陕西省西安某中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

陕西省西安三中2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试

题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B

铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1.已知a>P>0,则（）

A.sinQL>sin^B.cosQk<cosPc.lOga>log^D,2«<2P

2.若不等式am-6+1<0的解集为空集，则实数a的取值范围是（)

A.0<a<4B.0<<2<4C.0<a<4D.0<a<4

3.如图，在长方体ABC。—ARCR中，A4I=1,AB=AD=2,E,歹分别是5C,

。。的中点则异面直线AR与所所成角的余弦值为（）

4

5

_兀

4.已知向量&=（2,tan。），b=（1,-1）,且。//万，贝9）=（）

C1

A.2B,-3C.-1D,--

5.已知函数/（x）=sin[2x+/os[2x+^],则函数/G）的最小正周期为（）

C兀

A.4兀B,271C.兀D,—

2

6.已知”,beR,若关于x的不等式心+依+620的解集为R/M）

A.a2-b>0B.a2-b<0C.tz2-4b>QD.(?2-4b<0

7.

7.已知向量。是单位向量，b=（3,4）,且石在。方向上的投影为一"刖2”nrl=

A.36B.21C.9D.6

8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二

人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、

乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问

五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）

5435

A.w钱B.w钱C.]■钱D.可钱

9.已知函数/G+2）是连续的偶函数，且x>2时，/G）是单调函数，则满足

/Q）=/1--二的所有为之积为（）

Ix+4）

A.4B,-4C.-39D.39

10.《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用

算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，问粟几何？”其意思

为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1

丈等于10尺，1斜稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的稻谷约

有（）

A.57.08斜B.171.24斛C.61.73斛D.185.19斛

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%,如果存款到期不取出继续留存于银行，银

行自

动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期

储蓄，

某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和

为

元.（精确到1元）

12.在AABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:3,贝"cos3=

x-y+l<0

13.已知实数龙，丁满足lx+2y—8V0,则二的最大值为_____.

rx+3

^>1

-兀___兀a_

14.若向量。+6与。的夹角为彳，5与5的夹角为了，则—.

34b

15.函数/(xbj^sinBx+cosBx的最小正周期为.

16.如图，为测量出高aW,选择4和另一座山的山顶。为测量观测点，从A点测得

M点的仰角/阪4N=60。，。点的仰角NC4B=45。以及NM4c=75。；从。点测

得/MC4=60。.已知山高BC=100根，则山高MN=加.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.设递增等差数列｛%｝的前"项和为S"，已知%=1，%是%和%的等比中项，

(1)求数列｛与｝的通项公式；

(2)求数列｛”“｝的前n项和Sn.

18.已知S,T分别是数列｛a｝,｛。｝的前几项和，S=2"+1,泌=2T(〃eN*)且

nnnnnn+in

b=2.

2

(1)求数列｛a｝与毋｝的通项公式；

nn

(2)求数列｛。。｝的前〃项和尺.

nnn

19.已知函数/(x)=sin(3x+(p)(O<(p<7T),其图象的一个对称中心是[go],

将/(X)的图象向左平臂个单位长度后得到函数g(x)的图象.

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)若对任意xe[0j],当x<无时，都有/G)—/G)<gG)—g(x),求

12121212

实数f的最大值；

「兀11

(3)若对任意实数a,y=g®x)(①>0)在a,a+~上与直线y=”的交点个数不少

于6个且不多于10个，求实数3的取值范围.

20.设数列M｝的前项和为S,若S=2a-a,且a,a+l,a成等差数列.

nnnn\123

(1)求数列｛。｝的通项公式；

n

111164

(2)若一+—+—+…+—•的，求”的最大值

aaaa65

123n

21,设向量a=(LT),5=(3,2),C-(3,5).

(1)若(a+活)//c,求实数/的值；

(2)求2在Z方向上的投影.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、C

【解题分析】

根据特殊值排除A,B选项，根据单调性选出C,D选项中的正确选项.

