2024年湖南省长沙市望城区部分学校中考数学一模试卷（含解析）

2024年湖南省长沙市望城区部分学校中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各数：g3.14,今y,眄中，无理数有个.（）

A.1B.2C.3D.4

2.亚运会会徽图案中是轴对称图形的是（）

3.下列运算正确的是（）

A.Q+=Q323s332622

B.(a/j)=abC.Sy-3y=15ysD.aa=a

4.华为Ma£e60Pr。搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比.已知7米

等于7000000000纳米.数据7000000000用科学记数法为()

A.0.7x108B.0.7x109C.7x108D.7x109

5.如图，在△ABC中，4D是NBAC的平分线，AB=8cm,AC=6cm,则SMB。：

S&ACD为（）

A.9：16

B.3：4

C.16：9

D.4：3

6.为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示，下列关于

“月用水量”的数据分析说法正确的是（）

月用水量/吨68910

户数2369

A.平均数是8B.中位数是8C.方差是1.5D.众数是9

7.如图，48是。。的直径，若N8AC=36。，则乙4DC的度数为（）C

A.36°

B.45c

C.54c

D.72°

8.不等式组｛:的解集在数轴上表示正确的是（）

-3-2-10123-3-2-10123

-3-2-10123-3-2-10123

9.下列一次函数中，y随％增大而增大的有（）

©y=8x-7；@y=6-5x；（3）y=-8+y/~3x；④y=（V3-V"7）x；⑤y=9x.

A.①②③B.①②⑤C.①③⑤D.①④⑤

10.《周髀算经》OL章算术》的岛算经）掰'子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰

宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是倜髀算经》和仇章算术》的概率是

11

-C-D

A.68

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.分解因式：9/J2-a2=

12.若一组数据3,-2,x,-2,3的众数是3,则这组数据的方拳为—

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在4轴的正半轴

上.若点4的坐标是（3,4）,则点8的坐标为

OC

14.如图，点M为反比例函数y=：图象上的一点，AM_Ly轴于点48为y轴负半轴

上一点，且满足04=。氏连接MB与％轴交于点C,若S.8oc=l，贝腺=______.

15.如图，力8是半圆。的直径，弦CD//AB,8=8,弦CD与直径AB之间的距

离为3,则48=______.

16.如图，在AARC中，乙4cB=90。，AC=BC=3,以BC为直径作半圆。，过

点A作半圆。的切线，切点为D,过点D作D£〃BC交诧于点E,则DE=

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

17.计算：2sin450-78+(7T-1)°+|/2-1|.

四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(本小题6分)

先化简，再求值：—2(。26+^炉)+(2a2b-3ab2),其中。=1,b=-2.

19.(本小题6分)

如图，乐乐从地铁站4出发，沿北偏东30。方向走1000米到达博物馆B处，参观后又从8处沿正南方向行走

一段距离，到达位于地铁站南偏东45。方向的图书馆C处.

(1)求乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离；

(2)如果乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿C4回到地铁站4那么她在10分钟内能否到达地铁站4?(72«

1.414,73»1.732).

B

20.(本小题8分)

在某中学开展的读书活动中，为了解年七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期

读书的册数.根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②.请整根据相关信息，解答下列问题:

ia0图②

(I)本次接受调查的学生人数为,到①中m的值为______；

(II)这组数据的众数和中位数分别为;求统计的这组数据的平均数;

(III)根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数.

21.(本小题8分)

如图，A/IBC中，Z-ACB=90°,4D平分OE14B于E.求证：

(1)4E=4C；

(2)直线AC是线段CE的垂直平分线.

22.(本小题9分)

已知某品牌的饮料有大瓶装与小瓶装之分某超市花了3800元购进一批该品牌的饮料，共1000瓶，其中大

瓶和小瓶饮料的进价及售价如下表所示：

大瓶小瓶

进价(元/瓶)52

售价(元/瓶)73

(1)该超市购进大瓶和小瓶饮料各多少瓶？

(2)在大瓶饮料售出200瓶，小瓶饮料售出100瓶后，商家决定将剩下的小瓶饮料的售价降低0.5元销售，并

把其中一定数量的小瓶饮料作为赠品，在顾客一次性购买大瓶饮料时，每满2瓶就送1瓶小瓶饮料，送完即

止.超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出多少瓶？

23.(本小题9分)

如图，在菱形4BCD中，对角线AC与BD相交于点0,E为CD的中点，连接OE并延长到点F,使得OE=

EF,连接DF.

