河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题试题及答案

开封市2024届高三年级第三次质量检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡

上.

2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

要改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，

写在本试卷上无效.

3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设复数z满足(zT)i=T,则忖=()

A.1B.V2C.6D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的加减乘除四则运算求出z,再求其模即得.

【详解】由(z—l)i=-1可得z=l—：=l+i,贝"z|=&.

故选：B.

2.已知向量)=(2,1),a+b=(l,tn),若。〃匕，则加=()

A.-3B.3C.--D.:

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算及向量共线的坐标关系即可求解.

【详解】由a=(2,l),a+Z;=(1,可得b=(a+Z?)-a=(—1,根一1),

由a〃〃可得一］=,解得机=；,

故选：D

3.设U=R,己知集合4=｛划》21｝,5=｛刈%＞。｝,且(令4)。6=H，则实数。的取值范围是

A.(l,+oo)B.C,[1,+oojD.(-8,1)

【答案】D

【解析】

【分析】由题设可得令A={x|x<l},根据已知集合的并集结果即可求。的取值范围.

【详解】由题设,^A={x|x<l},又&A)u5=R,B=[x\x>a],

♦.a<1'

故选：D

4.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次

抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是()

3336

A-B.——C.—D.—

4102525

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】设事件A="第1次抽到几何题"，事件3="第2次抽到代数题”，

2233

所以尸(A)=Z，P(A5)=W*：=/，

55410

3

3

则。(例4)=号黑=

120一--

14

P(A)5

故选：A.

5.已知。1(用94=1,贝!|2一"=()

111

A.-B.-C.一

983

【答案】C

【解析】

【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得.

【详解】由。1。894=1可得4"=9，即(2〃)2=9,2〃=3,故

故选：C.

6.在某项测验中，假设测验数据服从正态分布N（78,16）.如果按照16%,34%,34%,16%的比例将测

验数据从大到小分为A,B,C,。四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是（附：若

X,则P（|X-卜0.6827,P（|X_/<2o•b0.9545）（）

A.94B.86C.82D.78

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.

【详解】测验数据服从正态分布X~N（78/6）,

则〃—78,（7==4，

故尸（X〉〃+b）=——।2——'-0.16，

故A等级的分数线应该是〃+。=78+4=82.

故选：C

7.已知点尸是抛物线/=4x的焦点，M,N是该抛物线上两点，|耐|+|八下|=6,则MN中点的横坐

标为（）

35

A.—B.2C.—D.3

22

【答案】B

【解析】

【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式求解.

【详解】设点监N坐标分别为区,％）,（%,为），抛物线V=4x的准线方程为x=—1,

由抛物线定义有，|加耳=石+1,|八，巴=%+1,

所以％1+1+%2+1=6,为+4=4,故%=2,选项B正确.

故选：B.

8.记5.为数列｛4｝的前〃项和，T”为数列｛4｝的前〃项积，若％=1,则满足7；>1000的

n的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根据4+1=5"可得｛S,,｝为公比为2的等比数列，即可求解S“=2"T,进而可得〃N2,4=2"-2,

根据,的表示即可求解.

【详解】由4+1=S,可得S“+i—S“=Sn=>Sn+l=2Sn,Sj=1*0,

故｛S'｝为公比为2的等比数列，故S“=2"T,

所以4+i=S“=2"T,故〃N2,a'=2"-2,

2〃-2,〃”

因止匕=<

1,〃二1

(〃-1)(〃-2)

故7；=64%.an=1X2°X21X2Z,-2=22

要使7；〉1000,则

当〃=6时，2i°>1000，〃=5时，26<1000,且在“25时,随着正整数九的增大而增

2

大，故”的最小值为6,

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

22

9.椭圆。：^—+当=1（机〉0）的焦点为后，工，上顶点为A，直线入£与C的另一个交点为8,若

m+1m

TT

/《公耳=§，则（）

A.C的焦距为2B.C的短轴长为26

C.C的离心率为组D.△ABE,的周长为8

2一

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据ZFtAF2=-以及椭圆的对称性可得《=（3]=-^―，进而可求解a=2,b=y/3,c=l,

3a2m+1

即可根据选项逐一求解.

