常用逻辑用语（五大题型）（讲义）-2024年高考数学复习（新教材新高考）（解析版）

第02讲常用逻辑用语

目录

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考点要求考题统计考情分析

从近几年高考命题来看，常用逻辑用语

没有单独命题考查，偶尔以已知条件的

(1)必要条件、充分条件、形式出现在其他考点的题目中.重点关

充要条件；2022年天津卷第2题，5分注如下两点：

(2)全称量词与存在量词；2021年全国甲卷第7题，5分(1)集合与充分必要条件相结合问题

(3)全称量词命题与存在量的解题方法；

词命题的否定.(2)全称命题与存在命题的否定和以

全称命题与存在命题为条件，求参数的

范围问题.

若pnq且q#p■则p是q的充分不必要条件

若p#q且qnp•则p是q的必饕不充分条件

充分条件'必要条件'充费条件若p=>q且qnp*则p是q的的充饕条件(也设p和q等价)

若p#q且q*>p1则p不是q的充分条件,也不是q的必要条件

短语“所有的"'"任意一个"在逻辑中通常叫做全

称量词•并用符号"V"表示•含肩全称量词的命

题叫做全称量词命题.

常用逻辑用语

理语“存在一个至少有一个"在逻转中通常叫

全称■词与存在■词做存在量词,并用符号叼”表示•含有存在量词

的命题叫做存在量洞命题

全称量词命题P：Vx€M,p(X)的否定rp为-np(x)

含肩一个■词的命题的否定存在量词命题P：mxeM,p(X)的否定rp为Vx€M,ip(x)

4夯基•必备基础知识梳理

一、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p,则q”为真(记作0=4),则p是q的充分条件；同时q是p的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若且44p,则p是q的充分不必要条件；

(2)若pAg且4=0,则p是q的必要不充分条件；

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(3)若0=>q且4np,则p是q的的充要条件(也说p和q等价)；

(4)若0%4且44p，则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pnq,则p是4的充分条件，同时q是p

的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得p成立，必须要4成立(即如

果q不成立，则p肯定不成立).

二.全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”

表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立“可用符

号简记为读作“对任意x属于A1,有0。)成立

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符

号“三”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个与,使pOo)成立”

可用符号简记为“玉。cM,P(x。)”，读作“存在M中元素尤。，使P(不)成立”(存在量词命题也叫存在性命题).

三.含有一个量词的命题的否定

(

1)全称量词命题p:\/xeA/,pO)的否定为玉i,eM，~>P(x0).

(2)存在量词命题°：玉0&M,p(x0')的否定为.

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【解题方法总结】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={尤|p(x)},B=[x\q(x)}.

(1)若A=3,则p是4的充分条件(png),q是p的必要条件；若则p是q的充分不必

要条件，4是p的必要不充分条件，即0=q且44p;

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小一大”.

(2)若JB=A,则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若4=8,则p与q互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

(<)(>)两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合”中的每一个元素x证明其成立，要判断全

称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个人，使得其不成立即可,这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合加中能找到一个天使之成立即可，否则这

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个存在量词命题就是假命题.

一提升•必考题型归纳

【典例例题】

题型一：充分条件与必要条件的判断

【解题总结】

1、要明确推出的含义，是。成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.

例1.(2023•江苏扬州・扬州中学校考模拟预测)已知向量”=(/,-9),6=(1,-1),则“=-3”是“@//6”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若加=一3,贝!|a=(9,-9)=9。，所以4〃6；

若d//b，则ot2x(—1)—(-9)xl=0,解得〃?=±3,得不出〃?=—3.

所以"加=-3"是"a/历”的充分不必要条件.

故选：A.

例2.(2023・全国•高三专题练习)已知直线a_L平面a,贝1|“直线a〃平面夕”是“平面a_L平面月”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若"直线a〃平面/'成立，设/u尸，豆Uh,又平面a,所以平面a,又/u尸，所以“平

面a_L平面月”成立；

若“平面平面夕”成立，且直线平面a,可推出a〃平面夕或au平面夕，

所以“直线all平面B”不一定成立.

综上，“直线。〃平面夕”是“平面a，平面夕”的充分不必要条件.

故选：A.

