2024年新高考数学一轮复习《求概率统计的综合问题》达标检测

《求概率统计的综合问题》达标检测

[A组]一应知应会

1.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%,则该养殖场考核为合格.该养殖场在2019年1月到8月养殖

生猪的相关数据如表所示：

月份1月2月3月4月5月6月7月8月

月养殖量/千只3456791012

月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1

生猪死亡数/只293749537798126145

（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；

（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确

到0.001）.

（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只,

试估计：该月利润约为多少万元？

n

Y.xiyi-nxy

附：线性回归方程GS+RY中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：b=^-----------，

Y"八£2—2

Xx^-nx

i=l

a=y-bx-

88

参考数据：工x：=460，工xiyi=379.5-

i=li=l

2.潜叶蝇是南方地区水稻容易遭受的虫害之一，成虫将虫卵产在叶片里，待虫卵孵化之后幼虫会在叶片中

啃叶肉，使得秧苗的叶片呈现白色的状态，进而降低水稻产量.经研究，每只潜叶蝇的平均产卵数y和

夏季平均温度X有关，现收集了某地区以往6年的数据，得到下面数据统计表格.

平均温度xjC212325272931

平均产卵数■个711212264115

（I）根据相关系数r判断，潜叶蝇的平均产卵数y与平均温度X是否具有较强的线性相关关系，若有

较强的线性相关关系，求出线性回归方程y=Kx+2,若没有较强的线性相关关系，请说明理由（一般情

况下，当旧＞0.75时，可认为变量有较强的线性相关关系）；

（II）根据以往的统计，该地区夏季平均气温为C（°。近似地服从正态分布“（26.5,。②），且户（25

C&W28）=1.当该地区某年平均温度达到28。C以卜.时，潜叶蝇快速繁殖引发虫害，需要进行一次

2

人工治理，每次的人工治理成本为200元/公顷（其他情况均不需要人工治理），且虫害一定会导致水稻

减产，对过往10次爆发虫害时的减产损失进行统计，结果如下：

每次虫害减产损失（元/公顷）10001400

频数46

用样本的频率估计概率，预测未来2年，每公顷水稻可能因潜叶蝇虫害造成的经济损失F（元）的数学

期望.（经济损失=减产损失+治理成本）

n__n__

E(x「x)(y「y)E(x「x)(y「y)

i=l_i=l_________________—

参考公式和数据：r

g(xG(y1)2__'a=y-bx

12

E(Xi-x)

i=lVi=li=l

6__666

(y-y)2=8816,A/70^8.4,7617180

E(Xi-x)(yi-y)=700-EX”126,£y=240,£x

i=li=li=li=l

心786.

3.我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其

中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组［100,110）,第二组［110,120）,…第五

组［140,150］,得到频率分布直方图.

（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；

（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组

中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为&,求&的分布列及期望.

4.端午节（每年农历五月初五），是中国传统节日，有吃粽子的习俗.某超市在端午节这一天，每售出1傍

粽子获利润5元，未售出的粽子每1盘亏损3元.根据历史资料，得到销售情况与市场需求量的频率分

布表，如下表所示.该超市为今年的端午节预购进了140片g粽子.以才（单位：kg,100^^150）表示

今年的市场需求量，r（单位：元）表示今年的利润.

市场需求量(kg)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

频率0.10.20.30.250.15

(1)将r表示为x的函数；

(2)在频率分布表的市场需求量分组中，以各组的区间中间值代表该组的各个值，需求量落入该区间的

频率作为需求量取该区间中间值的概率(例如：若需求量xe[lio,120),则取X=115,且X=115的概

率等于需求量落入[110,120)的频率0.2),求F的数学期望.

5.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、

田径、篮球等27个大项，329个小项.来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.军运会召开前,

为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多

的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓

情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者,

他们得分（满分100分）数据，统计结果如表：

组别（30,40）（40,50）（50,60）（60,70）（70,80）（80,90）（90,100）

频数5304050452010

（1）若此次问卷调查得分才整体服从正态分布h"（口，。②），用样本来估计总体，设口，。分别为

这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），

①求U的值；

②经计算。-14,求户（51〈启93）的值.

