江苏省苏州2024届中考数学模试卷含解析

江苏省苏州工业园区星港校2024年中考数学模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司.将0.056用科学记数法表示为（）

A.5.6x101B.5.6x102C.5.6x103D.0.56x101

2.三个等边三角形的摆放位置如图，若N3=60。，则N1+N2的度数为（）

3.如图，函数y=-2x+2的图象分别与x轴，y轴交于A,B两点,点C在第一象限，AC±AB,且AC=A5,则点C

的坐标为（）

D.(3,1)

4.下列命题中，错误的是（）

A.三角形的两边之和大于第三边

B.三角形的外角和等于360。

C.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

D.三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分

5.如图，RtAAOB中，ZAOB=90°,OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（6，0）,（0,1）,把

R3AOB沿着AB对折得到RtAACTB,则点。的坐标为（）

A（35R3、「（2右5、n,4石3、

22223232

6.如图，△ABC为直角三角形，ZC=90°,BC=2cm,ZA=30°,四边形DEFG为矩形，0£=273cm,EF=6cm,

且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合.RtAABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移,

当点C与点F重合时停止.设RtAABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为yen?,运动时间xs.能反映yen?与xs

之间函数关系的大致图象是（）

7.在A4BC中,NC=90,AC=2BC,贝！ItanA的值为（）

A.-B.2C.—D.空

255

8.若一次函数y=ox+A的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（）

b

A.a+b<0B.a-b>QC.ab>0D.—<0

9.下列各式计算正确的是（）

A.。+3。=3。2B.（-a2）3=-a6C.a3*a4=a7D.（a+b^c^-lab+b2

10.某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示:

鞋的尺码/cm2323.52424.525

销售量/双13362

则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（）

A.24.5,24.5B.24.5,24C.24,24D.23.5,24

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.请写出一个一次函数的解析式，满足过点（1,0）,且y随x的增大而减小.

12.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm,则水的最大深度CD是

______mm.

13.方程x+l=j2x+5的解是.

14.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为.

15.图1、图2的位置如图所示，如果将两图进行拼接（无覆盖），可以得到一个矩形，请利用学过的变换（翻折、旋

转、轴对称）知识，将图2进行移动，写出一种拼接成矩形的过程.

16.2011年，我国汽车销量超过了18500000辆，这个数据用科学记数法表示为

▲辆.

17.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB,将纸片OABC

沿OB折叠，使点A落在点A，的位置，若OB=6，tanNBOC=；,则点A，的坐标为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图所示，抛物线了=3+加汁＜?经过4、B两点,A、3两点的坐标分别为（T,0）、（0,-3）.求抛物

线的函数解析式；点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点。为y轴上一点，且Z）C=OE,求出点

。的坐标；在第二问的条件下，在直线。E上存在点尸，使得以C、D.尸为顶点的三角形与AOOC相似，请你直接写

出所有满足条件的点P的坐标.

19.（5分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元.每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决

定降价促销.若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；经调查，若该商品

每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？

20.（8分）如图，AABC中，48=8厘米，AC=16厘米，点p从A出发，以每秒2厘米的速度向5运动，点。从C

同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为f.

⑴用含f的代数式表示：AP=，AQ=.

⑵当以A,P,。为顶点的三角形与△A3c相似时，求运动时间是多少？

21.（10分）如图，在东西方向的海岸线MN上有A,B两港口，海上有一座小岛P,渔民每天都乘轮船从A,B两港

口沿AP,BP的路线去小岛捕鱼作业.已知小岛P在A港的北偏东60。方向，在B港的北偏西45。方向，小岛P距海

岸线MN的距离为30海里.

求AP,BP的长（参考数据：0M.4,73=1.7,75-2.2）；甲、乙

两船分别从A,B两港口同时出发去小岛P捕鱼作业，甲船比乙船晚到小岛24分钟.已知甲船速度是乙船速度的1.2

倍，利用（1）中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时？

22.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+bx+c经过A、B、C三点，已知点A(-3,0),B(0,

3),C(1,0).

