2024年湖南省长沙市雅礼洋湖实验中学中考数学三模试题

湖南省长沙市雅礼洋湖实验中学2024年中考数学三模试题一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）下列运算中，结果正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．3a﹣2a＝1 C．a2•a3＝a6 D．（﹣3a）2＝9a23．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．（3分）某单位决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加某项活动，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．按照抽签规则，A，B两名志愿者同时被抽中的概率为（）A． B． C． D．6．（3分）如图所示，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝6，BE＝4，CF＝8，则△ABC的周长为（）A．36 B．38 C．40 D．427．（3分）如图所示的是记录了某市某周每天最高气温的折线统计图．在下列说法中，错误的是（）A．这周最高气温是30℃ B．这组数据的中位数是28℃ C．这组数据的众数是28℃ D．这组数据的平均数是8．（3分）如图，已知A（﹣2，0），B为反比例函数，以AB为直径的圆的圆心C在y轴上，⊙C与y轴正半轴交于D（0，4），则k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．89．（3分）如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（3分）如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有（）①2a+b＝0；②函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；③若关于x的方程ax2+bx+c＝a﹣1无实数根，则；④代数式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）代数式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）分式方程的解为．13．（3分）分解因式：a3﹣a＝．14．（3分）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为．15．（3分）赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物，如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB＝18m，拱高CD＝5m，则拱桥的半径为m．16．（3分）如图，平行于x轴的直线l与函数和的图象分别相交于A，B两点，分别连接AO、BO，则△ABO的面积为．三、解答题（本大题共10小题，共72分）17．（4分）计算：．18．（4分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣．19．（8分）解不等式组，并直接写出它的整数解．20．（8分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；C组所对应的扇形圆心角为度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是多少？21．（8分）暴雪过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的CD正好抵着高树AB的中点D．救援的小明等想知道高树比低树高多少（即AB﹣CD的值），就通过测量得到了以下数据：BC＝10.5米，∠B≈53°，∠C≈45°，应用以上的数据，求高树比低树高多少米（结果精确到0.1m，参考数据：，）．22．（8分）如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长AO交BC于点D，过点C作AB的垂线，交AD于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，交过点A且与BC平行的直线于点H，连结AG．（1）判断AH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠BAC＝56°，求∠H和∠BAG的大小；（3）若GF＝1，tan∠ABC＝2，求OD的长．23．（8分）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．（1）篮球、足球的单价各是多少元？（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA＝4，OC＝2，点D是BC边上的动点（不与B，C重合），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，且与AB交于点E，连接OD，OE，DE．（1）若点D的横坐标为1．①求k的值；②点P在x轴上，当△ODE的面积等于△ODP的面积时，试求点P的坐标；（2）延长ED交y轴于点F，连接AC，判断四边形AEFC的形状，并说明理由．25．（8分）【问题呈现】如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD、CE的交点．探究CP，BD的位置关系．【问题探究】（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰直角三角形，求证：CP⊥BD；（2）如图2，若∠ABC＝∠ADE＝26°，（1）中结论CP⊥BD是否仍然成立？请说明理由；【拓展应用】（3）在（1）的条件下，AB＝8，AD＝6，将△ADE绕点A旋转，使点E恰好落在线段AB上，请直接写出此时PB的长度．26．（8分）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D，直线BD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）设点P为线段BD上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接DF，BF，求△BDF面积的最大值．（3）连接CD，在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC＝∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反数是﹣2024，故选：B．2．（3分）下列运算中，结果正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．3a﹣2a＝1 C．a2•a3＝a6 D．（﹣3a）2＝9a2【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项不符合题意；B、3a﹣2a＝a，故此选项不符合题意；C、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意；D、（﹣3a）2＝9a2，故此选项符合题意；故选：D．3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：在中，由x﹣1＜0得：x＜1，由x+1≥0得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜1．故选：A．