《实际问题与二次函数（1）》名师教案

②若a<0，则当x=时，=.2.问题探究探究一销售问题中的利润最大问题（★▲）●活动1回顾旧知，回忆销售问题中常见概念和公式.师问：销售问题中一般都会涉及哪些名词？它们之间的数量关系是什么？学生抢答：成本价；定价；售价；利润；销量；利润率；定价；利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动2整合旧知，探究利润最大问题创设情景，激发学生学习兴趣，引入新课.师问：在讲课之前，我对咱班的学生先做一个小小的调查。你们的父母中有做生意的举手示意一下（师清点人数），在外务工的举手示意一下，（好的，谢谢！）。那么我想问一下，务工也好，做生意也好，目的都是干什么？生答：“挣钱”.师：“不仅挣钱而且都想挣更多的钱，一是靠我们辛勤的劳动，二是靠我们的智慧和科学文化知识”.我们班的小红的爸爸数学不好，他有一个问题想请大家帮帮忙.（引出例1）例1.小红的爸爸出售一批衬衣，这批衬衣现在的售价是60元每件，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？师问：1.问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为_______元，每件利润为_______________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以利润y=___________________________；(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为__________元，每件利润为___________元，每星期多卖_________件，实际卖出____________件．所以利润y=_________________________，（3）何时有最大利润，最大利润为多少元？生答：（1）60+x，,10x，，；，，，，；根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．解：（1）组当x=5时，取得最大值为6250元。（2）组当x=2.5时，取得最大值为6125元得出结论，当涨价5元时，取得的最大值为6250元.练习．小红的爸爸是个服装店老板，将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为()学生举手抢答.A．150元B．160元C．170元D．180元【知识点】总利润=单件利润数量，单件利润=售价-进价【解题过程】最大利润y=(x－100)(200－x)=-(x-150)2+2500,当x=150时，取得最大值【思路点拨】列出最大利润的关系式是本题关键.【答案】A【设计意图】从最简单的题让学生清楚利润最大问题最常用的等量关系。●活动3探究复杂问题中的利润最大问题例2．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)每件商品的售价定为多少元时，所获月利润最大，最大月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，月利润恰好是2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，月利润不低于2200元？【知识点】销售利润最大问题【解题过程】解：（1）y=（210-10x)（50+x-40）=-10x2+110x+2100（0<x≤15且x为整数）；

（2）y=-10（x-5.5）2+2402.5，

∵a=-10<0，

∴当x=5.5时，y有最大值2402.5，

∵0<x≤15，且x为整数，

当x=5时，50+x=55，y=2400（元），

当x=6时，50+x=56，y=2400（元），

∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；

（3）当y=2200时，-10x2+110x+2100=2200，解得x1=1，x2=10，

∴当x=1时，50+x=51，

当x=10时，50+x=60，

∴当售价定为每件51或60元时，每个月的利润为2200元，

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元。【思路点拨】（1）根据利润=每件利润×销售量，列出表达式；（2）求二次函数最值，注意自变量取整数；（3）列方程求解.【答案】（1）y=-10x2+110x+2100（0<x≤15且x为整数）；

