2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知复数z在复平面内对应的点是（0，1），则1+iA．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（）A．46 B．49 C．50 D．513．（3分）已知向量a→=(2，A．a→=-2b→ B．a→=2b→4．（3分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m∥β，m∥α，则α∥β C．若m⊥n，n⊂β，则m⊥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β5．（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：Ai＝“正面向上的硬币数为i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）A．A0与B相互独立 B．A3与B对立 C．P（A2）＝2P（B） D．A1+A2＝B6．（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（3分）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)A．φ B．ω C．φω D．ω+8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若PA=10，PD=2，则三棱锥A．144π B．36π C．9π D．6π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）（多选）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12° B．sin6C．4sin15°sin75°＝1 D．3（多选）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐．据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”．某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图．同比第一季度，下列说法正确的是（）A．今年商品A的营收是去年的4倍 B．今年商品B的营收是去年的2倍 C．今年商品C的营收比去年减少 D．今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变（多选）11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C为90°．若M、N分别为A′B、CD的中点，则（）A．BE⊥A′N B．MN∥平面A′DE C．平面A′BE⊥平面A′DE D．点C到平面A′DE的距离为30（多选）12．（3分）在△ABC中，D为BC的中点，点E满足BE→=2ED→．若∠BAE＝∠A．|AB→|=2|AD→C．∠ABC＝20° D．∠DAC＝70°三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）函数f（x）＝sin2x的最小正周期为．14．（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为米．15．（3分）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x4＝4x5，则样本数据x1，x2，x3，x4，x5+5的方差为．16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B=π2，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分别为线段AC1、AA1的动点，则△B1PQ周长的最小值是四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）记a→、b→、c→（1）求〈a（2）若a→⋅c18．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D1的一个动点．（1）求三棱锥A﹣O1BC的体积；（2）当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值．19．（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点F，设∠BAE＝α，∠DAE＝β．（1）利用图中边长关系DF＝BE+CE，证明：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（2）若BE=CE=13，求20．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．21．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC＝CD＝2．（1）已知AB＝2，且AC＝AD，（i）当cos∠CAD=（ii）若∠ABC=2∠（2）已知AD=2AB，且∠22．（10分）如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点．（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ与△ABC的面积比为3：8，（i）证明：BP=34（ii）求α与平面ABB1A1所成角的正弦值．

2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知复数z在复平面内对应的点是（0，1），则1+iA．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点是（0，1），∴z＝i，∴1+iz=1+故选：B．2．（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（）A．46 B．49 C．50 D．51【解答】解：数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10个数，因为10×0.8＝8，因此，该组数据的第80百分位数为49+512故选：C．3．（3分）已知向量a→=(2，A．a→=-2b→ B．a→=2b→【解答】解：向量a→=(2，对于A，-2b→=(-2，对于B，2b→=(2，-对于C，由于2×（﹣1）≠2×1，即a→与b→不共线，对于D，a→⋅b→=2×1+2×(-1)=0故选：D．4．（3分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m∥β，m∥α，则α∥β C．