4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．5．（3分）某单位决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加某项活动，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．按照抽签规则，A，B两名志愿者同时被抽中的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，∴A，B两名志愿者被选中的概率为，故选：B．6．（3分）如图所示，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝6，BE＝4，CF＝8，则△ABC的周长为（）A．36 B．38 C．40 D．42【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，ACAC相切于点D，E，F，∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，∵AD＝6，BE＝4，CF＝8，∴AF＝6，BD＝4，CE＝8，∴BC＝BE+EC＝12，AB＝AD+BD＝10，AC＝AF+FC＝14，∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝36．故选：A．7．（3分）如图所示的是记录了某市某周每天最高气温的折线统计图．在下列说法中，错误的是（）A．这周最高气温是30℃ B．这组数据的中位数是28℃ C．这组数据的众数是28℃ D．这组数据的平均数是【解答】解：观察折线统计图知，这周最高气温是30℃，故选项A正确，不符合题意；把一周七天的最高气温按从低到高排列，位于中间的气温是26℃，即中位数为26℃，故选项B错误，符合题意；28℃的气温在这周中出现了两次，次数最多，即众数是28℃，故选项C正确，不符合题意；这组数据的平均数为：，故选项D正确，不符合题意；故选：B．8．（3分）如图，已知A（﹣2，0），B为反比例函数，以AB为直径的圆的圆心C在y轴上，⊙C与y轴正半轴交于D（0，4），则k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：设⊙C与x轴的正半轴的交点为E，连接BE，∵OC⊥AE，A（﹣2，0），∴OA＝OE＝2，∵以AB为直径的圆的圆心C在y轴上，D（0，4），∴CA＝CB，OD＝4，BE⊥x轴，∴OC是△ABE的中位线，设OC＝x，则AC＝CD＝4﹣x，BE＝2x，∵AC2＝OC2+OA2，∴（4﹣x）2＝x2+22，解得，∴BE＝2x＝3，∴B（2，3），∴k＝2×3＝6，故选：C．9．（3分）如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，AE＝3，∴EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝BE＝3，∵DF＝1，∴EF＝ED+DF＝3+1＝4，∴BC＝8，故选：B．10．（3分）如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有（）①2a+b＝0；②函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；③若关于x的方程ax2+bx+c＝a﹣1无实数根，则；④代数式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由图象可知，图象开口向上，a＞0，对称轴为x＝1，故，即b＝﹣2a，则2a+b＝0，故①正确，符合题意；由图象可知当x＝1时，函数取最小值，将x＝1，代入y＝ax2+bx+c，中得：y＝a+b+c，由图象可知函数与x轴交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，故函数图象与x轴的另一交点为（3，0），设函数解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），故化简得：y＝ax2﹣2ax﹣3a，将x＝1，代入可得：y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，故函数的最小值为﹣4a，故②正确，符合题意；ax2+bx+c＝a﹣1变形为：ax2+bx+c﹣a+1＝0，要使方程无实数根，则b2﹣4a（c﹣a+1）＜0，将c＝﹣3a，b＝﹣2a，代入得：20a2﹣4a＜0，因为a＞0，则20a﹣4＜0，则，综上所述，故③正确，符合题意；因为c＝﹣3a，b＝﹣2a，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝（a+2a）（﹣2a﹣3a）（3a﹣a）＝3a•a•（﹣4a）＝﹣12a3，因为a＞0，所以﹣12a3＜0，即（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0，故④正确，符合题意；则①②③④正确，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠2．【解答】解：∵有意义，∴x+1≥0且x﹣2≠0，∴x≥﹣1且x≠2，故答案为：x≥﹣1且x≠2．12．（3分）分式方程的解为x＝﹣8．【解答】解：两边都乘以（x﹣1）（x+2），得3（x+2）＝2（x﹣1），解得x＝﹣8，检验：当x＝﹣8时，最简公分母（x﹣1）（x+2）≠0，∴x＝﹣8是原方程的解，故答案为：x＝﹣8．13．（3分）分解因式：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）．【解答】解：a3﹣a，＝a（a2﹣1），＝a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．14．（3分）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为1012．【解答】解：∵x*y＝2，∴，（x，y不为0），∴x﹣y＝2xy，∴．故答案为：1012．15．（3分）赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物，如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB＝18m，拱高CD＝5m，则拱桥的半径为m．【解答】解：如图，设所在圆的圆心为O，半径为r，由题意可知：AB＝18m，OD＝（r﹣5）m，∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，AD＝BD＝AB＝9（m），则由勾股定理得：OA2＝AD2+OD2，即92+（r﹣5）2＝r2，解得：，故答案为：．16．（3分）如图，平行于x轴的直线l与函数和的图象分别相交于A，B两点，分别连接AO、BO，则△ABO的面积为2．【解答】解：∵点A在反比例函数y＝图象上，∴S△AOC＝＝3，∵点B在反比例函数y＝图象上，∴S△BOC＝＝1，∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝3﹣1＝2．故答案为：2．三、解答题（本大题共10小题，共72分）17．（4分）计算：．【解答】解：，＝＝2﹣2﹣1++1＝．18．（4分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣．【解答】解：（1﹣）÷＝•＝•＝﹣，当a＝﹣时，原式＝﹣＝﹣3．19．（8分）解不等式组，并直接写出它的整数解．