（2）当售价定为每件55或56元时，最大的月利润是2400元；

（3）当售价定为每件51或60元时，每个月的利润为2200元；当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元.【设计意图】让学生学习利润范围问题.练习：将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为元，每日的销售量为__件，每日的利润y＝，所以每件降价____元时，每日获得的利润最大为____元．【知识点】单件利润=售价-进价；总利润=单件利润数量；数量=20+x【答案】(30-x);(20+x);(20+x)(30-x);5;625.【思路点拨】能用未知数表示清楚销售问题中的各种关系.【设计意图】从最简单的题让学生清楚利润最大问题最常用的等量关系探究二销售问题中的利润最大问题综合训练●活动1基础性例题例1．某经销店代销一种材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式；(不要求写出x的取值范围)(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)王强说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．【知识点】总利润=单件利润数量，单件利润=售价-进价【解题过程】解：(1)45＋eq\f(260－240,10)×7.5＝60(吨)；(2)y＝(x－100)(45＋eq\f(260－x,10)×7.5)，化简，得y＝－eq\f(3,4)x2＋315x－24000；(3)y＝－eq\f(3,4)x2＋315x－24000＝－eq\f(3,4)(x－210)2＋9075此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．(4)我认为，王强说得不对．理由：当月利润最大时，x为210元，而月销售额W＝x(45＋eq\f(260－x,10)×7.5)＝－eq\f(3,4)(x－160)2＋19200，当x为160元时，月销售额W最大，∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴王强说得不对．【思路点拨】列出最大利润的关系式是本题关键【答案】（1）60吨；（2）y＝－eq\f(3,4)x2＋315x－24000；（3）售价应定为每吨210元；（4）王强说得不对.理由：当月利润最大时，x为210元，而月销售额W＝x(45＋eq\f(260－x,10)×7.5)＝－eq\f(3,4)(x－160)2＋19200，当x为160元时，月销售额W最大，∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴王强说得不对．【设计意图】要分清每一吨的利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别．练习.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件.为了促俏，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元.设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【知识点】一次函数、二次函数的应用.【思路点拨】（1）每星期的销售量=原来的销售量+降价销售而多销售的销售量就可得出函数关系式；（2）根据销售量×销售单价=利润，建立二次函数，进一步用配方法解决求最大值问题．（3）列出一元二次方程，根据抛物线W=-30(x-55)2+6750的开口向下可得出当52≤x≤58时，每星期销售利润不低于6480元，再在y=-30x+2100中，根据k=-30＜0，y随x的增大而减小，求解即可.【解题过程】解：(1)y=300+30(60-x)=-30x+2100.（2）设每星期的销售利润为W元，依题意，得W=(x-40)(-30x+2100)=-30x2+3300x-84000=-30(x-55)2+6750.∵a=-30＜0，∴x=55时，W最大值=6750（元）.即每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元.（3）由题意，得-30(x-55)2+6750=6480解这个方程，得x1=52，x2=58.∵抛物线W=-30(x-55)2+6750的开口向下，∴当52≤x≤58时，每星期销售利润不低于6480元.∴在y=-30x+2100中，k=-30＜0，y随x的增大而减小.∴当x=58时，y最小值=-30×58+2100=360.即每星期至少要销售该款童装360件.【设计意图】建立函数并运用一次函数和二次函数的性质解题是解题的关键.【答案】(1)y=-30x+2100；（2）当售价定为55元时，W最大值=6750元；（3）每星期至少要销售该款童装360件.●活动2提升型例题例2.某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品售价每上涨1元，则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;（2）每件商品的售价定为多少元时，所获月利润最大，最大月利润是多少元?（3）当售价的范围是多少时，每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？【知识点】销售利润的关系式，用关系式求最值，利润范围问题【解题过程】（1）由题意解得：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800；（60≤x≤110且x为正整数）（2）y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有最大值为2450元；（3）当y=2250时，﹣2（x﹣75）2+2450=2250，解得x1=65，x2=85,∵a=﹣2＜0，开口向下，当y≥2250时，65≤x≤85,∵每件商品的利润率不超过80%，则≤80%，∴x≤72，故65≤x≤72．答：当售价x的范围是65≤x≤72时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元．【思路点拨】先列出销售利润的关系式，用关系式求最值；当y=2250时，﹣2（x﹣75）2+2450=2250，解得x1=65，x2=85,,结合二次函数图象∵a=﹣2＜0，开口向下，当y≥2250时，65≤x≤85，∵每件商品的利润率不超过80%，则≤80%，则x≤72，故65≤x≤72．【答案】（1）y=﹣2x2+300x﹣8800（60≤x≤110且x为正整数）；（2）当x=75时，y有最大值为2450元；（3）65≤x≤72．【设计意图】（1）根据总利润=单件利润数量，列出表达式；（2）求二次函数最值；（3）问结合图象特征求取值范围。练习.东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t（天）之间的函数关系式为t+30（1≤t≤24，t为整数），p=-t+48（25≤t≤48，t为整数），且其日销售量y(kg)与时间t（天）的关系如下表：时间t（天）136102030…日销售量y(kg)1181141081008040…（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象。现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围。【知识点】一次函数的应用、二次函数的图象及性质、一元一次不等式的应用.【思路点拨】（1）根据日销售量y(kg)与时间t（天）的关系表，设y=kt+b，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将t=30代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量.（2）日销售利润=日销售量×（销售单价－成本）；分1≤t≤24和25≤t≤48两种情况，按照题目中所给出的销售单价p(元/kg)与时间t（天）之间的函数关系式分别得出销售利润的关系式，再运用二次函数的图象及性质即可得出结果.（3）根据题意列出日销售利润m=，此二次函数的对称轴为t=2n+10，要使m随t的增大而增大，2n+10≥24，即可得出n的取值范围.【解答过程】解：（1）依题意，设y=kt+b，将（10，100），（20，80）代入y=kt+b，100=10k+b80=20k+b解得∴日销售量y(kg)与时间t（天）的关系y=120-2t.当t=30时，y=120-60=60.∴在第30天的日销售量为60千克.（2）设日销售利润为W元，则W=(p-20)y.当1≤t≤24时，W=当t=10时，W最大=1250.当25≤t≤48时，W==由二次函数的图象及性质知：当t=25时，W最大=1085.∵1250＞1085，∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元.（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元。由题意得m=∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴2n+10⩾24，∴n⩾7.又∵n<9，∴n的取值范围为7⩽n<9.【答案】（1）60千克；（2）第10天的销售利润最大，最大利润为1250元.；（3）7≤n＜9.【设计意图】本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．●活动3探究型例题例3.一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．(1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？销售单价x(元/kg)120130…180每天销量y(kg)10095…70【知识点】表格中读取关系式，取值范围内不包含顶点横坐标的最值问题【解题过程】解：(1)y＝－0.5x＋160(120≤x≤180)(2)设销售利润为W元，则W＝(x－80)(－0.5x＋160)＝，∵a＝－eq\f(1,2)<0，∴当x<200时，y随x的增大而增大，∴当x＝180时，＝＝7000，则当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元【思路点拨】先列出销售利润的关系式，用关系式求最值；设销售利润为W元，则W＝(x－80)(－0.5x＋160)＝，结合二次函数图象和自变量取值范围，∴当x<200时，y随x的增大而增大，∴当x＝180时，＝＝7000，【答案】：(1)y＝－0.5x＋160(120≤x≤180)；（2）当销售单价为180元时，销售利润最大是7000元.【设计意图】最值不是由顶点处取到，学会区间求最值练习.某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB——BC——CD所示（不包括端点A）．（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式．（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？【知识点】一次函数的应用；二次函数的应用.【解题过程】解：（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，则

