2024高考数学冲刺模拟卷2（解析版）

2024高考数学冲刺模拟卷02（解析版）

第I卷（选择题）

一、单选题（共40分）

1.（本题5分）一个容量为10的样本，其数据依次为：9,2,5,10,16,7,18,23,

20,3,则该组数据的第75百分位数为（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】D

【分析】将这些数从小到大重新排列后结合百分位数的定义计算即可得.

【详解】将这些数从小到大重新排列后为：2,3,5,7,9,10,16,18,20,23,

10x0.75=7.5,则取从小到大排列后的第8个数，

即该组数据的第75百分位数为18.

故选：D.

22

2.（本题5分）若双曲线二一+二=1的离心率为2,则%的值为（）

k+49

A.-31B.31C.-6D.-20

【答案】A

【分析】根据双曲线的性质求出。、即可表示出离心率，从而求出参数的值.

2

无2v口nVX

【详解】双曲线上一+匕=1,即至一=1,

Z+49

所以"2=9,b1=-k-4,贝！Ic=Ja」+Z?2=J-左+5，a=3,

又离心率为2,即6=£=正正=2,解得上=-31.

a3

故选：A

3.（本题5分）在前”项和为S”的等差数列｛4｝中，a6=a5+S4,a7=19,则醺=（）

A.3B.10C.15D.25

【答案】C

【分析】写出等差数列的通项公式以及前〃项求和公式，利用题中所给的条件即可.

【详解】设｛4｝的通项公式为a〃=4+（7-l）d,其中的是首项，d是公差，

贝I」%=4+44,4=卬+5d,54=%："x4=4°]+6d,

由题意4+54=%+44+4%+6”,解得,又％=q+6d=19,

代入得用=-5,d=4,得％=-5+4x4=11,得工=幺爱x5=15.

故选：c

4.（本题5分）已知/、机是不重合的两条直线，。、尸是不重合的两个平面，则下列

结论正确的是（）

A.若aB=l,mLl,则。_L〃

B.若/_!_〃？，mlla,贝！］/_La

C.若8/3=l,mua,〃/m，则向//7

D.若/ua,mu°,a〃尸，则〃/小

【答案】C

【分析】根据空间中线面、面面的位置关系逐项判断即可.

【详解】对于A选项，若的B=l,mua,ml.1,则a与夕不一定垂直，A错；

对于B选项，若ILm,mlla,贝!j/与a的位置关系不确定，B错；

对于C选项，若々。=1,mua,〃/则相（2，，由线面平行的判定定理可得机〃尸，

C对；

对于D选项，若lua,mu0,allf3,则/、机平行或异面，D错.

故选：C.

5.（本题5分）将a1,c,d,e5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实

习，要求每个班至少一名，最多两名，其中a不去甲班，则不同的分配方案有（）

A.180种B.150种C.90种D.60种

【答案】D

【分析】本着排列组合混合的题型要“先分类，后分步，先组合，后排列”的原则分析解

决问题.

【详解】根据题意，去甲班实习的教师可以是1人或2人.

有1人去甲班时，因为a不去甲班，可从另外4人中选1人去甲班，有C：种选法，

再选2人去乙班，有C：种选法，剩下2人去丙班，有C；种方法，

这是分3步完成的，故有C：C；C；=4x6x1=24种方案；

有2人去甲班时，因为a不去甲班，可从另外4人中选2人去甲班，有C；种选法，

再剩余3人分配到2个班的分法有C；A；种方法，

所以这类办法有。汇盗；=6、3X2=36种.

故不同的分配方案有：24+36=60.

故选：D

试卷第2页，共16页

6.(本题5分)已知a,。,c为不共线的平面向量，\b\=\c\,若d+b+e=O,则心在。方

向上的投影向量为()

,1111

A.—aB.—aC.—aD.—a

4422

【答案】D

【分析】根据向量的加法法则，结合投影向量的求解即可求解.

【详角军1由a+6+e=0可得。=-(6+c),

又|切=|c|,如图所示，由平行四边形法则可得四边形A3CD为菱形,

故2。AC互相垂直平分，所以方在。方向上的投影向量为-g*

故选：D.

7.(本题5分)已知到两定点”(-2,0),N(2,0)距离乘积为常数16的动点尸的轨迹为

C,则()

A.c—•定经过原点B.C关于x轴、y轴对称

C.AMPN的面积的最大值为55D.C在一个面积为60的矩形内

【答案】B

【解析】先由己知条件求出点尸的轨迹方程，然后结合轨迹方程及三角形的面积公式逐

一判断即可得解.

