安徽省黄山市2023届高三第三次质量检测（三模）数学试题

2023年安徽省黄山市高中毕业班第三次质量检测（三模）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知复数Z满足z（l—2i）=i（其中i为虚数单位），则同=（）

A.lB.-C."D.立

225

2.已知集合4={4盘＞0},8=卜|k＜/},且（\A）iB=B,则实数0的取值范围为（）

A.[0,l]B,[0,l）C,（O,l）D,（-oo,0]

3.“。＜1”是“函数”光）=1082[（1-。）九一1]在区间（1,+8）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的

历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列

{4,}时，发现其递推公式%+2=%M+%,（"GN*）就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即

=+。2

2%+%,如果该数列{q,}的前两项分别为4=1,4=2,其前“n项和记为%

。5=。4+。3=。1+。2+。3+。2

LL

右。2023=m，则52021=（）

-2m—1--

A.2mB.---------C.m+2D.m—2

2

5.为纪念我国伟大数学家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把3.1415926称为“祖率”，某教师为了增加学

生对“祖率”的印象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随

机排列，整数部分不变，那么可以得到小于3.14的不同数有（）个

A.480B.120C.240D.720

6.如图，球。的表面积为60兀，四面体尸-ABC内接于球O,一ABC是边长为6的正三角形，平面

平面ABC,则该四面体体积的最大值为（)

A.18B.27C.32D.81

7.已知定义域为R的函数无），其导函数为''（九），且满足r（x）-2〃x）＜0,/（0）=1,则（）

A.^7(-1)<1B./(1)>E2

I<eD.f(^>efI

8.已知|A|=向=。力=2向量c满足（"）则C在a方向上的投影向量的模长的最大值为

)

A."-?©B.2C.14+2万8+百

77

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中，正确的是（）

A.在回归分析中，可用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好

B.对分类变量X与y的统计量/2来说，力2值越小，判断“X与y有关系，，的把握程度越大

C.在回归模型中，残差是观测值y与预测值y的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度

越高

D.一组数据88,90,90,91,92,93,95,96,98的第75百分位数为95

10.将函数/（x）=sin2x+6的图象向左平移四个单位后，得到函数g（x）的图象，则（）

6

A.函数g（X）存在一个极值点x=今■

B.函数g（x）的图象关于点go）对称

（5兀7C）

C.函数g（x）在区间一石X上单调递增

/jrSTT）

D.函数g（x）在区间［历,可|上有两个零点

11.在棱长为2的正四面体ABC。中，过点。且与8。平行的平面1分别与棱ABA£>交于点£,F,点、

。为线段CD上的动点，则下列结论正确的是（）

A.AC±EF

B.当瓦。分别为线段ABCD中点时，b与EQ所成角的余弦值为巫

6

C.线段EQ的最小值为也

D.空间四边形BCFE的周长的最小值为4+6

12.已知R为抛物线C:9=4x的焦点，过F的直线/与抛物线交于A8两点（点A在第一象限），过

线段A3的中点〃作y轴的垂线，交抛物线于点P,交抛物线的准线于点N,。为坐标原点，则下列说

法正确的是（）

A.当|AE|=2忸同时，直线/的斜率为2a

B.|PM|>|PN|

C.VR4B的面积不小于AQ4B的面积

D.|PA|2+|PB|2=101PM2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.将（1-2x）（1+3x）4展开后按x的升累排列，则第3项为.

14.定义在R上的奇函数/⑺，满足对X/a,Z?e［0,+8）且出b,都有（a—与［/（。）—/3）］<0成立，则

当不等式/（I+尤）+/（-3%）>0成立时，9、+三3的最小值为.

15.设直线x+by-百=0与两坐标轴的交点分别为48,点C为线段AB的中点，若圆

0：%2+,2=，&>0）上有且只有一个点尸，使得直线平分NApg，贝什=.

