备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题08幂函数与二次函数

专题08幂函数与二次函数【考点预测】1、幂函数的定义一般地，（为有理数）的函数，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底数为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自变量，幂为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因变量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指数为常数的函数称为幂函数．2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数．（3）幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点4、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程．（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标．5、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为．（1）单调性与最值O图2-9O图2-8=1\*GB3①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；=2\*GB3②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；．O图2-9O图2-8（2）与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，．6、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处．对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．【方法技巧与总结】1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为3、一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件在区间内没有实根在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根4、有关二次函数的问题，关键是利用图像．（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：=1\*GB3①轴处在区间的左侧；=2\*GB3②轴处在区间的右侧；=3\*GB3③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论．（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负．【典例例题】题型一：幂函数的定义及其图像【方法技巧与总结】确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负．当时，底数是非零的．例1．（2023·全国·高三专题练习）已知为幂函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为幂函数，设，则，所以，可得，则.故选：B例2．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（

）A． B．C．或 D．【答案】A【解析】因为函数既是幂函数又是的减函数，所以解得：.故选：A.例3．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B变式1．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（

）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D【解析】因为是幂函数，所以，解得或，当时，在上为减函数，不符合题意，当时，在上为增函数，符合题意，所以.故选：D.变式2．（2023·全国·高三专题练习）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.【答案】1【解析】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故故答案为：题型二：幂函数性质的综合应用【方法技巧与总结】紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数．例4．（2023·全国·高三专题练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．、或【答案】A【解析】因为定义域为，所以，，又函数为奇函数，所以，则满足条件的或.故选:A例5．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域与值域均为R的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A.函数的定义域为，值域为R；B.函数的定义域为R，值域为；C.函数的定义域为R，值域为R；D.函数的定义域为，值域为，故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则的值域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】幂函数的图像过点，，解得，，的值域是.故选：D.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像关于y轴对称．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或．又的图像关于y轴对称，所以，故．（2）由（1）可知，．因为，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，所以．故在上的值域为．变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列结论中正确的是（

）A．幂函数的图像都经过点，B．幂函数的图像不经过第四象限C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数【答案】BC【解析】A选项，当指数时，幂函数的图像不经过原点，故A错误；B选项，所有的幂函数在区间上都有定义且，所以幂函数的图像不可能经过第四象限，故B正确；C选项，当α为1，3，时，是增函数，显然C正确；D选项，当时，在区间和上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误.故选：BC变式5．（2023·上海·高三专题练习）已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______．【答案】【解析】∵，幂函数为奇函数，且在上递减，∴是奇数，且，∴．故答案为：变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值：①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．上述结论正确的是__（填序号）．【答案】①【解析】由于函数是幂函数，故，解得或．由于对任意的，，且，满足，所以函数在上为增函数，当时，符合题意，当时，不符合题意，故，且函数为奇函数．由于，，且，所以，由于函数为单调递增函数和奇函数，故，所以，所以，故答案为：①变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______．【答案】【解析】因为幂函数为奇函数，所以或1或3，又因为幂函数在上单调递减，所以，故答案为：.题型三：二次方程的实根分布及条件【方法技巧与总结】结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围．例7．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．【答案】.【解析】方程

