浙江省宁波市宁海县市级2024届中考数学模试卷含解析

浙江省宁波市宁海县市级名校2024学年中考数学模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

2

1.若点P（-3,yi）和点Q（-1,y2）在正比例函数y=-kx（k/0）图象上，则yi与y2的大小关系为（）

A.yi>yzB.yi>y2C.yi<y2D.yi<y2

2.2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31,35,31,34,30,32,31,这组数据

的中位数、众数分别是（）

A.32,31B.31,32C.31,31D.32,35

3.如图，线段AB是直线y=4x+2的一部分，点A是直线与y轴的交点，点B的纵坐标为6,曲线BC是双曲线y=与

x

的一部分，点C的横坐标为6,由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线.点P（2017,m）与Q（2020,

n）均在该波浪线上，分别过P、Q两点向x轴作垂线段，垂足为点D和E,则四边形PDEQ的面积是（）

?BA

01―------------------------------->X

2145

A.10B.—C.—D.15

24

4.下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.下列函数是二次函数的是（）

C21

A.y=xB.y=-C.y=x—2+xD.y———

XX

6.下列图形中，是正方体表面展开图的是（）

A.-----------------1-----1B.-----------1-----------C.1MD.

7.一元二次方程xZ2x=0的解是（）

A.xi=O,X2=2B.xi=l,X2=2C.xi=O,X2=-2D.xi=l,X2=-2

8.如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=3,过点A,C作相距为2的平行线段AE,CF,分别交CD,AB于点E,

则DE的长是（）

10.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）.

A.(x+l)(x—l)=x2—1

B.X2—2x+l=x(x—2)+1

C.a2—b2=(a+b)(a—b)

D.mx+my+nx+ny—m(x+y)+n(x+y)

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，贝JNACB=

12.如图，直线a〃b,正方形ABCD的顶点A、B分别在直线a、b±.若N2=73。，则Nl=

13.如图，在口ABCD中，AD=2,AB=4,ZA=30°,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,

则阴影部分的面积是▲（结果保留7T）.

14.已知圆锥的底面半径为3cm,侧面积为ISkcnP,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角

15.如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒.

16.如图，在4x4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使

图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是.

17.如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60。，然后在

坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知DE±EA,斜坡CD的长度为30m,DE的长为15m,则树AB的高度是____m.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点Q的

坐标；若不存在，请说明理由.

19.(5分)如图，正方形ABCD的边长为2,BC边在x轴上，BC的中点与原点O重合，过定点M(—2,0)与动点

P(0,t)的直线MP记作1.

⑴若1的解析式为y=2x+4,判断此时点A是否在直线1上，并说明理由；

⑵当直线1与AD边有公共点时，求t的取值范围.

20.(8分)关于x的一元二次方程ax2+bx+l=L

(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a,b的值，并求此时方程的根.

21.(10分)先化简代数式［再从-1，0，3中选择一个合适的。的值代入求值.

22.(10分)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫

做这个三角形的“等底”.

(1)概念理解：

如图1,在AABC中，AC=6,BC=3,NAC3=30。，试判断△ABC是否是"等高底”三角形，请说明理由.

(1)问题探究：

如图1,ZkABC是“等高底”三角形，5C是“等底"，作AABC关于8c所在直线的对称图形得到AA中C,连结44,交

Ar

直线5c于点O.若点5是AAAC的重心，求一匕的值.

BC

(3)应用拓展:

如图3,已知/i与/1之间的距离为1.“等高底”ZkABC的“等底”5C在直线6上，点A在直线&上，有一边的

长是5c的0倍.将AA5C绕点C按顺时针方向旋转45。得到△⑷房C,4C所在直线交A于点O.求CZ＞的值.

请结合题意填空，完成本题的解答

(1)解不等式①，得.

(2)解不等式②，得.

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

~：3~~-2~:1~~0~1~2~3^

(4)原不等式组的解集为.

24.(14分)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后

来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获

利2240元，请回答：每千克核桃应降价多少元？在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该

店应按原售价的几折出售？

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、A

【解题分析】

分别将点P(-3,yi)和点Q(-1,y2)代入正比例函数y=-k?x,求出yi与y?的值比较大小即可.