16.已知〃x）=ln（3x—2）+依，若/'（x）W0恒成立，则实数。的值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列｛4｝的前几项和为S",q=4,S.=；a〃+i+〃—2（〃eN*）.

（1）求证：数列｛%-1｝为等比数列，并求出数列｛%｝的通项公式;

（2）若,求数列他,｝的前“项和7；.

从①么=（%-l）log3（a9„+1-l）和②勿=--1D+?”+5）这两个条件中任意选择一个填入上

l°g3（a“+i-l）log3（4+2—1）

面横线上，并完成解答.注：若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.

18.（本小题满分12分）

记「ABC的内角AB,C的对边分别为仇c,已知°=百，&（1+cosC）=^csinB.

（1）求角C的大小和边6的取值范围;

（2）如图，若。是A3C的外心，求0。.48+14-。8的最大值.

19.（本小题满分12分）

英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数

、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式

为：设A，A“是一组两两互斥的事件，。4=。，且P（4）＞0,i=L2,,n,

PPBA)P(A)P(B|A)

P(B)>0,有P(ZA」.B).=M—(\

则对任意的事件3=0,£P(4)P®4)

k=l

i=l,2,现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,每加工一个零件耗时35分

钟，第2,3台加工的次品率均为5%,每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混

放在一起.已知第1，2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.

（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；

（2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时X（分钟）的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）

如图，在直角梯形A3CD中，AD//BC,AD±CD,四边形CD所为平行四边形，对角线CE和。尸

相交于点H,平面平面ABC。，BC=2AD,/DCF=60°，G是线段班上一动点（不含

端点）.

FE

（1）当点G为线段BE的中点时，证明：AG〃平面CDEF；

（2）若A£>=1,CD=DE=2,且直线DG与平面CD历成45角，求二面角E—DG—尸的正弦值.

21.（本小题满分12分）

如图，动双曲线的一个焦点为尸（0,-右），另一个焦点为P,若该动双曲线的两支分别经过点

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）斜率存在且不为零的直线/过点”（1,0）,交（1）中P点的轨迹于A8两点，直线x=f«>2）与x

轴交于点。，。是直线1=/上异于。的一点，且满足AQLDQ.试探究是否存在确定的/值，使得直线

恒过线段。Af的中点，若存在，求出/值，若不存在，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数/（%）=In%+sin%,g（x）=aVnx+^x1-a（x-l）

（1）试判断函数"x）=/（》）+6在xe（0,兀］上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小值；若不存

在，说明理由.

⑵设G(x)=g(x)-〃x)+sinx(a>2),若G(m)=G(l)(mwl),证明：不等式在

上恒成立.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数的除法运算，复数的模，属于基础题.

根据复数的四则运算化简可得复数z,再根据模长公式可得解.

【解答】

/、ii(l+2i)21.

解：由z(l—2i)=i,得2=----=7-----rv----7=---1--1,

卜)l-2i(l-2i)(l+2i)55

所以目—/[+.：邛,

故选。.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查集合的运算，属于基础题.

利用即可求解.

【解答】

解：由=得3口(44),

又={x[%,a},

则解得筮/1.

故选A.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了对数函数的单调性、充要条件，属于基础题.

利用对数函数的单调性、充要条件即可判断.

【解答】

解：由于函数八%)=log2[(l—a)xT]在区间(L+")上单调递增，

贝U(1—a)x—1>0在(1,+。)上恒成立，且1—a>0,

即1—a—L.0且a<l,即2，0,

由于{ala<1}叁[a\a,,0},

故“a<1”是“函数/(%)=log2%—1]在区间(1,+。)上单调递增”的必要不充分条件.

故选c.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查数列的递推关系，数列的求和，属于中档题.

