安徽省合肥2024届高三年级下册检测（一）数学试题（含答案与解析）

安徽省合肥2024届高三下学期检测（一）

数学

（满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

5-i

Z-

1.已知复数1+i（i为虚数单位），则z的共物复数彳=（）

A.2+3iB.2-4iC.3+3iD.2+4i

2.下列说法中正确的是

A.圆锥的轴截面是等边三角形

B.用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台

C.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥

组合而成

D.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱

71

3.在一ABC中，若0?=.—"2+6,且。=—,则ABC面积为（)

3

A.373B.竽33百

C.一D.

2

4..ABC中，点D满足AB=4£)8,点E满足CE=2ED，则AE=（)

A.--CA+-CBB,-CA-CBC.--CA+-CBD.--CA+-CB

3326233

已知，，夕为关于'的实系数方程/一4x+5=°的两个虚根’则］+（

5.)

A.好B.一旦C.小D.-75

22

6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处.在

C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，

那么8、C两点间的距离是（）

A.10拒海里B.10代海里C.20后海里D.206海里

7.如图，已知圆。的半径为2,弦长AB=2,。为圆。上一动点，则ACBC的取值范围为（）

A.[0,4]B,[5-473,5+473]

C.[6-4君,6+4/]D,[7-46,7+46]

8.已知ABC的内角A,B,。满足2sin2A+2sin2J?=l—4sinCcosC,记。，b,c分别为A,B,。所

24

对的边，若——<ab<——，则"。的取值不可能是（）

sinCsinC

A.7B.772C.8D.8a

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知4/2是复数，下列说法正确的是

A.[Z]「=Z；B.若乎2=0,则Z]=0或Z2=0

C.Zi+Z2=Zi+Z2D.若团="|,则Z]=±Z2

10.的内角A,3,C的对边分别为a,4c,则下列命题为真命题的是（）

A.若A>B,则sinA>sinB

B.若sin2A+sinZ^vsii?。，贝U.ABC是钝角三角形

C.若acosA=bcosB,则_ABC为等腰三角形

口.若。=8,。=10,4=45,则符合条件有两个

11.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗

赞日：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的

2兀

扇形C。。，其中OC=3Q4=3,动点P在CD上（含端点），连结0P交扇形的弧

于点。，^.OQ=xOC+yOD,则下列说法正确的是（）

2

人若丁=%,则x+y=]B.若y=2x,则OA.OP=O

C.ABPQ>-2D.PAPB>~

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共16分.

12.在平面直角坐标系中，角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点（-2,y）且

tan（左一夕）=2,则sina=.

13.己知复数z满足|z—2—3i|=l,则|z+l+i|的最小值为.

b

14.已知二ABC是锐角三角形，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若/二匕。，则——的取

a+c

值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知。、b、c分别为_ABC三个内角A、B、C的对边，acosC+^asinC-b-c-O-

（1）求A；

（2）若a=2,ABC的面积为石，求力、c

21

17.如图：在ABC中，已知AE=—A3,AD=—AC,3D与CE交于点G.

32

(1)用向量AB、AC表示向量AG;

(2)过点G作直线MN,分别交线段于点A/、N,设A4==“AC,若

\AB\=6,|AC|=4,ABAC=15<当+2〃取得最小值时，求模长.

jr

18.如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，AMON=-,为了便于游

客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

(1)如图1,拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MV上(不含端

点)，ZMOB=8,另一顶点A在半径0M上，豆ABIION,.的周长为/(。)，求/(。)的表达

式并求/(。)的最大值；

(2)如图2,拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点8在弧MN上,

另两个顶点A、C分别在半径。M、ON上，豆ABHON,AC±ON,求花圃_ABC面积的最大值.

19.函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数，有同学发

现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点P(aS)成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(x+a)-Z?为奇函数.己知函数/(%)=三+ar2+Z?x+1.

(1)若函数y=/(x)的对称中心为(―1,2),求函数y=/(x)的解析式.

