河南省新乡市2024届高三第二次模拟考试数学试题（解析版）

河南省新乡市2024届高三第二次模拟考试数学试题

一、选择题

2+4i

Z=------

1.设1—3i,贝i]z=（）

A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i

【答案】B

2+4i_(2+4i)(l+3i)_-10+10i

【解析】zl-3i(l-3i)(l+3i)--10=-l+i,

故口-1-i，

故选：B.

2.在/ABC中，内角A,3,C的对边分别为。，/?,。，且。=7,6=3,。=5,则（）

A.为锐角三角形B.JWC为直角三角形

C.ABC为钝角三角形D.ABC的形状无法确定

【答案】C

h22-a232+52-729+25-49

【解析】由于cosA=2*+c_上仍＜0,

2bc3030

故A为钝角，进而三角形为钝角三角形

故选：C.

3.已知直线x+2y+2=0与抛物线C：/=。X的图象相切，则。的焦点坐标为（）

B.(-1,0)D.(1,0)

【答案】C

x+2y+2=0、

【解析】依题意，联立《2，消去X，得y+20+2。=0,

y=ax

则A=4a2—8Q=0，由〃。0,所以a=2,

故抛物线。方程为丁二2%，则其焦点坐标为故选：C.

4.已知cosO=L,则COS36=()

4

【答案】A

17015

【解析】因为cos6=—,可得cos29=2cos0之。-1二——,sin2^=l-cos92=一,

4816

贝(Jcos36=cos(26+6)=cos29cos6-sin20sin0=(2cos20-1)cos0—2sin26cos6，

=q“xL11

8416416

故选：A.

5.老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分

得一本，则不同的分法有（）

A.248种B.168种C.360种D.210种

【答案】D

【解析】根据题意进行分类：

第一类：甲、乙、丙每人分得2本，Ni=C：C；C；=15x6x1=90（种）；

第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3分，

N2=C；C：C；A；=15x4x1x2=120（种）.

所以由分类加法计数原理可得共有N=M+N2=90+120=210种不同的分法.

故选：D.

6.函数/（尤）=因被称为取整函数，也称高斯函数，其中国表示不大于实数x的最大整

数.若X/777«（）,+<»）,满足[疔+卜]<史坦，则%的取值范围是（）

m

A.[-1,2]B.（-1,2）C.[-2,2）D.（-2,2]

【答案】C

【解析】Vme（O,+a））Z!£±l=m+X>2,当且仅当加=1时取等号，

mm

由[x]2++1可得田2+国v2n([x]+2乂国一1)V0,

m

所以-2＜国＜1,故一2〈无＜2,

故选：C

7.己知函数"%)满足/(x+y+l)=/(x)+/(y),则下列结论一定正确的是()

A./(力+1是奇函数B.7'(x—i)是奇函数

C./(x)—1是奇函数D./(X+1)是奇函数

【答案】B

【解析】因为〃x+y+i)=/(x)+/(y)，

令x=y=—i,可得/(_1)=/(-1)+/(_1)，则/(-1)=0；

令y=-2—X,贝1/(—1)=/(%)+/(—2—x)=0,

故了⑴的图象关于点(-1,0)对称，

则/(X—1)的图象关于点(0,0)对称，即fa—1)是奇函数，故B正确；

对于C,令尤=y=0,可得y(l)=/(o)+/(o),则=

当了⑴。2时，/(0)-1^0,此时/(%)—1不可能是奇函数，

由于无法确定了。)的值，故/(£)-1不一定是奇函数，故C错误；

对于AD,取/(X)=X+1,满足题意，但易知D错误；故选：B.

8.已知圆锥的底面半径为6,高为1，其中。为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，

若点P在圆锥MO的侧面上运动，则73A.p8的最小值为()

93

A.--B.---C.—2D.—1

42

【答案】A

【解析】圆锥MO的底面半径为豆，高为1,其中。为底面圆心，AB是底面圆的一条直

径,

M

则有。4=-05，|。4|=|。4=有，

点尸在圆锥MO的侧面上运动，

则PA-PB=(OA-OP^(OB-<9P)=OAOB-(OA+OByOP+OP*2=OP2-(^)2,

"P|最小时，PA.PB有最小值，|。尸|的最小值为O点到圆锥母线的距离，

RtAJWOA中，OA=5OM=1,贝|」40=2,。点到的距离丝”=土

AM2

则|OP|的最小值为乎，pA.pB的最小值为

故选：A.