(1)求证：四边形OCFO是矩形；

(2)若=5,sinzDOF=求8。的长.

24.(木小题10分)

如图，4B为O。的直径，C为。0上一点，连接C8,过C作CD1AB于点D,过C作/DCE,使乙DCE=

2乙BCD,其中CE交AB的延长线于点E.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)如图2,点户是0。上一点，且满足々FCE=24力8C,连接力尸并延长交EC的延长线于点G.

①试探究线段cr与CD之间满足的数量关系;

②若CO=4,tanz-BCE=1,求线段”的长.

图2

25.(本小题10分)

如图，二次函数、=/+历:+。的对称轴是直线％=1,图象与％轴相交于点4(-1,0)和点B,交y轴于点C.

(1)求此二次函数的解析式;

(2)点P是对称轴上一点，当△BOCs△月尸8时，求点P的坐标(请在图1中探索);

(3)二次函数图象上是否存在点M,使△ABC的面积Si与AABM的面积S2相等？若存在，请求出所有满足条

件的点M的坐标；若不存在，请说明理由〔请在图2中探索).

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：/4=2,是有理数，不是无理数，

3.14和当是有理数，不是无理数，

所以无理数有最源（共2个）.

故选：B.

根据无理数的定义逐个判断即可.

本题考查了无理数，能熟记无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）是解此题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：力、是轴对称，符合题意；

8、不是轴对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称，不符合题意；

。、不是轴对称，不符合题意；

故选：A.

根据轴对称图形的概念即可求解.在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的

图形为轴对称图形.

本题考查了轴对称图形，能找准对称轴是本题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：A、a与M不是同类项，不能合并，故不合题意；

B、（。2/?）3=。6匕3,故不合题意；

C、5y3.3y2=i5yS,故符合题意；

£）、a6-ira2=a4,故不合题意；

故选：C.

直接根据单项式乘单项式、合并同类项、鼎的乘方与积的乘方、同底数幕的除法运算法则计算即可.

此题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、幕的乘方与积的乘方、同底数暮的除法，掌握其运算法则是

解决此题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：7000000000大于1,用科学记数法表示为ax10%其中Q=7,n=9,

---7000000000用科学记数法表示为7x109.

故选：D.

根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为ax10、其中1Wav10,九的值为整数位数少1,进行作答

即可.

本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，确定a,n的值是关键.

5.【答案】D

【解析】解：作DEJ.4B于E,DF1AC于尸，

是NBAC的平分线，//\

DE=DF,/'、、/

，•I・X

//•'，J./XX

•••SAAB。：SHACD=•DE：\AC-DF=AB：AC=8：6=4：/___________

22BDC

3.

故选：D.

作DE148于E,。/，4：于凡由角平分线的性质可知，DE=DF,再由三角形的面积公式求解即可.

本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是

解答此题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：这组数据的平均数为6x2+?震及l°x9=%吨),因此选项A不符合题意；

Z+3+6+9

将这20户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为攀=9,所以中位数为9,因此选项

«不符合题意；

这组数据的方差为品X[2x(6-9)2+(8-9/x3+(9-9/x6+(10-9)2X9]=1.5,因此选项C符

合题意；

这组数据出现次数最多的是10吨，共出现9次，所以用水量的众数是10,因此选项。不符合题意；

故选：C.

根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可.

本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的前

提.

7.【答案】C

【解析】解：如图，连接BC.

•.TB是直径，

LACB=90°,

:.匕ABC=90°-乙CAB=54%

:.Z.ADC=Z.ABC=54°,

故选：C.

如图，连接BC.求出乙4"即可解决问题.

本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问

题,属于中考常考题型.

