2022-2023学年北京市海淀区八年级（下）期中数学试卷

2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（下）期中

数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）

D.712

2.（3分）下列计算错误的是（）

A.3+272=572B.V8^-2=72c.V2xV3=V6D.V8-V2=V2

3.（3分）在RtZxABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,则BC的长为（）

A.3B.3或V7C.3或D.A/41

4.（3分）一次函数y=-2x+3的图象上有两点A（1,yi）,B（-2,*）,则yi与”的大

小关系是（）

A.y1<y2B.yi2*C.J1=J2D.y\>yi

5.（3分）如图，把矩形ABC。沿EF对折后使两部分重合，若/l=50°,则）

A.100°B.105°C.110°D.115°

6.（3分）下列命题中，是真命题的是（）

A.对角线相等的菱形是正方形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形

D.有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形

7.（3分）如图，平行四边形ABC。的周长是32aw,对角线AC与交于点O,ACLAB,

E是BC中点，△A。。的周长比△AOB的周长多2cm,则AE的长度为（）

A.4-\/~2cmB.2y/2cmC.4.5cmD.3.5cm

8.（3分）在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,点。在直线8C上，且AQ=2,

则线段B。的长为（）

A.V3B.V5C.愿+1或«-lD.述+1或遥-1

9.（3分）如图，一次函数y=or+b与y=cx+d的图象交于点P.下列结论：①6c0；②ac

A.①②③B.①②④C.②③⑤D.②④⑤

10.（3分）如图，在平面直角坐标系尤Oy中，菱形ABC。的边长为点8的坐标为（0,

1）,点C在第一象限，对角线8。与x轴平行.直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点E,

F.将菱形ABC。沿无轴向左平移机个单位，当点。落在的内部时（不包括三角

二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）

11.（3分）在函数y="2x-l中,自变量x的取值范围是.

12.（3分）直线y=L经过第象限.

3

13.（3分）已知一次函数y=（左+3）尤-2,y随x的增大而减小，则k的取值范围

是.

14.（3分）如图，菱形ABC。中，AB=10,AC,8。交于点O,若E是边的中点，Z

ABO=32°,则OE的长等于,/A。。的度数为

A__________B

15.（3分）如图，A。是△ABC的中线，ZADC=45°,BC=4cm,把△&（7£）沿A。翻折,

使点C落在E的位置，则BE为.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为（1,3）,（3,3）,若直线

y="与线段AB有公共点，则左的取值范围为.

17.（3分）在正方形ABCQ中，AB=5,点E、F分别为A。、A8上一点，MAE=AF,连

接BE、CF,贝UBE+CP的最小值是.

18.（3分）如图，正方形A8C。边长为4,点E在边。C上运动（不含端点），以AE为边

作等腰直角三角形AER连接。工

下面有四个说法：

①当。E=1时，AF=V34；

②当DE=2时，点B,D,F共线；

③当。E=$时，三角形A。尸与三角形瓦不面积相等；

2

④当。E=3时，A。是NEAF的角平分线.

2

所有正确说法的序号是

三、解答题（共8小题，19题6分，20-22题每题5分，23-25题每题6分，26题7分）

19.（6分）计算：

（1）V18-Vi2+V3；

（2）（V8-V3）xV6.

20.（5分）已知一次函数y=fcc+6,当x=l时，y的值为-1,当x=-l时，y的值为-5.

（1）求一次函数>=日+6的解析式；

（2）将一次函数y=fcc+b的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与无轴、

y轴的交点坐标.

21.（5分）如图，矩形纸片ABC。中，AB=8,AO=6,折叠纸片使4。边落在对角线BO

上，点A落在点A'处，折痕为。G,求AG的长.

22.（5分）如图，在口ABC。中，过点A作AEJ_8c于点E,AP_LZ）C于点—MBE=DF.

（1）求证：QABCD是菱形；

（2）若/EAB=60°,CF=2,求菱形ABC。的面积.

23.（6分）已知，如图，在△ABC中，AB=AC,是8c边的中线，过点A作8c的平

行线，过点B作A。的平行线，两线交于点E,连接。E交A2于点0.

（1）求证：四边形AZJ8E是矩形；

(2)若2C=8,AO=S,求四边形AEBC的面积.

