湖南省岳阳市2024届高三年级下册4月三模数学试卷及答案

姓名__________________

准考证号__________________

岳阳市2024届高三教学质量监测(三)

数学

本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3,非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要

求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

V—3

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2,3},3={刈--<0},则4nB=

x+1

A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2)

2.若虚数单位i是关于x的方程ax3+6x2+2x+l=0(a,6eR)的一个根，贝川。+历|=

A，V2B.2C#D.5

3.直线2x—3〉+1=0的一个方向向量是

A.(3,2)B.(2,3)C.(2,-3)D.(3,-2)

4.下列命题正确的是

A.若直线/上有无数个点不在平面a内，贝ij///a

B.若直线a不平行于平面a且aa,则平面a内不存在与a平行的直线

C.已知直线。力，平面a1,且aua,bu0、a11/3,则直线a/平行

D.已知两条相交直线a,6,且。//平面a,则6与a相交

5.已知y=/(x+l)+l为奇函数，则/(—1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=

A.—12B.—10C.—6D.—5

高三三模数学试卷第1页(共4页)

6.把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不

相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是

A.96种B.60种C.48种D.36种

7.已知等差数列｛%｝的前〃项和为Sn,若々2%〉0,$2。=100,则al0an

A.有最小值25B.有最大值25C.有最小值50D.有最大值50

QX+qx<a

8.已知函数/(x)=2'，/(、)不存在最小值，则实数。的取值范围是

x+2ax,x>a

A.(-1,0)B.(；,+s)C.(T0)U(；,+⑹D.(-1,0)U(l,+®)

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是

A.C；=C；,则〃=3B.C：=­C解

77+1

C.(%-1严的展开式的第6项的系数是C：o

D.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中x2的系数为C：-1

10.已知函数/(力=2©05(办+0)(。>0,|夕|<])的部分图象

如图所示，则\/；\

A.0=2/Ly-/恰与

13./(叼的单调递减区间为(也+^|,左兀+净,丘2/12

C./W的图象可由函数y=2cos2x的图象向右平移巴个单位得到

6

7714冗

D.满足条件(/(%)-/(-y))(/(%)-/(y))>0的最小正整数X为2

11.如图，四边形ABCD是圆柱00,的轴截面且面积为2，四边形OOQA绕OOX逆时针

旋转0^<0<71)到四边形OOQ14，则

A.圆柱的侧面积为271

B.当0<，<兀时，DD1±A,C

C.当0<，<兀时，四面体CDDM的外接球表面积最小值为37r

D.当也时，y<6><7T

高三三模数学试卷第2页(共4页)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知双曲线C过点(1,指)，且渐近线方程为>=±2》，则C的离心率为.

13.已知角a,6的终边关于直线y=x对称，且sin(a-/?)=[-,则a,夕的一组取

〜n

值可以是。=,/3=./A

14.如图所示，直角三角形48c所在平面垂直于平面a,/

一条直角边NC在平面嫁内，另一条直角边8c长为心且/区4C=工，若平面嫁上存

36

在点P,使得△28。的面积为"，则线段CP长度的最小值为

3

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知等差数列｛%｝满足：4=2,且4、的、为成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

4〃2

(2)若等差数列｛%｝的公差不为零且数列｛4｝满足：bn=-―-―-,求数列

(a“T)(4+l)

｛4｝的前/项和7；.

16.(本小题满分15分)频率

某地区举行专业技能考试，共有8000人参加,

分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了

解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试

成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，

如图所示.

(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态

分布N(〃,0*2),其中〃为样本平均数的估计值，

0=11.5,试利用正态分布估计所有考生中初试成

绩不低于85分的人数；

(2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题

答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他

在复试中，前两题每题能答对的概率均为士3，后两题每题能答对的概率均为3白，且每道题

45

回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分(含20分)的考生能进入面试，请问该考

生进入面试的概率有多大？

附:若随机变量X服从正态分布N(〃,4),贝ij：尸(〃—a<X<〃+b)=0.6827,

尸(〃-2cr<X<〃+2cr)=0.9545,尸(〃-3cr<X<〃+3cr)=0.9973.

高三三模数学试卷第3页(共4页)

17.(本小题满分15分)

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4

的菱形，ZDAB=60°,PA=PC,PB=PD=2而，

河是线段。。上的点，且PC^AMC.

(1)证明：PC,平面8D河;

(2)点E在直线DM上，求BE与平面ABCD所成角的最大值.

18.(本小题满分17分)

已知动圆P过定点F(0,l)且与直线y=3相切，记圆心p的轨迹为曲线£.

(1)已知N、8两点的坐标分别为(-2,1)、(2,1),直线4P、HP的斜率分别为々、

左2，证明:K-k2=1；

(2)若点,为)、N(X2,y2)是轨迹E上的两个动点且再/=-4,设线段MN的

中点为Q,圆P与动点。的轨迹r交于不同于厂的三点C、D、G,求证：△CDG的

重心的横坐标为定值.

