2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知i为虚数单位，则（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（）A．数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．数据中可能有极端大的值 D．数据中众数可能和中位数相同3．（5分）有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率为（）A．37 B．67 C．78 4．（5分）已知点A的坐标为(1，3)，将OA→绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到A．-3 B．﹣1 C．3 D．5．（5分）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（35岁以上含35岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（）A．男性比女性更关注地铁建设 B．关注地铁建设的女性多数是35岁以上 C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．35岁以上的人对地铁建设关注度更高6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则m∥n C．若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m D．l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α∥β（多选）7．（5分）设平面向量|a→|=1，|b→|=2，A．a→⋅c→=c→⋅b→ B．a→⋅8．（5分）已知锐角α，β满足sinα﹣cosα=15，tanα+tanβ+3tanαtanβ=A．α＜π4＜β B．β＜π4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（多选）9．（5分）下列关于复数z=A．在复平面内z对应的点Z在第一象限 B．z2＝2i C．z的共轭复数为﹣1+i D．z是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的一个根（多选）10．（5分）对于一个事件E，用n（E）表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，则（）A．A与D不互斥 B．A与B互为对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立（多选）11．（5分）在一次党建活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A．甲组中位数为2，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为1，方差大于0 D．丁组平均数为2，方差为3（多选）12．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于点M，N，以下四个命题中正确的是（）A．四边形EMFN一定为菱形 B．平面EMFN⊥平面DBB′D′ C．四棱锥A﹣MENF体积为16D．四边形EMFN的周长最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的图象关于点(23π，0)中心对称，则|φ|的最小值为14．（5分）如图所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，PA＝AB＝2．现有以下命题：①BC⊥PC；②当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，二面角B﹣PC﹣A会逐步增大；③当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，三棱锥B﹣PAC的体积的最大值为23其中正确的命题序号为．15．（5分）在某次模拟测试中，30名男生的平均分数是70分，样本方差是10；20名女生的平均分数是80分，样本方差是15，则该次模拟考试中这50名同学成绩的平均分为，方差为．16．（5分）在三棱锥V﹣ABC中，AB，AC，AV两两垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P为棱AB上一点，AH⊥VP于点H，则△VHC．面积的最大值为；此时，三棱锥A﹣VCP的外接球表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π3，P是圆弧上一点（不与A，B重合），过P作PM⊥OA，PN⊥OB，（1）若|PM|=1（2）设∠AOP＝x，PM，PN的线段之和为y，求y的取值范围．18．（12分）柜子里有3双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为a1，a2，记第2双鞋左右脚编号为b1，b2，记第3双鞋左右脚编号为c1，c2．如果从中随机取出4只，那么（1）写出试验的样本空间Ω，并求恰好取到两双鞋的概率；（若取到a1，b1，c1，c2，则样本点记为a1b1c1c2，其余同理记之．）（2）求事件M“取出的鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋”的概率．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF=1（1）证明：平面CEF⊥平面ACC1A1；（2）若AC＝AE＝2，求二面角C1﹣CF﹣E的正弦值．20．（12分）在平面凸四边形（每个内角都小于180°）ABCD中，∠A+∠C＝180°，AB＝AD＝2，BC=2，（1）求四边形ABCD的面积；（2）若M，N为边AB，CD的中点，求(AB21．（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）＝p（c）+q（c），当c∈[95，105]时，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．22．（12分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB＝2A1B1＝4，E、F分别为DC、BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°．（1）求证：BD1∥平面C1EF；（2）线段BF上是否存在点M，使得直线A1M与平面C1EF所成的角的正弦值为32222，若存在，求出线段