2

24.(6分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=qx+iT的图象人分别与X，》轴交于

A,8两点，正比例函数的图象/2与人交于点C(2,4).

(1)求m的值及h的解析式；

(2)若点M是直线y=-^x+ir上的一个动点，连接。加，当△AOM的面积是△80C面

积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；

(3)一次函数〉=依+2的图象为/3,且/1,12,13不能围成三角形，直接写出左的值.

25.(6分)如图，在正方形ABCD中，E是边A8上的一动点，点/在边的延长线上,

MCF=AE,连接。E、DF.

(1)求证：DE±DF；

(2)连接ER取斯中点G,连接。G并延长交BC于孙连接3G.

①依题意，补全图形；

②求证：BG=DG；

③若/EGB=45°,用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明.

26.(7分)对于实数x,印表示不小于x的最小整数，例如：口]=1,[2.5]=3,点表(x,y)

为第一象限中的点，将点尸分别向上，向下平移[叫个单位得到点P,尸3；将点P分别向

左，向右平移国个单位得到点P2,P4,我们称菱形P1P2P3P4叫做点尸的“伴随菱形”.例

如：点(3,3)的伴随菱形是以点(3,1)，(0,3),(3,二)，(6,3)构成的菱

22222

形.

(1)在图中画出点A(3,1)的伴随菱形，该菱形的面积为；

2

(2)若点B(/,1)的伴随菱形与点A(旦，1)的伴随菱形恰有3个公共点，求满足条

2

件的t的最小值；

(3)若点C(3,2)与点。(m,n)所对应的伴随菱形面积相同，且点。(m,n)在

2

函数y=履的图象上，直接写出上的取值范围.

备用图

2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（下）期中

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A.24B.V4C.710D.V12

【分析】根据最简二次根式的条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开

得尽方的因数或因式逐项进行判定即可得出答案.

【解答】解：A：2栏,被开方数含有分母，所以A选项不是最简二次根式，不符合题

思；

B-.y=2,所以8选项不是最简二次根式，不符合题意；

C：A/10,所以C选项是最简二次根式，符合题意；

D-.V12=2V3.所以。选项不是最简二次根式，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键.

2.（3分）下列计算错误的是（）

A.3+272=572B.V84-2=V2C.近乂aMD.Vs-V2=V2

【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进

行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对。选

项进行判断.

【解答】解：A.3与2&不能合并，所以A选项符合题意；

B.a+2=2a+2=、历，所以8选项不符合题意；

C.V2XV3=V2X3=V6,所以C选项不符合题意；

D.我-历=&,所以。选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法

法则、除法法则是解决问题的关键.

3.(3分)在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,则BC的长为()

A.3B.3或V7C.3或D.741

【分析】在Rt^ABC中，已知A8与AC的长，利用勾股定理求出BC的长即可.

【解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,

由勾股定理得：BC=VAB2-AC2=VB2-42=3,

.•.BC的长为3.

故选:A.

【点评】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键.

4.(3分)一次函数y=-2x+3的图象上有两点A(1,yi),3(-2,y2),则yi与>2的大

小关系是()

A.y\<yiB.”2"C.y\—yiD.vi>y2

【分析】由左=-2<0,利用一次函数图象的性质可得出y随x的增大而减小，结合1>

-2,即可得出答案.

【解答】解：••乂=-2<0,

随x的增大而减小，

:点A(1,ji),8(-2,”)均在一次函数y=-2x+3的图象上，且1>-2,

故选：A.

【点评】本题考查一次函数的图象与性质，牢记：在一次函数y=kx+b中，若k>0,y

随x的增大而增大；若左<0,y随尤的增大而减小.

5.(3分)如图，把矩形ABCD沿EP对折后使两部分重合，若/1=50°,则()

A.100°B.105°C.110°D.115°

【分析】根据翻折的性质可得N2=N1,再求出N3,然后根据两直线平行，同旁内角互

补列式计算即可得解.

【解答】解：,矩形ABCD沿跖对折后两部分重合，/1=50°,

.•.N3=N2=_1(180°-50°)=65°,

2

,矩形对边AD〃BC,

AZA£F=180°-N3=180°-65°=115°.