若m⊥n，n⊂β，则m⊥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，B错误；对于C，由直线与平面垂直的判断方法可得C错误；对于D，若m∥α，则平面α存在直线l，满足l∥m，由于m⊥β，则有l⊥β，必有α⊥β，故D正确．故选：D．5．（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：Ai＝“正面向上的硬币数为i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）A．A0与B相互独立 B．A3与B对立 C．P（A2）＝2P（B） D．A1+A2＝B【解答】解：总的可能有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正），（反，反，反），故P(A0)=18，而P（A0∪B）＝0，P(A0P(A32P（A2）＝P（B），故选项C错误；A1＝{（正，反，反），（反，正反），（反，反，正）}，A2＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}，B＝{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正）}，所以A1+A2＝B，故选项D正确．故选：D．6．（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【解答】解：在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，∠ACB＝90°，则PA=过点B作BD∥AC交底面圆于点D，连接PD，AD，如图，则∠PBD是异面直线PB与AC所成角或其补角，显然BD=22所以∠PBD＝60°，即异面直线PB与AC所成角的大小为60°．故选：C．7．（3分）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)A．φ B．ω C．φω D．ω+【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ），ω＞0的周期为2π令f（x）＝0，可得ωx+φ=kπ+所以x=kπ+π2-φ又ω＞所以0＜φ＜π2又x2＝4x1，所以3π所以φ=故选：A．8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若PA=10，PD=2，则三棱锥A．144π B．36π C．9π D．6π【解答】解：令长方体ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，PD1＝x，于是x2+h2=2(4-x在△PAD中，∠PDA＝∠DPD1＝45°，则△PAD外接圆半径r=12×PA因此三棱锥P﹣ABD外接球的球心O在线段AB的中垂面上，球心O到平面PAD的距离为d=则球半径R=r2+d2=5+4=3，所以三棱锥P﹣ABD外接球的表面积S故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）（多选）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12° B．sin6C．4sin15°sin75°＝1 D．3【解答】解：对于A，sin26°﹣cos26°＝﹣（cos26°﹣sin26°）＝﹣cos12°，故A错误；对于B，sin6°-cos对于C，4sin15°sin75°＝4sin15°cos15°＝2sin30°＝1，故C正确；对于D，tan60°-tan15°故选：BCD．（多选）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐．据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”．某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图．同比第一季度，下列说法正确的是（）A．今年商品A的营收是去年的4倍 B．今年商品B的营收是去年的2倍 C．今年商品C的营收比去年减少 D．今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变【解答】解：设去年第一季度营收为a亿元，则今年第一季度营收为2a亿元，由扇形图可得：A款珍珠商品去年第一季度营收为0.1a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，A正确；B款珍珠商品去年第一季度营收为0.2a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，B正确；C款珍珠商品去年第一季度营收为0.5a亿元，则今年第一季度营收为0.8a亿元，C错误；因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确．故选：ABD．（多选）11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C为90°．若M、N分别为A′B、CD的中点，则（）A．BE⊥A′N B．MN∥平面A′DE C．平面A′BE⊥平面A′DE D．点C到平面A′DE的距离为30【解答】解：连接AN交BE于点O，连接A′O，取BE的中点F，连接FM、FN，对于A选项，在正方形ABCD中，因为AB＝DA，AE＝DN，∠BAE＝∠ADN＝90°，所以，Rt△ABE≌Rt△DAN，则∠ABE＝∠DAN，所以，∠DAN+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝90°，则∠AOE＝90°，即BE⊥AN，翻折后，则有BE⊥A′O，BE⊥ON，又因为A′O∩ON＝O，A′O、ON⊂平面A′ON，所以，BE⊥平面A′ON，因为A′N⊂平面A′ON，所以，BE⊥A′N，A对；对于B选项，因为M、F分别为A′B、BE的中点，所以，MF∥A′E，因为MF⊄平面A′DE，A′E⊂平面A′DE，所以，MF∥平面A′DE，因为DE∥BC，BC＝2DE，则四边形BCDE为梯形，又因为F、N分别为BE、CD的中点，所以，FN∥DE，因为FN⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，则FN∥平面A′DE，因为MF∩FN＝F，MF、FN⊂平面FMN，则平面FMN∥平面A′DE，因为MN⊂平面FMN，故MN∥平面A′DE，B对；对于C选项，因为AO⊥BE，且AB＝2，AE＝1，∠BAE＝90°，所以，BE=AB则A'在Rt△ADN中，cos∠所以，OD=因为平面A′BE⊥平面BCDE，平面A′BE∩平面BCDE＝BE，A′O⊥BE，A′O⊂平面A′BE，所以，A′O⊥平面BCDE，因为OD⊂平面BCDE，所以，A′O⊥OD，所以，A'D=翻折前，AB⊥AE，翻折后，A′B⊥A′E，若平面A′BE⊥平面A′DE，且平面A′BE∩平面A′DE＝A′E，A′B⊂平面A′BE，所以，A′B⊥平面A′DE，因为A′D⊂平面A′DE，则A′B⊥A′D，事实上，A′B＝2，A'D=2155，BD=22，则A′B2+即A′B、A′D不垂直，假设不成立，故平面A′BE与平面A′DE不垂直，C错；对于D选项，因为S△CDE=12CD⋅所以，VA在△A′DE中，A′E＝DE＝1，A'由余弦定理可得cos∠所以，sin∠所以，S△设点C到平面A′ED的距离为d，由VC﹣A′ED＝VA′﹣CDE，即13所以，d=25故选：ABD．