甘肃省兰州市2023-2024学年中考模拟考试联考数学试题含解析

甘肃省兰州市第五十五中学2023-2024学年中考联考数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下列选项中，可以用来证明命题“若层则是假命题的反例是（）

A.a=-2,b=lB.a=3,b=-2C.a=0,b=lD.a=2,b=l

3.-2的相反数是

11

A.—2B.2C.—D.----

22

4.已知二次函数y=x?+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，其顶点为P,若SAAPB=L则b与c满足的关系是（）

A.b2-4c+1=0B.b2-4c-1=0C.b2-4c+4=0D.b2-4c-4=0

5.如图，以A。为直径的半圆。经过RtZkABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分

6.如图，一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡的坡度为（）

7.如图所示，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,将AABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E

处，点B落在点D处，则BD两点间的距离为（）

10.如图，在AABC中，AB=AC=3,BC=4,AE平分/BAC交BC于点E,点D为AB的中点，连接DE,贝！］△BDE

的周长是（）

D.6

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.请看杨辉三角（1）,并观察下列等式（2）：

11(a—b)'=a-b

121

1331(a—£)*=a~—lab—If

14641(a—b)：=a:-3a-5—Sab*-b

(a-3'=a'-4/6Ta%：7a点一S

(1)⑵

根据前面各式的规律，则(a+b)6=

2

12.如图，点M是反比例函数y=—(x>0)图像上任意一点，MNJ_y轴于N,点P是x轴上的动点，则AMNP的

x

面积为

A.1B.2C.4D.不能确定

13.已知方程X?-5x+2=0的两个解分别为XI、X2,贝！IX1+X2-XJX2的值为

14.阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺提作图：作F线段等于日噬段.

已知：线段A8.

A------------------B

求作：线段CD,使CD=AB.

小亮的作法如下：

如图：A------------------B

(1)作射线CE;

(2)以C为圆心，阳长为--------------L

半径作邨交CE于。.C产

则线段CD就是所求作的线段.

老师说：“小亮的作法正确”

请回答：小亮的作图依据是.

15.如图，AB=AC,AD〃BC,若NBAC=80。，贝！|/DAC=

E

16.某厂家以A、3两种原料，利用不同的工艺手法生产出了甲、乙两种袋装产品，其中，甲产品每袋含1.5千克A

原料、L5千克5原料；乙产品每袋含2千克4原料、1千克5原料.甲、乙两种产品每袋的成本价分别为袋中两种

原料的成本价之和.若甲产品每袋售价72元，则利润率为20%.某节庆日，厂家准备生产若干袋甲产品和乙产品，

甲产品和乙产品的数量和不超过100袋，会计在核算成本的时候把A原料和5原料的单价看反了，后面发现如果不看

反，那么实际成本比核算时的成本少500元，那么厂家在生产甲乙两种产品时实际成本最多为____元.

17.菱形45。中，？A60°，其周长为32,则菱形面积为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）先化简（1-一二）「讨+4,然后从一2SW2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.

X—1—1

19.（5分）如图，已知CD=CF,NA=NE=NDCF=90。,求证:AD+EF=AE

20.（8分）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有3,4,5,x,甲，乙两人每次

同时从袋中各随机取出1个小球，并计算2个小球上的数字之和.记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验

数据如下表:

摸球总

1020306090120180240330450

次数

“和为8”出

210132430375882110150

现的频数

“和为8”出

0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33

现的频率

解答下列问题：如果试验继续进行下去，根据上表提供的数据，出现和为8的频率将稳定在它的概率附近，估计出现

和为8的概率是；如果摸出的2个小球上数字之和为9的概率是:，那么x的值可以为7吗？为什么？

21.（10分）如图，在AABC中，ZC=90°,E是BC上一点，ED±AB,垂足为D.

求证：△ABC^AEBD.