【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记翻折前后重合的两个角相等

并准确识图是解题的关键.

6.（3分）下列命题中，是真命题的是（）

A.对角线相等的菱形是正方形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形

D.有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形

【分析】根据正方形，菱形，矩形，平行四边形的判定一一判断即可.

【解答】解：4对角线相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意.

8、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误谢谢不符合题意.

C、对角线相等且互相垂直的四边形是矩形，错误，本选项不符合题意.

。、有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，错误，本选项不符合题意,

故选：A.

【点评】本题考查正方形的判定，落在的判定，矩形的判定，平行四边形的判定等知识,

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

7.（3分）如图，平行四边形A3CD的周长是32cm,对角线AC与6。交于点O,AC±ABf

E是5c中点，△AOO的周长比△A03的周长多2o根，则AE的长度为（）

A.^\[2cmB.2yJ~2cmC.4.5cmD.3.5cm

【分析】由平行四边形的性质好已知条件得出16c相，AD-AB^2cm,求出AB

和A。的长，得出8C的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案.

【解答】解：：四边形A8CD是平行四边形，

：.AB=CD,AD=BC,OB=OD,

:平行四边形A8CD的周长为32cm,

AB+AD=16cm,

AAOD的周长比△AO8的周长多2cm,

：.(OA+OD+AD)-(OA+OB+AB)=AD-AB=2cm,

.'.AB—1cm,AD—9cm.

.'.BC—AD=9cm.

'JACLAB,E是BC的中点，

AE=—BC=4.5cm；

2

故选：c.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质.熟练掌握平行

四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键.

8.(3分)在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,点。在直线8c上，且AQ=2,

则线段BQ的长为()

A.V3B.V5c.V3+1^V3-1D.遥+］或遥7

【分析】由勾股定理求出C0,分两种情况，即可得出答案.

【解答】解：如图所示：

VZACB=9Q°,AC=8C=1,点。在直线BC上，且AQ=2,

*'-CQ=VAQ2-AC2=^22-12=如；

当点。在BC延长线上时，BQ=CQ+BC=yf3+l^

当点。在CB延长线上时，BQ=CQ-BC=43-1；

故选：C.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角

形的性质，由勾股定理求出C。是解题的关键.

9.（3分）如图，一次函数'=以+6与>=0工+1的图象交于点P.下列结论：①匕<0；②ac

<0；③当x>l时，ax+b>cx+d；@a+b=c+d；⑤c>d.所有正确结论的序号为（）

A.①②③B.①②④C.②③⑤D.②④⑤

【分析】根据函数的图象以及■次函数的性质判断即可.

【解答】解：由图象可知一次函数y=or+6的图象经过一、二、四象限，

：.a<0,b>Q,故①错误；

•••由图象可知一次函数、=。彳+1的图象经过一、二、三象限，

.".c>0,d>0,

/.ac<0,故②正确；

由图象可知，当x>l时，ax+b<cx+d,故③错误；

•・•一次函数丁=以+。与y=cx+d的图象交于点P,且尸的横坐标为1,

**•a+b—c+d,故④正确；

:函数y=cx+d与x轴的交点为（-&，0）,且一旦>-1,c>0,

CC

'.c>d,故⑤正确，

故选：D.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数

图象与系数的关系是解题的关键.难度适中.

10.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABC。的边长为点8的坐标为（0,

1）,点C在第一象限，对角线8。与x轴平行.直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点E,

F.将菱形ABC。沿无轴向左平移机个单位，当点。落在△EOF的内部时（不包括三角

形的边），机的值可能是（）

【分析】在RtAAOB中，利用勾股定理可求出OA的长，利用菱形的性质可求出点D的

坐标，代入y=l求出直线>=尤+3上纵坐标为1的点的横坐标，利用平移的性质可得出m

的取值范围，再对照四个选项即可得出结论.

【解答】解：在RtZ\A08中，。8=1,AB=VTQ,ZAOB=90°,

•'•0A=VAB2-OB2=3-

:四边形ABC。为菱形，且对角线BD与x轴平行，

...点D的坐标为（6,1）.

当y=l时，x+3=l,

解得：x=-2.

