2025届湖北省荆州市数学高一下期末质量检测模拟试题含解析

2025届湖北省荆州市数学高一下期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知锐角满足，则（）A． B． C． D．2．直线的倾斜角是()A． B． C． D．3．设为中的三边长，且，则的取值范围是（）A． B．C． D．4．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：指数值0～5051～100101～150151～200201～300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日-20日指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A．这20天中指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好5．等差数列{an}的前n项之和为Sn，若A．45 B．54C．63 D．276．设，，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．7．过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()A．1 B．5 C．-1 D．-58．已知数列{an}满足且，则的值是()A．－5 B．－ C．5 D．9．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是()A．8 B．12 C．16 D．2410．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，，若，则__________．12．函数，的值域是________．13．函数的部分图像如图所示，则的值为________．14．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______15．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是____________.16．若A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三点共线则m的值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱柱中（底面为正三角形），平面，，，，是边的中点.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.18．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.19．在直角中，，延长至点D，使得，连接.（1）若，求的值；（2）求角D的最大值.20．已知等差数列满足，，其前项和为.（1）求的通项公式及；（2）令，求数列的前项和，并求的值.21．已知等比数列的公比，且的等差中项为10，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据为锐角可求得，根据特殊角三角函数值可知，从而得到，进而求得结果.【详解】，又，即本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够熟悉特殊角的三角函数值，根据角的范围确定特殊角的取值.2、B【解析】

先求斜率，即倾斜角的正切值，易得．【详解】，可知，即，故选B【点睛】一般直线方程求倾斜角将直线转换为斜截式直线方程易得斜率，然后再根据直线的斜率等于倾斜角的正切值易得倾斜角，属于简单题目．3、B【解析】

由，则，再根据三角形边长可以证得，再利用不等式和已知可得，进而得到，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．【详解】由题意，记，又由，则，又为△ABC的三边长，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨设，且为的三边长，所以．令，则，当时，可得，从而，当且仅当时取等号．故选B．【点睛】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．4、C【解析】

根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.5、B【解析】

由等差数列的性质，可知a1【详解】由等差数列的性质，可知a1又由等差数列的前n项和公式，可得S9【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及利用等差数列的求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6、D【解析】试题分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵a>b，c>d;∴设a=1，b=-1，c=-2，d=-5,选项A，1-（-2）>-1-（-5），不成立;选项B，1（-2）>（-1）（-5），不成立;取选项C，，不成立,故选D考点：不等式的性质点评：本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题7、D【解析】∵过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，∴，解得。选D。8、A【解析】试题分析：即数列是公比为3的等比数列．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．9、D【解析】设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x，则，解得x＝1．故选D10、D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、-3【解析】由可知，解得，12、【解析】

利用正切函数在单调递增，求得的值域为.【详解】因为函数在单调递增，所以，，故函数的值域为.【点睛】本题考查利用函数的单调性求值域，注意定义域、值域要写成区间的形式.13、【解析】

由图可得，，求出，得出，利用，然后化简即可求解【详解】由题图知，，所以，所以．由正弦函数的对称性知，所以答案：【点睛】本题利用函数的周期特性求解，难点在于通过图像求出函数的解析式和函数的最小正周期，属于基础题14、－1【解析】

分n为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案．【详解】若n为偶数，则an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），偶数项为首项为a2＝﹣5，公差为﹣4的等差数列；若n为奇数，则an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，奇数项为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．∴a1+a2+a3+…+a1＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）1．故答案为：1．【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．15、【解析】试题分析：因为不等式有解，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得或.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.16、-3【解析】

根据三点共线与斜率的关系即可得出．【详解】kAB=-2-33-(-2)=-1，k∵A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三点共线，∴﹣1=-3-m6，解得m＝故答案为-3．【点睛】本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）由，为的中点，可得，又平面，可得，即可证明平面，结合平面，即可证明平面平面；（2）设点到平面的距离为，由等体积法，，即，求解即可.【详解】（1）证明：，为的中点，.又平面，平面，.又，平面.又平面，平面平面.（2）解：由（1）知，平面，平面，.，，，.设点到平面的距离为，由，得，即，，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，考查了利用等体积法求点到面的距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.18、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19、（1）；（2）.【解析】

（1）在中，由正弦定理得，，再结合在直角中，，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得，然后结合三角函数的有界性求解即可.【详解】解：（1）设，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，所以；（2）设，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因为，所以，即，即，根据三角函数有界性得，及，解得，所以角D的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题.20、（1），；（2），【解析】

（1）利用等差数列的通项公式及前n项的和公式可得答案；（2）利用“裂项求和”法可得答案.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，由，得，又，