2023-2024学年湖南省高三九校联盟第一次联考数学试卷+答案解析

2023-2024学年湖南省高三九校联盟第一次联考数学试卷*

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合八二｛小一1—柏，〃〃2,.1//」，则满足条件的实数。的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.如果复数一=nr+m-2-(m-1，”是纯虚数，H，i是虚数单位，贝！1（）

A.1'、：1且…£一2B.1.1

C.in2D.1或22

COH20v2

3.已知-j,贝!In一“（）

UllW•）4

1515J,c：1

A.B.——C.-D.--

161（）I）

4.某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年I的

维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗

费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（）

A.6年B.7年C.8年D.9年

5.设函数h"\若函数u，”与uf一的图象关于直线/【对称，则当了」，，「时,

IJ13

•/如的最大值为（）

A.v3B.C.：D.0

6.将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的内切球体

积为（）

A.‘七灯B.万C.—nD.1上仃

332727

7.在I/M'中，点。满足\i)£为。重心，设"(：\(”,，贝L1/可表示为()

A.-77J+-7TB.--7H-C.D.

333399!1

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8.如图，已知双曲线C：「'L…的左、右焦点分别为/」：，上，过卜的直线与C分别在第一、

a2br

二象限交于N,B两点,31内切圆半径为r,若“/，",则。的离心率为()

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是()

A.已知随机变量：服从二项分布：加、j,设“—乂+I,则n的方差=3

B.数据1,3,5,7,9,11,13的第60百分位数为9

C.若样本数据「，匚，…，，的平均数为2,则.1,1,3r,।2,—,4,三的平均数为8

D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是：

O1

10.已知:：t「1,:\,r3'-T"贝!1()

A.与/：,/：均有公共点的直线斜率最大为」

3

B.与/,人均有公共点的圆的半径最大为4

C.向/,/一引切线，切线长相等的点的轨迹是圆

D.向I,引两切线的夹角与向〃引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆

11.已知函数+1,贝lj()

cow2JT

A.\、的图象关于直线，丁轴对称B.，的图象关于点!“中心对称

*1

C.-"的所有零点为1〃-I-,；D.'是以1为周期的函数

12.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为」的点处作刀，的切线，

切线与x轴交点的横坐标为匚；用，，代替了重复上面的过程得到一；一直下去，得到数列｛入｝,叫作牛

顿数列.若函数。L—-G,-Lu"',且”=1,」•」，数列kr的前〃项和为则下

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列说法正确的是（）

A.r''B.数列｛“4是递减数列

C.数列｛$｝是等比数列D.Sg—N-i

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数Jrr-II-）n.r,若/（「为偶函数，则小.

14.已知第一象限内的点八,八八在直线一“1上，则、/“+、，’的最大值是.

15.把个位、十位、百位上的数依次成等差数列公差小于（I，的三位数称为“下阶梯数”，则所有的“下阶

梯数”共有个.

16.有两个相同的直三棱柱，高为土底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a,用它们拼接成一个三棱柱或

四棱柱.若在所有可能的情形中表面积最小的一个是四棱柱，则。的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.।本小题10分）

在A4BC中,角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知20cttiBbn»CecmB.

1，求〃的大小；

12）若“2,.直线尸。分别交AB,BC于P,0两点，且尸0把的面积分成相等的两部分，

求1/'Q的最小值.

18」本小题12分，

如图，四棱柱l.r3的底面43。是正方形，3VIM'l平面儿

B

h求点.4到平面ABCD的距离;

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⑵若“是线段〃〃上一点，平面与平面"从”）夹角的余弦值为、;时，求讪的值.

19.।本小题12分）

已知数列｛0｝的前〃项积为L,且:」1

bnan

Ili证明：//是等差数列；

j设，.1­,「..，数列I，I的前〃项和为5”，定义⑺为不超过x的最大整数，例如『2II,

（On—1J（Dfi+J）

[3,4]3,求]的前〃项和/一

20.（本小题12分）

从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动.首届全国城市生活垃圾

分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”.在此宣传周期间，

某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试/,B,C

三个项目，三个测试项目相互不受影响.