【题目详解】

1•点P(-3,yi)和点Q(-1,y2)在正比例函数y=-k?x(k/0)图象上，

yi=-k2x(-3)=3k2,

yz=-k2x(-1)=k2,

Vk^O,

•*'yi>y2.

故答案选A.

【题目点拨】

本题考查了正比例函数，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的知识点.

2、C

【解题分析】

分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组

数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.

解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35,数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位

数.所以本题这组数据的中位数是1,众数是L

故选C.

3,C

【解题分析】

A,C之间的距离为6,点Q与点P的水平距离为3,进而得到A,B之间的水平距离为1,且k=6,根据四边形PDEQ

的面积为。+15)x3=45,即可得到四边形PDEQ的面积.

24

【题目详解】

A,C之间的距离为6,

2017-6=336...1,故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，

在y=4x+2中，当y=6时，x=l,即点P离x轴的距离为6,

/.m=6,

2020-2017=3,故点Q与点P的水平距离为3,

「k

••・6=丁

解得k=6,

双曲线y=g,

x

1+3=4,

'=：=即点Q离x轴的距离为；，

•〃-3

••11—,

2

•.•四边形PDEQ的面积是(6+2x3=竺.

24

故选：C.

【题目点拨】

考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的面积，综合性比较强，难度较大.

4、A

【解题分析】

由于要求四个数的点中距离原点最远的点，所以求这四个点对应的实数绝对值即可求解.

【题目详解】

V|-11=1,卜1|=1,

/.|-1|>|-1|=1>0,

.•.四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是-L

故选A.

【题目点拨】

本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想.

5、C

【解题分析】

根据一次函数的定义，二次函数的定义对各选项分析判断利用排除法求解.

【题目详解】

A.y=x是一次函数，故本选项错误；

8.丫=!是反比例函数，故本选项错误；

X

C.y=x-2+x2是二次函数，故本选项正确；

D.y=二右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误.

故答案选C.

【题目点拨】

本题考查的知识点是二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.

6、C

【解题分析】

利用正方体及其表面展开图的特点解题.

【题目详解】

解：A、B、D经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C能折成正方体.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形.

7、A

【解题分析】

试题分析：原方程变形为：x(x-1)=0

xi=0,xi=l.

故选A.

考点：解一元二次方程•因式分解法.

8、D

【解题分析】

过F作FH±AE于H,根据矩形的性质得到AB=CD,AB//CD,推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质

AFAD

得到AF=CE,根据相似三角形的性质得到—=，于是得到AE=AF,列方程即可得到结论.

AFFH

【题目详解】

解：如图:

解:过F作FH±AE于H,四边形ABCD是矩形,

.AB=CD,AB/7CD,

AE//CF,四边形AECF是平行四边形，

:.AF=CE,..DE=BF,

:.AF=3-DE,

-AE=J4+D炉,

ZFHA=ZD=ZDAF=90%

:.ZAFH+ZHAF=ZDAE+ZFAH=90,:.ZDAE=ZAFH,

AADE~AAFH,

.AE_AD

:.AE=AF,

14+DE。=3—DE，

,5

••DE=一,

6

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查平行四边形的性质及三角形相似，做合适的辅助线是解本题的关键.

9、B

【解题分析】

根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.

【题目详解】

根据绝对值的性质得：|-1|=1.

故选B.

【题目点拨】

本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.

10、C

【解题分析】

因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此进行解答即可.

【题目详解】

解：A、B、D三个选项均不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故都不是因式分解，只有C选项符合因式分解

的定义，

故选择C.

【题目点拨】

本题考查了因式分解的定义，牢记定义是解题关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、36°

【解题分析】

由正五边形的性质得出NB=108。，AB=CB,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.

【题目详解】

•.,五边形ABCDE是正五边形，

/.ZB=108o,AB=CB,

/.ZACB=(180°-108°)4-2=36°；

故答案为36°.

12、107°

【解题分析】

过C作d〃a,得到a〃b〃d,构造内错角，根据两直线平行，内错角相等，及平角的定义，即可得到N1的度数.

