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文档简介
河南省新乡市2024届高三第二次模拟考试数学试题
一、选择题
2+4i
Z=------
1.设1—3i,贝i]z=()
A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i
【答案】B
2+4i_(2+4i)(l+3i)_-10+10i
【解析】zl-3i(l-3i)(l+3i)--10=-l+i,
故口-1-i,
故选:B.
2.在/ABC中,内角A,3,C的对边分别为。,/?,。,且。=7,6=3,。=5,则()
A.为锐角三角形B.JWC为直角三角形
C.ABC为钝角三角形D.ABC的形状无法确定
【答案】C
h22-a232+52-729+25-49
【解析】由于cosA=2*+c_上仍<0,
2bc3030
故A为钝角,进而三角形为钝角三角形
故选:C.
3.已知直线x+2y+2=0与抛物线C:/=。X的图象相切,则。的焦点坐标为()
B.(-1,0)D.(1,0)
【答案】C
x+2y+2=0、
【解析】依题意,联立《2,消去X,得y+20+2。=0,
y=ax
则A=4a2—8Q=0,由〃。0,所以a=2,
故抛物线。方程为丁二2%,则其焦点坐标为故选:C.
4.已知cosO=L,则COS36=()
4
【答案】A
17015
【解析】因为cos6=—,可得cos29=2cos0之。-1二——,sin2^=l-cos92=一,
4816
贝(Jcos36=cos(26+6)=cos29cos6-sin20sin0=(2cos20-1)cos0—2sin26cos6,
=q“xL11
8416416
故选:A.
5.老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人,其中甲分得2本,乙、丙每人至少分
得一本,则不同的分法有()
A.248种B.168种C.360种D.210种
【答案】D
【解析】根据题意进行分类:
第一类:甲、乙、丙每人分得2本,Ni=C:C;C;=15x6x1=90(种);
第二类:甲分得2本,乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3分,
N2=C;C:C;A;=15x4x1x2=120(种).
所以由分类加法计数原理可得共有N=M+N2=90+120=210种不同的分法.
故选:D.
6.函数/(尤)=因被称为取整函数,也称高斯函数,其中国表示不大于实数x的最大整
数.若X/777«(),+<»),满足[疔+卜]<史坦,则%的取值范围是()
m
A.[-1,2]B.(-1,2)C.[-2,2)D.(-2,2]
【答案】C
【解析】Vme(O,+a))Z!£±l=m+X>2,当且仅当加=1时取等号,
mm
由[x]2++1可得田2+国v2n([x]+2乂国一1)V0,
m
所以-2<国<1,故一2〈无<2,
故选:C
7.己知函数"%)满足/(x+y+l)=/(x)+/(y),则下列结论一定正确的是()
A./(力+1是奇函数B.7'(x—i)是奇函数
C./(x)—1是奇函数D./(X+1)是奇函数
【答案】B
【解析】因为〃x+y+i)=/(x)+/(y),
令x=y=—i,可得/(_1)=/(-1)+/(_1),则/(-1)=0;
令y=-2—X,贝1/(—1)=/(%)+/(—2—x)=0,
故了⑴的图象关于点(-1,0)对称,
则/(X—1)的图象关于点(0,0)对称,即fa—1)是奇函数,故B正确;
对于C,令尤=y=0,可得y(l)=/(o)+/(o),则=
当了⑴。2时,/(0)-1^0,此时/(%)—1不可能是奇函数,
由于无法确定了。)的值,故/(£)-1不一定是奇函数,故C错误;
对于AD,取/(X)=X+1,满足题意,但易知D错误;故选:B.
8.已知圆锥的底面半径为6,高为1,其中。为底面圆心,AB是底面圆的一条直径,
若点P在圆锥MO的侧面上运动,则73A.p8的最小值为()
93
A.--B.---C.—2D.—1
42
【答案】A
【解析】圆锥MO的底面半径为豆,高为1,其中。为底面圆心,AB是底面圆的一条直
径,
M
则有。4=-05,|。4|=|。4=有,
点尸在圆锥MO的侧面上运动,
则PA-PB=(OA-OP^(OB-<9P)=OAOB-(OA+OByOP+OP*2=OP2-(^)2,
"P|最小时,PA.PB有最小值,|。尸|的最小值为O点到圆锥母线的距离,
RtAJWOA中,OA=5OM=1,贝|」40=2,。点到的距离丝”=土
AM2
则|OP|的最小值为乎,pA.pB的最小值为
故选:A.