1，若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从/,B,C三个项目中选一项测试，且他测试/,B,

Y1I

C三个项目“通过”的概率分别为E，O，O已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是“

的概率；

口现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有

通过不获奖.已知居民乙选择.1U1的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为0,第三项通过的

概率为/，,若他获得一等奖的概率为J,求他获得二等奖的概率尸的最小值.

s

21.।本小题12分）

已知抛物线3=I”，。为抛物线外一点，过点。作抛物线的两条切线，切点分别为3I〃在了轴两

侧），QA与QB分别交x轴于\

II1若点。在直线"-？上，证明直线43过定点，并求出该定点；

，若点0在曲线J-2.1/-2±,求四边形的面积的范围.

22.।本小题12分）

己知。.'一，‘八——”,，直线「1是“『…在I处的切线，直线〃是“j-11在」II处的切

X

线，若两直线/，〃夹角的正切值为2,且当,」时，直线/.恒在函数v.，图象的下方.

I1I求a的值；

I，设/'―：J「I•5「I,若“〔是在I-1.山上的一个极值点，求证：是函数/Lr|在I-ulli上的

唯一极大值点，且（）「八八…」.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题.

根据」/>'II”，结合集合间的基本关系确定°值即可.

【解答】

解：」H1：：I〃，而〃

若a二《1时，」」，满足条件；

若“u时，」—｛」｝,要使」〃，只需।—1或12,所以,，1或

aaa

所以满足条件的实数a有3个.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了纯虚数的定义，是基础题.

根据纯虚数的定义得到关于m的不等式组，解出即可.

【解答】

解：.2iInt1lii'i为虚数单位"l,

若z为纯虚数，

则I2一°,解得-2,

Im-1X(l

故选：('.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了三角函数的化简计算以及二倍角公式，属于基础题.

利用二倍角公式将条件进行化简可得-1,两边平方可得结果.

I

【解答】

C(M26twr^O—.加”6厂.

斛：,V2I，

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故711〃，

两边平方得,1-Kn20=',

16

所以、小?"''

Hi

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了利用基本不等式求最值，等差数列的应用，属于中档题.

根据已知及等差数列的求和公式，再结合基本不等式求解即可.

【解答】

解：设第〃年的维修保养费为〃“万元，数列｛，：）的前〃项和为该收割机的年平均耗费为0,

据题意，数列》是首项为12,公差为4的等差数列.

mil+9K1H-ll!泗/!）N

则〃f12一•4+“、“•-】i），如•Hi.4

nn2nVn

当且仅当"即，：时？取最小值八

H

所以这台收割机的使用年限是7年，

故选

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查正弦型函数的最值，属于基础题.

先根据对称性求出，八一的解析式，然后直接求解即可.

【解答】

解：因为函数"I」，与刀」图象关于.r-1对称，

所以51-rI—\X—rI—,-V3'llil-''r'I,

43o4•16

ITn,,7TTT,

当t「I,时，，,一，

J4UOD

所以当:::，即，n时，「取得最大值''.

1bb2

故选：n

6.【答案】D

【解析】【分析】

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本题考查球的体积的计算，属于中档题.

由题意知这个多面体是由棱长为2的两个正四棱锥构成的正八面体，设内切球的半径为r,则

'1I.I结合棱锥的体积公式可求出r的值，然后由球的体积公式即可求解.

【解答】

解：由题意知这个多面体为正八面体，正八面体的棱为原正四面体每个侧面三角形的中位线，

故正八面体由棱长为2的两个正四棱锥构成，正四棱锥的底面是边长为2的正方形，

以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，

内切球的半径为r,则'八，，」，

且正四棱锥的高为图中CO,易得，

解得：，

3

故内切球体积为1

33'3'27

故选〃

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题.

利用平面向量的线性运算即可求解.

【解答】

解：u'-(/'?I.cS)

=n*I4--I—nJ)-1'-Hrit，

9<1399

第7页，共19页

A

D

故选

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查双曲线的定义和性质，以及余弦定理的运用，考查化简运算能力，属于中档题.

