2024年高考押题预测卷-数学（天津卷3）（全解全析）

2024年高考押题预测卷03【天津卷】

数学•全解全析

一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.设集合A={L2,6},B={2,4},C={xe/?|-l<x<5},则(Ai酬|C=()

A.{2}B.{1,2,4)

C.{1,2,4,5)D.{xe7?|-l<x<5}

【答案】B

【解析】A={1,2,6},JB={2,4},/.A<JB={L2,4,6),

XC={xe7?|-l<^<5},.-.（AuB）nC={l,2,4},故选B.

2.“OWxVl”是的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

即产产0,解得得0<x〈l，

【解析】由一21,贝IJ——120,即720,

XXX

则OWxWl不能推出能推出O4XW1,则“OWxWl"是」21”的必要不充分条件，故选B.

XXX

3.函数/5）=11-高卜。sx（其中e为自然对数的底数）的图象大致形状是（）

【答案】D

【解析】/（尤）=（1-总7}05_¥=]17，卜0$》的定义域为凡

£2-1l-ex

因为/（一%）=cos(-x)=cosx=-/(%)

e-x+l7+1

所以/(x)=[l-高]cos尤为奇函数，故排除A、C.

当0<x<l时，有所以2<l+/<l+e,0<er-l<e-l;所以/(尤)>0,故排除B,故选D

4.2023年考研成绩公布不久，对某校“软件工程”专业参考的200名考生的成绩进行统计，可以得到如图所

示的频率分布直方图，其中分组的区间为[340,360),[360,380),[380,400),[400,420],同一组中的数

据用该组区间的中间值作代表值，则下列说法中不正确的是()

A.这200名学生成绩的众数为370分

B.这200名学生成绩的平均分为377分

C.这200名学生成绩的70%分位数为386分

D.这200名学生成绩在［400,420］中的学生有30人

【答案】C

【解析】显然众数是370,故A正确；

平均分为0.01x20x350+0.02x20x370+0.0125x20x390+0.0075x20x410=377,故B正确;

设70%分位数为加，贝U0.01x20+0.02x20+(m-380)x0.0125=0.7,得〃?=388,故C错误；

0.0075x20x200=30,故D正确.

故选：C

5.已知。=e*Z?=log32,c=log［2,则的大小关系为()

3

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】a=e^>1,0<Z?=log32<log33=1,c=logx2=-log32<0,

3

i^c<b<a,故选B.

6.若xlog23=l,求3*+3^=()

D133_

D.

62

【答案】A

【解析】因为xlog23=l,所以x=log32,所以3，+3T=3如+3一|暇2=2+g=g.故选A.

7.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1,当该圆锥体积取最小值时，该圆锥

体积与其内切球体积比为（）

A.2：1B.4：1C.8：1D.8：3

【答案】A

【解析】设圆锥的高为力，底面半径为小

则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，

由，A0E〜ACF可得：,BP^=-r==,

rhylh2~2h

•••圆锥的体积丫=:万==g[（"一为+4+句…].

33（/i-2）3h-23

当且仅当/?-2=2,即耳=4时取等号.

•••该圆锥体积的最小值为号.内切球体积为三.

该圆锥体积与其内切球体积比2:1.故选：A.

22

8.双曲线宗-方的右焦点为尸，过尸作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别

交于A、B两点，若四边形Q4F3（。为坐标原点）存在外接圆，则双曲线的离心率为（）

A.忘B.石C.2D.3

【答案】A

【解析】由题意得/（c,0）,不妨设直线。4的方程为y=直线的方程为y=-'x,

aa

由题意可知，FB//OA,FAIIOB,则四边形。4FB为平行四边形，则NQ4尸=/（?班

由于平行四边形。4FB存在外接圆，则NOAb+NO3歹=180,则NOAB=NOB尸=90,

从b2

所以,kOAkAF=kOAkOB=_一T=_l，则二=1，

aa

因此,

故选：A.

J"”)，xWO

9.已知函数〃x)=4,函数y=/(%)-a有四个不同的零点，从小到大依次为A，

xH------3,x>0

、X

贝卜西入2+入3+%4的取值范围为()

A.[3,3+e)B.(3,3+e)C.(3,+co)D.(3,3+e]

【答案】D

【解析】当％KO时，/(x)=2(x+l>(x+1)2

/(x)>0=>-l<x<0；jf(x)<0n%<-1

则函数/(%)在(-8,-l)上单调递减，在(-L0]上单调递增，且/(—l)=，=l"(0)=e

4r2-4

当兀>0时，f(x)=i--r=

XX

f/{x)>0=x>2；f\x)<0=>0<x<2

则函数〃X)在(。，2)上单调递减，在(2,+?)上单调递增，〃2)=2+g-3=1

函数丁=〃尤)-。有四个不同的零点，即两函数y=/a)与丁=。图象有四个不同的交点

如下图所示

由图可知，l<a,,e

周，龙2是方程e(**i)2=a的两根，即尤2+2》+1-1110=0的两根

所以一玉％=lno-le(-1,0]

4

x3，x4是方程x-----3=a的两根，即兀之—(3+a)x+4=0的两个

所以％3+%=3+Q£(4,e+3]

/,―石马+毛+/£(3,e+3]

故选：D

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.己知复数z=l+i(其中i是虚数单位)，则z?+z=一.