二、选择题
9.如图,弹簧挂着的小球做上下运动,它在/S时相对于平衡位置的高度人(单位:cm)由
关系式久=Asin(就+0,fe[0,+8)确定,其中A>0,a)>0,0e(O,兀].小球从最
高点出发,经过2s后,第一次回到最高点,则()
Ah>0
-h=0
Jh<0
B.0)=71
t=3.75s与方=10s时的相对于平衡位置的高度丸之比为巫
2
D.t=3.75s与f=10s时的相对于平衡位置的高度〃之比为g
【答案】BC
【解析】对于AB,由题可知小球运动的周期T=2s,又(y〉0,所以®=2,解得。=兀,
CO
当,=0s时,Asin(p=A,又0e(O,兀所以0=3,故A错误,B正确;
对于CD,则h=Asin=Acosnt
所以f=3.75s与/=10s时的相对于平衡位置的高度之比为
157rcos(-工)
ACOS(TIX3.75)_「°,丁=故C正确D错误.
ACOS(KXIO)cos1OncosO2
故选:BC.
10.已知WGR,集合A={(x,y)|mx+y—l=0},3={(x,y)12mx+2y—9=。},
C={(x,y)|x24-y2+2x-4y+l=o},D={(%,y)|x2+y2-2x=o},则下列结论一定成
立的是()
A.Ar\B-0B.AcCw0C.BC=0D.CoD=0
【答案】AB
【解析】A={(x,y)\nix+y-l=0}表示过定点(0,1),且斜率为一加的直线的点构成的集合,
3={(x,y)|2/nx+2y—9=0}表示过定点(0,a且斜率为一根的直线的点构成的集合,
C={(x,刈/+/+2x-4y+l=0}表示圆心为(-1,2),半径为r=2的圆上的点构成
的集合,
D={(%»),+丁—2x=o}表示圆心为(1,0),半径为4=1的圆上的点构成的集合,
对于A,集合A5中的直线平行,故Ac6=0,故A正确,
对于B,由于。2+1+。—4+1<。,故(0,1)在圆一+丁+2X—4y+l=0内,
故经过点(0,1)的直线与圆相交,AcCw0,故B正确,
对于C,由于+0-4x1+l>0,故[o,T]在圆V+>2+2x—4y+l=0外,
故当经过点[o,。)的直线与圆相离时,此时AcC=0,故C错误,
对于D,由于J(_]_l『+22=206(1_小厂+%),故两圆相交,CcDwO,D错
误,
故选:AB
22
11.如图,已知双曲线C:二—二=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为£(—3,0),
ab
笈(3,0),点A在C上,点8在y轴上,A,F1,B三点共线,若直线8耳的斜率为6,
A.C的渐近线方程为)=±且%
B.|Afi|=16
-2
C.一A3片的面积为166D.△△与工内接圆的半径为公
【答案】ABD
【解析】对于A,依题意,直线圻;的斜率为白,所以Nm月=],又怛耳卜忸7讣
所以片乙为等边三角形,故忸周=忸闾=|片用=2c=6,NB且片=j,
在4A与工中,tan/月4A=王〉0,/巴耳A为锐角,
sin/工耳A=辿,cos/F,4A=—
21142114
6nl5G3A/3
所以sinA=sin__x____x___—___
214214-14
阳闾回
根据正弦定理可得
sinAsmZF{F2AsmZF2F}A
6|AF,|\AF2\
即3A/3-G-573,解得|明|=14,|你|=10,
ITE~\A
所以2a=4,即a=2,b=\lc2—a2=6,
22
所以双曲线C的方程为土-乙=1,
45
对于AB,C的渐近线方程为y=土^^尤,|AB|=6+10=16,故AB正确;
对于C,ABE的面积为:|BF|-|AB|sin-=-x6xl6xsin-=24V3,故C错误;
11111323
对于D,片玛的面积为Lx6xl4xd叵=156,
214
15下_a
所以△”内接圆的半径”(6+10+14)'故口正确.
故选:ABD,
三、填空题
12.已知一平面截球O所得截面圆的半径为2,且球心。到截面圆所在平面的距离为1,则
该球的体积为.
[答案]"叵
3
【解析】由球的截面圆性质可知球的半径R=正淳=6,
则该球的体积为把x(逐)3=型叵
33
故答案为:牛
[8
13.若一组数据为,a2,a3,%,%的平均数为3,方差为不,则%,%,的,%,%,
9这6个数的平均数为,方差为
【答案】48
5x3+9
【解析】依题意,知这6个数的平均数为一广=4,
6
1/5A1O5
又2X^2-5X32,得=63,
53=i)5i=i
1A5、]
所以这6个数的方差为一^«,2+92-6X42=-(63+92-6X42)=8.