由题意为=为+2-%,+1，可得

/+%+/+=(4—%)+(。4一/)++(见+2一%+1)=4什2—%，代入“2023=机，°2=2即可.

a9

【解答】解：由题意可得：an=“〃+2—n+\

CLyCL3d?,

a

n=4+2-%+i，

累加得：

则。］+«2+。3+=(g-%)+(。4—。3)++(%+2-。"+1)=4+2-。2，

所以^2021=^2023—。2="T-2.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查排列问题，属于基础题.

确定小数点后的前两位为11,12,由排列数即可求解

【解答】

解：由题意，只有小数点后的前两位为11,12时，排列后得到的数字小于3.14,

故小于3.14的不同情况有2£=240个.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查锥体体积计算，球的表面积，属于较难题.

由于平面QBC_L平面A3C,所以点P在平面A3C上的射影“落在3C上，根据球体的对称性可知，当

产在“最高点”，也就是说“为3c中点时，PH最大,棱锥尸-ABC的体积最大，求出此时的高产〃，

即可得解.

【解答】

解：由题意画出几何体的图形如图：

由于平面QBC_L平面A3C,所以点P在平面A3C上的射影“落在3C上，

根据球体的对称性可知，当尸在“最高点”，也就是说〃为3C中点时，PH最大,棱锥P-A3C的体积

最大.

•球。的表面积为60兀，设球的半径为R,

；.4兀尺2=6。兀，故7?=厉，

ABC是边长为6的正三角形，

.-.AH=6x^=3&ABC的外接圆半径为r=^-AH=2^3,

23

球心0到平面PBC的距离为d=-AH=y[3,

3

又球心0到平面ABC的距离为找_尸,

则PH=1片—普MR2-户=J15-3+J15-12=36，

•••三棱锥P-ABC的体积最大值为V=ls/7=-x—X62X3A/3=27.

334

故答案为：B.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查利用导数比较大小，属于中档题.

构造g(x)=上单—1,求出g(0)=0,利用导数求出单调性，由单调性逐个判断即可.

【解答】

解：令g(x)=’(：)—1,则g(0)=0,

e

因为r(x)—2/(x)<0,

所以/(力=1⑺之"(x)J⑺『(x)<0,

故g(x)在尺上单调递减，

故g(—l)>g(o)，即e2/(—BP故选项A错误;

g(l)<g(O),即少一1<0,即/(l)<e2,故选项8错误；

e

gD<g(O),即D_]<0，即/[卜e,故选项C正确;

g［］〉g⑴,即fbL］〉"Li，

即/⑴(的'，故选项。错误.

故答案为：C.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查投影向量，向量的数量积与向量的垂直关系，属于中档题.

根据条件设a=(2,0),》=(l,J^),c=(x,y),由(c—a)_L(2Z?—c),可得

(x—2)(2—x)+y(2j^—y)=0,即(x—2尸+(y—6产=3,故2—遂融2+6,再根据投影向量

的计算公式求解即可.

【解答】

解:根据条件cos卜力

.,.设a=(2,0),/?=(1,退)c=(x,y),

则c—a=(x—2,y),2Z?—c=(2-x,2百一y)；

由(c-a)可得(x-2)(2-x)+y(2Q-y)=0,

即(x—2y+(y—月/=3,所以2—岳女2+73.

,,/、।।d-cd'C1八

c在a方向上的投影向量的模长为：|c|cos〈a-e〉=|c|

\a\\c\\a\2

所以。在。方向上的投影向量的模长的最大值为：2+布.

故选D.

9.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查决定系数，独立性检验、回归分析和百分位数，属于基础题.

对各个选项进行判断即可.

【解答】

解:用决定系数4的值判断模型的拟合效果，尺2越大，模型的拟合效果越好，故A正确；

对分类量X与y的统计量来说，越大，判断X与y有关系的把握程度越大，故6错误;

在回归模型中，残差是观测值y与预测值亍的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越

高，故C正确；

因为9x75%=6.75,则第75百分位数为第7个数字，即95,故。正确.

故选ACD

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查函数y=Asin(azx+0)的图象和性质，属于中档题.