(2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式/(九)在复数集中可以分解为〃个一

次因式乘积.进而，一元〃次多项式方程有〃个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程

出炉+%%+旬=0(出/°)，在复数集内的根为七，4，则方程//=0可变形为

tz2(x-xl)(x-x2)=O,展开得：出Y―⑥(又M2)%+⑥％%2=0则有卜〃2(%1+%2),即

[a0=a2xrx2

a,

玉+%2=-----

<"2,类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系.

xrx2二—

%

①若1=0,方程/(%)=左在复数集内的根为玉,犬2，犬3，当女目。,1]时，求%：+€+石的最大值；

,/、111

②若。=一3,6=一2,函数y=/(x)的零点分别为玉,犬2，尤3，求下+下+下的值.

X]X?%3

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

5-i

Z—■

1.已知复数1+i(i为虚数单位)，则z的共辗复数彳=()

A.2+3iB.2-4iC.3+3iD.2+4i

【答案】A

【解析】

5-i

【分析】根据复数除法运算化简2=——，结合共轨复数定义，即可求得答案.

1+1

z="=(5二乂j)=U=2—3i

【详解】

1+i(l+i)(l-i)2

z=2-3i

故5=2+3i

故选：A.

2.下列说法中正确是

A.圆锥的轴截面是等边三角形

B.用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台

C.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥

组合而成

D.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆锥的结构特征即可判断A选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的

旋转特征，举出反例即可判断选项C；由棱柱的定义即可判断选项D.

【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，

才能得到一个棱锥和一个棱台，B错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由

一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每

相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D正确.

【点睛】解决空间几何体结构特征问题的3个策略

(1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力.

(2)构建几何模型、变换模型中的线面关系.

(3)通过反例对结构特征进行辨析.

3.在.ABC中，若。2=(。一3-+6,且C=］，贝UABC的面积为()

A.3#>B.正C.1D.空

222

【答案】D

【解析】

【分析】根据题中条件结合余弦定理先求得=6,进而利用面积公式求解.

【详解】由c?=(«-Z?)2+6=>a2+/?2-c2=lab-6=2abcos^=ab=6,

痂。1,.「1夫山

故SARC=—absmC=—xbx——=------，

AB。2222

故选：D

4.中，点。满足AB=4DB，点E满足C£=2石。，则()

2-1--1——-5—1—-1——2—

A.——CA+-CBB.-CA-CBC.--CA+-CBD.——CA+-CB

3326233

【答案】C

【解析】

【分析】由平面向量的线性运算法则求解.

【详解】如图，AE=AC+CE=AC+-CD=AC+-（AD-AC）=-AC+-AB

33、'32

=--CA+-CB--CA=--CA+-CB.

32262

故选：C.

5.已知c,夕为关于x的实系数方程无2一4%+5=0的两个虚根，则囤（）

a+/3

A.好B.一些C.y/5D.-V5

22

【答案】A

【解析】

【分析】解得V—4%+5=0的虚根，代入।।求解即可.

a+/3

【详解】由d—4X+5=0，A=（T）2—4xlx5=T<0,

•••方程龙］一4%+5=0的两个虚根为a=4+=2+i,P――~=2-i或a=2—i,/?=2+i,

22

不妨取a=2+i,0=2-i,则闷=万万=逐，\f3\=^22+（-1）2=75>

.H+|/?|=45+45

''a+/3~2+i+2-i-'

故选：A.

6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达8处.在

C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65,

那么B、C两点间的距离是（

A.10后海里B.106海里C.200海里D.200海里

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，画出图形，再利用正弦定理解三角形作答.

【详解】依题意，如图，在ABC中，

ZBAC^50-20=30,ZABC=40+65=105，则NAC3=45，AB=40x—=20,

由正弦定理得

sinZBACsinZACB

所以8、C两点间的距离是10后海里.

