山东省济南市2024届高三年级下册高考针对性训练（5月模拟）数学试题含答案

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山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练（5月模拟）数学试

题

高考针对性训练

数学试题

本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

l-2i-

1.设2=--------,则2=（）

2+i

c4.4.

A.iB.—iC.—biD.——1

55

2.若sina-coscr=亚，则tana=（）

A.1B.-1C.2D.—2

3.11+工｝1—x）6展开式中1的系数为（）

A.-5B.5C.15D.35

4.已知｛%｝是等比数列，且a2a7=一4=一4%，则生二（）

A.-V2B.±V2C.—2D.±2

5.某单位设置了a,b,c三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c档高，乙的工资

比6档高，丙领取的不是6档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）

A.a,b,cB.b,a,cC.a,c,bD.b,c,a

6.三棱锥S—45C中，"，平面45C,ABLBC.若该三棱锥的最长的棱长为9,最短的棱长为3,

则该三棱锥的最大体积为（）

A.-9V7B.2—7V3C.18D.36

22

22

7.在平面直角坐标系xOy中，己知双曲线C:二-二=1（。〉04〉0）的左、右焦点分别为片，F,,点P

ab

在。上，且所•再［=2/，|所卜同，则C的离心率为()

A.V3B.V2C.3D.2

8.已知函数/(X)的定义域为R,且0(x)—M(y)=a(x—V),则下列结论一定成立的是()

A./(1)=1B./(X)为偶函数

c./(x)有最小值D./(x)在［0,1］上单调递增

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

23

9.某同学投篮两次，第一次命中率为..若第一次命中，则第二次命中率为二；若第一次未命中，则第二

34

次命中率为g.记4«=1,2)为第i次命中，X为命中次数，则()

2443

A.尸(4)=§B.E(X)=-C.D(X)=-D.P(Al\A2)=-

10.已知△48C内角/,B,C的对边分别为Q,b,c,外接圆半径为&.若且

sinZ—bsinB=(c+b)sinC,贝!j()

A.sin^=—B.△45C面积的最大值为且

24

C.R=—D.5C边上的高的最大值为立

36

11.已知函数/(x)=sinx」nx,贝!］()

A.曲线＞=/(x)在》=兀处的切线斜率为In兀

B.方程/(x)=2024有无数个实数根

C.曲线歹=/(x)上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于工

e

2

D.y=在(l,+oo)上单调递减

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.数列｛4｝满足%+2-4,=2,若％=1，%=4,则数列｛为｝的前20项的和为.

13.在正四棱柱488—48012中，4B=4,44］=6,M,N分别是48,4D的中点，则平面"NQ

截该四棱柱所得截面的周长为

14.已知抛物线=2y与圆+（y-4）~=产（r〉0）相交于四个不同的点/,B,C,D,则r的取值范

围为,四边形48CD面积的最大值为_____.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步提高.统计该企业

2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图.其中2019年至2023年对应的年份代码

依次为1,2,3,4,5.

利润共亿元）

100

90

80

75

70

12345年份代码x

（1）根据散点图判断，3；=。+反和3；=。+公2哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码

X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）中的判断结果，建立〉关于x的回归方程;

（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润.

参考公式及数据；

,工七％一〃盯，

b=—----------,d=y-bx,

2

V>-nx-2

Z=1

55555

22

Ex,=55,ZH=979,&=390,三%》=1221,2x,Z.=4607.9

Z=1Z=1Z=1Z=1Z=1

16.（本小题满分15分）

如图，在三棱台48C—中，平面平面5CFE,AFIDE,ZABC=ZCBF=45°,

AC>AB=1.

A

（1）求三棱台45C—。斯的高;

（2）若直线ZC与平面48尸所成角的正弦值为姮，求BC.

5

17.(本小题满分15分)

已知函数/(乃=/+2工—2,其中。>0且awl.

⑴若/(x)是偶函数，求。的值；

(2)若x>0时，/(x)>0,求a的取值范围.

18.(本小题满分17分)

(22

已知点Z1,—在椭圆£:二+与=1(。〉6〉0)上，/到E的两焦点的距离之和为2也.

I2Jab

(1)求£的方程；

(2)过抛物线C：y=/—加(加>1)上一动点尸，作£的两条切线分别交C于另外两点0,R.

(i)当尸为C的顶点时，求直线QR在y轴上的截距(结果用含有加的式子表示)；

(ii)是否存在m,使得直线QR总与£相切.若存在，求的值；若不存在，说明理由.