求出g(x)的解析式，再逐项分析即可求解.

【解答】

x+

解：由题意，得g(x)=sin2(~+A/3=sin(2%+^-)+^/3,

令g'(x)=2cos|2x+—TT7T

对于Ag'(x)=2cos2x+|=0,则2x+—=E+—,左eZ,所以

32

ku71

x=---1--,keZ

212

所以=且当冗£「亍三J时’g"(x)0t,g'(x)<0

则是函数g(x)的一个极值点，故A正确；

对于民=sin^2x—++G=y/3w0,故B错误；

I5兀JT\71I71]I57c711

对于c,当％*一不7厂7时，2%+工£—J,。，可知g(x)在区间一石，一公上单调递增，故C正

确;

对于£),当xe［正,不］时，2x+—ef-,2?rj,所以一1”sin12x+~j］<1,

—1+A/3„sinf2x+—j+^/3<1+A/3,所以g(x)>0,可知g(x)在区间［五,不)上没有零点，故£)错

误

11.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查了简单多面体及其结构特征，线面平行的性质，线面垂直的判定，线面垂直的性质，异面直线所

成角和余弦定理，属于中档题.

根据空间中线面位置关系及题干条件，结合各选项所需知识点逐个分析.

【解答】

解：对于A.如图：

因为平面々，平面&c平面AB£>=E£B£>u平面AB£>,所以BD〃EF.

取3。的中点。，连接A。,。。.

因为四面体A3CD是正四面体，所以8。，49,8。，。。，而4。门。。=。,4。,。。<=平面4。。,

因此应），平面AOC，所以由所得石尸，平面AOC,

因此由ACu平面AOC,得ERLAC,故A正确；

对于8.如图：

由选项A知：BD//EF，因此当E是的中点时，b是AD的中点.

在平面ACD内，过。作Q"〃。/，交AD于“，连接EH,

因此ZEQH为CF与EQ所成角.

因为。是CD的中点，所以“是线段ED的中点，而正四面体A3CD的棱长为2,

因此#=y/AE2+AH2-2AE-A/7cos60,90,31币

Id-----2xlx—x—=.

4222

连接A。,BQ,在AB。中，AQ=BQ=6,AE=EB=1,因此EQ=0,

37

QH2+EQ2-EH24+2-4_布

所以在-EQH中，c°s/EQH=vsJs—

2x可抗6

2

因此CE与EQ所成角的余弦值为亚，故8正确;

6

对于C.由选项6知：当瓦。分别为线段AB,CD中点时，EQ=y/2,故C错误;

对于D.如图:

设AE=/AB，e(O,l)),则BE=2—2/,=AE=2九

因为在fACF中，CF=VAC2+AF2-2AC-AFcos60=四4+4»—4f，

所以空间四边形BCFE的周长为3石+瓦+<*+3。=4+一4f+4，

1L

因此当/=5时，空间四边形3CFE的周长取得最小值，最小值为4+6,故。正确.

故选ABD.

12.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

根据直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义等知识对四个选项逐一判断即可.

【解答】

解：对于A：抛物线的焦点为尸（L0）,准线方程为x=—1,

由|Ab|=2忸同知，此时直线斜率存在，

设直线AB的方程为V=左（兀一1）,k>0,A（%,%）,3（%2,%），

<"得上"―(2/+4卜+左2=0,

联立

4

则玉+々=2+,Xj%2=1-

由|AE|=2|EB|,可得玉+1=2（9+1），解得左=20（负舍），故A选项正确;

对于8：当直线的斜率不存在时，|加|=|尸

人22141

9

当直线AB的斜率存在时，由选项A可知，=l+—,yM~~j^所以“尸=W•后~=必"'

,2V-1,|U122]

所以尸+F,lJ,

pM=i+g=g+l=1PN1,

故8选项不正确;