故选：A

7.如图，已知圆。的半径为2,弦长A5=2,C为圆。上一动点，则AC3C的取值范围为（

A.[0,4]15-46,5+46]

6-436+4司[7-4后7+46]

【答案】C

【解析】

【分析】取A5的中点。，连接CD、0D,根据数量积的运算律得到再求出即

可求出的范围，从而得解.

【详解】取A3的中点。，连接CD、0D,

则AC.3C=（AD+℃）.回+℃）

=ADBD+^AD+BD^DC+DC"=DC-V,

又I。*"—『=逝,

所以|C©Ln=2—G，1coL=2+6，

即2-+G

所以（AC.3C）=6-4退，（ACBC\=6+4右.

故ACBC的取值范围为［6—4后6+4间.

故选：C

8.已知ABC的内角A,B,。满足2sin2A+2sin23=l—4sinCcosC,记。，b,c分别为A,B,。所

24

对的边，若-----<ab<-----,则必。的取值不可能是（）

sinCsinC

A.7B.772C.8D.8A/2

【答案】A

【解析】

【分析】先利用三角形公式将条件变形可得sinAsin3sinC=：,再将条件中不等式变形为1<5相比<2,

8

利用面积公式计算得到He的范围即可.

【详解】2sin2A+2sin2i?=l—4sinCcosC

=>2sin2A+2sin2B=1一2sin2C

=>2sin2A+2sin2B+2sin2C=1

^4sinAcosA+2sm（（B+C）+（B-C））+2sin（（B+C）-（B-C））=l

=^>^l-sinAcos（B+C）+4sin（B+C）cos（jB—C）=1

=>4sinA[cos（B-C）-cos（B+C）]=1

=>8sinAsin5sinC=l

=>sinAsinBsinC=—,

8

241

又-----<ab<-------=^>1<—sinC<2,,即1<5VABC<2,

sinCsine2

XS^ABC=；absinC=；〃csin5=；bcsinA,

2<tzZ?sinC<4

所以<2<6icsinB<4,

2<Z?csinA<4

所以8W（〃bc）2sinAsinBsinC<64,

所以64V<64x8,

所以8WaZ?cW16jL

故选：A.

2<absinC<4

【点睛】关键点点睛：本题关键是对2V〃csinB<4连乘求出"c的范围，因为发现sinAsinBsinC

2<Z?csinA<4

是积的形式，所以要看条件怎么变形得到积的形式.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知马/2是复数，下列说法正确的是

A.卜「=2；B.若平2=0,则Z]=0或Z2=0

4=±22

C.Zj,+z2=Zj+z2D.若㈤="|,则

【答案】BC

【解析】

【分析】设Z]=。+历/2=C+di,根据复数模、乘法以及共朝复数的概念，对每个选项进行逐一分析，即

可判断和选择.

【详解】设4=。+历/2=c+di,a,b,c,deR.

222222

对A：|zj=a+bGR,zf=(a+Z?i)=a-b+2abi,显然A错误；

对B：Z]Z2=(a+历)(c+M)=ac-匕d+(atZ+A)i,

若Z]Z2=0,则ac=bd,ad=-be,解得c=d=O或a=Z?=0,

也即Z]=0或Z2=0,故B正确；

对C：4+Z2=a+c+(b+d)i,Z1+z,=a+c—(Z?+d)i；

zt+z2=a-bi+c-di=a+c-(^b+d)i,+z9=Zj+z2,故C正确；

对D：若㈤=%|=1,则可取Z]=1*2=i,但z产土Z2，故D错误.

故选：BC.

10.的内角A,3,C的对边分别为a,4c,则下列命题为真命题的是()

A.若A>B,则sinA>sinB

B.若sir?A+sin?5<sin?C，则ABC是钝角三角形

C.若acosA=Z?cosB,贝IABC为等腰三角形

D.若a=8,c=10,A=45,则符合条件的一ABC有两个

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用/>方则进而利用正弦定理即可判断选项A；利用正弦定理角化边得a2+b2<c2,利

用余弦定理得cosC<0,即可判断B；利用正弦定理边化角整理得sin2A=sin25,可得A=5或

2A+2B=TI,即可得出结论判断C；正弦定理求得sinC,可判断D.