19.(本小题满分17分)

高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.

设y,qeR,〃eN*,记[“]=l+q+—Fqn~',[“]!=[〃卜[〃-l]x…x[l],并规定[0]!=l.记

F(x,n)=(x+y)^1=(x+y)(x+qy)---(x+qn~ly),并规定尸(x,0)=(x+y)；=1.

定义

kF{x,n),k=0

DqF(x,n)i可忸一斗..[〃一左+1](》+歹)丁，左=1,2,…,〃

⑴若y=g=l,求尸(x,2)和0；1(招2)；

(2)求匕二/(0,〃)；

(3)证明：尸白(网羽！.

2024年5月济南市高三模拟考试

数学试题参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

题号12345678

答案ABACBCDC

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ABDADBCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.21013.14c14.（V7,4）；1672

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15•【解析】

（1）y=c+公2适宜作为企业利润〉（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型.

—1515

(2)由题意得：/=_三(匕)2=11,y=-^_v，=78,

51=15,=1

»池-5*“2万4607.9-5x—x—

d=--------=-------55=_o85，

^(X,2)2-5X(X2)2979-374

4=3—2x(3)=%—0.85x1=68.65,所以，j=68.65+0.85x2.

（3）令x=6,j=68.65+0.85x62=99.25,估计2024年的企业利润为99.25亿元.

另解（此种解法酌情给分）：

（1）y=a+bx适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型.

1+2+3+4+5

(2)由题意得：-==3,V==78,

55Z=1

5

1221-5x3x78DI—八一

—=5.1,(7=y-6x(x)=78-5.1x3=62.7,

B=R)--------/-一-\-2-~55—5x32

/=1

所以，/=62.7+5.lx.

（3）令x=6,9=62.7+5.1x6=93.3,估计2024年的企业利润为93.3亿元.

16•【解析】

解:（1）作尸。于点。，因为平面平面所以平面

尸。即为三棱台48。—DEF的高.

又因为48u平面45C,所以尸0_L45.连接/。，

因为AB〃DE,AFLDE,所以48J,4F,

FOC\AF=F,所以48,平面4W,

又/。<=平面4F。，所以48，/。.ZABC=ZCBF=45°,AB=1.

所以49=1,B0=F0=4i,所以三棱台45。—。斯的高为血.

(2)以。为原点，在面内，作。G_LBC,以OG,0B,。尸所在的直线分别为x,乃z轴建立如

图所示的空间直角坐标系。-肛Z,

则/—,—,0,5(0,V2,0),F(0,0,V2),AB=—,0,FB=(0,42,-42),

\7\7

设平面ABF的法向量为n=(x/,z)则

n-FB=y/2y-41z=0

「一V2V2，可取3=(U,l)，

n-AB=----xH------y=0

[22•

一一一(叵母「、

设BC=XB。，则NC=—V22,0

22

/—一\IV21IV15

设直线/C与平面28尸所成角为a,since=cos(AC,n)=——|1=—

'/V3XV222-22+15

化简得8^2—182+9=0,解得2=2或2=2(舍去，因为所以％>1),

24

所以BC=3J5.

2

17•【解析】

(1)由题意,/(T)=/⑴，即»2"+2—2,

解得，a=g或a=—2(舍)又经检验，时，/(x)是偶函数.

所以，a的值为4.

2

(2)当。=g时，Vx>0,/(x)=U+2，_2〉2总12—2=0成立;

当且awl时，Vx>0,/(x)=a，+2工—2〉+2*—2,

又[J]+2，-2〉0已证，故此时符合题意；

当0<a<g时，f'(x)=tzvln(7+2xln2,

易知,此时/'(x)在R上单调递增，且/'(0)=ln(2a)<0.

故存在玉〉0,使得当xe(O,x0)时，/'(x)<0,从而/(x)单调递减，

所以，存在年〉0,使得/[?]</(0)=0,故此时不合题意.

综上所述，。2工且awl.

2

18•【解析】

(1)由题意2〃=26\得a=也.

又A1,—在E上，得二+」=1,从而6=1.故E的方程为工+y2=l.

[2)a2lb22'

(2)(i)当尸为C的顶点时，P(O,m),

不妨设R在第一象限，直线PR的方程为了=笈-加，

2

联立E的方程为鼻■+/=i可得Q左2+1)/—4gx+2加2—2=0.