22.（10分）如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是边AD,CD上的点，AE=ED,DF=-DC,连结EF并延

4

长交BC的延长线于点G,连结BE.求证：AABEsaDEF.若正方形的边长为4,求BG的长.

23.（12分）如图,在区14阳（3中，＜=90,AD平分NBAC,交BC于点D,点O

在AB上，。经过A,D两点，交AB于点E,交AC于点F.

BC是。的切线；若。，O的半径是2cm,F是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结

果保留兀和根号）.

24.(14分)(1)计算：+712-8cos60°-(7r+^)°；

(2)已知。-6=忘，求(a-2)2+b(b-2a)+4(a-1)的值.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、A

【解析】

根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.由此即可解答.

【详解】

•.,当”=-2,5=1时,(-2)2>12,但是-2V1,

"-a=-2,b=l是假命题的反例.

故选A.

【点睛】

本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法.

2、C

【解析】

利用正方体及其表面展开图的特点解题.

【详解】

解：A、B、D经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C能折成正方体.

故选C.

【点睛】

本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形.

3、B

【解析】

根据相反数的性质可得结果.

【详解】

因为-2+2=0,所以-2的相反数是2,

故选B.

【点睛】

本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.

4、D

【解析】

b4c—/?2II

抛物线的顶点坐标为P（-5，上了乙），设A、B两点的坐标为A（X],0）、B（x2,0）则AB=|%—4|，根据

根与系数的关系把AB的长度用b、c表示，而SAAPB=1,然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b、c的等式.

【详解】

解:":%+々=

~b,\x2=c,

卜一司=，（玉+2

.,.AB=x2-4XJX2=y/b-4ac，

•.•若SAAPB=1

1\4c-b~\

..SAAPB=-xABxI_______I=1,

24

1r~2-4c—b-.

：.——x-4cx--------=1

24

.1g------b2-4c

扬-4cx---=1>

仅2-4ac）J/-4ac=8,

设J/72-4ac=s,

则S3=8,

故s=2,

y/b2-4c=2,

4c—4=0.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性

比较强.

5、D

【解析】

连接5。，BE,BO,EO,先根据3、E是半圆弧的三等分点求出圆心角N50。的度数，再利用弧长公式求出半圆的

半径R,再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为小ABC-S扇形BOE,然后分别求出面积相减

即可得出答案.

【详解】

解：连接血BE,BO,EO,

A

DOA

•:B,E是半圆弧的三等分点，

/.ZEOA=ZEOB=ZBOD=60°,

：.NBAD=ZEBA=30°,

J.BE//AD,

4

7BD的长为§不，

.60•1・R4

••-----------=-71

1803

解得：R=4,

J.AB—ADcos30°—4^,

."C=；A3=25

：.AC=y/3BC=6,

:.SAABC=—x3CxAC=Jx26x6=6g,

,/ABOE和小ABE同底等高，

/.△BOE和4ABE面积相等，

图中阴影部分的面积为：SxABC-S扇形3OE=68-七£=6四-二

3603

故选：D.

【点睛】

本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键.

6、A

【解析】

试题解析：•••一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,

这个斜坡的水平距离为：,J1302-502=10m,

这个斜坡的坡度为:50：10=5：1.

故选A.

点睛：本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义.坡度是坡面的铅直高度h和水平

宽度1的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=Lm的形式.

7、C

【解析】

解：连接50.在△ABC中，：NC=90。，AC=4,5c=3,：.AB=2.,将AABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段

AB上的点E处，点3落在点D处，.•.AE=4,DE=3,：.BE=2.在RtABED中,BD=[BE?+DE：==而.故

选C.

点睛:本题考查了勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系.题

目整体较为简单，适合随堂训练.

8、D

【解析】

主视图是从前向后看，即可得图像.

【详解】

主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.

9、D

【解析】

从正面看，有2层，3歹U,左侧一列有1层，中间一列有2层，右侧一列有一层，据此解答即可.