【详解】对于A,当/>6时，a>b,根据正弦定理得2RsinA>2RsinB,

整理得sinA>sinB,故A正确；

对于B,因为sin?A+sin?5〈sir?。，由正弦定理得4+/??<02

〃2.卜2_2JT-

所以cosC=23——＜0,因为0＜。＜兀，所以一＜。＜兀，即。为钝角,

2ab2

所以.ABC是钝角三角形，故B正确;

对于C,由acosA=ZXXJSB,

由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，

即sin2A=sin23,所以A=6或24+25=兀,

JT

所以A=5或A+3=—,所以山45c是直角三角形或等腰三角形，故C错误;

2

50,即受<sinC<l，

对于D,由正弦定理得.「c-sinAlux

sinC=------=-.2

a88

因为c＞。，所以C〉A,A为锐角,

所以存在满足条件的有两个，D正确.

故选：ABD

11.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗

赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的

2兀

扇形C。。，其中NC0D=々-,OC=3Q4=3,动点P在CD上（含端点），连结0P交扇形的弧

于点。，S.OQ=xOC+yOD,则下列说法正确的是（)

2

A.若丁二%,则=§B.若y=2x,则OA.op=0

C.ABPQ>-2D.PAPB>—

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标,设Q（cos，,sin，），6e0,—,可得

P（3cos6）,3sin6»）,由。。=尤。c+＞。£＞,结合题中条件可判断A,B,表示出相关向量的坐标，利用数量

积的运算律，结合三角函数的性质，可判断c,D.

【详解】如图，作OELOC,分别以。。,。石为x,y轴建立平面直角坐标系,

则A(1,O),C(3,O),5(-1,^),D(-|,

27r

设Q(cose,sin。)，。£0,—,则P(3cos8,3sin6),

由OQ=xOC+yOD可得cos0=3x—^y,sin0=~~~y，且无＞。,y＞。，

若＞=%,则cos?O+sin?6=(3x—gx)2+(^^x)2=1，

12

解得九=y=],(负值舍去)，故工+丁=耳，A正确；

3

若y=2x,则cos6=3%-2y=0,sin6=l,所以OP=(0,3),

所以。4•。尸=(l,0)・(0,3)=0,故B正确；

AB-PQ=(-2cos9,-2sin6)=一百sin6+3cos0

=-273sinf由于故,

13)L3J3L33J

故一3＜-2y/3sin[e-§]＜3,故c错误；

由于PA=(1-3cos0.-3sin0),PB=-3cos0,-3sin3),

ikPA-PB=d-3cos0,-3sin6»)•(-1-3cos-3sin6»)

71一人兀715K”,•一八7111I1

=--3sin|6)+-，而—，所以sin。+二£-,1，

266o6\6/2

所以=17■-3sin。+刍2^17■-3=丁11，故D正确,

2v6/222

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共16分.

12.在平面直角坐标系中，角。的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点(-2,y)且

tan(不一夕)=2,则sina=

【答案】正

5

【解析】

【分析】根据a终边上一点(—2,y),求得tane,再结合1211(»—&)=2可求得'=4,再利用三角函数

定义可求解.

【详解】因为a终边上一点(—2,y),

所以tana=--

2

又tan(»-a)=2=>tana=-2,

所以可得y=4,

42A/5

所以sina=

故答案为：当

13.己知复数z满足|z—2—3i|=l,则|z+l+i|的最小值为

【答案】4

【解析】

【分析】由复数的几何意义，数形结合得出|z+l+i|的最小值并求出即可.

则z的几何意义是复平面内的动点(羽y)到定点4(2,3)的距离等于1,

对应的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆.