【详解】解：设点P的坐标为(x,y),由题意可得J(x+2『+y2.J(x-2)2+y2=16.

对于A,将原点坐标代入方程得2x2=4716,所以，A错误；

对于B,点尸关于x轴、y轴的对称点分别为々(x,-y)、P,(-x,y),

J(x+2j+(-y)2,+(_y?=y/(x+2)2+y2-^(x-2)2+y2=16,

^(-x+2)2+y2••^(-x-2)2+y2=^(x-2)2+y2-J(x+2y+y2=16,

则点4、鸟都在曲线c上，所以，曲线c关于x轴、y轴对称，B正确;

对于C,设忸闾=4,|/训=6,ZMPN=0,则必=16,

Q2+〃_16a2+b2-16^2ab-161

由余弦定理得cos0=-------N-----=—

2ab32-322

当且仅当“=》=4时等号成立，贝所以sin6=Jl-cos2evg,

I3」2

则AMPN的面积为SWN=-aZ?sin6><-xl6x^l=4^,C正确；

AMPN222

2

对于D,16=J(x+2『+y2.^(X-2)+/>&+2丫­J(无一2)?=产一4,

可得一16V—_4Vl6,得尤2V20,解得一2君

由C知，5AMW=1|M^|-|y|=|x4x|y|<4^,得但<26,

曲线C在一个面积为4君x4君=16而<64的矩形内，D正确.

故选：B

【点睛】本题考查了曲线轨迹方程的求法，重点考查了三角形的面积公式及不等式的应

用，属中档题.

8.（本题5分）法国数学家蒙日发现椭圆两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个

圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴和短半轴的

22

平方和.如图所示为稀圆E：j+2=ig>b>o）及其蒙日圆。，点尸,c,。均为蒙日圆

ab

与坐标轴的交点，PCPO分别与E相切于点4,8,若与，PCD的面积比为4:9,

则E的离心率为（）

【分析】由蒙日圆。的方程求得P,。的坐标，可得直线PO的方程y=-x+77寿，联

立椭圆的方程，求出B的横坐标，再结合条件，即可得到/=2匕2,从而求出结果.

【详解】由题知，蒙日圆。为/+/=/+〃，设P（O,J/+⑻,£>“/+/,（））,

则直线PD的方程为y=f+ylcr+b2，

试卷第4页，共16页

工+J

由</b2消y得至IJ面+/>2)x2-2a2yla2+b2x+a4=0>

y=―尤+，屋+b2

显然有A=(2〃J4+/f-4(/+〃)4=o,解得覆=

yJa2+b2

\AB\2

又.PLB与，PCD的面积比为4:9,所以盟=

W'

22a②

22

X|CD\-2>Ja+b，|AB|=2XB=.,所以飞/+方_♦_2,

二、多选题（共18分）

9.（本题6分）已知复数4，z2,则下列结论中正确的是（）

A.若z/zwR,则Z?=Z]B.若㈤=%|,则z；=z；

C.若Z[Z2=Z1Z3且Z1片0,则Z2=Z3D.若Z[Z2=0,贝！）4=0或Z2=0

【答案】CD

【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可.

【详解】对于A,若z^eR,例如：Zj=1,z2=2,则z2H故A错误；

对于B,令Z]=1,z2=i,则阂=卜|=1,z；=1,z&=—1,此时z；wz&,B错误；

对于C,由Z[Z2=Z]Z3，则Z]（z2-Z3）=0,Z[0,z2=z3,故c正确；

对于D,若平2=0,则卜闻二团国卜。,所以团=0或国=0至少有一个成立，即％=0

或z?=0,故D正确;

故选：CD.

10.（本题6分）已知函数〃x）=sin0x-gcos0x（0>O）的最小正周期为无，则下列

各选项不正确的是（）

A.（D=2

B.直线彳=展是图象的一条对称轴

c.f（x）在［:口上单调递增

D.将“X）图象上所有的点向右平移T个单位长度，可得到y=2sin2x的图象

6

【答案】BCD

【分析】利用辅助角公式化简函数，结合最小正周期可求得A正确；利用代入检验法

可知BC正误；根据三角函数平移变换原则可求得D错误.