（多选）12．（3分）在△ABC中，D为BC的中点，点E满足BE→=2ED→．若∠BAE＝∠DAEA．|AB→|=2|AD→C．∠ABC＝20° D．∠DAC＝70°【解答】解：在△ABC中，D为BC的中点，BE→=2ED→，∠BAE＝∠对于A，ABAD=12AB对于B，AE→=AB对于D，过C作CF∥AD交BA的延长线于F，由D为BC的中点，得AD是△BCF的中位线，则CF＝2AD＝AB＝AF，于是∠DAC=∠对于C，由选项D知，∠EAC＝90°，假定∠ABC＝20°，则∠AEC＝40°，AE=cos40°=cos∠AEC=AECE故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）函数f（x）＝sin2x的最小正周期为π．【解答】解：函数f（x）＝sin2x的最小正周期为2π2故答案为：π．14．（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为1507【解答】解：令甲的位置为点C，如图，在△ABC中，AC＝400，AB＝500，BC＝600，由余弦定理得cosA=AB过C作CD⊥AB于D，所以所求距离的最小值为CD=故答案为：150715．（3分）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x4＝4x5，则样本数据x1，x2，x3，x4，x5+5的方差为9．【解答】解：由题意可得，数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为x=方差s2又因为(x数据x1，x2，x3，x4，x5+5的平均数x'所以方差s=1=1＝9．故答案为：9．16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B=π2，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分别为线段AC1、AA1的动点，则△B1PQ周长的最小值是【解答】解：如下图所示：将面AB1C1、面AA1C1沿着AC1延展为一个平面，将面AA1B1、面AA1C1沿着AA1延展为一个平面，连接BB1′，此时，线段BB1′的长即为△B1PQ周长的最小值，则AB1=AB由于AB1=AC=2，B1C1＝CC1，AC1＝AC1，则△AB1延展后，则四边形AA1C1B1为矩形，因为AA1＝A1B1′，AA1⊥A1B1′，则△AA1B1′为等腰直角三角形，所以∠A1AB1'＝45°，延展后，则∠B1AB1'＝135°，由余弦定理可得B1B1'=A故答案为：4+22四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）记a→、b→、c→（1）求〈a（2）若a→⋅c【解答】解：（1）由已知|a→|=|所以，|a→-所以，cos〈因为0≤〈a→（2）由已知可得|a→|=|所以|2c18．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D1的一个动点．（1）求三棱锥A﹣O1BC的体积；（2）当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值．【解答】解：（1）如图所示，根据题意得：VA（2）如图所示，过点O1做平面ABCD的垂线，垂足为G，易知G为AC中点，故∠O1AC为AO1与平面ABCD所成线面角，又AG=所以AO1与平面ABCD所成角的余弦值为：cos∠19．（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点F，设∠BAE＝α，∠DAE＝β．（1）利用图中边长关系DF＝BE+CE，证明：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（2）若BE=CE=13，求【解答】（1）证明：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝β，AD＝1，则DE＝sinβ，AE＝cosβ，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，∠DAF＝α+β，AD＝1，则DF＝sin（α+β），在Rt△ABE，Rt△ECD中，∠B＝∠C＝90°，∠CED＝∠BAE＝α，则BE＝sinαcosβ，CE＝cosαsinβ，依题意，四边形BCDF是矩形，则DF＝BC＝BE+CE，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．（2）解：由BE=CE=13则tanα＝tanβ，而α，β为锐角，即有α＝β，sin2α=23，又2α＝α+β所以sin220．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知10（2a+0.025+0.045+0.020）＝1，解得a＝0.005，x=50×10×0.005+60×10×0.025+70×10×0.045+80×10×0.020+90×10×0.005=69.5众数为70，因为前2组的频率和为10×0.005+10×0.025＝0.3＜0.5，前3组的频率和为10×0.005+10×0.025+10×0.045＝0.75＞0.5，所以中位数在第3组，设中位数为m，则0.3+0.045（m﹣65）＝0.5，解得m≈69.4，所以中位数为69.4．（2）记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，则所有抽签的情况有：未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共有10种情况，其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7种，所以中签者中男生比女生多的概率为71021．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC＝CD＝2．（1）已知AB＝2，且AC＝AD，（i）当cos∠CAD=（