(1)求此抛物线的解析式.

(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点，(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线，垂足为F,交直线AB于

点E,作PDLAB于点D.动点P在什么位置时，APDE的周长最大，求出此时P点的坐标.

23.(12分)如图，已知△ABC内接于。O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,垂

足为F.连接OC.

(1)若NG=48。，求NACB的度数;

(1)若AB=AE,求证：ZBAD=ZCOF；

1S.

(3)在(1)的条件下，连接OB,设ZkAOB的面积为Si,AACF的面积为Si.若tan/CAF=7，求不的值.

232

24.(14分)如图，抛物线y=x1-lx-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，直线1与抛物线交于A,C两

点，其中点C的横坐标为1.

(1)求A,B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

(1)P是线段AC上的一个动点(P与A,C不重合)，过P点作y轴的平行线交抛物线于点E,求4ACE面积的最

大值；

(3)若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M为直线PE上一动点，

则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M,N的坐标；若不存在,

请说明理由.

(4)点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果

存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、B

【解题分析】

0.056用科学记数法表示为：0.056=5.6x10-2,故选B.

2、B

【解题分析】

先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60。，用Nl,Z2,N3表示出AABC各角的度数，再根据三角

形内角和定理即可得出结论.

【题目详解】

•.•图中是三个等边三角形，N3=60。，

/.ZABC=180o-60°-60o=60°,ZACB=180°-60°-Z2=120°-Z2,

ZBAC=180°-60°-Zl=120°-Zl,

VZABC+ZACB+ZBAC=180°,

A60°+(120°-Z2)+(12O°-Z1)=180°,

/.Zl+Z2=120°.

故选B.

【题目点拨】

考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60。是解答此题的关键.

3、D

【解题分析】

过点C作CD，x轴与D,如图，先利用一次函数图像上点的坐标特征确定B(0,2),A(1,0),再证明△ABO之4CAD,

得到AD=OB=2,CD=AO=1,则C点坐标可求.

【题目详解】

如图，过点C作CDLx轴与D」.•函数y=-2x+2的图象分别与x轴，y轴交于A,5两点，，当x=0时，y=2,则B

(0,2)；当y=0时，x=L贝!JA(1,0).；AC_LAB,AC=AB,.•.NBAO+NCAD=90。，；.NABO=NCAD.在△ABO

和ACAD中，14AOB=^CDA,/.AABO^ACAD,.*.AD=OB=2,CD=OA=1,；.OD=OA+AD=l+2=3,AC

44BO=3AD

lAB=CA

点坐标为(3,1).故选D.

【题目点拨】

本题主要考查一次函数的基本概念。角角边定理、全等三角形的性质以及一次函数的应用，熟练掌握相关知识点是解

答的关键.

4、C

【解题分析】

根据三角形的性质即可作出判断.

【题目详解】

解：A、正确，符合三角形三边关系；

B、正确；三角形外角和定理；

C、错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形；

D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了命题真假的判断，属于基础题.根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命

题，不难选出正确项.

5、B

【解题分析】

连接OO',作O，H，OA于H.只要证明^OO&是等边三角形即可解决问题.

【题目详解】

连接OO',作O'H_LOA于H,

:.ZBAO=30°,

由翻折可知，ZBAOr=30°,

ZOAOr=60°,

,/AO=AO,,

...△AOO,是等边三角形，

VO^HIOA,

.\OH=—,

2

L3

.*.OHr=J3OH=-,

2

.•.O'（无，-）,

22

故选B.

【题目点拨】

本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊三

角形，利用特殊三角形解决问题.