∴y与x之间的函数关系式为：y=-0.02x+8；

（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，

当0＜x≤100时，W=（6-2）x=4x，

当x=100时，W有最大值400元，

当100＜x≤200时，

W=（y-2）x

=（-0.02x+6）x

=-0.02（x-150）2+450，

∵当x=150时，W有最大值为450元，

综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元.【思路点拨】（1）利用待定系数法求出当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式即可；（2）根据当0＜x≤100时，当100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可【答案】（1）y=-0.02x+8；（2）当x=150时，W有最大值为450元.【设计意图】与图象相结合的利润最大问题3.课堂总结知识梳理（1）抛物线的最值问题：①若a>0，则当x=时，=；②若a<0，则当x=时，=.（2）利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．（3）建立函数关系，用函数的观点、思想分析解决实际问题。重难点归纳（1）根据题意列出实际问题中变量之间的二次函数关系（2）运用二次函数的知识求出实际问题中的最值，有的是要在区间求最值（3）建立函数关系，用函数的观点、思想分析解决实际问题。（三）课后作业基础型自主突破1.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=__________．【知识点】求函数解析式【解题过程】【思路点拨】仔细读题，便可得出相关解析式【答案】2.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A.B.C.D.【知识点】求函数解析式【解题过程】由题意可知，其中【思路点拨】每件服装的利润为，此时的销量为，因此可知每天的利润为。【答案】A3.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为()A．5元B．10元C．0元D．6元【知识点】二次函数求最大值【解题过程】设每天的利润为，每件需降价元时，利润最大。由题意可知，∵，∴当时利润最大。【思路点拨】分别表示出每件衣服的利润，再表示出销量两者相乘转化为二次函数求最值即可。【答案】A4．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为_________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．【知识点】二次函数求最大利润【解题过程】设每天的利润为，每件定价元时，利润最大。由题意可知，∵，∴当时利润最大。【思路点拨】分别表示出每件衣服的利润，再表示出销量两者相乘转化为二次函数求最值即可。【答案】225．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？【知识点】求函数解析式以及利用二次函数求最大值【解题过程】（1）由题意可知，（2）∵，∴当时利润最大，最大为16000元。【思路点拨】根据题意求出利润与销售单价之间的函数关系式，进而求解。【答案】（1）（2）销售单价为时利润最大，最大为16000元6.“低碳生活，绿色出行”，2017年1月，某公司向深圳市场新投放共享单车640辆．

（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？

（2）考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？【知识点】二次函数求最大值.【解题过程】（1）设平均增长率为x，根据题意得：

640（x+1）2=1000，

解得：x=0.25=25%或x=-2.25（不合题意，舍去），

则四月份的销量为：1000（1+25%）=1250辆，

所以，该公司4月份在深圳市新投放共享单车1250辆.