【详解】

•••从正面看，有2层，3列，左侧一列有1层，中间一列有2层，右侧一列有一层，

；.D是该几何体的主视图.

故选D.

【点睛】

本题考查三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看

到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

10、C

【解析】

根据等腰三角形的性质可得BE=」BC=2,再根据三角形中位线定理可求得BD、DE长，根据三角形周长公式即可求

2

得答案.

【详解】

解：•在2kABC中，AB=AC=3,AE平分NBAC,

1

.\BE=CE=-BC=2,

2

又是AB中点，

13

，BD=-AB=-,

22

ADE是小ABC的中位线，

.13

•■DE=—AC=—，

22

33

/.ABDE的周长为BD+DE+BE=-+-+2=5，

22

故选C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、a2+2a5b+25a4b2+20a3b3+25a2b4+2ab5+b2.

【解析】

通过观察可以看出（a+b）2的展开式为2次7项式，a的次数按降募排列，b的次数按升幕排列，各项系数分别为2、

2、25、20、25、2,2.

【详解】

通过观察可以看出（a+b）之的展开式为2次7项式，a的次数按降塞排列，b的次数按升塞排列，各项系数分别为2、

2、25、20、25、2、2.

所以（a+b）2=a2+2a5b+25a4b2+20a3bJ+25a2b4+2ab5+b2.

12、A

【解析】

可以设出M的坐标，跖VP的面积即可利用M的坐标表示，据此即可求解.

【详解】

设M的坐标是O,”），则mn=2.

则MN=m,MNP的MN边上的高等于n.

则一ACVP的面积=！7〃"=1.

2

故选A.

【点睛】

考查反比例函数系数k的几何意义，是常考点，需要学生熟练掌握.

13、1

【解析】

bc

解：根据题意可得Xl+X2=---=5,X1X2=—=2,/.X1+X2-X1X2=5-2=1.故答案为：1.

aa

hr

点睛：本题主要考查了根据与系数的关系，利用一元二次方程的两个根XI、X2具有这样的关系：Xl+X2=—-,X1X2=—

aa

是解题的关键.

14、两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等

【解析】

根据尺规作图的方法，两点之间确定一条直线的原理即可解题.

【详解】

解：；两点之间确定一条直线,CD和AB都是圆的半径，

.•.AB=CD,依据是两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等.

【点睛】

本题考查了尺规作图：一条线段等于已知线段，属于简单题，熟悉尺规作图方法是解题关键.

15、50°

【解析】

根据等腰三角形顶角度数，可求出每个底角，然后根据两直线平行，内错角相等解答.

【详解】

解：•.•AB=AC,ZBAC=80°,

.\ZB=ZC=(180°-80°)4-2=50°；

；AD〃BC,

.,.ZDAC=ZC=50°,

故答案为50°.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质以及平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等.

16、5750

【解析】

根据题意设甲产品的成本价格为b元，求出b,可知4原料与3原料的成本和40元，然后设A种原料成本价格x元,

5种原料成本价格(40-x)元，生产甲产品加袋，乙产品〃袋，歹(J出方程组得至11上"=20"-250,最后设生产甲乙产品

的实际成本为W元，即可解答

【详解】

•.•甲产品每袋售价72元，则利润率为20%.

设甲产品的成本价格为6元，

A—=20%,

b

.•・万=60,

•••甲产品的成本价格60元，

1.5kgA原料与15kgB原料的成本和60元，

AA原料与B原料的成本和40元，

设A种原料成本价格x元，5种原料成本价格(40-x)元，生产甲产品机袋，乙产品“袋，

根据题意得：

[m+n<100

[60m+(2x+40-x)n+500=60m+几(80-2x+x)'