【题目详解】

过C作d〃a,.\a〃b,...a〃b〃d,

•••四边形ABCD是正方形，/.ZDCB=90°,VZ2=73°,/.Z6=90°-Z2=17°,

；b〃d,二Z3=Z6=17°,Z4=90°-Z3=73°,AZ5=180°-Z4=107°,

：a〃d,.,.Nl=N5=107。,故答案为107°.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质以及正方形性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等.解决问题的关键是作辅助

线构造内错角.

【解题分析】

过D点作DFLAB于点F.

VAD=1,AB=4,ZA=30°,

.*.DF=AD«sin30o=LEB=AB-AE=1.

A阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积一扇形ADE面积一三角形CBE的面积

故答案为：1.

3-7

14、1

【解题分析】

2

试题分析：根据圆锥的侧面积公式S=7rrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积里1里即可求出圆心角的度数.

360

解：•.•侧面积为157tcm2,

圆锥侧面积公式为：S=nrl=7tx3xl=15n,

解得：1=5,

2

二扇形面积为15兀=■!!」X5,

360

解得：n=l,

.•.侧面展开图的圆心角是1度.

故答案为L

考点：圆锥的计算.

15、2n+l.

【解题分析】

解：根据图形可得出：

当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；

当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；

当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；

当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为%

由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2(n-1)=2n+l.

故答案为：2n+l.

【解题分析】

如图，有5种不同取法；故概率为《.

17、1

【解题分析】

先根据CD=20米，DE=10m得出NDCE=30。，故可得出NDCB=90。，再由NBDF=30。可知NDBE=60。，由DF〃AE

可得出NBGF=NBCA=60。，故NGBF=30。，所以NDBC=30。，再由锐角三角函数的定义即可得出结论.

【题目详解】

解：作DFLAB于F,交BC于G.则四边形DEAF是矩形，

.\DE=AF=15m,

VDF//AE,

/.ZBGF=ZBCA=60°,

VZBGF=ZGDB+ZGBD=60°,ZGDB=30°,

.•.ZGDB=ZGBD=30°,

AGD=GB,

在RtADCE中，•:CD=2DE,

.,.ZDCE=30°,

/.ZDCB=90°,

VZDGC=ZBGF,ZDCG=ZBFG=90°

/.△DGC^ABGF,

.,.BF=DC=30m,

/.AB=30+15=l(m),

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(l)y=-x?+2x+3；(2)见解析.

【解题分析】

⑴将5(3,0),C(0,3)代入抛物线尸ax2+2x+c,可以求得抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴为直线x=l,设点。的坐标为(1,力，利用勾股定理求出AC?、AQ\CQ2,然后分AC为斜边,

AQ为斜边，CQ时斜边三种情况求解即可.

【题目详解】

解：(1)•.•抛物线丫=2*2+2*+。与X轴交于A、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3),

...(9a+6+c=0,得上,

Ic=31c=3

2

该抛物线的解析式为y=-x+2x+3;

(2)在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形，

理由：•..抛物线y=-x?+2x+3=-(x-1)2+4,点B(3,0),点C(0,3),

...抛物线的对称轴为直线x=l,

...点A的坐标为(-1,0),

设点Q的坐标为(1,t),贝!I

AC2=OC2+OA2=32+12=10,

AQ2=22+t2=4+t2,

CQ2=12+(3-t)2=t2-6t+10,

当AC为斜边时，

10=4+t2+t2-6t+10,

解得，tl=l或t2=2,

二点Q的坐标为（1,1）或（1,2）,

当AQ为斜边时，

4+t2=10+t2-6t+10,

解得，t=弓，

...点Q的坐标为（1,得），

0

当CQ时斜边时，

t2-6t+10=4+t2+10,

解得，t=4，

.•.点Q的坐标为（1,--1）,

由上可得，当点Q的坐标是（1,1）、（1,2）、（1,或（1,-9）时，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角

【题目点拨】

本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，勾股定理及分类讨论的数学思想，熟练掌握待定系数

法是解（1）的关键，分三种情况讨论是解（2）的关键.

