2024年新高考数学一轮复习-简单三角恒等变换（学生版）

专题27简单三角恒等变换

一、【知识梳理】

【考纲要求】

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简

单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.

【考点预测】

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）公式Szo：sin2a=2sinacosa.

（2）公式Cz«：cos2a=cos,a—sin，a=2cos2a-1=1-2sin，a.

，、八八2tana

（3）公式Tz«：tan2a--~----.

1—tana

【常用结论】

1.1—cosa=2sin'丁，1+cosauZcos%.（升累公式）

2.1+sina=（sin—+cos万）.（升幕公式）

,1—cos2a,1+cos2a,1—cos2a一”

3.sin-a=--------，cos-a=----------,tan-a=--------.（降累公式）

221+cos2a

【方法技巧】

L三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式

子和三角函数公式之间的共同点.

3.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据

角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.

4.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊

角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角

并且消除特殊角三角函数而得解.

5.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：

⑴已知正切函数值，选正切函数；己知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围

是（。，3,选正、余弦皆可；

（JI兀、

（2）若角的范围是（0,口），选余弦较好；若角的范围为（一万，句，选正弦较好.

6.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化

为/•(x)=/sin(ox+0)+6的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特

征，注意利用整体思想解决相关问题.

二、【题型归类】

【题型一】三角函数式的化简

2cos58°+sin28°

【典例1】)

cos28°

A.-A/3B.1C.小D.2

2cos4^r—2COS2JT+-

[典例2】化简：:

2tanl—­一xjsin6+xj

_„,八l、COS10°

【典例3】(tan10—vv3)•―~nh乔()~=一

【题型二】给角求值

【典例11sin40°(tan10°—十)等于()

A.2B.-2C.1D.-1

【典例2]cos20°•cos40°•cos100°=.

cos40°

【典例3】二的值为()

cos25°-^1—sin40

A.1B.y/3C.72D.2

【题型三】给值求值

【典例1］已知cos(0+彳)=^^,3，则sin(29—9)=.

110，兀：(JlAr-

【典例2】若tana4-------=—,ffe-,则sin2a+—+J2cos'a的值

tana3142)14)丫

为.

4A/5

【典例3】已知a,£为锐角，tana=~,cos(。+£)=—

35

(1)求cos2a的值；

(2)求tan(a—8)的值.

【题型四】给值求角

【典例1】在平面直角坐标系x%中，锐角£的顶点为坐标原点。，始边为x轴的非负

半轴，终边与单位圆。的交点分别为只。己知点月的横坐标为平，点。的纵坐标为斗,

则2a—£的值为

【典例2】已知cosa=-,cos(a—£)=!|,且<5，则£=.

【典例3】已知a,8G(0,JI),且tan(。一£)=],tan£=一；，则2。一£的值为

三、【培优训练】

【训练一】已知函数F(x)=sin[x—~—j+2sin2x

⑴求Hx)的最小正周期；

ji5Ji

⑵当xd—,~r~时，求f(x)的值域.

_3o

【训练二】如图，有一块以点。为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形

开辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点8,C落在半圆的圆周上.已知

半圆的半径长为20m,如何选择关于点。对称的点4，的位置，可以使矩形265的面积

最大，最大值是多少？

DON

【训练三】已知函数/1(x)=/cos(；+9)，XGR,且

(1)求/的值；

「Ji~|(4兀、30(2兀、8

⑵设a,0,—,a+—J=——,—j=-,求cos(a+£)的值.

【训练四】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问

题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”

其意思为“今有水池1丈见方(即CD=\Q尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1

尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少？”

设ABAC,现有下述四个结论：

①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan5e=］2；④tan（，+司=一717.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①③B.①③④

C.①④D.②③④

JI

【训练五】已知a为正整数，tano=l+lga,tan£=lga,且。=£+1，则当函数

f{x}=asinJ—y/^cos兀］）取得最大值时，夕=（）

ji2兀5兀4几

A.-B.­z-C.~z~D.-z-

2363

【训练六】若5元2。=说5m(A/10「兀~|「3兀

Ba)—I。，且aeyJi.Sem,?，则a

5

+£的值是()

7Ji9n

A•丁B・丁

5兀37兀5n„9兀

。丁或丁D-丁或丁

四、【强化测试】

【单选题】

JI

4tan-

1.计算：-()

3tan2——3

A班R—垃

A.3B-3

「HiD-幽

L

-99

2.若tan(a+80°)=4sin420°,则tan(a+20。)的值为()

A-也R对1

A-5B-5

c亚D亚

197

A/2COS2。厂八

3.若V；——T=A/3sin29,则sin2。=()

3仔+

12

A.-B.~

21

C.--D.

u3

4.已知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，在a的始边上有一

点4终边上有一点2勿）（加＞0）,满足\OA\=\OB\,若/OAB=。,则当T工---若一

1

-2

A.2B.

C.4D.1

7c/r-,/l+cos~~71/l—COS~~

5.已知3JIW9W4JI,且、-----+\-----=2f贝九）

10n„11兀37兀347兀

A.或一B.12或-IT

,J0

1-呼10。等丁（

6.计算:）

COS80°y/1-cos20。寸

A.芈B.1C.坐D.一亭

7.设-e（k兀、（兀、且tana=1+,一sin£B，贝巾（

）

JIJI

A.367一£=~2B.2a-J3=—

jiJI

C.3。+£=万D.2。+£=5

8、后]0兀一3兀

-若sin20=当,sin（£—。）=%,且0可了,”££兀，亍，则。+£的

值是（）

7兀9兀

A.B.

5兀9兀

D.丁或丁

【多选题】

9.下列各式中值为g的是（）

A.1-2COS275°

B.sin135°cos15°—cos45°cos75°

C.tan20°+tan25°+tan20°tan25°

cos35°Jl-Sin20°

D---------------------

•也cos20°

10.函数F(x)=sinxcosx的单调递减区间可以是()

一3兀兀一,、

A.k八—左兀——(A£Z)

—H3兀-、

B.A兀+7，k工(«£Z)

兀ji

C.2k八+—,2k立+~(A£Z)

JIJI

D.k女+—,A兀+—(A£Z)

11.已知_f(x)=；(l+cos2x)sir?x(x£R),则下列结论正确的是()

JI

A.Hx)的最小正周期7=5

B.广(x)是偶函数

c.『(x)的最大值为:

D.广(x)的最小正周期7=兀

12.下列说法不正确的是()

A.存在x£R,使得1—cos'=log2今

B.函数y=sin2xcos2x的最小正周期为兀

C.函数尸cos2卜+高的一个对称中心为卜方，0)

D.若角。的终边经过点(cos(—3),sin(-3)),则角。是第三象限角

【填空题】

13.若兀),sina,则tan2。=.

14.已知sina=cos2a,。£仁-，兀)，则tana=.

15.已知tan^^+°)=3,贝ljsin20—2cos2。=.

J3tan12°-3

16---------------------二

(4COS212°-2)sin12°--------.

【解答题】

17.已知函数_f(x)=2cos2x+2，^sinjr,cosx.

⑴求『仔，勺值;

⑵若faefo,-yj)求COSa的值.

18.如图，点尸在以居为直径的半圆上移动，且46=1,过点尸