,/将菱形ABCD沿x轴向左平移机个单位，点。落在△EOF的内部（不包括三角形的边），

.'.6<m<8.

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质以及坐标与

图形变化-平移，利用勾股定理及菱形的性质，找出点。的坐标是解题的关键.

二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）

11.（3分）在函数y="2x-l中,自变量x的取值范围是x》上.

2-

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x-120,解得x的范围.

【解答】解：根据题意得：2x-120,

解得，X》」.

2

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面

考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.

12.（3分）直线y=L经过第一、三象限.

-3

【分析】由题目可知，该正比例函数过原点，且系数为正，故函数图象过第一、三象限.

【解答】解：由正比例函数>=工■无中的％=工>0知函数y=L的图象经过第一、三象

33-3

限.

故答案为：一、三.

【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，要求学生可根据函数式判断出函数图象的

位置.

13.（3分）已知一次函数y=（K3）x-2,y随尤的增大而减小，则上的取值范围是二

<-3.

【分析】一次函数当％<0时，y随尤的增大而减小.据此列不等式解答即可.

【解答】解：：一次函数>=（A+3）x-2,y随尤的增大而减小，

：.k+3<0,

解得-3,

故答案为：k<.-3.

【点评】本题主要考查了一次函数的性质.解答本题的关键是明确当%>0时，一次函数

y随x的增大而增大；当左<0时，一次函数y随尤的增大而减小.

14.（3分）如图，菱形ABC。中，AB=10,AC,8。交于点O,若E是边的中点，Z

ABO=32°,则OE的长等于5,ZADO的度数为32°

AB

DC

【分析】根据菱形的性质得出BO=DO,AB=AD,AB//CD,根据等边对等角可得/A。。

=ZABO=32°,由三角形中位线定理得出OE=^AB=5.

【解答】解：•••四边形A8CO是菱形，

:.BO=DO,AB=AD,AB//CD,

：.ZADO=ZABO=32°,

是边A。的中点，BO=DO,

；.OE是AABD的中位线，

.1

•-0E=yAB=5-

故答案为：5,32°.

【点评】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形中位线定理，证明出是

的中位线是本题的关键.

15.（3分）如图，是△ABC的中线，ZADC=45°,BC=4cm,把△AC。沿翻折，

使点C落在E的位置，则BE为2后cm.

【分析】根据翻折知：ZADE=ZADC=45°,ED=EC,得到/瓦圮=90°,利用勾股

定理计算即可.

【解答】解：是△ABC的中线，

3。=CD=《BC=2。机，

•••翻折，

/.ZADE^ZADC^45°,ED=CD,

：.ZBDE=90°,BD=DE,

在RtZkBDE中，由勾股定理得：

BE=722+22=2V2cm,

故答案为：2Mlem.

【点评】本题考查的是翻折变换以及勾股定理，熟记翻折前后图形的对应角相等、对应

边相等是解题的关键.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为（1,3）,（3,3）,若直线

y=kx与线段AB有公共点，则k的取值范围为14W3.

【分析】把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得上的最大值和最小值，易得女

的取值范围.

【解答】解:把（1,3）代入y=日，得k=3.

把（3,3）代入得3%=3,解得左=1.

故人的取值范围为1WAW3.

故答案为：1WAW3.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，

找出关于k的最值是解题的关键.

17.（3分）在正方形ABC。中，AB=5,点、E、歹分别为A。、43上点，且AE=AE,连

接BE、CF,则BE+CF的最小值是」辰

【分析】连接。F,根据正方形的性质证明（SAS）,可得。尸=8£,作点

。关于AB的对称点。'，连接C。'交48于点/，连接£>'F,则。尸=£>'F,可得

BE+CF=DF+CF=D'F+CF^CD',所以当点尸与点尸,重合时，D'尸+b最小，最

小值为CD'的长，然后根据勾股定理即可解决问题.

•..四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB,ZBAE=ZDAF=90°,

在尸和△ABE中，

，AD=AB

<ZFAD=ZEAB-

AF=AE

AADF^AABE(SAS),

：.DF=BE,

作点。关于A8的对称点。'，连接C。'交AB于点尸'，连接。'F,则。尸=。'F,

：.BE+CF=DF+CF=D'F+CF^CD',

；,当点F与点P重合时，D'E+CP最小，最小值为C。'的长，

在RtZiCD。'中，根据勾股定理得：

CD'=VcD2+DDy2=Vs2+102=5V5>

：.BE+CF的最小值是5疾.