对于C：当直线的斜率不存在时，尸与。重合，5PAB=SOAB

当直线AB的斜率存在时，设P到直线AB的距离为4，。到直线AB的距离为d2,

OAB=~d-\AB\,

SPAB=~dc\AB\,S2

由选项AB可知，,_'班一1―'_卜+'|_lk2+l,

「"i一后

.F+l1C(尸242+1

22

Fk+rF(^+l)-F(^+l)

故4>d2,SPAB>SOAB,

综上所述，SpgSOAB，故。选项正确；

对于。：当直线AB的斜率不存在时，易得归A|2，PB|2=10|PM|2；

当直线AB的斜率存在时，

44

由选项ABC可知玉+Z=2+■，玉%2=1，%+%=一，％%=一4，

=x；+x；++y；一豆（%+%）-E（X+丁2）+记+[

=（玉+%『一2■+（X+%丫—2%%

10

=10+=10|PMp,故。选项正确.

F

故选ACD

13.【答案】30x2

【解析】【分析】

本题考查二项展开式的通项，以及利用通项研究特定项的问题，属于基础题.

易知，展开式中有常数项、一次项，二次项，….，故按X的升累排列，第三项为含产项，结合展开式的通

项可求解.

【解答】

解：易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为/项.

(1+3x)4的展开式的通项为(+]=G(3/G=0,1,2,3,4),

(l-2x)(l+3x)4=(]+3幻4_2Ml+3x)4

故所求项为1x盘(3x)2-2%•C；(3x)=30x2.

故答案为30f.

14.【答案】4

【解析】【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性，考查最值问题，属于一般题.

判断出了(X)在[0,+")单调递减结合奇函数的性质得乂,换元，利用函数的单调性即可求解.

【解答】

解：因为函数y（x）,满足对\/。力€［0,+。）且40匕，都有（。一勾［/（。）一/（。）］<。成立，

则“X）在［0,+"）单调递减，

又函数〃尤）为奇函数，

故“X）在尺上单调递减，

贝|］/（l+x）+/（-3x）®）=f（l+x）/（3x）=1+x京巾x=>x

令力=9",/.3,

333

令y=/+，y'=l—j,y'>0在［3,+⑹上恒成立，故丁=/+‘在［3,+“）上单调递增，

3

故当r=3时，y=/+：取最小值，最小值为4,

3

即9,十三的最小值为4

9

故答案为4.

15.【答案】-

2

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题.

根据直线PC平分ZAP6,得|”|=怛0|,可得P在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求

解.

【解答】

解：根据题意不妨令A（、瓦0）,3（0,1）,

•点C为线段的中点，直线PC平分NAP6，

.•.|AP|=|BP|,

.•.P在A8的垂直平分线上，

又上AB=-**

AB的垂直平分线的斜率为下,

又AB的中点为

由点斜式方程得y—万x-

化简得y=石x—1,

又尸在圆0:/+丁2=户上，满足条件的尸有且仅有一个,

直线y=^x-1与圆相切,

11

r=V3TT=2

故答案为：一

2

3

16.【答案】

2

【解析】【分析】

本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，属于较难题.

根据题意可得ln(3x-2)”a恒成立，设g(x)=ln(3尤-2),/z(x)=ax,分析单调性及

g(l)=O,/z(l)=O,可得a<0,且尤=1时有8'(九)="(尤)，代入即可得解.

【解答】

解：若/(%)”里恒成立,则ln(3x—2)+方，巴恒成立,

JCJC

恒成立,

即ln(3x-2),,a----x1

设g(x)=ln(3x-2),〃(x)=a

21-X在［：,+力)上单调递减,

易知g(x)在§,+“|上单调递增，y=—

X

Xg(l)=O,/z(l)=O,故a<0,

且在x=l附近时有：当工<1时，g'(九)>〃(x)；当x>l时，g'(x)<〃(x).(利用幕函数与对数函数

的增长速度可判断成立）

故x=l时有，g'(x)="(x).