6、A

【解题分析】

VZC=90°,BC=2cm,ZA=30°,

.*.43=4,

由勾股定理得：AC=243,

:四边形。E尸G为矩形，ZC=90,

:.DE=GF=2y]3，ZC=NOE尸=90°,

：.AC//DE,

此题有三种情况：

(1)当0VxV2时，A5交OE于H,如图

"."DE//AC,

EHBE

•••一_,

ACBC

EHx

即亚=于

解得：EH=y[3x,

所以尸;♦石工3且总

22

J之间是二次函数，

所以所选答案C错误，答案D错误,

•:。=昱＞0,开口向上；

2

(2)当2SrW6时，如图，

ECRF

此时y-~x2x2^/3=2^/3,

(3)当6〈在8时，如图，设△ABC的面积是si,△WV5的面积是S2,

BF=x-6,与（1）类同，同法可求歹心疗丫-6君,

••y=si-si,

=—x2x25y3--x(x-6)x(yj2X-6y/3),

=-与x?+6也x-16网,

；一旦<0,

2

二开口向下，

所以答案A正确，答案B错误，

故选A.

点睛：本题考查函数的图象.在运动的过程中正确区分函数图象是解题的关键.

7、A

【解题分析】

本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可.

【题目详解】

解：tanA=%，

AC

VAC=2BC,

.1

/.tanA=­・

2

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了正切函数的概念，掌握直角三角形中角的对边与邻边的比是关键.

8、D

【解题分析】

•.•一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，

a<0,b>0,

.*•a+b不一定大于0,故A错误,

a-b<0,故B错误,

ab<0,故C错误，

b

—<0,故D正确.

a

故选D.

9、C

【解题分析】

根据合并同类项、幕的乘方、同底数塞的乘法、完全平方公式逐项计算即可.

【题目详解】

A.a+3a=4a,故不正确；

B.（T?）3=（一小，故不正确；

C.a3-a4=a7,故正确；

D.（a+by^a^+lab+b2,故不正确；

故选C.

【题目点拨】

本题考查了合并同类项、幕的乘方、同底数塞的乘法、完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.

10、A

【解题分析】

【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得.

【题目详解】这组数据中，24.5出现了6次，出现的次数最多，所以众数为24.5,

这组数据一共有15个数，按从小到大排序后第8个数是24.5,所以中位数为24.5,

故选A.

【题目点拨】本题考查了众数、中位数，熟练掌握中位数、众数的定义以及求解方法是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、y=-x+1

【解题分析】

根据题意可以得到k的正负情况，然后写出一个符合要求的解析式即可解答本题.

【题目详解】

•.•一次函数y随x的增大而减小，

Ak<0,

•.•一次函数的解析式，过点（1,0）,

.•.满足条件的一个函数解析式是y=-x+l,

故答案为y=-x+l.

【题目点拨】

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出符合要求的函数解析式，这是一道开放性题目，答案不

唯一，只要符合要去即可.

12、200

【解题分析】

先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论.

【题目详解】

解：丁。。的直径为1000mm,

OA=OA=SOOmm.

VOD1AB,AB=800mm,

•*.AC=400mm,

*'•OC=-AC2=-x/5002-4002=300mm,

:.CD=OD-GC=500-300=200(mm).

答：水的最大深度为200mm.

故答案为：200

【题目点拨】

本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键.

13、x=l

【解题分析】

无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到无理方程的解.

【题目详解】

两边平方得:(x+1)i=lx+5,即x1=4,

开方得：x=l或x=-l,

经检验x=-l是增根，无理方程的解为x=L

故答案为x=l

14、-1

【解题分析】

根据关于x的一元二次方程X2+2X-m=0有两个相等的实数根可知△=0,求出m的取值即可.

【题目详解】

解：由已知得A=0,即4+4m=0,解得m=-L

故答案为工

【题目点拨】

本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a/））的根与△=b2-4ac有如下关系：①当A>0时，方程有两

个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根.

15、先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90。，再将旋转后的图形向左平移5个单位.

【解题分析】

变换图形2,可先旋转，然后平移与图2拼成一个矩形.

