由…可得所以故选：A【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到，属难题，4、A【解析】

根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可得答案．【详解】若P在AB段,正弦小于正切,正切有可能小于余弦;若P在CD段，正切最大，则cosα<sinα<tanα；若P在EF段，正切，余弦为负值，正弦为正，tanα<cosα<sinα；若P在GH段，正切为正值，正弦和余弦为负值，cosα<sinα<tanα.∴P所在的圆弧最有可能的是.故选：A.【点睛】本题任意角的三角函数的应用，根据角的大小判断角的正弦、余弦、正切值的正负及大小，为基础题.5、A【解析】

由作差法可判断出A、B选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D选项中不等式的正误.【详解】对于A选项中的不等式，，，，，，，，A选项正确；对于B选项中的不等式，，，，，，，B选项错误；对于C选项中的不等式，，，，，，，即，C选项错误；对于D选项中的不等式，，函数是递减函数，又，所以，D选项错误.故选A.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.6、A【解析】

连结，结合几何体的特征，直接求解与所成角的余弦值即可．【详解】如图所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，连结，则与所成角就是中的，所以与所成角的余弦值为：＝＝．故选A．【点睛】本题考查正四棱柱的性质，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．7、C【解析】

由面面垂直的判定定理，可得①正确；利用列举所有可能，即可判断②③错误．【详解】①由面面垂直的判定定理，∵，a⊂β，∴α⊥β，故正确；

②，则平行，相交，异面都有可能，故不正确；

③，则与α平行，相交都有可能，故不正确．

故选：C．【点睛】本题主要考查线面关系的判断，考查的空间想象能力，属于基础题.判断线面关系问题首先要熟练掌握有关定理、推论，其次可以利用特殊位置排除错误结论.8、A【解析】中，，所以.由正弦定理得：.所以.所以，即因为为的内角，所以所以为等腰三角形.故选A.9、A【解析】

由正弦定理，整理得到，即可求解，得到答案.【详解】在中，因为，由正弦定理可得，因为，则，所以，即，又因为，则，故选A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，以及特殊角的三角函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、B【解析】

根据数列的通项公式，令，求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，数列的通项公式为，令，即，解得或（不合题意），所以是数列的第8项，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据等差数列的性质：在等差数列中若则即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查的等差数列的性质：若则，这一性质是常考的知识点，属于基础题。12、【解析】

利用在方向上的射影数量为2可得：，即可整理得：，问题得解.【详解】因为在方向上的射影数量为2，所以，整理得：又，为单位向量，所以.设与的夹角，则所以与的夹角是【点睛】本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题.13、【解析】

先由两直线垂直，可求出的值，将垂足点代入直线的方程可求出的点，再将垂足点代入直线的方程可求出的值，由此可计算出的值.【详解】，，解得，直线的方程为，即，由于点在直线上，，解得，将点的坐标代入直线的方程得，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查了由两直线垂直求参数，以及由两直线的公共点求参数，考查推理能力与计算能力，属于基础题.14、【解析】

由，，可知，、、成等比数列，可得出，由、、或、、成等差数列，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可计算出的值.【详解】由于，，若不是等比中项，则有或，两个等式左边均为正数，右边均为负数，不合题意，则必为等比中项，所以，将三个数由大到小依次排列，则有、、成等差数列或、、成等差数列.①若、、成等差数列，则，联立，解得，此时，；②若、、成等差数列，则，联立，解得，此时，.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列和等差数列定义的应用，根据题意列出方程组是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15、-3【解析】试题分析：由两直线平行可得：，经检验可知时两直线重合，所以．考点：直线平行的判定．16、【解析】

过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，设正四棱锥的底面长为，根据已知求出a=2,SO=1,再求该正四棱锥的体积.【详解】过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，则为侧面与底面所成角的平面角，即，设正四棱锥的底面长为，则，所以，在中，∵∴，解得，∴∴棱锥的体积.故答案为【点睛】本题主要考查空间线面角的计算，考查棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】

（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【详解】解：（1）设a1＝a，由题意可得，解得，或，当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；当时，an（2n+79），bn＝9•；（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，∴Tn＝2（2n﹣1）•3，∴Tn＝6．【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18、（1）；（2）【解析】

（1）首先求出，的坐标，再利用向量共线定理即可得出．（2），根据，得到即可得出．【详解】解：（1）因为，.，，，，解得．（2）因为，，，，解得．【点睛】本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19、投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.【解析】

设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，根据题意列出变量、所满足的约束条件和线性目标函数，利用平移直线的方法得出线性目标函数取得最大值时的最优解，并将最优解代入线性目标函数可得出盈利的最大值，从而解答该问题.【详解】设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，由题意知，即，目标函数为.上述不等式组表示平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.由图可知，当直线经过点时，该直线在轴上截距最大，此时取得最大值，解方程组，得，所以，点的坐标为.当，时，取得最大值，此时，（亿元）.答：投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.【点睛】本题考查线性规划的实际应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键就是列出变量所满足的约束条件，并利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20、（1）（2）【解析】

（1）由余弦定理和诱导公式整理，得到，求出；（2）在中，用余弦定理表示出，判断是等腰直角三角形，再利用三角形面积公式表示出，再利用辅助角公式化简，求出四边形面积的最大值.【详解】（1）在中，