7171

【详解】由于/耳人6=—，所以/片49=/。4鸟=一,

36

故COSN《AO=C=*=^^=2=E,

6|A用产了a2

b2一m2

因止匕二二，故m2=3，

am2+1

所以椭圆C:土+)—=1,a=2,b=C,c=\

43

对于A,焦距为2c=2,故A正确，

对于B,短轴长为2/7=26，B正确，

c1

对于C,禺心率为6=—=—,C错误，

a2

对于D,△AB&的周长为4a=8,D正确,

10.己知函数〃x)=cos2尤-Sil?%,将函数/(%)的图象向右平移4个单位长度后得到函数g(x)的图

6

象，贝I()

A.函数g(x)的周期为兀

B.函数g(x)的图象关于直线尤=g对称

C.函数g(x)在区间0,^上单调递减

JT1

D.函数g(x)在区间0,-上的最小值为-一

22

【答案】AD

【解析】

【分析】根据二倍角公式化简/(x)=cos2x,即可利用平移求解g(x)=cos2%-三，结合选项即可逐

一求解.

【详解】/(x)=cos2x-sin2x=cos2x,

2九

故数g(x)的周期为万=兀，A正确,

对于B.函数g三二cosgw±l,故g(x)不关于直线％=对称，B错误,

对C.当XC0,方，则2厂夫-j.y<z[0,7r],故函数g(x)在区间0,-|不是单调递减，C错误,

对于D.xe，则2x-*,故当2尤时，g(X)取最小值cos,=—1■故D正确，

故选：AD

11.已知函数/(%)的定义域为R,且/(%+y)+/(%-y)=/(%)/(丁)，/。)=1，则()

A./(O)=2B.f(3-x)=f(3+x)

C.〃九)是周期函数D.7(尤)的解析式可能为/(x)=2sinBx

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用赋值法求/(。)=2判断A；赋值法可得函数奇偶性即可判断D；利用赋值法求得

f(x+l)^f(x)-f(x-l),化简得/5)=-/(尤-3)=/(》一6),即可判断C,由周期性和奇偶性即可求解B.

【详解】由吊(x+y)+C(x—y)=Q(x)/(y),

令1=1,y=0,有/⑴+/⑴=”1)/(0),可得"0)=2,故A正确；

令％=0,则/(y)+/(—y)=/(0)/(y)=2/(y),则/(y)=/(-y),

函数Ax)是偶函数，而y(x)=2sinBx为奇函数，故D错误，

/。)=1，令y=L

则f(x+1)+f{x-1)=/(X)/⑴="X),

所以/(x+l)=/(x)—/(x—l),

则=2),

于(x+1)=[/(x-1)-f(x-2)]-于(x-1)=-f｛x-2),

所以/(X)=-/(X—3)=/(X-6),则周期为6,C正确.

由于Ax)为偶函数且周期为6,故"3—x)=/(x—3)=/(3+力，B正确，

故选：ABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知｛4｝为等差数列，S,,为其前几项和，若q=8,。4+%>=0，则$8=

【答案】8

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式列方程求解公差，进而可以求出工

【详解】设等差数列｛q｝的公差为=8,%+4=0，

...2x8+84=0,解得d=-2.

e8x7

贝ijS=8X8-2X----=8.

82

故答案为8.

13.已知函数y(x)=x—工的值域为。+8),则/⑺的定义域可以是

X

【答案】[—1,。)工+8)(答案不唯一)

【解析】

【分析】解分式不等式得到X范围，写出符合题意的定义域即可.

【详解】令x—工》0,解得—lWx<0或121,

则/(X)的定义域可以是[-1,0)[1,+8),

故答案为：[-1,。)一口,+8)(答案不唯一).

14.在矩形ABCD中，AB=2,AD=2』，沿对角线AC将矩形折成一个大小为。的二面角

B-AC-D,当点2与点。之间的距离为3时cos，=.

【答案】I

6

【解析】

【分析】根据向量的线性运算可得3。=6£+斯+尸。，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解.

详解】分别作BE,AC，DF1AC,垂足为E,F,则0=〈仍,如〉.

由AB=2，AD=26可得4。=4,所以仍=FD=^^=G,AE=b=l,£F=2.

因为BD=BE+EF+FD，贝I

2,2-2-2

\BD^=BD=(BE+EF+FD)2=BE~+EF+FD+2BEFD

9=3+4+3+2A/3-^/3COS(TI-61),

故cos9=工，

6

故答案为：—.

6

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某学校有A,B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，8餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相

同.A餐厅距离教学楼相比于8餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况

如下：

男女

在A餐厅用餐4020

在2餐厅用餐1525

(1)求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率；

(2)依据£=0.005的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联?

n^ad-bc^

附：/=,

a0.050.010.0050.001

%3.8416.6357.87910.828

【答案】（1）—

50

（2）依据a=0.005的独立性检验，认为性别与选择餐厅之间有关联

【解析】

【分析】⑴分别求解p（A）=（）,p（4）=1|）,P（4|4）=g,P（4|4）=：,利用全概率公式可求得

所求事件的概率；

（2）完善二联表，即可计算卡方，与临界值比较作答.