【题目详解】

先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°,再将旋转后的图形向左平移5个单位可以与图1拼成一个矩形.

故答案为：先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90。，再将旋转后的图形向左平移5个单位.

【题目点拨】

本题考查了平移和旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转

前、后的图形全等.

16、2.85x2.

【解题分析】

根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为ax20l其中2W|a|V20,n为整数，表示时关键要正确确定a的值

以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于或等于2还是小于2.当该数大于或等于2时，n为它的整数位数减2；

当该数小于2时，一n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的2个0）.

【题目详解】

解：28500000一共8位，从而28500000=2.85x2.

【解题分析】

如图，作辅助线；根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出A，D、OD的长度，即可解决问题.

【题目详解】

解：•.•四边形OABC是矩形，

.,1BCOA

••OA=BC,AB=OC,tanNBOC=——=，

2OCAB

.\AB=2OA,

OB2=AB2+OA2,OB=B

.\OA=2,AB=2.由OA翻折得至！J,

.*.OA'=OA=2.

如图，过点A，作A，D，x轴与点D；

设A，D=a,OD=b；

:四边形ABCO为矩形，

.,.ZOAB=ZOCB=90°；四边形ABA，D为梯形;

设AB=OC=a,BC=AO=b；

VOB=J5»tanZBOC=-,

2

/+/=(.后2

•**'Z?_1，

2

a=2

解得一

b=l

由题意得：ArO=AO=2；△ABO^AABO；

由勾股定理得：x2+y2=2①,

111

由面积公式得:—xy+2x—x2x2=5(x+2)x(y+2)②;

22

34

故答案为二）

【题目点拨】

该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等

几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18,（1）y=x2-2x-3；（2）D（0,-1）；（3）P点坐标（-』，0）、（』，-2）、（-3,8）、（3,-10）.

33

【解题分析】

⑴将A,B两点坐标代入解析式，求出b,c值，即可得到抛物线解析式；

⑵先根据解析式求出C点坐标，及顶点E的坐标，设点D的坐标为(0,m),作EFJ_y轴于点F,利用勾股定理表

示出DC,DE的长.再建立相等关系式求出m值，进而求出D点坐标；

(3)先根据边角边证明ACOD之△DFE,得出NCDE=90。，即CDLDE,然后当以C、D、P为顶点的三角形与△DOC

相似时，根据对应边不同进行分类讨论：

①当OC与CD是对应边时，有比例式器=黑，能求出DP的值，又因为DE=DC,所以过点P作PGLy轴于点G,

利用平行线分线段成比例定理即可求出DG,PG的长度，根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐

标；

②当OC与DP是对应边时，有比例式生=也，易求出DP,仍过点P作PGLy轴于点G,利用比例式

DPDC

PC1DP

=====求出DGPG的长度，然后根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；这样，

DFEFDE

直线DE上根据对应边不同，点P所在位置不同，就得到了符合条件的4个P点坐标.

【题目详解】

解：(1).・•抛物线y=x?+bx+c经过A(-1,0)、B(0,-3),

l-Z?+c=0b=-2

%=-3,解得｛

c--3

故抛物线的函数解析式为y=x2-2x-3；

(2)令x2-2x-3=0,

解得xi=-LX2=3,

则点C的坐标为(3,0),

Vy=x2-2x-3=(x-1)2-4,

点E坐标为(1,-4),

设点D的坐标为(0,m),作EF，y轴于点F(如下图),

VDC2=OD2+OC2=m2+32,DE2=DF2+EF2=(m+4)2+12,

VDC=DE,

.,.m2+9=m2+8m+16+l,解得m=-1,

.•.点D的坐标为(0,-1)；(3)