由图形可知：当点位于C时，|z+l+i|取的最小值，

由|A3卜J(—1—2)2+(—1—3)2=5，

所以|z+l+i|的最小值为：-1=4,

故答案为：4

b

14.已知二ABC是锐角三角形，内角A,B,C所对应边分别为a,b,c.若a?―及=bc，则----的取

a+c

值范围是.

【答案】(2-AV2-1)

【解析】

【分析】根据〃=次用余弦定理化简得到b=c-2bcosA,再结合正弦定理化简得出

1

sinJB=sin(A-B),从而可得A=25,从而可得----,令cos5=%,

。+C4cos2B+2cosB-l

,再利用二次函数性质即可求解.

【详解】因为"2—/=人°,得片=/+人°.

由余弦定理得/=〃+，-ZbccosA，

所以/+bc=b?+c?-2bccosA，即b=c-26cosA.

由正弦定理得sinB=sinC—2sinBcosA，

因为C二兀一(A+JB),贝UsinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sin5=sinAcosB-cosAsinB,即sin5=sin(A-B).

JiJITTTT

因为是锐角三角形，所以0<A<—,0<B<-,所以一一<A—3<一.

2222

IJIJI]

又丁=5也》在一上单调递增，所以6=A—6,则A=2§.

JIJIJI

因为ABC是锐角三角形，所以0<B<—,0<A=2B<-0<C=7i-3B<-

22f2f

所以

64

…，bsinBsin5sinB

由正弦定理倚〃+csinA+sinCsin25+sin(兀-35)sin2B+sin3B

_sinB_1

sinIB+sin2BcosB+cos2BsinB2cosB+2cos2B+2cos2B-l

_________1_______

4cos2B+2cosB-l'

令cosB=t,因为〈工，所以，£-

6412

y=4»+2%—1=4。+工]—2在%£上单调递增，

I4j4122J

当g时,y=l+42,当/=#时，y=2+V3,

故b=1J1_____」、

a+c4/+2/-1、2+y/31+^2)

故答案为：(2-73,72-1).

【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的

范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：

①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限

制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.计算:

【答案】(1)T+6_l±^i

1616

(2)—

4

【解析】

【分析】根据复数的乘法、乘方、除法运算法则化简求解即可.

【小问1详解】

^-+（1+312+24）=—十（一2+2后）

—44后4「4回

64

4（-l+V3）-4（l+V3）i—i+6i+6.

---------------------------------------------------]

641616

【小问2详解】

，1+i丫

J-®

64—7

16.已知〃、b、。分别为一ABC三个内角A、B＞。的对边，acosC+y/3asinC—b-c=O-

(1)求A;

(2)若〃=2,.ABC的面积为G，求/?、c.

【答案】(1)A

(2)b=c=2

【解析】

【分析】(1)在一ABC中，由〃cosC+G〃sinC—b-c=0及正弦定理得到sin[A—E[=5，得出角

A；

(2)由三角形面积公式结合余弦定理可得b=。二2.

【小问1详解】

根据正弦定理，acosC+y/3asinC-b-c=0

变为sinAcosC+V3sinAsinC-sinB-sinC=0，即sinAcosC+百sinAsinC=sinB+sinC，

也即sinAcosC+^sinAsinC=sin(A+C)+sinC,

所以sinAcosC+A/3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC•

整理，得J§sinA-COsA=l，即^^sinA-；cosA=；，所以sin[A—=万,Ae(0,兀)，

所以A—：=则A

663

小问2详解】

由A=乙3，SMDV=—Db,csinA=A/3,得Z?c=4.

由余弦定理，得。?=Z?2+c2-2bccosA=(Z?+c)2-2bc-2bccosA,

则(b+c)2=/+3〃c=4+]2=i6,所以/?+C=4.则Z?=C=2.

17.如图：在工ABC中，已知A石=与CE交于点G.