8.【答案】C

【解析】解：：〈粽，

(X-2>0(2)

解不等式①得：%<-2,

解不等式②得：x>2,

，原不等式组无解，

.•.该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

-3-2-10123

故选：C.

按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答.

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解

题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：①在一次函数y=8%-7中，k=8>0,则此函数中y随之增大而增大，故本选项符合题意；

②在一次函数y=6—5%中，k=—5<0,则此函数中y随x增大而减小，故本选项不符合题意；

③在一次函数、=一8+门%中，k=y/l>0,则此函数中y随久增大而增大，故本选项符合题意；

④在一次函数y=(、另一/7)%中，k="写一V7)V0,则此函数中y随%增大而减小，故本选项不符合题

意.

⑤在正比例函数y=9%中，k=9>0,则此函数中y随%增大而增大，故本选项符合题意；

故选：C.

根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是一次函数的性质，即一次函数丫=/^+匕(4中0)中，当k>0时，y随”的增大而增大，函数

从左到右上升；k<0,y随工的增大而减小，函数从左到右下降.

10.【答案】B

【解析】解：将四部名著。司髀算经》仇章算术》的岛算经》痣小子算经》分别记为A,B,C,0,

用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：

ABCD

A-BACADA

BAB-CBDB

CACBC—DC

DADBDCD—

由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等,

所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即AB,BA,

所以恰好选中倜髀算经》和仇章算术少的概率是白=:，

izo

故选：B.

本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解.

本题考查了用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是掌握概率的求法.

11.【答案】(3匕+a)(3b—a)

【解析】解:原式=(3协2_d

=(3b4-a)(3b—a).

故答案为：(3b+a)(3b-a).

直接利用平方差公式进行分解即可.

此题主要考查了平方公式分解因式，关键是熟练掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

12.【答案】6

【解析】解：••・数据3,-2,x,-2,3的众数是3,

x=3>

则数据为3,-2,3,-2,3

••.这组数据的平均数为：-2—2:3+3+3=],

•••这组数据的方差为：|X[2X(-2-1)24-3X(3-I)2]=6；

故答案为：6.

先根据众数的概念得出％=3,再依据方差的定义计算可得.

本题主要考查众数和方差，掌握方差的计算是解题的关键.

13.【答案】(8,4)

【解析】解：•.♦点A的坐标是(3,4),

0A=5,

••・四边形04BC为菱形，

/.0A=AB=5,

则点B的坐标为(8,4).

故答案为：(8,4).

根据点A的坐标是(3,4),可得04的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点B的坐标.

本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质.

14.【答案】4

【解析】解：连接0M,

,:0A=0B,

•••AB=0A4-OB=20B,

・•・AMly轴于点4,。。_1、轴于点。,

AM//0C,

/.△ABM^h0BC,

,:OA=OB,AM1y轴于点4,

S^AOM=SABOM，

,*,51川=^AAOM,

\k\=4,

•••点M为反比例函数y=:在第一象限图象上的一点,

•••k>0,

•••k=4,

故答案为：4.

连接0M,证明MBMSAOBC,利用三角形中线性质得到0C=竽则如|=S-OM，根据反比例函数图象

所在象限即可得到答案.

此题考查了利用图形面积求反比例函数的比例系数，掌握反比例函数k的几何意义是关键.

15.【答案】10

【解析】解：过。作O，_LCD于H,

CH=1cD=1x8=4,/、、、、：\

—三——

：AB//CD,

OHLAB,

•••OH=3,

OC=VOH2+CH2=5，

.••AB=2OC=10.

故答案为：10.

过。作OH1CD于H,由垂径定理得到CH="CO=4,由得到OHJ.AB,因此。H=3,由勾股

定理求出OC=/OH?+CH?=5,即可得到4B=2OC=10.

本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出OC的长.