【详解】对于A,/（x）=sin8-宕cos0x=2sin（0x-；J的最小正周期7=无，

2兀

—2,A正确；

对于B,由A知：〃x）=2sin卜x-f］,当尤="时，2%-^=-^；

x=4不是y=2sinx的对称轴，.“=二不是”X）的对称轴，B错误；

612

IT、r,「兀兀'tc兀「八2兀）

对于C当时，2x--el0,—I,

y=2sinx在上先增后减，\/⑴在］,口上先增后减，c错误；

对于D,将/（尤）图象上所有的点向右平移1个单位长度可得：

故选：BCD.

11.（本题6分）已知函数“X）的定义域为R,Vx、yeR都有

2f(^+l)=f(x)f(y)-f(y)-2x+6,且/(0)=1,则()

A.〃T)=2B."1)=3

C.是增函数D.“X）是偶函数

【答案】BC

【分析】通过赋值法求出函数y=/（x）解析式，然后逐项判断，可得出合适的选项.

试卷第6页，共16页

【详解】令x=y=O,得2/(1)=/(0)_/(0)+6=6,则“1)=3,

令y=l,贝|2〃x+l)=3〃x)-/⑴-2x+6=3〃x)-2x+3,①

令x=l,贝IJ2〃y+l)=3〃y)-〃y)-2+6=24)+4,

即〃x+l)=〃x)+2,②

联立①②可得〃x)=2x+l,则/(-1)=-2+1=—1,41)=3,A错B对，

函数/(x)=2x+l为增函数，且为非奇非偶函数，C对D错.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的基本性质问题，解题的关键在于对x、y进

行赋值，通过构建方程组求解函数解析式，然后利用函数的基本性质来进行判断.

第II卷(非选择题)

三、填空题(共15分)

12.(本题5分)已知集合4={尤1/<4},3={刀|<尤<。+1},若AcB=0,贝I」。的

取值范围是

【答案】(9,-3)(3,y)

【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.

【详解】由/W4,^(x-2)(x+2)<0>W-2<x<2,

所以A={x|-2<x<2}.

因为Ac3=0,

所以。+1<-2或解得-3或。>3,

所以”的取值范围是(YO,-3)一(3,+oo).

故答案为：(—,一3)(3,+®).

13.(本题5分)在正四棱台中，AB=2A4，A4t=26,M为棱4G的

中点.当筋=4时，正四棱台的表面积是；当正四棱台的体积最大值时，A3的长

度是

【答案】20+12而“2而+208

【分析】根据条件求出侧面积进而求得表面积；设A3=2A与=4x,得

V2=^X2-X2-(12-2X2),用换元法及导数求得取最大值时AB的长度.

【详解】当AB=4时，4耳=2,SABCD=16,5=4,

分别取BC,4G的中点及M,则ME为侧面高，

侧面BCC4为等腰梯形，侧面高为=J12-1=而，

所以一个侧面面积为Be；4GxME=35,

故正四棱台的表面积是16+4+4x3而=20+12而.

设AB=2A瓦=4x,上底面和下底面的中心分别为。”。，过人作A”，AC，该四棱台

的高

在上下底面由勾股定理可知，4a=：J(2x)2+(2x)2=®x,AO=；j(4x)z+(4x)2=2岳.

在梯形A°i0A中，AA2=AH2+AH?=12=（2缶--J2x）2+h2^h2=12-2x2,

所以该四棱台的体积为丫=尤2+巨彳+4f)〃=,

所以丫2=—/./.8=—/./.（12-2尤2）,

令f=f>0,贝M=一6一打/>0,

令/(。=6产_广，则尸(r)=i2f_3/,

令广⑺=0得t=4,

当。</<4时，为增函数，

当r>4时，r(o<o,为减函数，

故当t=4即x=2时〃。有最大值，此时V■有最大值，

此时AB的长度是8.

故答案为：20+12711;8

2

14.(本题5分)已知正数a,b满足2/+讦>2(ln2a-lnb)+l,贝！)/+/=

【答案】|

试卷第8页，共16页

【分析】利用基本不等式知2/+Q2aI,令/(x)=21nx-/+i,利用导数研究函

~b

数的单调性可知x、21nx+l,进而可得［彳］>2(ln2a-lnZ>)+l,结合已知可得

2

2fl4+—=2(ln2。-In力+1,由取等条件即可求解.

【详解】因为a,b都为正数，所以2/+Q2行引I

当且仅当2/=本,即而=1时，等号成立.

构造函数f(x)=21nx-x2+1,x>0,

求导1(X)=2—2X=2(1+X)(J),令/Q)=O,得x=l

XX

当xe(0,1)时，/'(x)>0,/(无)单调递增；

当xe(l,w)时，尸(无)<0,f(x)单调递减；

可知/(无)在x=l处取得最大值，f{x)</(I)=0,即21nx-V+IWO

所以/221nx+l,当且仅当x=l时，等号成立，

所以(引>21ny+l=2(ln2a-lnZ?)+l,当且仅当系=1时，等号成立，

2?