【题目详解】

当a=4兀,p=2兀时，sina=sinp=0,cosa=cosp=1,故A,B两个选项错误.由

于2>1,故loga>logp,2«>2P,所以C选项正确，D选项错误.故本小题选C.

22

【题目点拨】

本小题主要考查三角函数值，考查对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.

2、D

【解题分析】

对。分。=0,。/0两种情况讨论分析得解.

【题目详解】

当。=0时，不等式为1W0,所以满足题意；

a>0

当a/0时，〈-.0<a<4,

A=。2—4〃<0

综合得0«。<4.

故选:D

【题目点拨】

本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基

础题.

3、A

【解题分析】

连结由［R//跖，可知异面直线AR与EF所成角是/Aqq,分别求

出然后利用余弦定理可求出答案.

【题目详解】

连结因为Bpj/EF,所以异面直线A%与ER所成角是/ADR,在

AADBi中，吗=^AA2+AD2=75,A5=QBB2+AB2=75,

DB=」CB2+CD2=2.J2,所以cosAADB=__」吧.

iivii111120205

故选A.

【题目点拨】

本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题.

4、B

【解题分析】

根据向量平行得到tan。=-2,再利用和差公式计算得到答案.

【题目详解】

向量”=(2,tan。)，5=(1,-1),且。//石，则tanO=—2.

兀八

tan--tanU

tan(--0)=-----------------=-3.

4r兀八

1+tan--tanO

4

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了向量平行求参数，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.

5、D

【解题分析】

根据二倍角公式先化简/G),再根据7=尊即可。

【题目详解】

由题意得/(x)=sin(2x+,cos(2x+3]=；sin(4x+g],所以周期为

2兀

=5.所以选择D

T

【题目点拨】

本题主要考查了二倍角公式;常考的二倍角公式有正弦、余弦、正切。属于基础题。

6、D

【解题分析】

由不等式+办+520的解集为R,得y=%2+。％+6的图象要开口向上，且判别式

A<0,即可得到本题答案.

【题目详解】

由不等式心+6+620的解集为R,得函数y^x^+ax+b的图象要满足开口向上,

且与x轴至多有一个交点，即判别式A=a2—45V0.

故选：D

【题目点拨】

本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.

7、D

【解题分析】

根据公式网=后把模转化为数量积，展开后再根据层=,『和已知条件计算.

【题目详解】

一一7

因为b在。方向上的投影为一彳，

所以同cos<a,b>=--,

|2a-5|=jQz一石)=^4a2-4H5+P

cos<a,b>+

4-4xlx(-Z)+25=6.

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查向量模有关的计算，常用公式有忖=后，

8、B

【解题分析】

设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为〃-2d,4—d,Q,〃+d,Q+2d,则

a—2d+〃—d=〃+〃+d+Q+2d，解得。=-6d，又

4

a—2d+〃-d+Q+Q+d+〃+2d=5,,a=—

3'

故选B.

9、D

【解题分析】

由y=f(x+2)为偶函数分析可得f(x)关于直线x=2对称，进而分析可得函数f(x)

1

在(2,+oo)和(-oo,2)上都是单调函数，据此可得若f(x)=f(1-------),则有

x+4

11

x=l——或4-乂=1--变形为二次方程，结合根与系数的关系分析可得满足

x+47x+4

1

f(x)=f(1——-)的所有X之积，即可得答案.

x+4

【题目详解】

根据题意，函数y=f(x+2)为偶函数，则函数f(x)关于直线x=2对称,

又由当x>2时，函数y=f(x)是单调函数，则其在(-8,2)上也是单调函数,

111

若f(x)=f(I-),则有x=l-或4-x=l-,

x+4x+4x+4

1

当x=l-----y时，变形可得X2+3X-3=0,有2个根，且两根之积为-3,

x+4

1

当4-x=l------y时，变形可得x2+x-13=0,有2个根，且两根之积为-13,

x+4

1

则满足f⑺=f(1—E)的所有X之积为<-3)X(-13)=39;

故选：D.

【题目点拨】

本题考查抽象函数的应用，涉及函数的对称性与单调性的综合应用，属于综合题.