16.【答案】|

【解析】解：延长AD交C8的延长线于尸点，过。点作DG1BC于G点，过A

。点作OH_LDE于H点，连接0D,如图，

VLACB=90°,AC=BC=3,

•••AC为。。的切线，

•.TO为。。的切线，

ODLADfAD=AC=3,

•••LFDO=90。，

Z.DFO=Z.CFA,Z-FDO=/-FCA,

3

F00D-

21

--=7-=-=-

F4c32

设厂。=工・则兄4=2x,

•••FD=2x—3,

在RtAFD。中，(1)2+(2x-3)2=x2,

解得力=获

即0/=全

••《DGOF=；0D•DF,

••.0G=J(*©2=强

•••DE//BC,DG1BC,OH1DE,

.••四边形OGDH为矩形，

9

:.DH=OG=热

•••OH工DE,

DH=EH,

9

DE=2DH=

故答案为：

延长40交CB的延长线于F点，过。点作OGIBC于G点，过。点作0,，DE于，点，连接0D,如图，先证

明AC为。。的切线，则利用切线的性质和切线长定理得到。。14",AD=AC=3,接着证明△产DOs4

FCA,利用相似比得到兽=整=；,则设尸。二%,FA=2%,所以FO=2%-3,接下来在RC△尸00中利

FAAC2

用勾股定理得到©)2+(2%—3)2=/,解方程得到。/=费则利用面积法可求出0G=(,然后利用勾股

定理计算HIOG=K，最后利用垂径得到DE的长.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了切线长足理、垂径定理和勾股定理.

17.【答案】解：2sin45°-78+(7r-1)°+|/2-1|,

=2X竽—2V~2+1+>J~2—1»

=<2-2/2+1+/2-1»

=0.

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.

本题考查了实数的运算，零指数暴，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

18.【答案】解：原式=-2a2b+|ab2—b2+2a2b—3ab2

=—b2-^ab2,

当a=1,b=-2时，

原式="(-2)2-|x1x(-2)2

【解析】先去括号，再合并同类项，化简后将a,b的值代入即可.

本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则把所求式子化简.

19.【答案】解:(1)如图，过点4作4D1BC于点D,

在RCA40B中，48=1000米，48=30°,

则4D=；4B=500(米)，北

答：乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离为500米；7

(2)在RMADC中，ZC=45°,打

则AC=>[2AD=500口(米)，

•••500/2«707,707-5-80«8.8<10,

•••乐乐在10分钟内能到达地铁站力.

【解析】(1)过点4作4。1BC于点D,根据含30。角的直角三角形的性质求出AD；

(2)根据等腰直角三角形的性质求出/C,根据题意求出乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿。4回到地铁站4

所需的时间，比较大小得到答案.

本题考查的是解直角三角形的应用一方向用问题，熟记直角三角形的性质是解题的关键.

20.【答案】40253和3

【解析】解：(I)本次接受调查的学生人数为：4+10%=40(人)，

m%=12x100%=25%,

即图①中的m的值是25,

故答案为：40,25；

出我-1x4+2x8+3x15+4x10+5x3”业、

(II)平均数：X=------------------------------=3(册)，

•••3出现的次数最多，

•••众数是3册，

被抽查的40个学生读书册数从小到大排列，排在第20和21位的两个数分别为3,

故中位数是3册.

即本次调杳获取的样本数据的平均数是3册、众数是3册、中位数是3册.

故答案为：3,3；

(III)v3X400=1200,

・•・根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数为1200册.

(I)由两个统计图可知，读书1册的有4人，占调查人数的10%,可求出调查人数；进而求出读书4册的人

数的所占的百分比，确定m的值：

(II)根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；

(HI)样本估计总体，计算样本读书的总数，估计总体即可.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解

决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大

小.

21.【答案】证明：(1)・••=90。，

:.DC1AC,

又•・•AD平分ZBAC,DELAB,

:，DE=DC,

在AAED^Rt△AC。中,

(AD=AD

IDE=DC'

•••Rt△AED^Rt△ACD(HL),

:.AE=ACx

(2)-AE=AC,

.•.点4在线段CE的垂直平分线上，

•••DE=DC,

.•.点。在线段CE的垂直平分线上，

•••4。是线段CE的垂直平分线.

【解析】(1)根据角平分线的性质求出DE=DC,△AED^Rt△ACD,根据全等三角形的性

质即可得讦：

(2)根据线段垂直平分线的判定定理即可得证.