32

A

（1）用向量AB、AC表示向量AG;

（2）过点G作直线MN,分别交线段A5、AC于点A/、N,设A"=mA&AN=“AC,若

IAB|=6,|AC|=4,AB-AC=15＞当初+2〃取得最小值时，求模长.

-11

【答案】（1）AG^-AB+-AC

24

（2）5

【解析】

【分析】（1）设AG=XAB+MAC，将向量4G分别用AE,AC和A。,AB表示，根据三点共线可求

的值；；

（2）将向量AG用AM,AN表示，由M、G、N三点共线，可得上+工=1,由基本不等式可解.

2m4n

【小问1详解】

21

设AG=NAB+MAC，将AE=§AB,AD=5AC代入，

r3

AG=-AAE+uAC

得2，因为E、G、C三点共线，且&G、。三点共线，

AG=AAB+2uAD

一3,1L=-

—X+〃=12

所以,得r:

4+2〃—1u——

14

即AG^-AB+-AC.

24

【小问2详解】

AG^-AB+-AC,AM=mAB^AN^nAC,

24

则=因为M、G、N三点共线，

2m4n

贝！J---1=1,即—I——4,

2m4nmn

m+2n=(m+2n\\——F——=2H---1----1-2-->2

\mnJ4-\nm)4

21)

—I——=4

当且仅当《mn，即<1时取得等号.

n=—

m=2n2

此时MN=AN-AM=^AC-AB,|w|=J；AC+AB-AC-AB

='4+36-15=5.

TT

18.如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，AMON=-,为了便于游

客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

（1）如图1,拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点B在弧上（不含端

点），ZMOB=6,另一顶点A在半径OM上，且A5〃ON,—ABO的周长为/（。），求的表达

式并求的最大值;

（2）如图2,拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC一个顶点8在弧MN上,

另两个顶点A、C分别在半径。M、ON上，且AB/ION,AC±ON,求花圃一ABC面积的最大值.

【答案】(1)/(e)=^^sin[e+1]+10,^l+10(m)

⑶25百°

⑵-----m

3

【解析】

【分析】（1）由题意结合图形，可得N0A3=§,由正弦定理得A3=^sin，，04=1^^[三—

代入.ABO的周长得/（。），由三角恒等变换化简得了（。）=当gsin[+m）+10,根据。的范围即可求

出/（e）的最大值；

（2）由图可知，二ABC的面积cABO的面积相等，由余弦定理得100=OA2+AB2+Q4.Ag,再由基本不

等式得。4・A3〈一，代入一A50的面积公式即可求面积的最大值.

【小问1详解】

jr27r

因为AB〃ON,ZMON=~,所以NQ43=—,,

33

又因为NMOB=e,03=10,

OBAB0A_1020

所以在tABO中，由正弦定理知得sinZOAB一圣万一.「兀力一飞一忑，

（3）2

AB=-^sin0,OA=^rsin

V3百t-4

ABO周长为/（。）=耳sine+sin《—e1+1。，

所以〃。）=岑rsin^H■―-cos^-—sin^+10=斗sin"A+10=跑&n"S+10,

J32273I3；3I3；

ABO周长取最大值，为生叵

•••当e+方=时，即时,+10（m）.

3

【小问2详解】

由题意，可知（2）中ABC的面积与（1）中A5O同底等高，即二者面积相等,

JT2兀

在，ABO中，OB=r=10,AB//ON,NM0N=—,ZOAB=一，

33

由余弦定理知：OB?=OA2+AB2-2OA-AB-cosZOAB，

•1-100=OA2+AB2+OAAB>2OAAB+OAAB=3OAAB，当且仅当。4==5时等号成立,

・•・04ABV竽

。。1八440.2万一1100625出/八

SABCABO=-0A,A5-Sln—^-X—X—=~(m)-

即花圃.ABC面积的最大值为生An?.

3

19.函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数，有同学发

现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点？(。力)成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(x+a)-Z?为奇