19.(本小题满分17分)

已知△/2C的三个角4瓦。的对边分别为。/,c且c=2b,点。在边3C上，是

NA4C的角平分线，设AD=kAC(其中左为正实数).

(1)求实数左的取值范围；

也--之如+cx-2

(2)设函数f(x)=

322

①当左=型时，求函数/(%)的极小值;

3

②设%是/(%)的最大零点，试比较/与1的大小.

高三三模数学试卷第4页(共4页)

岳阳市2024届高三教学质量监测(三)

数学参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.)

1.B2.C3.A4.B5.D6.D7.B8.C

二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.BD10.ABD11,ABD

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)

12至

2

54JTJTJT

13.—；—(答案不唯一，符合/?=土一+左匹且a+/7=—+2版■，左eZ即可)

1212122

3

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.(本小题满分13分)

已知等差数列｛4｝满足：q=2,且%、%、%成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

4/

(2)若等差数列｛«„｝的公差不为零且数列｛4｝满足："="一-—-,求数列｛〃｝的

(a„-l)(a„+l)

前〃项和5.

解析：设数列｛4｝的公差为d,依题意，2,2+d,2+34成等比数列，--------------1分

所以(2+IF=2(2+34),解得d=0或d=2,---------------------3分

当d=0时，an=2；---------------------4分

当d=2时，an=2+(«-1)x2=2M---------------------5分

所以数列｛4｝的通项公式为4=2或%=2〃---------------------6分

(2)因为等差数列｛4｝的公差不为零，由(1)知an=2〃(〃eN*),

…市病

贝U力=-------------二-----------------------------7分

”(%-1)应+1)(2〃-1)(2〃+1)

41—1+111

所以“二=z1-1—(----2-〃--+1)-------------------10分

(2〃一1)(2〃+1)221

所以北=[1+;(;1)]+[1+;([}]+[1+;(>;)]+…+[1+311

)]

2〃+1

.1/1、n

T=n+—(-----------)=〃+-------------------13分

"212〃+12/2+1

16.(本小题满分15分)

某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参

加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制

了样本频率分布直方图，如图所示.

(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(〃,CT2),其中〃为样本平均数的

估计值，(7=11.5,试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数；

(2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题

答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在

33

复试中前两题每道题能答对的概率均为一，后两题每道题能答对的概率均为一，且每道题

45

回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分(含20分)的考生能进入面试，请问该考

生进入面试的概率有多大？

附:若随机变量X服从正态分布N(〃,/),贝ij：尸(〃—cr<X<〃+b)=0.6827,

尸(〃一2cr<X<〃+2cr)=0.9545,尸(〃一3cr<X<〃+3cr)=0.9973.

解析：(1)由题意得，样本平均数的估计值为

(40x0.010+50x0.020+60x0.030+70x0.024+80x0.012+90x0.004)x10=62

-------------------3分

因为学生初试成绩X服从正态分布N(〃,CT2),其中〃=62,。=11.5则〃+2。=85.

-------------------5分

1-09545

所以P(X>85)=P(X2〃+2b)=——-——=0.02275-------------------7分

所以估计初试成绩不低于85分的人数为0.02275x8000=182人-------------8分

（2）记该考生的复试成绩为V,则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分

-------------------9分

1??32117

P(y=20)=(-)2x(-)2+(-)2xC*x—x—=------------------------10分

55400

31354

p(y=25)=C2X-x-x(-)2=—-------------------12分

445400

P（y=30）=（^x（|）-^

14分

所以该考生进入面试的概率为

p(y=20)+p(r=25)+p(r=30)=—+—+—=—-------------------15分

400400400100

17.（本小题满分15分）

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，ZDAB=60°，

PA=PC,PB=PD=2710-M是线段尸。上的点，且PC^^MC.

（1）证明：PC,平面RDM.

（2）点E在直线DW上，求8E与平面48CD所成角的最大值.

解析：连AC,BD交于点0,连尸0,由PA=PC,PB=PD=2^/10知

POLAC,POLBD,

又ACcBD=O,PO±平面48CD

又底面Z8CD为菱形，所以--------------2分

以。为坐标原点，砺，玩，而分别为x，N，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示

ADAB=60°,边长为4,则0£（=08=2,O4=0C=2G

在直角三角形50尸中，必=2而所以。尸=6------------------4分

所以点0(0,0,0),Q(0,0,6),5(2,0,0),D(—2,0,0),C(0,2血0)

PC^AMC,则M(0,孚,|)

所以PC=(0,273,-6),DM=(2,^-,^,BM=(-2,0

—..广3、h3

所以「CVDM=Ox2+2若x早+(—6)xE=0,

—.____.广3、后3

PC・BM=0X(-2)+2V3X:+(-6)x-=0,-------------------6分

所以左，加，左，丽7

所以PC±DM,PC±BM又DMCBM=M

所以尸CL平面--------------8分

(2)设旗=2嬴，

3/33—•3出3

则E(22-2,^x-2,-2)，所以BE=(22—4,^-2,-2)

平面45CD的一个法向量是3=(0,0,1),设BE与平面45CD所成角为，，则

33

最'

sin0=\cos<BEn>\=西川______________-2_R_I__________________-2|_2_|______

3H〃Ig_4)2+(—.+(1)2旧—162+16

-------------------11分

当4=0时，5£匚平面48。。，。二0；

当；1。0时，

sin。=----------------13

71322-162+16

分

TTTTTT

又。£[0,—]所以。,故与平面ABCD所成角的最大值为一--------------15分

266

p

18.（本小题满分17分）

已知动圆P过定点厂（0,1）且与直线歹=3相切，记圆心p的轨迹为曲线E.