xn=2Qn-250,

设生产甲乙产品的实际成本为w元，则有

W=60m+40n+xn,

:.W=60zw+40n+20n-250=60(/w+n)-250,

Vm+n<100,

:.W<6250；

...生产甲乙产品的实际成本最多为5750元，

故答案为5750；

【点睛】

此题考查不等式和二元一次方程的解，解题关键在于求出甲产品的成本价格

17、3273

【解析】

分析：根据菱形的性质易得AB=BC=CD=DA=8,AC±BD,OA=OC,OB=OD,再判定△ABD为等边三角形，根据

等边三角形的性质可得AB=BD=8,从而得OB=4,在RtAAOB中，根据勾股定理可得OA=4若，继而求得

AC=2AO=8代，再由菱形的面积公式即可求得菱形ABCD的面积.

详解：•••菱形A3CO中，其周长为32,

/.AB=BC=CD=DA=8,AC1BD,OA=OC,OB=OD,

VNA=60°，

/.△ABD为等边三角形，

/.AB=BD=8,

/.OB=4,

在RtZkAOB中，OB=4,AB=8,

根据勾股定理可得OA=4四，

.,.AC=2AO=8A/3.

二菱形ABCD的面积为：|AC-BD=1X873X8=3273.

点睛：本题考查了菱形性质：1.菱形的四个边都相等；2.菱形对角线相互垂直平分，并且每一组对角线平分一组对角;

3.菱形面积公式=对角线乘积的一半.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、----，当x=0时，原式=（或：当x=-1时，原式=—）.

x-224

【解析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的r的值代入进行计算即可.

【详解】

X-2x(x+l)(x-l)_x+1

解：原式=

x-1(x-2)2X-2

X满足-1人1且为整数，若使分式有意义，X只能取0,-1.

当x=0时，原式二-'（或：当x=-l时，原式=,）.

24

【点睛】

本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

19、证明见解析.

【解析】

易证△ZMCgZkCEF,即可得证.

【详解】

证明：•:ZDCF=ZE=90°,：.ZDCA+ZECF=90°,ZCFE+ZECF=9Q°,

ZDCA=ZCFE

：./0。4=/。F区在4DAC和小CEF中：(NA=NE=90,

CD=CF

ADA%△CEF(AAS),

：.AD=CE^C=EF,

：.AE^AD+EF

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.

20、(1)出现“和为8”的概率是0.33；(2)x的值不能为7.

【解析】

(1)利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可；

(2)假设x=7,根据题意先列出树状图，得出和为9的概率，再与;进行比较，即可得出答案.

【详解】

解：(1)随着试验次数不断增加，出现“和为8”的频率逐渐稳定在0.33,

故出现“和为8”的概率是0.33.

(2)x的值不能为7.理由：假设x=7,

开始

3421

/1\/N/\\ZN

457357347345

(和)781079118912101112

则P(和为9)=」彳！，所以x的值不能为7.

63

【点睛】

此题主要考查了利用频率估计概率以及树状图法求概率,正确画出树状图是解题关键.

21、证明见解析

【解析】

试题分析：先根据垂直的定义得出NEZ>3=90。，故可得出NE0B=NC.再由根据有两个角相等的两三角

形相似即可得出结论.

试题解析：

解：'JEDLAB,

：.NEDB=90°.

VZC=90°,

:.ZEDB^ZC.

；NB=NB,

,ABCsEBD.

点睛：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键.

22、(1)见解析；(2)BG=BC+CG=1.

【解析】

(1)利用正方形的性质，可得NA=N。，根据已知可得AE：AB^DFtDE,根据有两边对应成比例且夹角相等三角

形相似，可得AABESAOE尸；

(2)根据相似三角形的预备定理得到△EZ>尸S/^GCF,再根据相似的性质即可求得CG的长，那么3G的长也就不难

得到.

【详解】

(1)证明：•••48。为正方形，

:.AD=AB=DC=BC,NA=NO=90

'：AE=ED,

：.AE；AB=1：2.

1

•:DF=-DC,

4

：.DF：DE=1:2,

：.AE：48=0歹：DE,

AABE^