二、选择题

9.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在/S时相对于平衡位置的高度人(单位：cm)由

关系式久=Asin(就+0,fe[0,+8)确定，其中A>0,a)>0,0e(O,兀].小球从最

高点出发，经过2s后，第一次回到最高点，则()

Ah>0

-h=0

Jh<0

B.0)=71

t=3.75s与方=10s时的相对于平衡位置的高度丸之比为巫

2

D.t=3.75s与f=10s时的相对于平衡位置的高度〃之比为g

【答案】BC

【解析】对于AB,由题可知小球运动的周期T=2s,又(y〉0,所以®=2,解得。=兀，

CO

当，=0s时，Asin(p=A,又0e(O,兀所以0=3，故A错误，B正确;

对于CD,则h=Asin=Acosnt

所以f=3.75s与/=10s时的相对于平衡位置的高度之比为

157rcos(-工)

ACOS(TIX3.75)_「°,丁=故C正确D错误.

ACOS(KXIO)cos1OncosO2

故选：BC.

10.已知WGR,集合A={(x,y)|mx+y—l=0},3={(x,y)12mx+2y—9=。},

C={(x,y)|x24-y2+2x-4y+l=o},D={(%,y)|x2+y2-2x=o},则下列结论一定成

立的是()

A.Ar\B-0B.AcCw0C.BC=0D.CoD=0

【答案】AB

【解析】A={(x,y)\nix+y-l=0}表示过定点(0,1)，且斜率为一加的直线的点构成的集合,

3={(x,y)|2/nx+2y—9=0}表示过定点(0，a且斜率为一根的直线的点构成的集合，

C={(x,刈/+/+2x-4y+l=0}表示圆心为(-1,2),半径为r=2的圆上的点构成

的集合，

D={(%»),+丁—2x=o}表示圆心为(1,0),半径为4=1的圆上的点构成的集合，

对于A,集合A5中的直线平行，故Ac6=0,故A正确,

对于B,由于。2+1+。—4+1<。，故(0,1)在圆一+丁+2X—4y+l=0内，

故经过点(0,1)的直线与圆相交，AcCw0,故B正确，

对于C,由于+0-4x1+l>0,故［o，T］在圆V+>2+2x—4y+l=0外,

故当经过点[o,。）的直线与圆相离时，此时AcC=0,故C错误,

对于D,由于J（_]_l『+22=206（1_小厂+%）,故两圆相交，CcDwO,D错

误，

故选：AB

22

11.如图，已知双曲线C：二—二=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为£（—3,0）,

ab

笈（3,0）,点A在C上，点8在y轴上，A,F1,B三点共线，若直线8耳的斜率为6,

A.C的渐近线方程为）=±且％

B.|Afi|=16

-2

C.一A3片的面积为166D.△△与工内接圆的半径为公

【答案】ABD

【解析】对于A,依题意，直线圻;的斜率为白，所以Nm月=],又怛耳卜忸7讣

所以片乙为等边三角形，故忸周=忸闾=|片用=2c=6,NB且片=j,

在4A与工中，tan/月4A=王〉0,/巴耳A为锐角，

sin/工耳A=辿,cos/F,4A=—

21142114

6nl5G3A/3

所以sinA=sin__x____x___—___

214214-14

阳闾回

根据正弦定理可得

sinAsmZF{F2AsmZF2F}A

6|AF,|\AF2\

即3A/3-G-573,解得|明|=14,|你|=10,

ITE~\A

所以2a=4，即a=2,b=\lc2—a2=6，

22

所以双曲线C的方程为土-乙=1,

45

对于AB,C的渐近线方程为y=土^^尤,|AB|=6+10=16，故AB正确;

对于C,ABE的面积为:|BF|-|AB|sin-=-x6xl6xsin-=24V3,故C错误;

11111323

对于D,片玛的面积为Lx6xl4xd叵=156，

214

15下_a

所以△”内接圆的半径”(6+10+14)'故口正确.

故选：ABD,

三、填空题

12.已知一平面截球O所得截面圆的半径为2,且球心。到截面圆所在平面的距离为1,则

该球的体积为.

［答案］"叵

3

【解析】由球的截面圆性质可知球的半径R=正淳=6，

则该球的体积为把x(逐)3=型叵

33

故答案为：牛

［8

13.若一组数据为,a2,a3,%，%的平均数为3,方差为不，则%,%，的，%，%，

9这6个数的平均数为,方差为

【答案】48

5x3+9

【解析】依题意，知这6个数的平均数为一广=4,

6

1/5A1O5

又2X^2-5X32,得=63,

53=i)5i=i

1A5、］

所以这6个数的方差为一^«,2+92-6X42=-(63+92-6X42)=8.