【小问1详解】

由表中数据可得，选择A餐厅的概率为%=3,选择B餐厅的概率为a=2,

10051005

设事件A：甲乙去A餐厅用餐，事件用：甲乙去B餐厅用餐，事件4：甲乙选择同一种套餐,

事件A:甲、乙两名同学选择同一套餐用餐，

则P（A）=P（A）P（4|A）+P（4）P（4|4）=电义：吟;

故甲乙两人选择同一家餐厅的概率为口

50

【小问2详解】

根据数据可得方案一的列联表:

合

男女

计

在A餐厅

402060

用餐

8餐厅

152540

用餐

合计5545100

零假设为“0：认为性别与选择餐厅之间无关,

根据列联表中的数据，经计算得到KJ—(20x15-25x40)2

~8.249>7.879=x,

55x45x40x600005

依据小概率值a=0.005的独立性检验，可以推断“°不成立，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错误

的概率不大于0.005.

16.已知函数/(x)=%3—31nx,/'(x)为/(尤)的导函数.

(1)求曲线y=/(%)在点(1,7(1))处的切线方程；

9

(2)求函数g(x)=/(x)-/'(X)—-的单调区间和极值.

X

【答案】(1)y=l

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)利用导数求出=/'。)=0，，代入直线的点斜式方程即可求出切线方程;

(2)求出导函数，用列表法求出极值即可.

【小问1详解】

因为/⑴=%3_311K的定义域为(0,+8),r⑴=3d--,

所以r(i)=o,

所以曲线y=/(尤)在点(L/(1))处的切线方程为y=1.

【小问2详解】

32

依题意g(x)=二x-31nx-3x--则

JCX

3(X3-1)(X-2)

,36/、3(2—x)

g(%)=3%7--6x----\--=3x(x-2)+——j——

xx尤

令g<x)=0,解得X=1或x=2.

当x变化时，g'a),g(x)的变化情况如表所示:

X(0,1)1(L2)2(2,+8)

g'(x)+0—0+

g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

.•・函数g(x)单调递减区间为(1,2),单调递增区间为(0,1),(2,+CO).

故g(x)的极小值为g(2)=—7—31n2,g(x)的极大值为g(1)=-8.

17.已知A(-1,O),B(1,O),对于平面内一动点尸(x,y)(xw±l),PMLx轴于点M,MIAMI，

PM，忸叫成等比数列.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)已知过点A的直线/与C交于V,N两点,若AM.AN=8，求直线/的方程.

【答案】(1)/=卜2-1(%*±1)

J?

(2)y=±《-(x+l)

【解析】

【分析】(1)根据点点距离，结合等比中项即可化简求解,

"k2+l2k、'-F+l2k、

(2)联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得M,即可利用向量数

J一左2，1_42,、1+左2'1+左2,

量积的坐标运算求解.

【小问1详解】

由题意可得"(x,o),则|AM|=|x+l|'1PM=仅|,忸M

由于|可田，归闾，忸收成等比数列，所以1PM2TAM।忸M,

即M=|%+i||x-i|^/=|%2-i|,

故点尸的轨迹C的方程为y2=|x2-l|(xw±l)

【小问2详解】

由(1)知点尸的轨迹C的方程为：当尤>1或》<一1,一一/=1,

当-L<x<l时，x2+y2=1,如图；

由题意可知直线/有斜率，设/方程为y=^(x+l),

联立卜2=左'+?、=（1一左2）%2_242》_/_1=0,

x-y'7

222

nil-V-l|k+l.._,（k+l^_2kA/I（k+12左）

人」=-1,..%==，故％—左卜_产）_1_k2，一用［1_k2，1_k2,，

联立（1="：+?、=（1+左2）k+2左一+犷―1=0,

%2+/=1（-1<%<1,）I）

则XX—人工「工」公+1故yT仁H-旦

人JX/N-京，XA--1,..XN-^-^,故为一41+左2厂1+左2，-'1+左2，1+m

（k2+lN-k2+l02k2k

AM-AN二8,

k1+kJ1—k1+左

解得k2=—=^>k=±——，

22

故直线方程为y=±等(x+1)

18.已知四棱锥P—ABCD的底面ABC。是正方形，给出下列三个论断：①PC=PD；②ACLPD；③

3£)工平面PAC.