故答案为：5遍.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的

关键是掌握正方形的性质.

18.（3分）如图，正方形A8CD边长为4,点E在边。C上运动（不含端点），以AE为边

作等腰直角三角形AER连接。E

下面有四个说法：

①当。E=1时，AF=V34；

②当。E=2时，点B,D,F共线；

③当。E=$时，三角形A。尸与三角形瓦不面积相等；

2

④当。E=3时，是/EAF的角平分线.

2

所有正确说法的序号是①②.

【分析】由勾股定理和等腰直角三角形的性质可求瓦，可判断①；如图

1,过点尸作。//_LCD交CD的延长线于X,由“AAS”可证△AE£）gZ\£7女，可得

=HE=4,DE=HF=2,可证180°,可判断②；分别计算出三

角形ADF与三角形即尸的面积，可判断③；如图2,在上截取ON=OE,连接NE,

可求出/M4EW22.5。，可判断④，即可求解.

【解答】解：当。E=1时，则4£=限2+口72=116+1=百7,

,/AAEF是等腰直角三角形,

AF=V2A£=V34>故①正确；

当DE=2时，如图1,过点尸作DHJ_C。，交C。的延长线于H,

,/AAEF是等腰直角三角形，

；.AE=EF,ZAEF=90°,

AZAED+ZFEH=90°,

VZAED+ZDAE=90°,

：.ZDAE^ZFEH,

在△AEZ)和中，

，ZDAE=ZFEH

-ZADE=ZFHE=90°>

AE=EF

/\AED^/\EFH(A4S),

：.AD=HE=4,DE=HF=2,

：.DH=4-2=2=HF,

；./HDF=45°,

ZHDF+ZADH+ZADB=180°,

；.点B,点。，点尸三点共线，故②正确；

当。E=N时，由②可得，△AEDgZkE",

2

：.DE=HF=^-,AD=HE=4,

2

：.DH=3.,

2

/.SAADF=AXADX//£)=AX4X2=3,5A£DF=AXZ)£X//F=AX=2^.,

22222228

SAADF#S^EDF,故③错误；

当。£=2时，如图2,在上截取Z）N=QE,连接NE,

2

：.NDNE=/DEN=45°,NE=S®

2

;AN=AD-DN=2NE,

2

:./NAEW225。,

1/AA£F是等腰直角三角形，

.•.Z£AF=45°,

：.ZFAD^ZEAD,

.•.A。不是NEA尸的平分线，故④错误；

故答案为：①②.

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三

角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

三、解答题（共8小题，19题6分，20-22题每题5分，23-25题每题6分，26题7分）

19.（6分）计算：

（1）718-V12+V3；

⑵（V8-V3）X瓜.

【分析】（1）先化简二次根式，再进行加减计算即可；

（2）先去括号进行乘法计算，再对二次根式进行化简即可.

【解答】解：（1）V18-V12+A/3

=3V2-2V3W3

=3圾_愿；

⑵（在八行）X加

=我XA/6-V3xV6

=748^18

=4V3-3V2.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

20.（5分）已知一次函数y=fcc+6,当x=l时，y的值为-1,当x=-l时，y的值为-5.

（1）求一次函数>=履+6的解析式；

（2）将一次函数y="+b的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与无轴、

y轴的交点坐标.

【分析】（1）根据待定系数法求■次函数的解析式即可；

（2）依据一次函数图象平移的规律，即可得到新的函数及其图象与x轴，y轴的交点坐

标.

【解答】解：（1）将x=l,y=-1；x=-1,y=-5分别代入一次函数解析式得：

fk+b=-l

I-k+b=-5

解得：「=2,

lb=-3

一次函数解析式为y=2x-3.

（2）一次函数y=2x-3的图象向上平移2个单位长度，可得>=2%-1,

令y=0,贝ijx°；令％=0，则y=-l,

2

.,•与X轴，y轴的交点坐标分别为（/，0）和（0,-1）.