4

19、（1）点A在直线1上，理由见解析；（2）］WtW4.

【解题分析】

（1）由题意得点B、A坐标，把点A的横坐标x=-1代入解析式y=2x+4得出y的值，即可得出点A在直线1上;

（2）当直线1经过点D时，设1的解析式代入数值解出即可

【题目详解】

⑴此时点A在直线1上.

；BC=AB=2,点O为BC中点，

.•.点B(—1,0),A(-l,2).

把点A的横坐标x=-1代入解析式y=2x+4,得

y=2,等于点A的纵坐标2,

.••此时点A在直线1上.

(2)由题意可得，点D(L2),及点M(—2,0),

当直线1经过点D时，设1的解析式为y=kx+t(k#)),

,心

一2卜+1=0，&.3'

/.解得

lk+t-2.4

fr

由(1)知，当直线1经过点A时，t=4.

当直线1与AD边有公共点时，t的取值范围是:&S4.

本题考查的知识点是一次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握一次函数综合题.

20、(2)方程有两个不相等的实数根；(2)b=-2,a=2时,x2=x2=-2.

【解题分析】

分析：(2)求出根的判别式A=〃—4ac，判断其范围，即可判断方程根的情况.

(2)方程有两个相等的实数根，则A=^-4ac=0,写出一组满足条件的。，力的值即可.

详解：(2)解：由题意：

■:A-b2—4-ac=(a+2/—4a=4+4>0,

,原方程有两个不相等的实数根.

(2)答案不唯一，满足从—4双=0(〃。0)即可，例如：

解：令。=1,b=-2,则原方程为21+1=0，

解得：%=Z=1.

点睛：考查一元二次方程加+法+。=0(。*0)根的判别式八=匕2—4公，

当A=〃—4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.

当A=〃一4ac=0时,方程有两个相等的实数根.

当/=〃—4ac<0时，方程没有实数根.

a+1

21、——，1

a-1

【解题分析】

先通分得到(“一十2。+”+(土,再根据平方差公式和完全平方公式得到丝土上x--二--,化简后代入“

IaJ\aJa(<7+1)(<7-1)

=3,计算即可得到答案.

【题目详解】

,CL2+c2〃+1a2—,1、(a+1)?cia+1

原式=-----------x-------------------=

Iajyaja(〃+1)(〃-1)-a-1

当a=3时(#-1,0),原式=1.

【题目点拨】

本题考查代数式的化简、平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握代数式的化简、平方差公式和完全平方公式.

22、(1)AABC是“等高底”三角形；(1)叵;(3)CD的值为2加，172，1.

23

【解题分析】

(1)过A作于O,则AAOC是直角三角形，ZADC=90a,根据30。所对的直角边等于斜边的一半可得:

AD=1AC=3,根据“等高底”三角形的概念即可判断.

2

(1)点8是A4C的重心，得到BC=2BD设班>=刘则A£>=6C=2x,CD=3x,

根据勾股定理可得AC=辰,即可求出它们的比值.

(3)分两种情况进行讨论:①当AB=0BC时和②当AC=41BC时.

【题目详解】

(1)△ABC是“等高底”三角形；

理由：如图1,过A作ADJ_5C于O,则AADC是直角三角形，ZA£)C=90°,

：.AD=-AC=3,

2

：.AD=BC=3,

即^ABC是“等高底”三角形；

(1)如图1,'.•△ABC是“等高底”三角形，是“等底”,

:.AD=BC,

•••△A5C关于5c所在直线的对称图形是,

:.ZADC=90°,

•・•点B是4A'C的重心,

：.BC=2BD,

设BD=x9则AD=BC=2刘CD—3刘

由勾股定理得AC=JBx,

.ACV13xV13

••---------------------.

BC2x2

（3）①当48=后8。时，

I.如图3,作AE_LBC于E,£^_L4c于歹，

:“等高底”△ABC的“等底”为BC,6与/1之间的距离为1,AB=42BC-

•••BC=AE=2,AB=2A/2,

：.BE=1,即EC=4,

；•AC=2A/5,

VAABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到△