（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖

励方案：得分低于口的可以获得1次抽奖机会，得分不低于口的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，

抽中价值为15元的纪念品A的概率为2；抽中价值为30元的纪念品8的概率为工，现有市民张先生参

33

加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记［为他参加活动获得纪念品的总价值，求/的分布列和数学期

望.

附：若X〜N（u,。"，贝I尸（口-。<Z<口+。）-0.6827,尸（口-2。〈代口+2。）心0.9545,.P

（u-3o<X<u+3o）^0.9973.

6.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某电动汽车

厂新开发了一款电动汽车.并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y与行驶时间x

（单位：小时）的测试数据如表：

xl234567891a

y2.7721.921.361.121.090.740.680.530.45

根据电池放电的特点，剩余电量y与行驶时间x之间满足经验关系式：尸a£,通过散点图可以发现y

与x之间具有相关性，设

（1）利用表格中的前8组数据求相关系数r,并判断是否有99%的把握认为x与«之间具有线性相关关

系；（当相关系数r满足旧＞0.789时，则认为有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系）

（2）利用x与a的相关性及表格中前8组数据求出y与x之间的回归方程；（结果保留两位小数）

（3）如果剩余电量不足0.8,电池就需要充电.从表格中的10组数据中随机选出8组，设才表示需要

充电的数据组数，求X的分布列及数学期望.

附：

相关数据：^42^6.48,4^=2.45,V1.7030,e1-17^3.22-

表格中前8组数据的一些相关量

88888

22

工Xi=36,Yy=11.68,£G）i=2.18,£（Xi-x）=42,5（y,-?）=3.61

i=li=li=li=li=l

8_8__8__

£（3「3）=1.70,Z（xi-x）（y.-y）=-ll.83,工（Xj-x）（3「3）=-8.35，

i=li=li=l

相关公式：对于样本（u,，5）（7=1,2,3,—,〃），其回归直线W工'U+W的斜率和截距的最小二乘

n

£（u「u）（Uj-u）

估计公式分别为：-----------------，a=u-bTir,

--9

X（U「U）2

i=l

n

工（Uj-U）（u「u）

相关系数r=[n二|n

（U「可）2忙（Ui--）2

i=l

7.某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供46两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一

种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买力的概率为2,购买6的概率为工，而前

33

一次购买/产品的人下一次来购买/产品的概率为工，购买8产品的概率为3,前一次购买6产品的人

44

下一次来购买/产品的概率为工、购买6产品的概率也是工，如此往复.记某人第〃次来购买/产品的

22

概率为Pn.

（1）求凡并证明数列｛Pn4｝是等比数歹!I;

（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有乃个人购买/产品，求才的分布列并求£（笛；

（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产

品，那么公司每天应至少准备46产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.

8.搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品.曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗

瓢盆；喝茶用到的杯子，洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆.某搪瓷

设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数才依次3,4,5,6,7,8,

该公司交给生产水平不同的A和6两个厂生产，已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数不服从正态分

布”（口,0.25）,且p（X<6）=£.在电商平台上/厂生产的糖瓷水杯的零售价为36元/件，6厂生产

的糖瓷水杯的零售价为30元/件.

（1）（i）求/厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值；

（77）若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记X表示这10000件搪瓷水杯等级系数乃位于区间（5.5,

6.5）的产品件数，求£（乃；

（2）从8厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图：

设L广品颦生笠咿均值，若以上的值越大，产品越具可购买性为判断标准.根据以上数据，哪

L产品零售价

个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由.

注：若Z〜N（U,。2），贝!j尸（口o〈启口+0）=0.6826,P（P-2o〈启口+2。）=0.9544,P

（口-3oW口+3。）=0.9974.

件

I0

9

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7.

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5-

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1.

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9.在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆

期间集体上映，拉开国庆档电影大幕.据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票

房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民

至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了1