所以2"+方z2(ln2。一In6)+1,X2A4+—<2(ln2a-In6)+1,

所以2/+3=2(ln2a-ln6)+l,且必=1,半=1,

Z7b

即4=：,/=2,所以/+/=1

故答案为：g

【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式及利用导数研究函数的单调性证明不等

式，解题的关键是构造函数/。)=2111苫-/+1,x>0,从而证得/上21nx+1,再结合

基本不等式及取等条件即可求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于难题.

四、解答题(共77分)

3

15.(本题13分)已知函数人力=5%2_4依+〃21nx在工=1处取得极大值.

⑴求"的值;

⑵求〃x)在区间1,e上的最大值.

【答案】(1)3

⑵后

【分析】(1)求导，然后令r(x)=o求出x,代入尤=1验证是否符合题意即可；

(2)求导，确定函数在区间-,e上的单调性，进而可求最大值.

e

…初…口左一”'C/〃23x2-4ax+a2(3x-a)(x-a)

【详解】(1)由已矢口/(X)=3X—4Q+—=-----------------=-----------------L

XXX

令TO。得』或尤

当”=1时，令r(x)>o得o<x<g或%>1,令ra)<o得;。<1,

故函数“X)在［0,上单调递增，在g』)上单调递减，在(1,+。)上单调递增，

此时函数/(X)在X处取极大值，在X=1处取极小值，与函数/(X)在尤=1处取得极

大值不符；

当1=1,即〃=3时，令/'(x)>0得Ovxvl或x>3,令/'(兄)<。得l<x<3,

故函数/(X)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，

此时函数/(%)在％=1处取极大值，在X=3处取极小值，符合题意；

所以4=3;

(2)由(1)得=-i2x+91nx,尸(%)=3(冗1)('3),-,e

2xl_e_

令/得g<x<l,函数/(x)单调递增，

令/'(x)<0,得l<x<e,函数/(%)单调递减，

所以〃*)2=〃1)=5-12=-万・

16.(本题15分)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它

将会成为改变人类社会发展的重要力量.某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从

数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没

有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率

为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.

(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；

(2)在某次测试中，输入了“(”26)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记

试卷第10页，共16页

软件正确应答的个数为X,X=k（k=6,l,,〃）的概率记为尸（X=%）,则n为何值时,

P（X=6）的值最大？

【答案】⑴0.75

（2）7或8

【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解;

6

3

（2）由题意可知：X:且P（X=6）=C：,结合数列单调性分析求

解.

【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A,“回答正确”为事件B,

由题意可知：P（A）=0.1,P（B|A）=0.8,P（B|A）=0.3,A=0.9,

所以尸（3）=尸（B|可尸（可+P（B|A）尸⑷=0.75.

3

（2）由（1）可知：P（B）=0.75=-,

则x：可得P（X=6）=C：

n-6

3

令为=G：,则

4

H+1{

令解得〃<7,可知当〃<6,可得%>%；

n+1।

令解得”>7，可知当可得

n+11

令4（范―5）—I'解得〃=7,可得%=%;

所以当"=7或〃=8时，。"最大，即n为7或8时，P（X=6）的值最大.

17.（本题15分）在四棱锥P-ABCD中，已知A8CD,AB±AD,

BC±PA,AB=2AD=2CD=2,PA=瓜PC=2,E是线段尸8上的点.

⑴求证：PC_L底面ABC。；

4RF

(2)是否存在点E使得三棱锥P-ACE的体积为1?若存在，求出器的值；若不存在,

请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

BF

(2)存在点E使得三棱锥尸-ACE的体积为《4，且甘=I：

9BP3

【分析】(1)在A8C中，利用余弦定理求得BC,由AB2=AC2+BC2,得至U3C±AC,

再由3clp4得到3cl平面PAC,从而3C_LPC,然后由PT=+得至i]

PCIAC,再利用线面垂直的判定定理证明；

4BF

=

(2)易知Vp_ACE^P-ACB~/-ACB=§，设=4，由

~x-AC-BC-PC--x-AC-BC-APC=-^^.