例3.(2023・天津和平•高三天津一中校考阶段练习)“cos2a=-L，是的()

22

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

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【解析】cos2a=2cos2a-1=——,cosa=±—,

22

所以“cos2a=-!”是“cosa=!”的必要不充分条件.

22

故选：B

例4.（2023・天津南开•南开中学校考模拟预测）已知。，例R,则“a>6”是“/>/,,的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】若。=0>6,贝Ia2>Z?2不成立，若时>6且a<0=6,止匕时a2>〃推不出a>b,所以"是>b2

的既不充分也不必要条件.

故选：D

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

【解题总结】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.

2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.

例5.（2023•山东潍坊・统考二模）若"％=a”是“sinx+cosx>l”的一个充分条件，则。的一个可能值是

【答案】:（只需满足夕［2际,2也+3传eZ）即可）

【解析】由sinx+cosx>l可得0sin（x+：）>1,贝sin［x+：］>,

所以，2E+：<x+：<2E+弓化eZ）,解得2E<x<2际+g（%eZ）,

因为“x=a”是“sinx+cosx>l”的一个充分条件，故a的一个可能取值为

4

故答案为：：（只需满足+S化eZ）即可）.

例6.（2023・上海长宁•统考二模）若"x=l”是的充分条件，则实数。的取值范围为.

【答案】（-叫1）

【解析】「工=1”是“x>a”的充分条件，；.x=lnx>a,.”<1,

即实数。的取值范围为（-叫1）.

故答案为：

例7.（2023•全国•高三专题练习）若“x<2”是“X<4”的必要不充分条件，则。的值可以是.（写

出满足条件a的一个值即可）

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【答案】o(答案不唯一，满足。<2即可)

【解析】由于“x<2”是“尤<的必要不充分条件，所以。<2,

所以。的值只需小于2即可.

故答案为：o(答案不唯一，满足a<2即可)

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.

例8.(2023•河北•高三学业考试)设非空集合产，。满足PcQ=尸，则下列选项正确的是()

A.V无eQ,有xePB.Vxg2,有xe尸

C.3x22，使得xePD.玉cP,使得xeQ

【答案】B

【解析】PQ=P,：.P2

当尸呈。时，天。€。，使得升任尸，故A错误；

P=Q,.-.VxeP,必有xeQ,即VxcQ,必有x史尸，故B正确；

由B正确，得也交Q,必有xgP,二七任。，使得xeP错误，即C错误；

当八e时，不存在使得故D错误，

综上只有B是正确的.

故选：B.

xx

例9.(2023・全国•高三专题练习)已知0<f下列四个命题：①Vxe(0,+co),a>b,②Vxe(0,l),

abx

logoX>loghX,③*w(0,l),x>x,④玉e(0,b),a>logax.

其中是真命题的有()

A.①③B.②④C.①②D.③④

【答案】C

【解析】对于①，由。得：f>l,Vxe(0,+s),£1=⑶'则/*,①正确；

bbxyb)\b)

对于②，Vxe(0,l),loga-log/?=log—<log1=0,即。<log,a<log),则log”x>log/x,②正确；

x%vbx

对于③，函数〉="(0<机<1)在(0,1)上为减函数，而0<b<a<l,则加即Txe(0,l),£<③错

误；

x

对于④，当xe(0㈤时，a<1-logax>logab>loga<7=1,即优<log°x,④错误，

所以所给命题中，真命题的是①②.

故选：C

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例10.（2023.贵州毕节.统考模拟预测）直线/］：x+（l+o）y=l-a（aeR）,直线小产-：工，给出下列命题:

①m.eR,使得4/〃2；②^aeR,使得4，4;

③VowR,4与4都相交；④〃eR,使得原点至心的距离为2.

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.②④D.①④

【答案】C

11

【解析】对于①，若〃〃2,贝”一石1=一5,该方程组无解，①错；

l-a^0

对于②，若则，士）［-£|=T，解得②对；

对于③，当。=1时，直线乙的方程为x+2y=0,即%-夫，此时，4、6重合，③错；

对于④，直线4的方程为x+（o+l）y+a—1=0,

1^-11

若山eR,使得原点至心的距离为2,则//-=2,整理可得3/_io〃+7=O,

W+S+i）

A=100-4X3X7>0,方程3/_10a+7=0有解，④对.