10、C

【解题分析】

根据圆锥的周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数.

【题目详解】

设圆锥形稻谷堆的底面半径为厂尺，

则底面周长为/=2仃=30尺，解得”尺，

71

又高为人=4尺，

所以圆锥的体积为卜=1兀厂2/7=1•兀.（竺）2.4=空。100（立方尺）；

33兀3兀

1QQ

又三。61.73（斛），

1.62

所以估算堆放的稻谷约有61.73（斛）.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了椎体的体积计算问题，也考查了实际应用问题，是基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、218660

【解题分析】

20万存款满一年到期后利息有zoo。。。x2.25%x（1-20%）'本息和共

,再过一年本息和

,经过5年共有本息元，计算即

可求出结果.

【题目详解】

20万存款满一年到期后利息有,本息和共

,再过一年本息和

,经过5年共有本息元，

元.

故填218660.

【题目点拨】

本题主要考查了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金利率

X（「利息税”"，利率是一年年利率，是存款年数，代入公式计算即可求出本息和，

属于中档题.

1

12'3

【解题分析】

先由正弦定理得到a：b：c=2:3:3,再由余弦定理求得cosB的值.

【题目详解】

由sinA:sinB:sinC=2:3:3,结合正弦定理可得a:b:c=2:3:3,

故设a=2k,b=c=3k,（左>0）,由余弦定理可得

c+C2-Z?24k2+9左2-9左21

cose=--------------=-------------------=-,

lac12k23

故cosB=1.

【题目点拨】

本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.

7

I，、8

【解题分析】

根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点G,y）和（一3。）的连

线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.

【题目详解】

x-y+l<0

根据约束条件<x+2y—8<0可以画出可行域，

x>l

如下图阴影部分所示，

目标函数」可以看成是可行域内的点（x,y）和（一3,。）的连线的斜率,

因此可得，当在点A时，斜率最大

X=1

x+2y-8=0

联立1,得<7

x=l

即“n

——0rj

所以此时斜率为27

1-(-3)8

【题目点拨】

本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化,

属于中档题.

巴亚

3

【解题分析】

根据向量平行四边形法则作出图形，然后在三角形中利用正弦定理分析.

【题目详解】

兀71

如图所示，R|=OC,IBI=AO=BC,NBDC=3，NCBD=NADB=4,所以在

BC⑷=㈤\a\J6

DC

“BDC中有:--,„,贝U.兀.K,故

sinZCBDsinNBnrD>Csin—sin—\b\3

43

【题目点拨】

本题考查向量的平行四边形法则的运用，难度一般.在运用平行四边形法则时候，可以

适当将其拆分为三角形，利用解三角形中的一些方法去解决问题.

【解题分析】

用辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的最小

正周期的公式求出最小正周期.

【题目详解】

f(x)=sin3x+cos3x=2sin(3x+T=—T=1■兀，

函数/G)=&sin3x+cos3x的最小正周期为？.

【题目点拨】

本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.

16、1

【解题分析】

试题分析：在△ABC中，

•_­ABAC=45°,ZABC=90°,BC=100,AC=-100=100^/2,在△中，

sin45°

ZMAC=75°,ZMC4=60°,z.ZAMC=45°,由正弦定理可得

AMAC_A"一=100"解a〉=Nog在RtAMN中,

----------,即

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°

MN=AM-sin/MAN=100>/3xsin60°

=150(m).

故答案为L

考点：正弦定理的应用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)a=2n-1；(2)S=n2-4n.

nn

【解题分析】

(i)用首项％和公差Q表示出已知关系，求出q,d,可得通项公式；

(2)由等差数列前〃项和公式得结论.

【题目详解】

(I)在递增等差数列｛%,｝中，设公差为

a2=axa

,,<437

a=1

i3

G+3d>=1xQ+6d)

/.511

a+2d=1

ii

a=-3

解得，2•

••.a〃=-3+(〃-1)x2=2n-1.

n(-3+2〃-5)

（2）由（1）知，S-------------=Z12-4w.

n2

【题目点拨】

本题考查等差数列的通项公式和前〃项和公式，解题方法是基本量法.