63=i76
故答案为:4;8.
2x,%<0,
14.已知函数八元)=,21n%g(x)=d+2x—42,2eR,若关于1的方程
----,x>0,
y(g(%))=;1有6个解,则之的取值范围为
【解析】令g(x)=£,由函数〃力的图象可知,方程4(2为常数)最多有3个解,
/1)在(TAO]上单调递增,
当00时,/⑺=2(1”),则/⑺在(o,e)上单调递增,在(e,+“)上单调递减,
2
故结合图象可得0<2<一,且方程/«)=2的三个解中最小的解为t=log,2.
e
又g(x)=/+2x—4/l=(x+l)2—42—1,在1)上单调递减,在(—1,+")上单调
递增,
所以g(x)最小值为g(T)=T4T,即当d-44-1时,g(x)=/有2个零点,
log22>-42-1
所以使关于X的方程/(g(x))=2有6个解,贝卜0<2<2,
、e
log2■>—44—1,即42+log2A+1>0,令/i(4)=44+log24+1,
易知〃(/I)在(0,+“)上单调递增,又=所以44+log22+l>0的解集为
综上所述,2的取值范围为弓
四、解答题
15.如图,在三棱锥P—A3C中,平面平面ABC,且B4=PC,PA±AB.
(1)证明:AB_L平面PAC;
(2)若K4=A5=AC=2,点M满足=,求二面角P—AC—M的大小.
(1)证明:过尸作P£)J_AC于点。,平面平面ABC,且平面PAC平面
ABC=AC,PDu平面APC,
故QD,平面ABC.又ABu平面PAC,.•.FDLAB.
又R4LAB,PAiPD=P,?Du平面PAC,ABu平面PAC,
所以AB/平面?AC,
(2)解:由(1)AB,平面PAC,ACu平面PAC,故ABSAC,
以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,
则A(0,0,0),8(2,0,0),P(0,l,aC(0,2,0),
依=(:,一:一/),所以“彳,:,芋),
故丽=(2,-1,一百),
AC=(0,2,0),AM=
设平面ACM的法向量m=(x,y,z),
m-AC=2y=0
222令z=l有,故m=(一百,0,1),
m-AM=—x+—y+—vr3z=0
333
平面B4c的法向量AB=(2,0,0),
273_A/3
则|cos〈m,A3〉|=—|~,
11\m\\AB\2^2
又二面角P—AC—M所成角为锐角,
二面角P-AC-M所成角的余弦值为角的大小为四.
26
2%-l,“为奇数,
16.已知数列{%}满足%=1,a
n+l<3a.+3,九为偶数一
⑴记勾=%-,证明数列出}是等比数列,并求低}的通项公式;
(2)求{%}的前2九项和S2“,并证明2S2“Ng“M—2.
(1)证明:由题意可知,垣=3=3a2"+3=3a(2“T)+I+3=3(2--1)+3=$,
2。2〃-1%〃—1。2〃—1。2〃—1
所以数列出}是首项4=6=1,公比为6等比数列.于是〃=6〃)
(2)解:由题意可知,%”=2%〃_]—1,
所以S2"=%+4+%++02,
=(q+。3++%++a
—(q+4+)+(2q-i+2«3-i++-1)
=3(q+/+一"=3(々+&+4++&)-
1,4I141
c,-c=—X6n+1-2n+xl)+~--x6n-2n+-=6"—2>0,
n+l"5[J5[55)
所以数列{cj单调递增,故%>q=0,即2s2“2为用一2.
17.根据国家电影局统计,2024年春节假期(2月10日至2月17日)全国电影票房为80.16
亿元,观影人次为1.63亿,相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%,
均创造了同档期新的纪录.2024年2月10日某电影院调查了100名观影者,并统计了每名
观影者对当日观看的电影的满意度评分(满分100分),根据统计数据绘制得到如图所示的
频率分布直方图(分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]).
频率
[藕
0.030..............।—I
0.020........1—]
0.015……——-------
0.010…L
0.005
。六K)5060708090%满熹度评分
(1)求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数;
(2)估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数(结果精确到0.1);
(3)设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为A,小于80分的频率为。2,若
甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影,甲观看A,8影片的概率分别为
p2,1-必,乙观看A,B影片的概率分别为Pi,1-A-当天甲、乙观看哪部电影相互
独立,记甲、乙这两名观影者中当天观看A影片的人数为X,求X的分布列及期望.
解:(1)由图可知,满意度评分不低于60分频率为1—(0.010+0.020)x10=0.7,
所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为0.7x100=70.