63=i76

故答案为：4；8.

2x,%<0,

14.已知函数八元)=，21n%g(x)=d+2x—42,2eR,若关于1的方程

----,x>0,

y(g(%))=；1有6个解，则之的取值范围为

【解析】令g(x)=£,由函数〃力的图象可知，方程4(2为常数)最多有3个解,

/1)在(TAO］上单调递增，

当00时，/⑺=2(1”),则/⑺在(o,e)上单调递增，在(e,+“)上单调递减,

2

故结合图象可得0<2<一,且方程/«)=2的三个解中最小的解为t=log,2.

e

又g(x)=/+2x—4/l=(x+l)2—42—1,在1)上单调递减，在(—1,+")上单调

递增，

所以g(x)最小值为g(T)=T4T，即当d-44-1时，g(x)=/有2个零点,

log22>-42-1

所以使关于X的方程/(g(x))=2有6个解，贝卜0<2<2，

、e

log2■>—44—1,即42+log2A+1>0,令/i(4)=44+log24+1,

易知〃(/I)在(0,+“)上单调递增，又=所以44+log22+l>0的解集为

综上所述，2的取值范围为弓

四、解答题

15.如图，在三棱锥P—A3C中，平面平面ABC,且B4=PC,PA±AB.

(1)证明：AB_L平面PAC；

(2)若K4=A5=AC=2,点M满足=，求二面角P—AC—M的大小.

(1)证明：过尸作P£)J_AC于点。，平面平面ABC,且平面PAC平面

ABC=AC,PDu平面APC,

故QD,平面ABC.又ABu平面PAC,.•.FDLAB.

又R4LAB，PAiPD=P,?Du平面PAC,ABu平面PAC,

所以AB/平面？AC,

(2)解：由(1)AB,平面PAC，ACu平面PAC,故ABSAC,

以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则A(0,0,0),8(2,0,0),P(0,l,aC(0,2,0),

依=(：,一:一/),所以“彳,：,芋),

故丽=(2,-1,一百),

AC=（0,2,0）,AM=

设平面ACM的法向量m=(x,y,z),

m-AC=2y=0

222令z=l有，故m=(一百,0,1),

m-AM=—x+—y+—vr3z=0

333

平面B4c的法向量AB=(2,0,0),

273_A/3

则|cos〈m,A3〉|=—|~,

11\m\\AB\2^2

又二面角P—AC—M所成角为锐角,

二面角P-AC-M所成角的余弦值为角的大小为四.

26

2%-l,“为奇数，

16.已知数列｛%｝满足％=1,a

n+l<3a.+3,九为偶数一

⑴记勾=%-，证明数列出｝是等比数列，并求低｝的通项公式；

(2)求｛%｝的前2九项和S2“，并证明2S2“Ng“M—2.

(1)证明：由题意可知，垣=3=3a2"+3=3a(2“T)+I+3=3(2--1)+3=$,

2。2〃-1%〃—1。2〃—1。2〃—1

所以数列出｝是首项4=6=1,公比为6等比数列.于是〃=6〃)

(2)解：由题意可知，%”=2%〃_]—1,

所以S2"=%+4+%++02,

=(q+。3++%++a

—(q+4+)+(2q-i+2«3-i++-1)

=3(q+/+一"=3(々+&+4++&)-

1,4I141

c,-c=—X6n+1-2n+xl)+~--x6n-2n+-=6"—2>0,

n+l"5[J5[55)

所以数列｛cj单调递增，故%>q=0,即2s2“2为用一2.

17.根据国家电影局统计，2024年春节假期(2月10日至2月17日)全国电影票房为80.16

亿元,观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%,

均创造了同档期新的纪录.2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名

观影者对当日观看的电影的满意度评分(满分100分)，根据统计数据绘制得到如图所示的

频率分布直方图(分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]).

频率

[藕

0.030..............।—I

0.020........1—]

0.015……——-------

0.010…L

0.005

。六K)5060708090%满熹度评分

(1)求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；

(2)估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数(结果精确到0.1)；

(3)设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为A，小于80分的频率为。2,若

甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看A,8影片的概率分别为

p2,1-必，乙观看A，B影片的概率分别为Pi，1-A-当天甲、乙观看哪部电影相互

独立，记甲、乙这两名观影者中当天观看A影片的人数为X,求X的分布列及期望.

解：(1)由图可知，满意度评分不低于60分频率为1—(0.010+0.020)x10=0.7,

所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为0.7x100=70.