、⑴=3,

丸'(x)=a—y—1=—2a,

3

故3=—2a,即a=—

2

3

故答案为—.

2

17.【答案】解：（1）依题意可得：2Sn=a„+1+2»-4,2S„_1=an+2n-6（n..2）,

两式相减并化简得：an+i=3an-2^>an+l-l=3(«n-l)(n..2)

又％=4,2S[=g+2-4,解得出=10.

,72

an—l=(tz2—1)3=3"=4>an=3"+1(〃..2)

又q=4=3*+1

an=3"+l

(2)选①:bn=(aH-l)log3(02,1+1-1)=(2H+1)x3",数列也｝的前〃项和T,.

23

:.Tn=3x^+5x3+7x3++(277+1)x3"

37；,=3X32+5X33+，+(2/I-1)X3,,+(2n+l)x3n+1

9(3"T—1)

=9+2x-----L-(2H+1)X3n+l=-Inx3n+1

3-1

7；=〃x3"+i

(—1)"(2]+6“+5)+1)2+5+2)2]

选。n[log3(/+i-1)了口脸(。“+2-1)丁(〃+1)25+2)2

（i）当〃为偶数时,

i_ii+r]+11_]_J_

Z?一("+1)21+[(“+1)2+(〃+2)2J—("+2)2—4

（ii）当〃为奇数时,

11____1_______1-11

("+3)2_W_5+2)2—5+3)25+2)24

力=01」

一"5+2）24-

【解析】本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算、错位相减法、分组求和法及裂项相消法在数列求和

中的应用，属于中档题.

⑴先由题设推导出：a„+1-l=3（tz„-l）（zz..2）,利用等比数列的通项公式可求得见,.

（2）若选①：先由（1）求得勿，再利用错位相减法求得其前〃项和.

若选②：先由（1）求得勿，再利用裂项相消法及分类讨论求得其前〃项和.

18.【答案】解：（1）在ABC中，由Z>（l+cosC）=6csin5结合正弦定理可得：

siriB（l+cosC）=^sinCsinB,

化简得gsinC-cosC=1，即k[=5，

LLr,—,7C7C,、.八7C5兀._c兀/八人t\

所以。—=—或C—=—,解得C=一（。=兀舍去），

66663

又由正弦定理可得一J=—2—即@—=—也，化简得3=2sinB,

sinCsinBsin60sinB

2jr

因为0<B<——，所以0<sin3,,l,所以0<七,2；

3

(2)解法1：由正弦定理得|QA|=|O3|=|OC|=R=1,且NAOB=2x60=120，

OCAB+CACB=OC\OB-OA^+(OA-OC^(OB-OC^

2

=OCOB-OCOA+OAOB-OAOC-OCOB+OC

2

=-2OCOA+OAOB+OC

1,1

=-IcosZAOC——+12=——2cos/AOC,

22

当点。不在ABC外部时(如图)ZAOC=2B.

----"11/o\93O3

OCAB+CACB=——2cos28=——2(1-2sin2B)=4sin2B--=b2--,

22'>22

当点。在，ABC外部时（如图），/AOC=2（兀一5）=2兀一23.

113

OCAB+CACB^——2cos(2兀—28)=——2cos28^b2--,

2v722

3(35-

由(1)知0<Z?,,2,所以OC,AB+CA,CB=b1—G—,—

2I22—

即OCA5+C4-CB的最大值为g.

2

兀1

(2)解法2：由题可知：CA-CB=a-bcos—=—ab,

32

如图，分别取线段BC,AC的中点。,E.

ED

A\/B

由于。是ABC的外心，则。

OCAB=-CO（CB-CA^=-COCB+COCA,

272

=-CDCB+CECA=--+—,

22

所以。CA3+C4C3="+"—"一,

2

由余弦定理得c?=a2+b2-2abcosC^>ab-a2=b2-3>

所以OC•A3+C4・C3=b'ab-a2=吩'吩-3=万2一。，

222

3<35"

由（1）知0<七,2,所以OC-AB+CACB=b~——e~,

即OC-AB+C4•Cfi的最大值为|.