•.•点C(3,0),D(0,-1),E(1,-4),

,\CO=DF=3,DO=EF=1,

根据勾股定理，CD=

在4COD^flADFE中,

CO=DF

V{ZCOD=ZDFE=90°,

DO=EF

/.△COD^ADFE(SAS),

.\ZEDF=ZDCO,

又；ZDCO+ZCDO=90°,

/.ZEDF+ZCDO=90°,

/.ZCDE=180°-90°=90°,

ACDIDE,①当OC与CD是对应边时,

VADOC^APDC,

.OCODnn31

>.----------，即-I—=-----

DCDPVWDP

解得DP=典,

3

过点P作PGLy轴于点G,

则器噜啜，即。GPG亍,

3一].丽

解得DG=1,PG=-,

3

当点P在点D的左边时，OG=DG-DO=1-1=0,

所以点P(--,0),

3

当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2,

所以，点P(一,~2)；

3

②当OC与DP是对应边时，

VADOC^ACDP,

.OCODan31

»•----------9即---=~

DPDCDPV10

解得DP=37H，

过点P作PGLy轴于点G,

DGPGDPDGPG3M

则rail二二---，即Bn----=----二一7=^，

DFEFDE31版

解得DG=9,PG=3,

当点P在点D的左边时，OG=DG-OD=9-1=8,

所以，点P的坐标是（-3,8）,

当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10,

所以，点P的坐标是（3,-10）,

综上所述，在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与ADOC相似，满足条件的点P共有4个，其

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.二次函数动点问题；3.一次函数与二次函数综合题.

19、（1）两次下降的百分率为10%；

（2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元.

【解题分析】

（1）设每次降价的百分率为x,（1-x）2为两次降价后的百分率，40元降至32.4元就是方程的等量条件，列出方

程求解即可；

（2）设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方

程求出其解即可

【题目详解】

解：（1）设每次降价的百分率为X.

40x（1-x）2=32.4

x=10%或190%（190%不符合题意，舍去）

答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%；

（2）设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，

由题意，得

(40-30-y)(4x上+48)=510

0.5

解得：丫1=1.1,丫2=2.1,

•••有利于减少库存，，y=2.L

答：要使商场每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.1元.

【题目点拨】

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前

后的平衡关系，列出方程，解答即可.

20、(1)AP=2t,AQ=16-3t；(2)运动时间为3秒或1秒.

7

【解题分析】

(1)根据路程=速度义时间，即可表示出AP,AQ的长度.

(2)此题应分两种情况讨论.(1)当AAPQs^ABC时；(2)当AAPQs/\ACB时.利用相似三角形的性质求解即

可.

【题目详解】

(1)AP=2t,AQ=16-3t.

(2)VZPAQ=ZBAC,

APAQ“It16—3/5田16

..当---=----时，△APQsaABC,即nn—=-------,解得/=—;

ABAC8167

APAQ.2t16-3?

当——=一三时，AAPQsAaACB,a即n一=------,解得t=l.

ACAB168

二运动时间为一秒或1秒.

7

【题目点拨】

考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.注意不要漏解.

21、(1)AP=60海里，BP=42(海里)；(2)甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时

【解题分析】

(1)过点P作PELAB于点E,则有PE=30海里，由题意，可知NPAB=30。，NPBA=45。，从而可得AP=60海里,

在RtAPEB中，利用勾股定理即可求得BP的长；

⑵设乙船的速度是X海里/时，则甲船的速度是1.2X海里/时，根据甲船比乙船晚到小岛24分钟列出分式方程，求解后

进行检验即可得.

【题目详解】

(1)如图，过点P作PELMN,垂足为E,

由题意，得NPAB=90°-60°=30°,NPBA=90°-45°=45°,

；PE=30海里，；.AP=60海里，

VPE±MN,NPBA=45。，，NPBE=NBPE=45°,

/.PE=EB=30海里，

在RtAPEB中，BP=y/pE2+EB2=300=42海里，

故AP=60海里，BP=42(海里);

⑵设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是L2x海里/时,

44340604224

根据题意，得--------

1.2%x60

解得x=20,

经检验，x=20是原方程的解，

甲船的速度为1.2x=1.2x20=24嗨里/时).，

答：甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理的应用，分式方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练

掌握各相关知识是解题的关键.