2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知i为虚数单位，则（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解答】解：（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（sin15°+icos15°）（cos15°+isin15°）＝sin15°cos15°+icos215°+isin215°+i2sin15°cos15°＝sin15°cos15°+i（cos215°+sin215°）﹣sin15°cos15°＝i．故选：D．2．（5分）如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（）A．数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．数据中可能有极端大的值 D．数据中众数可能和中位数相同【解答】解：中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相差很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的教，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B项错误，故选：B．3．（5分）有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率为（）A．37 B．67 C．78 【解答】解：由题意得，由于每一个人自第二层开始在每一层电梯是等可能的，故两人离开电梯的所有可能情况有7×7＝49种，而两人在同一层电梯的可能情况有7×1＝7，所以两人在同一层离开电梯的概率为749所以两人在不同层离开电梯的概率为1-故选：B．4．（5分）已知点A的坐标为(1，3)，将OA→绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到A．-3 B．﹣1 C．3 D．【解答】解：设点A是α终边上一点，设点B的横坐标为x0，则|OA所以sinα=所以x0故选：A．5．（5分）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（35岁以上含35岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（）A．男性比女性更关注地铁建设 B．关注地铁建设的女性多数是35岁以上 C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．35岁以上的人对地铁建设关注度更高【解答】解：由等高条形图可得：对于选项A：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，所以男性比女性更关注地铁建设，故A正确；对于选项B：由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，从而得到关注地铁建设的女性多数是35岁以上，故B正确；对于选项C：由左图知男性人数大于女性人数，由右图知35岁以下的男性占男性人数比35岁以上的女性占女性人数的比例少，所以无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确；对于选项D：由右图知样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确．故选：C．6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则m∥n C．若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m D．l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α∥β【解答】解：若l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α，故A错误；若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则由线面平行的判定定理与性质定理易得m∥n．故B正确；若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l与m不一定垂直，故C错误；若l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则不能得到α∥β．故D错误．故选：B．（多选）7．（5分）设平面向量|a→|=1，|b→|=2，A．a→⋅c→=c→⋅b→ B．a→⋅【解答】解：设b→与a→的夹角为对于A，当θ为锐角时，a→⋅c对于B．当θ为锐角时，a→当θ为钝角时，a→当θ为直角时，a→⋅对于C，|a→⋅对于D，a→⋅c故选：BC．8．（5分）已知锐角α，β满足sinα﹣cosα=15，tanα+tanβ+3tanαtanβ=A．α＜π4＜β B．β＜π4【解答】解：∵sinα﹣cosα=15∴sinα＞cosα，∴α＞π∵tanα+tanβ+3tanαtanβ=∴tan（α+β）=tanα∴α+β=π∴β＜故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（多选）9．（5分）下列关于复数z=A．在复平面内z对应的点Z在第一象限 B．z2＝2i C．z的共轭复数为﹣1+i D．z是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的一个根【解答】由z=21-对于A，点Z为（1，1），故在第一象限，A正确，对于B，z2＝（1+i）2＝2i，故B正确，对于C，z的共轭复数为1﹣i，故C错误，对于D，（1+i）2﹣2（1+i）+2＝2i﹣2﹣2i+2＝0，故D正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）对于一个事件E，用n（E）表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，则（）A．A与D不互斥 B．A与B互为对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立【解答】解：因为n（A）+n（D）＝n（A∪D），所以A与D互斥，即选项A错误；因为n（A）+n（B）＝n（A∪B）＝n（Ω），所以A与B互斥且对立，即选项B正确；由题意知，P（A）=n(A)n(Ω)=60100=35，P（B）=n所以P（A∩C）＝P（A）•P（C），即A与C相互独立，所以选项C正确；因为n（A∩C）＝12，n（C）＝20，且A与B互为对立，所以n（B∩C）＝20﹣12＝8，所以P（B∩C）=n(B∩C)n(所以B与C相互独立，即选项D正确．故选：BCD．（多选）11．（5分）在一次党建活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A．甲组中位数为2，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为1，方差大于0 D．丁组平均数为2，方差为3【解答】解；对A，因为中位数为2，极差为5，故最大值小于等于7，故A正确；对B，如失分数据分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；对C，如失分数据分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；对D，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于110×(8-2)2=3.6故选：AD．（多选）12．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于点M，N，以下四个命题中正确的是（）A．四边形EMFN一定为菱形 B．平面EMFN⊥平面DBB′D′ C．四棱锥A﹣MENF体积为16D．