【解析】本题考查正余弦定理解三角形及平面向量的数量积运算，属于中档题.

（1）利用正弦定理及已知条件进行求解即可；

（2）解法一：利用正弦定理及平面向量的数量积运算求解即可；

解法二：利用余弦定理及平面向量的数量积运算求解即可.

19.【答案】解：设8="任取一个零件为次品"，4="零件为第，台车床加工”。=1,2,3）,则

=且4,4,4两两互斥•根据题意得

p（A）=0.25,尸（4）=0.3,P（A）=0.45,

P（B\4）=0.06,P（B|A）=P（B|4）=0.05

（1）由全概率公式，得

尸（为=尸⑷尸（HA）+P（4）P（H4）+P（A）P（HA）

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525;

(2)由题意可知X=35,32,30,则

类似地，可得

9Q

P（X=32）=P（4lB）=-,P（X=30）=P（4lB）=-,

所以加工这个零件耗时X的分布列为:

X353230

223

rP

777

223

E(X)=35x-+32x-+30x-=32.

'/777

【解析】本题考查全概率公式，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.

(1)利用互斥事件的概率公式及全概率公式求解即可；

(2)求出随机变量对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.

20.【答案】解:(1)证明：因为四边形CD跖为平行四边形，所以“是CE中点,

连接GH,又G点为线段的的中点，则GH〃3C,且GH='BC,

2

又A£)〃3C且A£>=』BC,所以GH〃A£)且G〃=AO,

2

所以四边形ADHG是平行四边形，

所以又AG<z平面CDEROHu平面COER,

所以AG〃平面

(2)以C为原点，CB,CD所在直线为光,V轴，在平面CD跖内过C作CD的垂线为z轴建立空间直角

坐标系,

则有。（0,2,0）,3（2,0,0）,E（0,3,若），尸（0,1,君），

设3G=43E=32,,0<2<1,贝!]

DG=BG-BD=（-22,32,岳）一（一2,2,0）=（2-22,3D-2,,

因为e=（1,0,0）为平面CDEF的法向量,

所以cos（DG,e）==也

~^2

解得2（其中2=0舍去）.

2

所以G〔1,—,

设平面EDG的法向量为m=a，x，zj,则有m•£>£=（%[,%,4=%+布Z[=0,

机,DG=（Xi，x，zJ-I,一%,岑=七一心M+孝4=0,

故可取m=Q6,—区,.

设平面FDG的法向量为〃=（%2，y2,22），则有“-。/=（9，乂，Z?），（0,-1,指）=_%+Cz?=0,

1

x2--y2+-z2=o,

故可取”=（0,如,1b

l…/——\m，n-2不

所以cos（m,ri）=।­n~~（■=

'HITV7X27

V42

所以二面角E—OG—尸的正弦值为

7

【解析】本题考查线面平行的判定定理，利用空间向量求直线与平面所成角、二面角，属于中档题.

(1)由题知四边形ADHG是平行四边形，则AG即可得证；

(2)以C为原点，建立空间直角坐标系，e=(1,0,0)为平面CD即的法向量，利用空间向量的数量积求

出点G坐标，再求出平面EDG的法向量〃/,平面EDG的法向量”，利用空间向量的数量积即可得解.

21.【答案】解：(1)由题意以及双曲线定义可得：|其同=|八手］一|八阿，

:.\MP\+\NP\=|NF|+\MF\=4>\MN\=2,

由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以为焦点，a=2,c=l的椭圆(不含短轴端点)，

22

其方程为工+L=l(xwO)；

43v7

(2)设直线/的方程为：y=k(x-l)(左wO),A(玉(玉片42)，

则由A。，。。，知Q«，x),

所以—%=%-y(i),