故选：C.

题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.

2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.

例11.（2023•四川成都三模）命题“VxeR,P+x-1W0”的否定是（）

A.3x0GR,Xo+x0-1<0B.%£R,x；+%o-1>0

2

C.VXER,X+X-1>0D.BX0GR,XQ+x0-1>0

【答案】B

【解析】由题意可得，“Dx£R,/+%一140”的否定是玉°£R,%；+%o-1>。，

故选：B

例12.（2023・贵州贵阳・统考模拟预测）已知命题P：V〃EN,2〃-2不是素数，则▼为（）

A.,2〃一2是素数B.VneN,2〃一2是素数

C.Vn^N,2"—2是素数D.3neN,2〃—2是素数

【答案】D

【解析】命题。为全称量词命题，该命题的否定为「P：山£N,2〃-2是素数.

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故选：D.

例13.（2023・四川成都・成考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）

A.任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都不是素数

C.存在一个奇数不是素数D.存在一个偶数不是素数

【答案】B

[解析]由于存在量词命题。：士eK。（幻，否定为「0:Vxe.所以命题“有一个偶数是素数”的否

定是“任意一个偶数都不是素数

故选：B

题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

【解题总结】

1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题

的补级即可.

2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

例14.（2023•全国•高三专题练习）若命题Fae[T,3],苏-（2a-l）x+3-a<0”为假命题，则实数尤的取值

范围为（）

A.[-1,4]B.0,1C.[-1,0]1,4D,[-1,0）（；,4

【答案】C

【解析】命题“九目-1,3],加-（24-1）尤+3“<0"为假命题，其否定为真命题，

即“Vae[-1,3],ax2-（2a-l^x+3-a>0”为真命题.

令g（a）=ax2-2ax+x+3-a=（x2—2x—i）a+x+3>0,

g",即-x2+3x+4>0

则

g(3)>03/-5x>0

-l<x<4]

解得、5_,八，所以实数尤的取值范围为[T，。]rI，4.

[3

故选：C

例15.（2023•全国•高三专题练习）已知命题〃：HxeR,x1+2x+2-a<0,若p为假命题，则实数。的取

值范围为（）

A.（1,+℃）B.[1,+<»）C.（-℃,1）D.（-℃,I]

【答案】D

【解析】因为命题P：HxeR,x2+2x+2—a<0>

所以F：VxeR,x1+2x+2-a>0,

又因为。为假命题，所以力为真命题，

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即VxeR,d+2x+2-a20恒成立,

所以AWO,即2?-4(2-a)V0,

解得a<l,

故选：D.

例16.（2023・全国•高三专题练习）若命题P："外eR,（左2_1卜2+4（1-左）彳+3<0”是假命题，则％的取值范

围是（）

A.(1,7)B.[1,7)

C.（-7,1）D.（-7,1]

【答案】B

【解析】因为命题TxeR,gi）f+4（-3V0”是假命题,

所以命题“VxwR,（K—1）Y+4（1—左）尤+3>0”是真命题，

若无2-1=0,即左=1或％=-1,

当上=1时，不等式为3>0,恒成立，满足题意；

当上=一1时，不等式为8x+3>0,不恒成立，不满足题意；

k2-l>0

当左2-1/0时，则需要满足'2/2文八，

A=16（l-^）-4x（左-一l）x3<0

（I）优+1）>0

，解得l<k<7,

综上所述,左的范围是[1,7）,

故选：B.

例17.（2023・全国•高三专题练习）已知命题“Vxe[l,2],2'+x-a>0”为假命题，则实数a的取值范围是

（）

A.（-叫5]B.[6,+co）

C.（-<»,3]D.[3,+oo）

【答案】D

【解析】因为命题"Vxe[l,2],2，+尤-a>0”为假命题，则命题的否定“现e[1,可，2*+x。-aW0”为真命

题，所以。2（2，+“皿,xe[l,2].

易知函数y=2，+x在[L2]上单调递增，所以当x=l时，y=2"+x取最小值，所以“22i+l=3.所以实数a

的取值范围为[3,+8）.

故选：D.

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1.（2022•天津•统考高考真题）“尤为整数”是“2x+l为整数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A