四边形EMFN的周长最小值为2【解答】解：连接BD，B′D′，MN，AC，EF，显然AE∥CF，且AE＝CF，所以ACFE为平行四边形，所以AC∥EF，由题意得AC⊥BD，BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB′⊥AC，∵BD∩BB′＝B，BD，BB′⊂平面BDD′B′，所以AC⊥平面BDD′B′，则EF⊥平面BDD′B′，EF⊂平面EMFN，所以平面EMFN⊥平面BDD′B′，故B正确；由正方体的性质得平面BCC′B′∥平面ADD′A′，平面BCC′B′∩平面EMFN＝MF，平面ADD′A′∩平面EMFN＝EN，故MF∥EN，同理得ME∥NF，又EF⊥平面BDD′B′，MN⊂平面BDD′B′，EF⊥MN，∴四边形EMFN为菱形，故A正确；对于C，四棱锥A﹣MENF的体积为：VA-MENF对于D，∵四边形EMFN是菱形，∴四边形EMFN的周长l=4∴当点M，N分别为BB′，DD′的中点时，四边形EMFN的周长最小，此时MN=EF=2，即周长的最小值为故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的图象关于点(23π，0)中心对称，则|φ|的最小值为【解答】解：因为函数f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的图象关于点(2所以2×2π则当k＝1时，|φ|的最小值为π6故答案为：π614．（5分）如图所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，PA＝AB＝2．现有以下命题：①BC⊥PC；②当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，二面角B﹣PC﹣A会逐步增大；③当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，三棱锥B﹣PAC的体积的最大值为23其中正确的命题序号为①③．【解答】解：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，故①正确；因为BC⊥平面PAC，而BC⊂平面BPC，所以平面BPC⊥平面PAC，故当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，二面角B﹣PC﹣A恒为90°，故②不正确；因为PA＝AB＝2，所以三棱锥B﹣PAC的体积VB过点C作CH⊥AB交AB于点H，所以S△所以VP所以求三棱锥B﹣PAC的体积的最大值，即求CH的最大值，当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，当H为AB中点时，CH最大，且CH的最大值为1，所以三棱锥B﹣PAC的体积的最大值为23，故③故答案为：①③．15．（5分）在某次模拟测试中，30名男生的平均分数是70分，样本方差是10；20名女生的平均分数是80分，样本方差是15，则该次模拟考试中这50名同学成绩的平均分为74，方差为36．【解答】解：记30名男生得分记为x1，x2，……，x30，20名女生得分记y1，y2，……，y20，所以男生得分平均分x=x1+x2+...+x3030=70，则x1所以女生得分平均分y=y1+y2+...+y2020=80，则y1所以总平均分m=总方差为s2所以此50人该次模拟考试成绩的平均分是74，方差是36．故答案为：74；36．16．（5分）在三棱锥V﹣ABC中，AB，AC，AV两两垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P为棱AB上一点，AH⊥VP于点H，则△VHC．面积的最大值为5；此时，三棱锥A﹣VCP的外接球表面积为148π5【解答】解：设AP＝x，∵AB，AC，AV两两垂直，∴VP=16+∴12VP•AH=12VA•AP，∴由已知可得AC⊥平面VAB，∴AC⊥AH，HC=4+∵VH⊥AH，AH∩AC＝A，∴VH⊥平面AHC，∵HC⊂平面AHC，∴VH⊥HC，∴VH=16-∴S△VHC=12×VH×HC当且仅当4+16x216+三棱锥A﹣VCP的外接球的半径为r，则（2r）2＝AP2+AC2+AV2=16×1525+∴4πr2=1485故答案为：5；1485π四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π3，P是圆弧上一点（不与A，B重合），过P作PM⊥OA，PN⊥OB，（1）若|PM|=1（2）设∠AOP＝x，PM，PN的线段之和为y，求y的取值范围．【解答】解：（1）sin∠POM=12所以∠PON=π3（2）∠POBy=x+π3∈(π18．（12分）柜子里有3双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为a1，a2，记第2双鞋左右脚编号为b1，b2，记第3双鞋左右脚编号为c1，c2．如果从中随机取出4只，那么（1）写出试验的样本空间Ω，并求恰好取到两双鞋的概率；（若取到a1，b1，c1，c2，则样本点记为a1b1c1c2，其余同理记之．）（2）求事件M“取出的鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋”的概率．【解答】解：（1）由题意得，试验的样本空间为：Ω＝{a1a2b1b2，a1a2b1c1，a1a2b1c2，a1a2b2c1，a1a2b2c2，a1a2c1c2，a1b1b2c1，a1b1b2c2，a1b1c1c2，a1b2c1c2，a2b1b2c1，a2b1b2c2，a2b1c1c2，a2b2c1c2，b1b2c1c2}，设A表示事件“恰好取到两双鞋”，则A＝{a1a2b1b2，a1a2c1c2，b1b2c1c2}，所以n（Ω）＝15，n（A）＝3，故事件“恰好取到两双鞋”的概率为P(（2）由（1）知，事件M“取出的鞋子中至少有两只左脚”为：M＝{a1a2b1c1，a1a2b1c2，a1a2b2c1，a1b1b2c1，a1b1b2c2，a1b1c1c2，a1b2c1c2，a2b1b2c1，a2b1c1c2，b1b2c1c2}，所以n（Ω）＝15，n（M）＝10，故事件“取出的鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋”的概率为P（M）=1019．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF=1（1）证明：平面CEF⊥平面ACC1A1；（2）若AC＝AE＝2，求二面角C1﹣CF﹣E的正弦值．【解答】解：（1）证明：取BC的中点O，连接OA，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，不妨设AB＝2a，AA1＝3，以O为坐标原点，OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：C（﹣a，0，0），A(0，3a，0)，F（a，0，1），E（0CF→=（2a，0，1），CE→=（a，3a，2），CA→=（a，3a，0），CC设平面CEF的一个法向量为n→=（x，y，则n→⋅CF→=2ax+z=0n→⋅∴平面CEF的一个法向量为n→=（﹣1，-3，设平面ACC1A1的一个法向量为m→=（m，n，则m→⋅CA→=am+3an=0m→∴平面ACC1A1的一个法向量为m→=（﹣1，3，因为m→•n→=-3+3=0，所以平面（2）因为AC＝AE＝2，由（1）可得a＝1，即n→=（﹣1，-3易知平面CFC1的一个法向量为OA→=（0，3，∴cos＜n→，∴二面角C1﹣CF﹣E的余弦值为64∴二面角C1﹣CF﹣E的正弦值为10420．（12分）在平面凸四边形（每个内角都小于180°）ABCD中，∠A+∠C＝180°，AB＝AD＝2，BC=2，（1）求四边形ABCD的面积；（2）若M，N为边AB，CD的中点，求(AB【解答】解：（1）△ABD中，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcosA＝4+4﹣8cosA＝8﹣8cosA，在△BCD中，BD因为A+C＝180°，所以cosA＝﹣cosC，所以8-所以cosA＝0，因为0°＜A＜180°，所以A＝90°，C＝90°，所以S四边形（2）法1：因为MN→=MB所以MN→因为AB→所以(AB21．（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指