方程两根为，若要满足题意，则，解得，故答案为：.例8．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，设，根据二次函数的性质，可得，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】设f(x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－<a<－2.故答案为：.变式8．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得，解得.故答案为：变式9．（2023春·上海宝山·高三上海市行知中学校考阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】令，因为关于的方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，所以，即，解得所以实数的取值范围为故答案为：变式10．（2023·上海·高三专题练习）当_________.时，方程只有正根.【答案】【解析】要使方程有根，则，解得，或，因为图象开口向上，对称轴为，则要使方程只有正根需，解得，综上所述，.故答案为:.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【方法技巧与总结】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果．例10．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数(1)若函数在上单调，求的取值范围：(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意可得开口向上，对称轴，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∵函数在上单调，∴或，解得或，∴的取值范围为：（2）由题意可得开口向上，对称轴，函数在对称轴处取最小值，，若函数在区间上的最小值为，则，解得：或，当时，在区间上单调递增，此时函数的最小值为，解得：，当时，在区间上单调递减，此时函数的最小值为，解得：，综上，存在实数或，使得函数在区间上的最小值为例11．（2023春·上海杨浦·高三统考期中）已知函数(1)若关于x的不等式的解集为，求实数a和b的值；(2)若函数在上的最大值为2，求实数a的值．【解析】（1）由已知可得的两根是，b所以，解得.（2）的对称轴为，当，即时，在时取得最大值，故．解得，符合题意；当，即时，在时取得最大值，故．解得，不符合题意，舍去；综上所述：.例12．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知幂函数是偶函数．(1)求函数的解析式；(2)函数，，若的最大值为15，求实数a的值．【解析】（1）由题知，即，解得或．当时，，不是偶函数，舍去，当时，，是偶函数，满足题意，所以．（2）由（1）知，且图象的对称轴为，所以在上是增函数，则，解得或，又，所以．变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在为单调函数，求的值；(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．【解析】（1）时，，在上的最大值为，最小值为；（2）在为单调函数，区间在的对称轴的一边，即或，或；（3）因为是开口向上的，所以和中必有一个是最大值，若，若，或；综上，（1）最大值为16，最小值为0；（2）或；（3）或.变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)当时，写出函数的单调区间和值域（不用写过程）；(2)求的最小值的表达式．【解析】（1）当时，的对称轴为∵∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则，∴函数的值域为：．（2）函数的对称轴为，开口向上，∵，则有：①当即时，函数在上单调递增，∴，②当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴，③当即时，函数在上单调递减，∴，综上所述：变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足且，．(1)求的解析式．(2)设函数，．(ⅰ)若在上具有单调性，求的取值范围；(ⅱ)讨论在上的最小值．【解析】（1）设二次函数．由，可得．∵，∴二次函数的图象的对称轴方程为，即，即．∵，∴．联立可得解得.故的解析式为．（2）(ⅰ)由条件可知，其图象的对称轴方程为．∵在上具有单调性，∴或，即实数的取值范围是．(ⅱ)，，其图象的对称轴方程为．当时，∵在上单调递减，∴；当时，∵在上单调递增，∴；当时，．综上所述，【过关测试】一、单选题1．（2023·甘肃平凉·静宁县第一中学校考一模）关于x方程在内恰有一解，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，不合题意；∴，令，有，，要使在内恰有一个零点，∴即可，则，故选：B2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考开学考试）关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵关于的方程的两根都大于2，令，可得，即，求得，故选：B.3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为方程有两根，一个大于,另一个小于，所以函数有两零点，一个大于，另一个小于，由二次函数的图像可知，，即:解得:故选:A.4．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（

）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1【答案】A【解析】∵幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2，或m＝﹣1；又x（0，+∞）时f（x）为减函数，∴当m＝2时，m2+m﹣3＝3，幂函数为y＝x3，不满足题意；当m＝﹣1时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为，满足题意；综上，．故选：A．5．（2023·全国·高三专题练习）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（

）A． B． C． D．和【答案】D【解析】因为，，所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；所以当时，，由幂函数性质得，图象关于y轴对称,在上是增函数；所以当时，，由幂函数性质得，图象关于y轴对称,在上是增函数；故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（

）A． B．4 C．8 D．【答案】D【解析】设幂函数，幂函数的图象经过点，所以，解得，所以，则．故选：D.7．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为是定义在上的增函数，又，所以，解得，因为由可推出，而由无法推出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.8．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2【答案】C【解析】幂函数为偶函数，，且为偶数，则实数，故选：C二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论中错误的是（

）A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点C．是单调函数 D．是偶函数【答案】ACD【解析】函数的图象如图所示，由图可知的值域为，结论A错误，结论C，D显然错误，的图象与直线有两个交点，结论B正确．故选：ACD10．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（

）A．函数是偶函数 B．函数是增函数C．当时， D．当时，【答案】BCD【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，则，所以，其定义域为，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A错；又，所以是增函数，故B正确；因此当时，，故C正确；当时，因为，，则，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）（1）函数的定义域是________，值域是________；（2）函数的定义域是________，值域是________；（3）函数的定义域是________，值域是________；（4）函数的定义域是________，值域是________．【答案】

【解析】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,（2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,（3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,（4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,故答案为：（1）;,（2）;,（3）;,（4）;.12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，则的值为_____．【答案】8【解析】依题意得，，，则，故答案为：813．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．【答案】【解析】由幂函数可得，解得或，又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以．故答案为：14．（2023·全国·高三专题练习）写出一个在区间上单调递减的幂函数__________.【答案】（答案不唯一）【解析】由题意知：为幂函数，且在区间上单调递减.故答案为：（答案不唯一）.15．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②当时，；③；【答案】（答案不唯一）；【解析】由所给性质：在上恒正的偶函数，且，结合偶数次幂函数的性质，如：满足条件.故答案为：（答案不唯一）16．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．【答案】1，（答案不唯一）【解析】因为幂函数在上单调递增，所以，因为幂函数在上单调递减，所以，又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.故答案为：1，（答案不唯一）.17．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】函数过定点，如图：结合图象可得：，即，故答案为：，．18．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象如图所示，则______．（写出一个正确结果即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由幂函数图象知，函数的定义域是，且在单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，而函数的图象关于y轴对称，即幂函数是偶函数，则幂函数的幂指数为偶数，综上得：.故答案为：19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．【答案】（答案不唯一）【解析】设幂函数，由题意，得为奇函数，且在定义域内单调递增，所以（）或（是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为.故答案为：（答案不唯一）.四、解答题20．（2023