由△=(4km)2-4(2左2+1)(2机2_2)=8(2A:2-m2+1)=0可得2k2+l=m2.

联立直线PR的方程y=kx-m与抛物线C:y=x2-m的方程可得x=k,

22

f心小।一、rT9m-1m-2m-1

则R点的纵坐标为JR=k-m=-------m=-----------,

,,m2-2m-l

由对称性知yQ=-----------,

加2—2m—1

故直线。7?在〉轴上的截距为——-——.

加2—2rH—1

(ii)要使(2)中的直线Q?与E相切，必有------——=b=T,即加2—2加—3=0,

解得加=3或-1(舍去).

9

设尸，。(工2，%),&(、31%)则%=再—3,%=%2—3，y3=x3—3•

直线尸。的方程为y一%二九~~—(x-xj,即y=(%]+]2)%-七工2一3.

一^X^--

X2

联立椭圆方程一+y72=l可得

2

2

[2(%]+x2)+1]—_4(1]+工2)(西工2+3)工+2(/入2+3)2-2=0.

由A=[4(%]+/)(/%2+3)]—412(玉+式/+1]12(石%2+3)2-21

—8(2x：+2%2-X；%2-2再%2-8)=0

可得2x；+2x；—x；%2—2x^2—8=0,

即23％2+%%+%+%+5=0.

同理可得2占工3+%%+必+%+5=0・

因为直线2工］工+（必+Y）y+必+5=0同时经过点QR，所以QR的直线方程为2x^x+（必+Y）y+必+5=0.

联立椭圆方程,+「=1可得["：+(%+1)2]x2+监(vj+5)x+16必+48=0,

于是△=幽("+5)『—4[8x：+(凹+1)2](16M+48)=64(必+吁(x：—%—3)=0.

故直线QR与椭圆相切，因此加=3符合题意.

19•【解析】

(1)若y=q=],F(x,2)=(x+j)(x+^y)=x2+(l+^)xy+y2=(x+l)2,

而巧尸(尤,2)=[2](x+戌=(1+q)(x+y)=2(x+1).

\n-kV"(1)

(2)当左=0时，1J'D>(0,/7)=D°F(Q,n)=F(0,«)=q2/.

回r！

当后w0时,由D；F(0,〃)=[〃北〃一1]…,+1](0+>)厂

(n-k)(n-k-l)

=[n][n-l]--[n-k+l]尸)—…=J4-q2yn~k，

可得*/£>；E(0,〃)=q2

(n-k)(n-k-l)

M[〃一?左]!(.。〃

因此,…~—yi,左=0,1,2,

（3）要证/（羽〃）=之々：,'〃）一,只需证

M四！

n\\(n-k)(n-k-l)/2^n-k_工n\\,k(k-l)/2n-kk

7~-------q[〃一左]!网!’4y•

[n-k]\[k]l左=0

令G(y)=(x+j)(x+*)…(x+qn~'y)=三以_/，

k=0

一方面，

11nn+l

(X+y)G(qy)=(x+y)£4/1/=xa0+£(xq&+q^'a^y+anqy,

k=0k=l

另一方面,

nnknknn+x

(x+qy)G(y)=(x+qy)^aky=xa0+£(x&+qak_^y+anqy,

Ar=0k=\

当qwl且xwO时，由于(x+y)G(qy)=(x+q〃y)G(y),

n

比较两式中/的系数可得xq%左+q"i4_[=xak+qak_x,

则反"尸=亡[〃-左+1]

ak-ix（相-1）x-[k]

由』=x"可矢口刃=-^.^-一幺./=Y_吁r]q2x”―/

%ay为[〃-修!网!”

当9=1时，由[〃]=l+gH---卜q〃"=",[〃]!=〃！可知

xnn\\

(+y)=tJ-----------v■n^xk=

k=0[n-k]\[k]\-k=0

此时命题也成立.

当x=0时，F(x,n)=q"(i)/2y"=D；F(0,〃)=£2：(：〃]也成立.

k=o㈣！

综上所述，）；k

F[x,n=YX.

k=0[勾•

用

并

使

用

完

绝

密

★

启

毕

前

对

练

高

考

针

性

训

数

试

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9

卷

1

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题

，

全

卷

满

分

分

。

考

试

用

分

事

项

：

注

意

.

卷

考

务

将

的

名

、

考

生

号

座

1

答

前

，

生

必

自

己

姓

号

、

考

场

、

位

号

填

写

在

答

题