本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的

判定与性质是解题的关键.

22.【答案】解：(1)设该超市购进％瓶大瓶饮料，y瓶小瓶饮料，

根据题意得:露2；喘0,

解得:湍

答：该超市购进600瓶大瓶饮料，400瓶小瓶饮料；

(2)设小瓶饮料作为赠品送出m瓶，

根据题意得：7X60U+3X1U0+(3-U.5)(,4U0-10U-m)-3800>1250,

解得：mW80,

・•.m的最大值为80.

答：小瓶饮料作为赠品最多只能送出80瓶.

【解析】(1)设该超市购进X瓶大瓶饮料，y瓶小瓶饮料，利用进货总价=进货单价x进货数量，结合该超市

花了3800元购进1000瓶该品牌的饮料，可列出关于％,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设小瓶饮料作为赠品送出m瓶，利用总利润=销售单价x销售数量-进货总价，结合总利润不低于1250

元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论.

本题考查了二元一次方程组应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列

出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

23.【答案】⑴证明：•・・£1为CD的中点，

---EC=ED.

EF=EO,

四边形OCFO是平行四边形，

•.•四边形A8CD是菱形，

AC1BD,

:.Z.DOC=90°,

••・四边形OCFD是矩形；

(2)解：♦.♦四边形4BCD是菱形，

CD=AB=5,BD=20D,

••・四边形OCFO是矩形，

OF=CD=5,Z-ODF=90°,OC=DF,

•:sin乙DOF=

OF5

onDF3

即可=T

:.OC=DF=3,

在R£ACOD中，由勾股定理得：0。=VCD2一。田2=>/52-32=4,

•••BD=2OD=2x4=8.

【解析】(1)先证四边形OC广。是平行四边形，再由菱形的性质得出NDOC=90。，即可得出结论；

(2)由菱形的性质得出CD=4B=5,BD=20D,再由矩形的性质得出OF=CD=5,Z.ODF=90°,

OC=DF,进而由锐角三角函数定义求出OC=DF=3,然后由勾股定理求出0D4,即可得出答案.

本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定、勾股定理、锐角三角函数的定义等知

识，熟练掌握矩形的判定与性质以及菱形的性质是解题的关键.

24.【答案】(1)证明：如图1,连接。C,

A

图1

•••OB=OC,

...Z.OBC=乙OCB,

,:CD1AB,

AOBC+ABCD=90。，

乙DCE=2乙BCD,

•••乙BCE=乙BCD,

:.Z.OCB+乙BCE=90°,

即。C_LCE,

・・.CE是O。的切线；

(2)解：①线段C/与CD之间满足的数量关系是：CF=2CD,

理由如下：如图2,过。作0HleT于点H,连接C。，

A\~oDB_E

CF=2CH,

•••Z.FCE=2Z.ABC=2Z.OCB,且匕BCD=乙BCE,

LOCH=mCD,

•••0C为公共边，

.••△COH以CODQLIS),

CH=CO,

:.CF=2CD；

②过点C作CP1FG,连接BF,过点C作C”1BF,

•・•/B是O。的直径，

•••LAFB=90°,

•••乙BCD=乙BCE,tan/BCE=

•••tanzBCD=

•••CD=4,

p

:.BD=CD♦tanz.BCD=2,

BC=CD2+BD2=2/5»

由①得：CF=2CD=8,

设0C=08=%,则0。=*-2,

222

在RtAODC中，OC=OD+CDt

Ax2=(x-2)2+42»

解得：x=5,即08=5,

OCLGE,

乙OCF+乙FCG=90°,

••乙OCD+乙COD=90°,LFCO=“CD,

•••乙GCF=乙COB,

•••四边形4BCF为O。的内接四边形，

:.Z.GFC=Z.ABCt

GFCs△CBO>

.FG_FC_GC

••而二而=而'

.FG_8_GC

/*=5=T>

”=岑^］。=8.

•••CPLFG,

k1,8/5

•••PF=n-zFG=-=-，

PC=VCF2-PF2=J