(2)因为(0.010+0.020)xl0=0.3<0.4,(0.010+0.020+0.030)x10=0.6>0.4,

所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组，

04-03

则这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为60+工———X10工63.3.

0.030x10

(3)由图可知，px=1-(0.02+0.015+0.005)x10=0.6,

同理p2=0.8,

而X的可能取值为01,2,

则P(X=0)=(1-/?2)(1-A)=0.2X0.4=0.08,

P(X=1)=P2(1-乩)+Pi(1-0)=0.8x0.4+0.6x0.2=0.44,

p(X=2)=p2Pl=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列为

X012

p0.080440.48

故E(X)=0x0.08+1x0.44+2x0.48=1.4.

xy2

18.已知A,3分别是椭圆—+=1（a>6>0）的左、右顶点,C为的上

a铲

顶点，尸是"上在第一象限的点，=直线E4,尸3的斜率分别为尤，k2,且

她=一/•

（1）求M的方程；

陷PD\

（2）直线4。与3尸交于点。，CP与x轴交于点E，求••五才的取值范围.

解：（1）依题意，设尸（天,阳），显然4-。,0）,5（。,0）,C（0,Z?）,

,又%*即六也2

%%1,a-

则匕左2=22

2

/o+QxQ-ax^-aa

b2

所以左］《二一r即

a2

由|AC|=6,得片+/=5②,

联立①②，解得。=21=1,

尤2

所以椭圆M的方程为工+>2=1,

4-

(2)由(1)得A(—2,0),3(2,0),C(0,l),

设直线BP的方程为y=k(x-2),

因为点尸位于第一象限，所以左〈左BC=—；

y=k(x-2)

联立《一2，整理得(4左2+1)尤2—1642%+1642—4=0,

彳+y=1

16k28k°—24k

则%+2=，所以Xp=,则yP=左(与一2)=_

442+14k~+14k2+1

"8F-24k、

所以P2-2

^+r4^+l>

y-10-1

又直线AC的方程为2—=—,即y=；jr+l,

x—2

1,

y——x+1_44+24k

所以联立《2,解得。

212k—1

y=k(x-2)

\PE\\PD\_\PE\\PD\_ypyD-yp_yD-yp

故

\PB\\PC\\PC\\PB\l-ypyp1—%

4k,4k

=21+442+1=16左2=8

4k__

n8^-24_X

4k2+1e

1,11<4,0<4—j<4,

因为左<---，所以左>—,0<—y

24k2

则。>2

k2

侬・也

\PB\\PC\

19.定义：若函数图象上恰好存在相异的两点尸，。满足曲线y=在尸和。处

的切线重合，则称尸，Q为曲线y=/(x)的“双重切点”，直线尸。为曲线y=/(x)的“双

重切线”.

(1)直线y=2%是否为曲线/•(；(：)=V+工的“双重切线”，请说明理由；

ex__<o

(2)已知函数g(x)=e%'—'求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程；

In%,%>0,

(3)已知函数〃(尤)=sin尤，直线尸。为曲线y=/?(£)的“双重切线”，记直线尸。的斜率

所有可能的取值为左，左2，…，k,t,若《>网>《(，=3,4,5「-,“)，证明：

k.15

--<---

左28,

(1)解：/(%)=/+工的定义域为(-^,0)50,+8),求导得尸(%)=3/—直线

XX

y=2%的斜率为2,

令尸(x)=3x?-』=2,解得.±1,不妨设切点P(—1,—2),Q(1,2),

则点尸处的切线方程为y+2=2(x+l),即y=2x,

点。处的切线方程为y—2=2(x—1),即y=2尤，

所以直线y=2%是曲线/(x)=V+工的“双重切线”.

X

2ex,%<0

ex--,x<0

(2)解：函数g(x)=<e,求导得g1X)=1

—，元〉0

Inx,x>0

显然函数y=e'在(—8,0)上单调递增，函数y=1在(0,+。)上单调递减,

设切点尸(外,%),。(％，%)，则存在入＜。＜巧，使得/'(石)=/'(%)，

则在点P处的切线方程为y—(e*——)二9(x—再),

e

在点。处的切线方程为y-ln%=^-(x-%2)，

因此＜",消去巧可得e』一工2为+%一2+1=0,

—e司Xy—=In%—1

Ie

2

令人(x)=e"—xe无+九一一+1(%＜0),求导得女'(%)=匕”一(1+尤)匕*+1=—屁］+1〉0,

则函数左⑴在(—8,0)上单调