设只川=x，由双曲线的定义知1/-|/；/;而，在1/应中利用余弦定理即可得到I，,

即可求离心率.

【解答】

解:设T,内切圆圆心为/,内切圆在8匚，，土上的切点分别为U,V,

由及双曲线的定义可知，

///-；=3a,|Ta,|Ait/|=|/\>V|=：11HF<|+1AFj|—|.4Z?|)=<1=r,

2

故四边形〃，「是正方形，得八/「/〃•],

于是〃匕」■1，1.1〃『，故/■9<>+，

所以/1,，于是一~BRI二—-

在工//"「中，由余弦定理可得|九匕」-111：-2/；/；1(1：////,

5

从而1，

5

所以，'

Q5

故选〃

9.【答案】BC

【解析】【分析】

本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题.

对于/,结合二项分布方差公式，以及方差的性质，即可求解；

对于8,结合百分位数的概念，即可求解，；

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对于C,结合平均数的性质，即可求解.

对于。，结合古典概型的概率公式，即可求解.

【解答】

解：对于易知.11\而V'1,故“，/_「./*:□故/错误；

•I42

对于3,数据1,3,5,1,9,11,13共有7个数据，而71.2,故第60百分位数为9,故3正确;

对于C,若样本数据，，匚，…，，的平均数为2,

则：S।2,5+2,…，3J+2的平均数为3x2+2=8,故C正确.

对于。，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是J,故。错误.

51

10.【答案】AD

【解析】【分析】

本题考查两圆的位置关系，考查最值问题和轨迹问题，属于较难题.

根据两圆的位置关系的知识点依次判定各选项即可.

【解答】

解：由题意知，/：1,圆心为（o,o）,半径n■由

/.:I,-'.--',-,圆心为1；.山，半径I:3,

由III..............■..•/可知两圆相离，

与两圆均有公共点，且斜率最大的直线恰为两圆斜率为正的内公切线，

由相似比可知其与X轴交于山，进而可求得其斜率为I选项/正确.

I3

与人，人均有公共点的圆的半径可以任意大（无最大值I,选项8错误.

设人，人的圆心分别为“,（），,从点门，「，向/,〃引切线，切线长相等，

则|，（厂1!）（＞-BPX2-y2-I-l,r-r（i2-72-＞1,

即，所以点尸的轨迹是直线」二，选项C错误.

10IH

设/,/的圆心分别为。,（＜,从点尸向/引两切线的夹角与向人引两切线的夹角相等，

Ipfij1/1」复525

于是由相似三角形知J,,-设/'（」,.!/），则7=-0=，

1代力1Jy（J?—5）+y2

可得到点尸的轨迹是一个圆，选项。正确.

故选AD.

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11.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查三角函数的周期性、对称性及函数零点问题，属于中档题.

根据三角函数的周期性、对称性及函数零点问题逐一判断即可.

【解答】

解：因为"<1，，、_1-'1,।'1»一，故/正确;

CCMI(«lir-Zr)cosXr

因为2口?，，：1>故…的图象不关于点二小中心对称，B错误;

।,12<xis1.r-c<r*r>1-h11(2<x>1>

由L/l”<<isr♦

2CC82工一12COH2X-12CO821一1

得一小」1,即」—♦I~,i,Z,

故J，)的所有零点为।3、」i,Z，故C正确;

[

因为*1,斤)=COB(1+7)+

roe^2x+2x)

故":-一/'I不恒成立，故。错误.

12.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查了导数的几何意义，数列的递推关系，等比数列的判断、通项公式以及求和公式，属于中档题.

根据导数的几何意义求得函数/一，在点-1，：，处的切线方程，令，」U‘得到，‘‘，从

r(*“)

而判断出根据递推关系得到从而推出“!",，即可判断3,C,/).