22、(1)y=-x2-2x+l；(2)(--,—)

24

【解题分析】

(1)将A(-1,0),B(0,1),C(1,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c,运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式;

(2)先证明AAOB是等腰直角三角形，得出NBAO=45。，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的

周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+L则可设P点的坐标为(x,-x2-2x+l),E点的坐标为(x,

393

x+1),那么PE=(-x2-2x+l)-(x+1)=-(x+—)2+—,根据二次函数的性质可知当x=--时，PE最大，△PDE的周

242

3

长也最大.将*=--代入-X2-2X+L进而得到P点的坐标.

2

【题目详解】

解：(1)•.,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(0,1),C(1,0),

9a-3b+c=0

{c=3,

a+b+c=0

a=-l

解得{b=-2,

c=3

抛物线的解析式为y=-x2-2x+l；

(2)VA(-1,0),B(0,1),

/.OA=OB=1,

AAAOB是等腰直角三角形，

.,.ZBAO=45°.

；PF，x轴，

/.ZAEF=90°-45°=45°,

又；PD_LAB,

/.△PDE是等腰直角三角形，

；.PE越大，△PDE的周长越大.

设直线AB的解析式为y=kx+b,则

-3k+b=0k=l

(b=3，解得h=3

即直线AB的解析式为y=x+l.

设P点的坐标为(x,-x2-2x+l),E点的坐标为(x,x+1),

39

贝！1PE=(-X2-2X+1)-(x+1)=-x2-lx=-(x+-)2+-,

24

3

所以当x=—-时，PE最大，△PDE的周长也最大.

2

当x=-』时，-X?-2x+l=-(--)2-2X(--)+1=—,

2224

即点P坐标为(-一,二)时，APDE的周长最大.

24

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角

形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中.

3

23、(1)48°(1)证明见解析(3)-

4

【解题分析】

(1)连接CD,根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；

(1)先根据等腰三角形的性质得：ZABE=ZAEB,再证明NBCG=NDAC,可得CD=PB=PD，

则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；

(3)过O作OG_LAB于G,证明△COF^AOAG,则OG=CF=x,AG=OF,设OF=a,则OA=OC=lx-a,

3

根据勾股定理列方程得：(lx・a)三父+人则a=：x,代入面积公式可得结论.

4

【题目详解】

(1)连接CD,

TAD是。O的直径，

:.ZACD=90°,

.\ZACB+ZBCD=90°,

VAD±CG,

:.ZAFG=ZG+ZBAD=90°,

VZBAD=ZBCD,

.e.ZACB=ZG=48°；

(1)VAB=AE,

/.ZABE=ZAEB,

VZABC=ZG+ZBCG,ZAEB=ZACB+ZDAC,

由（1）得：ZG=ZACB,

AZBCG=ZDAC,

•**CD=PB，

TAD是。O的直径，AD±PC,

•**CD=PD，

:・CD=PB=PD，

AZBAD=1ZDAC,

VZCOF=1ZDAC,

AZBAD=ZCOF；

(3)过O作OGJ_AB于G,设CF=x,

..1CF

；tanNCAF=—=-----,

2AF

/.AF=lx,

VOC=OA,由(1)得：ZCOF=ZOAG,

VZOFC=ZAGO=90°,

/.ACOF^AOAG,

AOG=CF=x,AG=OF,

设OF=a,贝！)OA=OC=lx-a,

RtACOF中，CO^CF^OF1,

/.(lx-a)1=x1+a1,

3

a=—x,

4

.3

..OF=AG=—x,

4

VOA=OB,OG±AB,

.3

..AB=1AG=—x,

2

13

c—ABOG~x-xa

..m=2=2=2.

邑—CFAF4

2

【题目点拨】

圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题

的关键是：(1)根据圆周角定理找出NACB+NBCD=90。；(1