【解答】解：，由①得：x≥﹣1，由②得：3x﹣5x＞﹣1﹣3，即﹣2x＞﹣4，∴x＜2，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，它的整数解为﹣1，0，1．20．（8分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了40名学生；（2）将条形统计图补充完整；C组所对应的扇形圆心角为72度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是多少？【解答】解：（1）本次调查总人数为4÷10%＝40（名），故答案为：40；（2）C组人数为40﹣4﹣16﹣12＝8（名），补全图形如图：，故答案为：72；（3）（人），答：该校喜欢跳绳的学生人数约是为560人．21．（8分）暴雪过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的CD正好抵着高树AB的中点D．救援的小明等想知道高树比低树高多少（即AB﹣CD的值），就通过测量得到了以下数据：BC＝10.5米，∠B≈53°，∠C≈45°，应用以上的数据，求高树比低树高多少米（结果精确到0.1m，参考数据：，）．【解答】解：设DE＝4x米，由题意知，DE⊥BC，∴（米），（米），∵BE+EC＝10.5，∴3x+4x＝10.5，解得：x＝1.5，∴DE＝EC＝6米，BE＝4.5米，在Rt△BDE，Rt△DEC中，由勾股定理得：（米），（米），∵D是AB的中点，∴AB＝2BD＝15米，∴AB﹣CD＝15﹣8.4＝6.6（米），即高树比低树高6.6米．22．（8分）如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长AO交BC于点D，过点C作AB的垂线，交AD于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，交过点A且与BC平行的直线于点H，连结AG．（1）判断AH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠BAC＝56°，求∠H和∠BAG的大小；（3）若GF＝1，tan∠ABC＝2，求OD的长．【解答】解：（1）AH与⊙O相切，理由如下：∵⊙O为等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，延长AO交BC于点D，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AH∥BC，∴AH⊥AD，∵AO为⊙O的半径，∴AH是⊙O的切线，即AH与⊙O相切；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝56°，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝28°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAD＝90°﹣28°＝62°，∵CF⊥AB，∴∠BCF＝90°﹣∠ABC＝90°﹣62°＝28°，∵AH∥BC，∴∠H＝∠BCF＝28°，∴∠BAG＝∠BCF＝28°；（3）设BD＝a，则BD＝CD＝a，BC＝2BD＝2a，在Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝2，∴AD＝2a，∵∠AGC＝∠ABC，∴tan∠AGC＝tan∠ABC＝2，在Rt△AGF中，GF＝1，tan∠AGC＝＝2，∴AF＝2GF＝2，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB＝＝，∴AC＝AB＝，BF＝AB﹣AF＝，在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF2＝BC2﹣BF2＝，在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF2＝AC2﹣AF2＝＝5a2﹣4，∴＝5a2﹣4，整理得：，解得：a1＝，a2＝0（不合题意，舍去），∴AD＝2a＝，设OD为x，连接OB，如下图所示：则OA＝OB＝AD﹣OD＝，在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即，解得：x＝，故OD的长为．23．（8分）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．（1）篮球、足球的单价各是多少元？（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元；（2）设购买m个篮球，则购买（100﹣m）个足球，根据题意得：，解得：≤m≤40．设学校购买篮球和足球的总费用为w元，则w＝110m+80（100﹣m），即w＝30m+8000，∵30＞0，∴w随m的增大而增大，又∵≤m≤40，且m为整数，∴当m＝34时，w取得最小值，此时100﹣m＝100﹣34＝66（个）．答：最省钱的一种购买方案为：购买34个篮球，66个足球．24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA＝4，OC＝2，点D是BC边上的动点（不与B，C重合），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，且与AB交于点E，连接OD，OE，DE．（1）若点D的横坐标为1．①求k的值；②点P在x轴上，当△ODE的面积等于△ODP的面积时，试求点P的坐标；（2）延长ED交y轴于点F，连接AC，判断四边形AEFC的形状，并说明理由．【解答】解：（1）①∵四边形ABCO是矩形，∴∠BCO＝∠B＝∠AOC＝90°，∵OC＝2，点D的横坐标为1，∴D（1，2），∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝1×2＝2；②∵OC＝2，D（1，2），∴CD＝1，∵D，E都在反比例函数y＝的图象上，∴S△COD＝S△AOE＝1，∵OA＝4，∴AE＝，∴S△ODE＝2×4﹣×1×2﹣﹣＝，∵点P在x轴上，∴设P（x，0），∴S△ODP＝＝，解得：x＝±，∴P（，0）或（﹣，0）；（2）连接AC，四边形AEFC是平行四边形，理由如下：由题意得：D（，2），E（4，），设EF的函数解析式为：y＝ax+b，则，解得，∴OF＝，∴CF＝OF﹣2＝＝AE，又∵CF∥AE，∴四边形AEFC是平行四边形．25．（8分）【问题呈现】如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD、CE的交点．探究CP，BD的位置关系．【问题探究】（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰直角三角形，求证：CP⊥BD；（2）如图2，若∠ABC＝∠ADE＝26°，（1）中结论CP⊥BD是否仍然成立？请说明理由；【拓展应用】（3）在（1）的条件下，AB＝8，AD＝6，将△ADE绕点A旋转，使点E恰好落在线段AB上，请直接写出此时PB的长度．【解答】（1）证明：设AB、CP交于点O，如图1；∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AD＝AE，AB＝AC，∴，∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠DAB＝∠CAE，∴△ADB∽△AEC，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠OAC＝90°，∴∠ACE+∠AOC＝90°，∵∠BOP＝∠AOC，∴∠ABD+∠BOP＝90°，∴