*9_rt—i■I

【解答】

解：/1J|_j--,r-6,f\J'-2f-\,

所以函数Jr)在点I」.JJ处的切线方程为u/rI「」」」「I,

令可得",「''，故N正确；

f(zn)__-Z(»-6//+6

j=/-7VJ=Z"_2J„I=沅口'

工小+62

工"+i+2_2rn-1_(1”+2)

—

x«+i3jr.'+6~\rB—3/'

-3

因为」-4,则31''641',4，'

2八一I2r-1

第10页，共19页

即，3贝!T二n,

Jrn—.>

故，工

了"I-S*3-J

即,

所以数列"",是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确，

可知"，21■,则数列h；，是递增数列，故5错误，

nJ]一炉皿

所以、,.一-1，故。正确.

1-2

13.【答案】）

,»

【解析】【分析】

本题考查函数的奇偶性，属于基础题.

由偶函数的定义，利用一求出参数即可.

【解答】

解：因为J।”—l,c.】｛-1）4-IHJ为偶函数，/-，

又/|-/；-Ingp1fII|-f/（.r-1<11Ir*1•-r-”人r,

由/…jrlr，则mr「对任意J-"都成立，

故I"I"If解得I*'

•J

故答案为：

,J

14.【答案】、乃

【解析】【分析】

本题考查由基本不等式求最值，属于基础题.

由点尸在直线上，得“一，，1,利用基本不等式即可得出.

【解答】

解：根据题意可得，第一象限内的点为“/I在直线“，「1±,

则“-1,<；0,）iI）,

因为2".八\,

则、“.\，，；、A“<fi\2>

当且仅当“/■’时取等号，

,7

第H页，共19页

故\“，\的最大值是\

故答案为：\

15.【答案】16

【解析】【分析】

本题考查等差数列，数列的新定义问题，比较基础.

分类讨论公差为I,："I时，"下阶梯数”的个数，即可得出结论.

【解答】

解：公差为1时，有789,678,,123共7个;

公差为时，579,468,,135共5个；

公差为"时，369,258,147共3个；

公差为-I时，159共1个.

所以一共有7tr>.3.1M,个.

15

16.【答案】0</1'

3

【解析】【分析】

本题考查棱柱的表面积、几何体的拼接问题，属于中档题.

共有如下6种拼图方式，在图2-图6中，图4表面积最小，从而可求出a的取值范围.

【解答】

解：共有如下6种拼图方式，在图2、图6中，图4表面积最小.

故答案为fl''

3

17.【答案】解：，1I方法一：由已知“II-S[[|/»Irv('>il||Il-('I,

即2a-L.i，

第12页，共19页

-ill.1—1,(6B

又.〃七(0,r),/.B--

方法二：t/sinBco^C>MUCa*B■疝］(3+「)・疝IA,

则人「，、(’・…”、〃”,,人…,

即COtiU=—，

2

.Ue(IhTTl，B=

J

y/3_35/3

2-2

在〃八Q中，P(>-=|PB|l+|Q/yJ-2\PH\QD\n»B=\PBf+\QHJI'IfQli\

<•2\Pli\QU\-\PHQH\PH\Qli\3,

当且仅当|〃〃=(>i：时等号成立,

二广3的最小值为\j

【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形面积公式，基本不等式，属

于中档题.

111方法一：利用正弦定理和两角和的正弦公式化简得到

L-iu」，，，、〃疝1A，即可求解;

方法二：由TcawC+CCUHBa，即可求解；

dI由三角形面积公式二八二，进而求出/*//H()},再利用余弦定理和基本不等式即可求解

1'<)的最小值.

18.【答案】解：1连接/C交AD于点。

因为4cL平面j平面/"3，/),所以IJBD,

又/〃).l「，l|C\cC,\(平面

第13页，共19页

所以一平面LlC，

又一平面/BCD,所以平面IK平面.18“）.

因为$（'.平面/〃HH_平面/〃甲）所以.〃〃，

又〃用LI）,所以小C\1，

在［中，,11\2,\（,2，所以」厂\2.

又。为ZC的中点，所以1，V且1"1,

又平面人斯C平面/BCD,平面nr平面.1”。上,且.心。：二平面心血',

所以平面.1〃，）.