3,n=l

18、（1）a=J…b=n,⑵R=（"一1）2，，+3

«\2n-l,n>2«n

【解题分析】

（1）分别求出〃=1和"22时的a,b,再检验即可.

nn

（2）利用错位相减法即可求出数列｛ab｝的前几项和R

nnn

【题目详解】

(1)当〃=1时，a=S=21+1=3,

11

当时，ci—S—S—2〃+1—(2«-i+1)-2n—2«-i—2”-i.

nnn-1

检验：当〃=1时，«=20=1*3,

3,n=1

所以a=1

n2«-i,n>2,

因为泌=2T,所以T=b.

n+1n〃2〃+l

当〃=1时，T=—b=1,即b=1,

i221

riH—1

当时，b=T-T=-b-b

nnn—\2〃+l2n

bb

整理得到：f=0.

n+1n

.b、

所以数列｛f｝是以首项为1,公差为0的等差数列.

n

b1,

所以f=1,即b=n.

nn

⑵R=3+2x21+3x2?+....+〃x2〃-i

n

R—2=1x2。+2x2i+3义22+...+〃x2〃T①,

n

2(R—2)—1x2i+2x22+3x23+...+〃x2n②，

n

①—②得：—(R—2)=2。+2i+22+...+2〃T—〃x2〃,

n

1一2〃

—(R-2)=-nx2«,

n1—2

R二(〃-1)2鹿+3.

n

【题目点拨】

本题第一问考查由数列前九项和求数列的通项公式，第二问考查数列求和中的错位相减

法，属于难题.

2兀n40

19、(1)g(x)=sin(3x+—)；(2)；(3)8<co<.

363

【解题分析】

(1)根据正弦函数的对称性，可得函数/(无)的解析式，再由函数图象的平移变换法则,

可得函数ga)的解析式；

(2)将不等式进行转化，得到函数/(x)-g(x)在［0,“上为增函数，结合函数的单调

性进行求解即可；

(3)求出y=g(«»x)的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可.

【题目详解】

(1)因为函数/(x)=sin(3x+(p)(O<(p<7i),其图象的一个对称中心是［一^刀］,

所以有

71717171

/(--)=sin［3(-—)+(p］=0^>(p-y=kn(keZ)y(0<(p<7t):.(p=—,

的图象向左平移不个单位长度后得到函数g(x)的图象.所以

9

⑵^fG)-f(x2)<gG)-gG2)^fG)-gG)<fG2)-gG),构造新

函数为Mx)=/(%)—g(x)=sin3x,由题意可知：任意,当\<卜时，

都有f(\)—/(己)<g(\)—g(3)，说明函数，(%)=sin3x在xe[0,t]上是单调递

增函数，而/i(x)=sin3x的单调递增区间为：

兀兀兀2左兀712人兀

——+2左兀V3x<_+2左兀(左wZ)n——+------<x<-+-----(keZ),而

226363

xe[0,t],

717?

所以单调递增区间为：因此实数/的最大值为：2；

66

2兀2TI

(3)y—g(①x)—sin(3cox+——),其最小正周期T———,

33CD

K~|7C

而区间a,a+-的长度为彳，

1-7171

直线y=-；的交点个数不少于6个且不多于10个，则3TW下，且5T〉丁，

244

,40

解得：o8<«><—.

【题目点拨】

本题考查了正弦型函数的对称性和图象变换，考查了正弦型函数的单调性，考查了已知

两函数图象的交点个数求参数问题，考查了数学运算能力.

20、(1)a=In.(2)6.

n

【解题分析】

(1)根据已知条件，结合。=S-S,得到a=2a(〃〉1),再由已知条件求得

nnn—1nn-\

%,即可求得等比数列的通项公式；

1111,1

(2)根据(1)中的结果化简得到R+7+己+…+丁=1—丁，由此结合已知条件，

24OZnZn

即可求解.

【题目详解】

(1)由已知s=2a-a,所以a=S-S=2a—2a(〃〉1),

nn