32329

【详解】(1)证明：在△ADC中，AD=DC=1,XADC=90,

所以AC=JAD2+Z)C2

在ABC中，AC=y/2,AB=2,ZBAC=45,由余弦定理有：

BC2=AB2+AC2-2ABAC-cos45=4+2-2x2xV2x—=2,

2

AB2=AC2+BC2,所以NAC3=90,

所以BC±AC,又因为3。，丛,24门47=424、4。(=平面24。，

所以BC1平面PAC,

因为PCu平面PAC,所以BCLPC,

在△■R4C中：AC=6：,PC=2,PA=娓,则卓2=4。2+尸。2,

所以PCLAC,因为4。门8。=(7,47、3。(=平面45。，

所以尸C,面A3CD

,4

(2)因为Vp-ACE=^P-ACB~%—ACB=§，

BE_

设而="

:.-x-ACBCPC--x-ACBCAPC=-,

32329

—x—x^2xy/2x2--x—x5/2x^2x22=—,

32329

试卷第12页，共16页

因此，存在点E使得三棱锥尸-ACE的体积4为且B苗F=g1

22

18.（本题17分）已知椭圆C:=+与=1（。＞6＞0）的上、下顶点分别是A,B,点E（异

ab

于A,B两点）在椭圆C上，直线EA与EB的斜率之积为椭圆C的短轴长为2.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线1,

1与椭圆的两个交点分别为P,N,若讳+焉为定值，则称点Q为“稳定点”，问：

是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由.

【答案】⑴、+丁=1

⑵存在稳定点。（±1,0）,理由见详解

【分析】（1）根据题意可得48两点坐标，设出点E（x,y）,由七化简可得椭

圆C的标准方程；

（2）设直线PN:x=my+%o，与椭圆方程联立，由韦达定理可得为+%,%%，又

/-----/-----11

|尸@=&+病况,|QN|=J1+病国,从而可求西+网的表达式，即可求解.

【详解】（1）由题，2b=2,即6=1,所以4（0,1）,3（0,-1）,

设E（x,y）,由七4%防=一;可得，

"二皿■=-1,化简得又点满足上式，

x尤22,

所以椭圆c的标准方程为［■+丁=1•

（2）存在这样的点。（面,0）,设直线PN:x=〃zy+Xo，尸（药,%）,N（x2,y2）,%%＜。,

x=my+x0

联立32_,消去X整理得（疗+2）y2+2"/y+x；-2=。,

%+%=笠，%%="厂：,A=8"/-8尤；+16>0,

m+2m+2

又|PQ|=1E-xJ+y；=册+y；=y/l+m2|yj，|QN|=Jl+1,

ii_ifiiLi」出昆I

\pQ\\QN\Z+m2（血|^|JVl+m2|%||%|

1_X回一刃=]x)一+.)2-4%为

22

'1+m-yty2y/l+m

【点睛】思路点睛：第二问，设出直线PN:x=»1y+毛与椭圆方程联立，得到根与系数

关系，又利用两点间距离公式可得又|PQ|=+y；=J1+病闻,

,-------11

|QN|=Ji+疗同,代入国+而[运算化简得解.

19.(本题17分)对于给定的正整数n,记集合

n

R={.a=(%，X?，X-^,,•xn),x.e7?,j=l,2,3,-,«),其中元素&称为一个n维向量.特

别地，。=(0,0,…,0)称为零向量.设％eR,a=(a1,a2,---,a„),尸=仅也,…,6")eR",

定义加法和数乘：£+;?=(%+々,%…+2),ka=(ka1,ka2,---,kan').对一组向量

%,a[,as(seN+，5>2),若存在一组不全为零的实数％,k2,ks,使

得…+月4=0,则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.

(1)对〃=3,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.

®a=(1,1,1),3=(2,2,2)；须=(1,1,1),3=(2,2,2),；=(5,1,4)；③展=(1,1,0),

£=(1,0,1),7=(0,1,1),6=(1,1,1).

(2)已知向量a，2，/线性无关，判断向量a+/，P+y,a+7是线性相关还是线性

无关，并说明理由.

试卷第14页，共16页

⑶己知7〃(〃亚2)个向量名,%，…，，线性相关，但其中任意m-1个都线性无关,

证明下列结论：

①如果存在等式勺%+自%+…+勺“％,=0(k]CR,i=1,2,3,…,m),则这些系数《，

尤“或者全为零，或者全不为零；

②如果两个等式勺%+左24+…+尢”%,=。，/1%+/2%+…+4/",=。(.卜产R,1、wR,

kkk

i=l,2,3,-,m)同时成立,其中/尸0,则户方=••一片.

’1’2‘m

【答案】(1)①