故点“到平面/5CD的距离为.1。I

、以。为原点，分别以05,OC,”4所在直线为x,»z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则即,&0),C(0,1,0),.41(0.It,11,A0,1,0),

由」」；/川；JI,1,1,，可得“LIJ，

It?(Il1.-11-1/i

由（I知，平面"从"/）的一个法向量“-IJ''IlII），

UM一,、一、-「

设；，r>-\：11V111

所以"V=入前1=（（）入，\|，.1.U1.\-1.\I-AC-III.2.Ill-

设厂L.，,，：，为平面M4c的一个法向量，

，，一\\lU<\■\-A:Il

一得《“一，

（njlC=0IV=0

取।'--：iI，，

设平面M4c与平面/"，"〃的夹角为“，

第14页，共19页

则有，5〃

+

解得、-L舍负।,

即西一亍

【解析】本题考查点到平面的距离，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.

11I连接NC交AD于点。由,山‘平面"小"。，可证平面,Lid'平面/2C。,从而得到I<，平面4BCZ）,

即点X到平面45c3的距离为JC;

，建系，分别计算出平面的一个法向量记=平面M4c的一个法向量行，结合平面M4c

与平面Hlhni）夹角的余弦值为、1'，列式即可得到答案.

5

19.【答案】解：I证明：已知数列"",的前〃项积为/，“得,2i,

故有1一711，从而1>,.~八“।=’3且八,贝U1---1,所以八।■1

从而也」是首项为3,公差为2的等差数列.

当*=1时，$=2，⑻=1.当n=2时，&=图=2.

这时，、一，1.所以。,；时,

l.n=1,

3.n=2,

综上，7：

(n-l)(n+4)

【解析】本题主要考查等差数列的判定或证明，裂项相消法求和，属于中档题.

1「由题意可得（,2,结合小处，可证仙>是等差数列.

由题意利用裂项相消法求和，根据，|含义和、,，可得7一

20.【答案】解：1记事件1/“第一项测试选择了项目/“，”一“第一项测试选

择了项目8"，M“第一项测试选择了项目C"，记事件'“第一项测试通过”，

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由题意知，'=M.V-V_.V-V；V,/-I\lI-/*.-/>!\1,-

/•i.VWj/'I.VU：L/*IVu：1,

522

又事件M.V,."、，”..V互斥，则为.Vl/'II/,Vi./•w..\»P\M.\I,

即，,〜〃V」!'•\Wj•/'/-IV./'UI/-LV1.,1.•

3*J2

11_8

3*2=15，

所以在居民甲第一项测试“通过”的条件下，他第一个项目选择了4的概率为：

13

mu2CM«口•'什CMM)_O3

p川\，=-^r=-pcvj-T=/

15

即已知居民甲第一项测试“通过”，则他第一项测试选择的项目是/的概率是‘

口由居民乙获一等奖的概率为I,可知“T,—L

SX

3e]3

则/'.二】，“-Ciui1-”iL-2/”二-

8&I8

人，13

令fI"I—41——，।，I,

408

21Sa」—1(2a-+2<i+1)

；：；L

JIaI2a---4--0-2---4--a-2--------------4--a--,------------'

当Ova・1时,「(“)V0；当1<nr1时，r9)>0.

22

所以在区间u:，上单调递减，在区间J.1上单调递增，

济四、

所以r，31「1，3、3、

所以P的最小值为、

,s

【解析】本题考查了条件概率的计算，考查了导数的应用，是中档题.

111利用条件概率的概念与计算公式可求得答案；

J先求得r-%令/(a)=a，0<a4l,利用导数求得，”的最小值即可得到结

果.

21.【答案】解：I।由题意可知：AB的斜率一定存在，

故设.4(11.切),戴丁2・如)，直线。上「,小，

第16页，共19页

联立<’可得/；,「」•b-.lbit^1-*llif

y=fcr+tn

h8在y轴两侧，,J|J,_n,-rn”，0,

1

.r।♦!—It,J।J',1,f

又因为"‘一,故可得抛物线在A点处的切线的斜率为L

/点处的切线方程为」丁，

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同理8点处的切线方程为u-」「厂，

又，,在直线、」上，

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「由11可得«?「，…，,Q在曲线-2廿一2上，

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由II,可知A/1,.”।.।“，,■、in」，

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