(2)因为(0.010+0.020)xl0=0.3<0.4,(0.010+0.020+0.030)x10=0.6>0.4,
所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组,
04-03
则这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为60+工———X10工63.3.
0.030x10
(3)由图可知,px=1-(0.02+0.015+0.005)x10=0.6,
同理p2=0.8,
而X的可能取值为01,2,
则P(X=0)=(1-/?2)(1-A)=0.2X0.4=0.08,
P(X=1)=P2(1-乩)+Pi(1-0)=0.8x0.4+0.6x0.2=0.44,
p(X=2)=p2Pl=0.8x0.6=0.48,
所以X的分布列为
X012
p0.080440.48
故E(X)=0x0.08+1x0.44+2x0.48=1.4.
xy2
18.已知A,3分别是椭圆—+=1(a>6>0)的左、右顶点,C为的上
a铲
顶点,尸是"上在第一象限的点,=直线E4,尸3的斜率分别为尤,k2,且
她=一/•
(1)求M的方程;
陷PD\
(2)直线4。与3尸交于点。,CP与x轴交于点E,求••五才的取值范围.
解:(1)依题意,设尸(天,阳),显然4-。,0),5(。,0),C(0,Z?),
,又%*即六也2
%%1,a-
则匕左2=22
2
/o+QxQ-ax^-aa
b2
所以左]《二一r即
a2
由|AC|=6,得片+/=5②,
联立①②,解得。=21=1,
尤2
所以椭圆M的方程为工+>2=1,
4-
(2)由(1)得A(—2,0),3(2,0),C(0,l),
设直线BP的方程为y=k(x-2),
因为点尸位于第一象限,所以左〈左BC=—;
y=k(x-2)
联立《一2,整理得(4左2+1)尤2—1642%+1642—4=0,
彳+y=1
16k28k°—24k
则%+2=,所以Xp=,则yP=左(与一2)=_
442+14k~+14k2+1
"8F-24k、
所以P2-2
^+r4^+l>
y-10-1
又直线AC的方程为2—=—,即y=;jr+l,
x—2
1,
y——x+1_44+24k
所以联立《2,解得。
212k—1
y=k(x-2)
\PE\\PD\_\PE\\PD\_ypyD-yp_yD-yp
故
\PB\\PC\\PC\\PB\l-ypyp1—%
4k,4k
=21+442+1=16左2=8
4k__
n8^-24_X
4k2+1e
1,11<4,0<4—j<4,
因为左<---,所以左>—,0<—y
24k2
则。>2
k2
侬・也
\PB\\PC\
19.定义:若函数图象上恰好存在相异的两点尸,。满足曲线y=在尸和。处
的切线重合,则称尸,Q为曲线y=/(x)的“双重切点”,直线尸。为曲线y=/(x)的“双
重切线”.
(1)直线y=2%是否为曲线/•(;(:)=V+工的“双重切线”,请说明理由;
ex__<o
(2)已知函数g(x)=e%'—'求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程;
In%,%>0,
(3)已知函数〃(尤)=sin尤,直线尸。为曲线y=/?(£)的“双重切线”,记直线尸。的斜率
所有可能的取值为左,左2,…,k,t,若《>网>《(,=3,4,5「-,“),证明:
k.15
--<---
左28,
(1)解:/(%)=/+工的定义域为(-^,0)50,+8),求导得尸(%)=3/—直线
XX
y=2%的斜率为2,
令尸(x)=3x?-』=2,解得.±1,不妨设切点P(—1,—2),Q(1,2),
则点尸处的切线方程为y+2=2(x+l),即y=2x,
点。处的切线方程为y—2=2(x—1),即y=2尤,
所以直线y=2%是曲线/(x)=V+工的“双重切线”.
X
2ex,%<0
ex--,x<0
(2)解:函数g(x)=<e,求导得g1X)=1
—,元〉0
Inx,x>0
显然函数y=e'在(—8,0)上单调递增,函数y=1在(0,+。)上单调递减,
设切点尸(外,%),。(%,%),则存在入<。<巧,使得/'(石)=/'(%),
则在点P处的切线方程为y—(e*——)二9(x—再),
e
在点。处的切线方程为y-ln%=^-(x-%2),
因此<",消去巧可得e』一工2为+%一2+1=0,
—e司Xy—=In%—1
Ie
2
令人(x)=e"—xe无+九一一+1(%<0),求导得女'(%)=匕”一(1+尤)匕*+1=—屁]+1〉0,
则函数左⑴在(—8,0)上单调
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