【答案】1+3;

【解析】由已知条件可得z?+z=(l+i)2+l+i=2i+l+i=l+3i.

11.的展开式中x的系数为.

【答案】80

【解析】由通项公式可得C；(2X)3，J：=80X,即x的系数为80.

12.由直线/：2x+y-4=0上的任意一个点向圆C:(x+1>+(y-1)2=1引切线，则切线长的最小值为

【答案】2

【解析】圆心坐标半径R=1

要使切线长|94|最小，则只需要点。到圆心的距离最小,

卜2+1-4|_5_j-

此时最小值为圆心C到直线的距离d=飞一小

此:时|DA|=yJd2-R2=斤=2，

i12

13.设。>=，b>0,若a+b=2,则7―；+7的最小值为.

22a-lb

【答案】3

【解析】由题意，因为〃>不，b>0,满足a+Z?=2,

2

所以2〃+26=4,2〃+2b—1=3,且a-l>0力>0,

12l1412b4(2〃-1)

则-I—二—(z,+犷(2”】)+2匹产+

2a-1b32。一12a-l2b

小+2不可

]=3,

当且仅当/F”且〃十八2

即。=1,6=1时取得最小值3.

14.甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是:，三人都做对的概率是1，三人都做错的概

224

率是I，则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为____,甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的

4

概率为

【答案】:，I11

24

【解析】设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A、B、C,P(A)=1,

P(A).P(B)-P(C)=--P(B).P(C)=5

由题意,，所以

[1-P(A)]-[1-P(B)][1-P(C)]=4[1-P(B)][1-P(C)]=

4I2

P(B)=；

解得

P(C)4P(C)=g

设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的事件为

P(D)=尸⑷•P®.P(C)+P(A)-P(B)-P(C)+P(A)-P(B)-尸(C)

=12311312111所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为11三.

2342342342424

15.青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个

由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4,圆。的圆心为正六边形

的中心，半径为2,若点又在正六边形的边上运动，动点A3在圆。上运动且关于圆心。对称.(i)请

用MAM8表示MO=;(ii)请写出"的取值范围

【答案】LMA+^MB[8,12]

【解析】(i)■A,B在圆。上运动且关于圆心。对称，.，.O为A3中点，，MO=—M4H—MB-

22

222

(ii)MAMB=[MO+OA^-[MO+OB)=M(f+[OA+OB^MO+OAOB=|MO|-|OA|=|MO|-4；

当加为正六边形顶点时，|MO|取得最大值；当。加与正六边形的边垂直时，|MO|取得最小值;

・六边形为正六边形，.「ODE为正三角形，=OD=4.

IImax

作QF_LDE,则尸为DE中点，二=.刊=一2?=2百;

.■.|M0|2-4e[8,12],即舷4.的取值范围为[8,12].

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分14分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,c=l,a=6cosB.

⑴求a的值：

(2)求证：A=23；

(3)cos2/一口的值

【解】(1)由〃=6cos3及余弦定理，得。=6---------------,

lac

因为b=3,c=l,所以〃2=12,a=2y[3.

(2)由〃=6cosB及Z?=3,得a=2Z?cosjB,

由正弦定理得sinA=2sin5cosB=sin2B,

因为0<AVTI,所以A=25或A+2B=71.

若A+2B=7i,贝I]8=C,与题设矛盾，因此A=25.

(3)由(I)得cosB=%=空=B,

因为Ov5〈兀，

663

所以sin5=V1--年

Q1

所以sin23=2sinBcosB=-----,cos25=2cos2B-l=——,

33

所以cos2(B-=cos[28-弓)=cos22cos看+sin22sin看

rnV32A/212近-#：

=1——X------1--------X—=---------------.

I3)2326

另解：因为cosA='+'---吼=_】，sinA="-cos?A=Jl-L=?近

2bc3V93

所以cos2()=cos(22一£)=cosAcos£+sinAsin《

62A/212也-6

x-----1-------x—=-------------

2326

17.（本小题满分15分）己知三棱锥尸—ABC中，R4_L平面ABC,AB±AC,AB=2PA=2AC=4,N为

AB上一点且满足3®V=A®，M,S分别为PB,BC的中点.

⑴求证：CM±SN；

（2）求直线SN与平面CMN所成角的大小；

（3）求点尸到平面CMN的距离.