【点评】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐

标轴的交点，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键.

21.（5分）如图，矩形纸片A8CD中，AB=S,AD=6,折叠纸片使边落在对角线8。

上，点A落在点A'处，折痕为。G,求AG的长.

二

AGB

【分析】折叠的性质得/BA'G=ZDA'G=ZA=90°,A,D=AD=6,由勾股定理

得2D=4AB2+AD2=10,得出A'8=4，设AG=A'G=x,贝|GB=8-尤，由勾股定

理得出方程，解方程即可得出结果.

【解答】解：：矩形ABCD折叠后AD边落在BD上，

：.ZBA'G=ZDA'G=ZA=90°,

VAB=8,AD=6,

：.A'D=6,BD=7AB2+AD2=V82+62=10）

.\A,B=4,

设AG=A‘G=x,贝!]G8=8-x,

由勾股定理得：7+42=（8一无）2,

解得：x=3,

；.AG=3.

【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、

勾股定理是解题的关键.

22.（5分）如图，在口48CD中，过点A作AE_L8C于点E,AE_LDC于点RMBE=DF.

（1）求证：口ABC。是菱形；

（2）若NEA尸=60°,CF=2,求菱形ABCD的面积.

【分析】（1）证△AE20ZV1PD.得即可得出结论

（2）连接AC,证△AC£）是等边三角形，得C£>=AC,再由含30°角的直角三角形的性

质得AC=2CF=4,贝ijCO=AC=4,AF=273，即可求解.

【解答】（1）证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

:.NB=/D,

\'AE±BC,AF±DC,

：.ZAEB=ZAFD=90°,

在△ABE和△AD尸中，

，ZB=ZD

'BE=DF，

ZAEB=ZAFD

/.AABE^AADF(AAS).

：.AB=AD,

.”ABCD是菱形.

'：AE±BC,AFLDC,ZEAF=60°,

.".Z£CF=360°-90°-90°-60°=120°,

:四边形ABC。是菱形，

/.CD^AD,/AC尸=60°,

...△ACD是等边三角形，ZCAF=30°,

CD=AC,AC=2CF=4,

.•.CD=AC=4,AF=^AC2_CF2=^42_22=2V3>

菱形ABCD的面积=C£>XAF=4X2、/^=8«.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、

等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定

与性质，证明尸是解题的关键，属于中考常考题型.

23.(6分)已知，如图，在△ABC中，AB^AC,是BC边的中线，过点A作8C的平

行线，过点B作A。的平行线，两线交于点E,连接。E交A8于点。

(1)求证：四边形AD8E是矩形；

(2)若8C=8,AO=S,求四边形AE8C的面积.

2

【分析】⑴只要证明四边形AO8E是平行四边形，且乙M>B=90。，即可;

(2)求8£>、AB,禾！］用三角形面积公式可得S四边形AEBC=SAABC+SAABE.

【解答】解：（1）\'AE//BC,BE//AD,

...四边形ADBE是平行四边形，

'：AB=AC,AO是边的中线，

：.AD±BC,

即NA£>2=90°.

，四边形AOBE为矩形.

（2）:在矩形AOBE中，40=5,

：.DE=AB=5,

•.•。是BC的中点，

：.AE^DB=4,

VZADB=90°,

根据勾股定理AD=VAB2-DB2=3,

.•.SMBC=』XBCXAD=JLX8X3=12,

22

.".SAABE——XAEXBE——X4X3—6,

22

S四边形AEBC=S/^ABC~^S/\ABE=12+6=18,

BPS四边形AEBC为18.

【点评】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等

知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型.

24.（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=_，x+n的图象/1分别与-y轴交于

A,8两点，正比例函数的图象/2与人交于点C（2,4）.

（1）求机的值及/2的解析式；

（2）若点M是直线y=-^x+ir上的一个动点，连接。加，当的面积是△80C面

积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；

（3）一次函数〉=丘+2的图象为况且A,12,h不能围成三角形，直接写出左的值.

【分析】(1)将点C坐标代入次函数＞=--l.r+m可得m的值，设h的表达式为：y^nx,

由点C(2,4),即可求解；

(2)设--1«+5),根据SAAOM=2SABOC,即可求解；

2

(3)当/1〃/3或/2〃/3时，/1,/2,/3不能围成三角形，即可求解.