（1）已知/、8两点的坐标分别为（—2,1）、（2,1）,直线4P、HP的斜率分别为左、

左2，证明：左—左2=1；

（2）若点M（X],%）、N（X2，＞2）是轨迹£上的两个动点且再了2=一4，设线段上W的

中点为。，圆P与动点。的轨迹「交于不同于厂的三点C、D、G,求证：△CDG的

重心的横坐标为定值.

解析：（1）设点P（x,y）,依题有J（x—op+（y_i）2=|y-31化简并整理成x2=-4v+8

圆心P的轨迹E的方程为x2=-4v+84分

k-y~lk———1

1

x+2'2x-2，

21

左一左2=二一曰二^，又/=—4,V+8

x+2x—2x—4

所以左一左2=1,7分

（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为歹=米+6

fx2=-4y+8、心、。

由〈消歹并整理成Jr?+4Ax+46—8=0

y=kx+b

在判别式大于零时，玉工2=46—8,又石马=一4

所以6=1-------------9分

所以丁+4日一4=0，y=kx+\

2

X]+=-4k,yi+y2=k（x1+x2）+2=-4k+2

所以线段跖V的中点坐标为Q(-2k,-2k2+1)10分

x=-2k

设。(xj)，贝M,消左得一=—2y+2

y=-2k+1

所以。的轨迹方程是f=-2y+2-------------11分

圆尸过定点厂(0,1),设其方程为x2+(y-l)2+ax+b(y-1)=0

E+ny+G+gTK得x、(4-2m2+4办=0

由<-------------13分

x2=-2y+2

设。、。、G的横坐标分别为c,d,g

因为C、D、G异于所以c,d,g都不为零

故d+(4-2b)x+4a=0的根为c,d,g

令(x-c)(x-d)(x-g)=0

即有x3-(c+d+g)x2+(cd+dg+gc)x-cdg=0

所以c+d+g=0-------------16分

故△CDG的重心的横坐标为定值.--------------17分

19.(本小题满分17分)

已知△48C的三个角的对边分别为a,6,c且c=2b,点。在边3c上，是

NA4C的角平分线，设AD=kAC(其中后为正实数).

(1)求实数左的取值范围；

(2)设函数/(X)=■办3__|乐2+cx—g.

①当左=迫时，求函数/(X)的极小值;

3

②设%是/(X)的最大零点，试比较X。与1的大小.

解析：(1)设/B/C=2a,由题知：(3+c>ZZ>sina=;6csin2a,

4

代入c=2b,AD=kAC,化简得：k=—cosa,-------------2分

3

因为q€(0,()，所以实数左的取值范围(0,g)-------------4分

7/7a

法二：。=26及由角平分线性质知5£>=—,。。=—

33

在△/AD和AADC中由余弦定理得

AB'=BD2+AD2-2BDxADcosAADB,AC2=CD2+AD2-2CDxADcosNADC

所以

c2=(y)2+(妨)2—2X与X必XcosZADB,b2=(^)2+(kb)2-2x^xkbxcosZADC

又ZADB+ZADC=71,则cosNADB+cosZADC=0

所以02+2/=3_~+3(的)2，又c=2b,所以(6—3/)〃=等2------------2分

b+2b>a

在△4BC中有<,c,

+b>2b

所以1<q<3,所以1<3（6-36）<9

b2

得0（左<g,所以实数左的取值范围（0,：）------------4分

（2）①当左=拽时，由（1）知cosa=立，则&=工此时N8ZC=工，

3263

由余弦定理有：a2=b2+c2-2bccos—Rc=2b^a=y/3b»------------5分

3

法二：由（6—3/）〃=等，当左=孚时有。=回-------------5分）

故/(x)=人(》3-^-x2+2x-,f'(x)=b(3x2-5x+2)=b(3x-2)(x-1)-------6分

2

由/'(x)〉0得x〈一或x〉l

3

2

由/，(x)<0得一<x<1

3

22

故/(x)在(-9§),(1,+功上单调递增，在(§,1)上单调递减，

故/(x)的极小值为/⑴=0.------------9分

②(i)当左二拽时，由①知又c=2b,

3

25c1bc

故/(x)=b(x3--x2+2x--)=-(x-1)2(2X-1)

知/（X）的零点为1,心故/（X）的