(1)以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明;

(2)在(1)的条件下，若八4=1,求四棱锥P—ABCD体积的最大值.

【答案】(1)证明见解析

⑵迪

27

【解析】

【分析】（1）①②n③，根据AC，平面PBD以及三角形全等可证明平面ABCD,即可由线面垂直

的判定求解，③②n①，根据线面垂直可得四棱锥ABCD是正四棱锥，即可求证，①③n②，根据线面垂

直，结合三角形全等，可证明四棱锥ABCD是正四棱锥，即可根据线面垂直得线线垂直，

（2）根据正四棱锥性质，由体积公式得体积表达式，即可利用不等式求解最值.

【小问1详解】

①②n③，

连接AC,5。相交于。，连接0P,

由于底面ABCD是正方形，所以AC13。，

又AC_LPD,PDBD=D,PD,BDu平面PBD,

故ACJ_平面P8D,

由于OP=OP,OD=OC,PD=PC,故.POD=POC,

因此0cop,OCO£>=O,OC,O£）u平面ABC。，

故P01平面ABC。，（可得四棱锥ABCD是正四棱锥）

BDu平面ABCD,故POLBD,

又AC，ACc尸。=O,AC,POu平面P4C,故1平面R4c.

②③n①，

连接AC,5。相交于。，连接。P,

由于底面A6CD是正方形，所以AC13。，

又AC_LPD,PDBD=D,PD,BDu平面PBD,

故ACJ_平面尸3D,OPu平面PBD,故AC_LOP,

又/平面24C,QPu平面PAC,故

ACcBD=O,AC,5Du平面ABCD，故OP，平面ABCD,

结合底面ABC。是正方形，。是正方形的中心，

所以四棱锥ABCD是正四棱锥，故PC=PD,

①③n②，

连接AC,5。相交于。，连接。P,

3£)/平面PAC,OPu平面P4C,故

由于OP=OP,OD=OB,故POD‘POB,

又OP=OP,OD=OC,PD=PC,故_POD三尸OC,

TT

故APOD=ZPOC=ZPOB=

2

因此尸OCc03=0,00,05u平面ABC。，故OP,平面ABC。,

故四棱锥ABC。是正四棱锥,

由于AC1BD,又ACLOP,OPcBD=DQP,BDu平面PBD,

故AC_L平面PSD,。。匚平面用£),故4。，尸£),

【小问2详解】

无论选择哪两个条件，都可以推出四棱锥ABCD是正四棱锥,

设四棱锥的底边边长为。，则四AO=Y2q,

2

所以P0=《PA2_A°2=}_曰a=/-#，

故匕…

由于工/­

BPa2=-

43

时取等号,

故四棱棱锥P-ABCD体积的最大值为生8.

27

19.点S是直线P。外一点，点、M,N在直线尸。上(点M,N与点P,。任一点不重合).若点M在线段

SPsinZPSM/、\SPsinZPSM

尸。上，记(P,Q;M)=。。;若点〃在线段「。外,记俨©町=一.记

si\SQ■sinZMSQ

(PQ.N)=(Pe丝)

(以'J(P,Q;N).记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知6=2,A=60°,

点。是射线5C上一点，且(3,C；D)=；.

(1)若AD=G+1，求/ADC；

(2)射线上的点Mo，Mi>加2,.・・满足(5,。；此,。)=_1+『，〃eN,

(i)当〃=0时，求|4%|+8]AT)|的最小值；

(ii)当〃。0时，过点。作。匕，AM“于匕，记。“=子，求证：数列｛4｝的前”项和S“<2+JL

【答案】(1)ZCDA=-,笆叵

43

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据定义可得sinN54O=sinNG4。，即可根据余弦定理求解，

(2)(i)根据等面积法可得1^+目=因，即可利用不等式乘“1”法即可求解,

匹|\AD\2

22

(ii)由修二人^^口0=/2，"〃二一I2、结合放缩法即可求解•

【小问1详解】

因为(民是线段上一点，6=2,

csin/BADcsinABADc

所以(5,。;。)=故sinABAD=sinZ.CAD,

bsinNCAD2sinZCAD2

所以AD为4c的角平分线，又A，所以NB4D=NC4Z)=3(y,

若|AD|=B+1,在ACD中，由余弦定理可得

|CD|2=|AC|2+|A£>|2-2|AC|-|AD|COSZC4D=4+(A/3+1)2-4X(V3+1)COS-^=2,

故|CD|=VL

CDAC-2_2B

由正弦定理可得/,故.兀sinZCDA,解得sin/Cm=：-

sinZC4DsinZCDAsin—2