【解答】解：(1)一次函数〉=-工+根的图象/1与/2交于点。(2,4),

2

将点。坐标代入y=-L+根得：4=--X2+m,解得：m=5,

22

设/2的表达式为：y=nx,

将点C(2,4)代入上式得：4=2小解得：n=2,

故：/2的表达式为：y=2x；

(2)点M是直线y=-L+加上的一个动点，

2

由(1)得m=5,

.•.y=--Xx+5,

2

.'.A(10,0),B(0,5),

VC(2,4),

S/\BOC=AX5X2=5,

2

设M(〃，-LZ+5),

2

S丛AOM=2S丛BOC=10,

SMOM=-X10X|-A«+5|=10,解得：〃=6或14,

22

・••点M的坐标为(6,2)或(14,-2)；

(3)当/1〃/3或/2〃/3时，A，12,/3不能围成三角形,

即k--工或k—2,

2

当，3过点C(2,4)时，11,12,/3不能围成三角形，

将点C坐标代入y=kx+2并解得：k=l；

故当13的表达式为：y=--x+2或y=2x+2或y—x+2.

"2"

故左=-工或2或1.

2

【点评】本题是一次函数综合题，主要考查两直线的交点，两直线相交或平行问题，待

定系数法求函数解析式、三角形的面积及分类讨论思想等.解决问题的关键是利用图象

求解各问题.

25.(6分)如图，在正方形ABC。中，E是边AB上的一动点，点尸在边的延长线上，

S.CF^AE,连接。£、DF.

(1)求证：DE±DF；

(2)连接ER取EV中点G,连接。G并延长交BC于H,连接8G.

①依题意，补全图形；

②求证：BG=DG；

③若NEGB=45°,用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)证△ADEgZkCDF(SAS),得/ADE=NCDF,再证/EDF=90°,即可

得出结论；

(2)①依题意，补全图形即可；

②由直角三角形斜边上的中线性质得。G=2ERBG=1EF,即可得出结论；

22

③先证是等腰直角三角形，得/。EG=45°,MffiDGLEF,DG=LEF=EG,

2

BG=LEF=EG=FG,得/GO尸=45°,ZEDG=ZDEG=45°,ZGBF=ZGFB,然

2

后证尸(ASA),得CH=CF,再由勾股定理即可求解.

【解答】（1）证明：•・,四边形ABC。是正方形，

：.AD=CD,ZA=AB=ZBCD=ZADC=90°,

：.ZDCF=90°,

又♦:AE=CF,

：.AADE^ACDF（SAS）,

JNADE=NCDF,

VZADE+ZCDE=90°,

：.ZCDF+ZCDE=90°,

即NEDF=90°,

：.DE±DF；

（2）①解：依题意，补全图形如图所示：

②证明：由（1）可知，△£）跖和ABE尸都是直角三角形，

•・・G是斯的中点，

：.DG=1-EF,BG=LEF,

22

：.BG=DG；

③解：BG2+HG2=4AE2,证明如下：

由（1）可知，LADE名ACDF,DE1DF,

:・DE=DF,

・・・ADEF是等腰直角三角形，

:・/DEG=45°,

・・・G为斯的中点，

：.DG±EF,DG=LF=EG,BG=2EF=EG=FG,

22

AZEGD=ZHGF=ZDGF=90°,ZGDF=45°,NEDG=NDEG=45°,ZGBF

NGFB,

9：ZEGB=45°,

ZGBF=ZGFB=22.5°,

ZDHF+ZHFG=ZDHF+ZCDH=90°,

ZHFG=ZCDH=22.5°,

：.ZCDF=ZGDF-ZHDC=22.5°=/CDH,

又〈NDCH=/DCF=90°,CD=CD,

：.△CDH2△CDF(ASA),

：.CH=CF,

在RtzXG班1中，由勾股定理得：GF2+HG2=HF2,

,:HF=2CF=2AE,GF=BG,

J.BCfi+HG2^(2AE)2,

.-.BG2+HG2=4A£2.

【点评】本题是四边形综