（2）设购进A型车x辆，则购进B型车100-x辆，

根据题意得：500x+1000（100-x）≤70000，

解得：x≥60．

利润W=（700-500）x+（1300-1000）（100-x）=200x+300（100-x）=-100x+30000，

∵-100＜0，

∴W随着x的增大而减小．

当x=60时，利润最大=-100×60+30000=24000，

所以，为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车【思路点拨】（1）设平均增长率为x，根据1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆列出方程，再求解即可；

（2）设购进A型车x辆，则购进B型车100-x辆，根据不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，列出不等式，求出x的取值范围，然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可.【答案】（1）该公司4月份在深圳新投放共享单车1250辆；（2）为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车.能力型师生共研7.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？【知识点】由图象求解析式，利用二次函数求最值【解题过程】（1）设由图象可知，解得（2）∵∴当时，有最大值为200【思路点拨】利用图象可求出一次函数解析式，利用二次函数可求出最值【答案】（1）（2）时，有最大值为2008.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元），当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？【知识点】由图象求解析式，利用二次函数求最值【解题过程】（1）当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元；

（2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，

所以这两年获利最大为40×2=80万元，

后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x，则外地投资额为100-x，

所以表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3195万元，

故五年获利最大值为80+3195-50×2=3175万元；【思路点拨】（1）利用二次函数求最值（2）中是一个分段函数，所以需要分段来求解。【答案】（1）205万；（2）3175万元探究型多维突破9．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x（10万元）012…y11．51．8…（1）求y与x的函数表达式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【知识点】由表格求二次函数解析式，二次函数求最值【解题过程】（1）设二次函数的解析式为由表格可知，解得所以函数的解析式为（2）根据题意可知（3） 时，S随x的增大而增大，故当年广告费为10—25万元之间，公司获得的利润随广告费的增大而增大【思路点拨】利用表格中的三组值来求二次函数的解析式；利用二次函数求最值。【答案】（1）;（2）（3）年广告费为10—25万元之间，公司获得的利润随广告费的增大而增大.10.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500.(1)李明在开始创业的第1个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？【知识点】二次函数求最大值，已知函数值求自变量的取值范围【解题过程】(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝－10×20＋500＝300.∴政府这个月为他承担的总差价为：300×(12－10)＝300×2＝600(元)(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10x2＋600x－5000＝－10(x－30)2＋4000.∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元(3)由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000.解得x1＝20，x2＝40.∵a＝－10＜0，抛物线开口向下，建立直角坐标系，并画出y＝－10x2＋600x－5000的函数图象．∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000.又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵－20＜0，p随着x的增大而减小，∴当x＝25时，p有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元【思路点拨】利用二次函数求最值，已知函数值时利用图象法可以求解。【答案】(1)600(元)；(2)当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元；(3)政府每个月为他承担的总差价最少为500元自助餐1.一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为()A．B．C．D．【知识点】求二次函数解析式【解题过程】【思路点拨】仔细读题即可解决问题【答案】A2.喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为()A．B．C．D．【知识点】求二次函数的解析式【解题过程】【思路点拨】分别表示出每件商品的利润，再表示出销量，两者相乘转化为二次函数即可。【答案】A3．将进价为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？【知识点】二次函数求最大值【解题过程】设利润为，每件售价元时，利益最大。由题意可知所以当时利益最大。【思路点拨】利用二次函数求最值。【答案】售价应定为57.5元4.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【知识点】二次函数求最大值【解题过程】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），由所给函数图象得解得∴函数关系式为（2）∴售价定为140元/件时,每天最大利润W＝1600元。【思路点拨】把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论。【答案】（1）；（2）当售价定为140元,W最大＝16005.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？【知识点】求解析式，二次函数求最大值【解题过程】(l)由题意知：P=30+x，

(2)活蟹的销售额为(1000-10x)(30+x)元，死蟹的销售额为200x元，∴

(3)设总利润为当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．【思路点拨】注意审题，(3)中还需要把其他费用减去。【答案】(l)P=30+x；(2)(3)当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．6.九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商