【解】（1）因为24,平面ABC,ABJ.AC,

如图以A为原点，AB,AC,A尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

则A（0,0,0）,3（4,0,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,M（2,0,l）,S（2,l,0）,N（l,0,0）,

所以=(2,-2,1),SN=(-L-L0),

因为CM.SN=2x(_l)+(_2)x(_l)+lx0=O,

所以CM_LSN.

(2)设平面CMN的法向量”=(x,y,z),OV=(1,-2,0),

n-CM=0f2x-2y+z=0/、

则，即c-八，取y=i，得力=(2,1,-2),

n-CN=0[无-2y=0

设直线SN与平面CMN所成角为0,

I/\|"SN|3&「兀1

贝I]sindH1eos。?,SN)=^~^=_=一，又de0,-,

'〃网同3xV22L2j

TTjr

所以e=2,所以直线MV与平面cw所成角的大小为;.

44

(3)设点尸到平面CMV的距离为d,因为PN=(l,0,-2),

\PN-n\

所以“=^^=2,所以点尸到平面CW的距离为2.

同

18.(本小题满分15分)记S“是等差数列｛%｝的前"项和，数列也｝是等比数列，且满足的=5,$4=24,

b?=a1—1,—S3+1.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵设数列｛%｝满足C]=l,(c„+c„+1)S,=(3n-2)%eN*),

(i)求匕｝的前2及+1项的和凡+1；

2〃+1

(ii)求ZS也+展)-

k=l

【解】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列圾｝的公比为q,

a,+d=5f6Z.=3

由题知:4q+6d=24'解得［d=2

/.an=3+（〃-1）,2=2〃+l,/.b2=%—1=2,4=S3+1=16=Z?2-,

所以4=2,4=1,/.2=27；

⑵（i）%=2",S,=-+；j"="〃+2）,

（3n-2）-2"_2"+2T

'''（c“+c“+i）•〃（〃+2）=（3〃一2）.2"

〃（〃+2）n+2n

贝nq+G+G+C2n+1=C1+（C2+C3）+（C4+C5）++（C2n+C2n+l）

2422262422n+222〃4^2n+222〃+l

=1+-------+--------+--+---------=1----1-------=-------1；

4264In+2In22n+2〃+1

2n+l2n+l2n+l

（ii）Z（akbk+cJ=£a/"+金，akbk=（2无+1）-2/一，

k=\k=lk=\

2n+l

则也=44+“2仇++。2.+也用=3X2°+5X2\+（4/7+3）-22",

k=\

2n+l

贝I］2、也=3x21+5x2?++（4n+3）22n+1,

k=l

2n+l

故-ZX4=3+2x21+2x2?+2x22"-（4n+3）-22n+1

k=\

=3+，［；）-（4»+3）-22n+1=一1一（4〃+1）22,,+1，

2n+l2n+l22n+l

故Sa也=（4"+l）22n+1+1，又岂用=

k=lI无=i及+1

2〃+l,2〃+1<^2n+l

故2（。也+或）=（4"+1）22角+1■-l=（4n+l）22n+1+----

k=l〃+1

22

19.（本小题满分15分）已知椭圆+多=1（〃＞人＞0）过点,焦距是短半轴长的26倍,

ab

⑴求椭圆E的方程;

⑵点A,民尸是椭圆E上的三个不同点，线段A3交x轴于点0Q异于坐标原点。），且总有尸的面

积与8。尸的面积相等，直线尸4尸8分别交无轴于点M,N两点，求10MH0M的值.

13

/+后=1

片=4

【解】（1）设椭圆的半焦距为C,由题意知2c=2四,解得

b2—1

a2=b2+c2

椭圆的方程；g;

（2）因为△AQP的面积与，为次的面积总相等，故。为A3的中点,

结合对称性可知AB两点关于x轴对称,

由题意直线A4斜率左存在且不为0,并且纵截距不为0,

设直线=kWQMW。），故

X2=]

<~4+y~,化简得。+4公卜2+8物a+4加一4=0,

y=kx+m

由A>0得，4左2—机2+1>0,

设A（%,yJ,尸（孙丫2），则3（占,-%），

2

mil8km4m-4

贝U%+x=-----7，XX=-----K

勺2l+4%21221+4/

直线利：y-%=U（AX2）,令y=°得，

々-%（_%）+/=（々-%）（-%）+（%+%）%尤

芍=%+%122%+%

%（生+机）+%2+机）22％2+机（玉+%2）

kx2+m+kx{+m左（玉+々）+2m

4m2-4]（8km]

1+4左2J+«_]+4/J

-4k

（8km）m

1-1+4/J

所以|OM"OM=-竺一3=4.

mk

20.(本小题满分16分)设函数/⑴=％2+lnx.

⑴求曲线y=〃x)在点处的切线方程;

⑵设函数g(x)=f(x)-依(aeR)

(i)当X=1时，g(x)取得极值，求g(x)的单调区间；

(ii)若g(x)存在两个极值点不，%,证明：—.

【解】(1)r(x)=2x