湖南省多校2022-2023学年高二年级下册期末联考数学试题（解析版）

高二数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知集合A={M2T<1},8="2-5<0},贝,B=()

A.(1,5)B.(1,3)

C(-5,1)D.(-3,1)

【答案】B

【解析】

【分析】计算并求解集合A，B,利用交集的定义求解AcB.

【详解】2-x<l.解得x>l；x2+2%-15<0>解得一5<x<3,

所以集合4=5={x|-5<x<3},

所以AcB=(l,3).

故选：B

2.已知aeR,复数(a—2i)(3+i)是实数，则。=()

,22

A.—B.

33

C.6D.-6

【答案】C

【解析】

【分析】对已知化简后，由虚部等于零可求得结果.

【详解】因为(。一2。(3+。=3。+2+3-6万为实数，

本科生10%

B.120

C.200D.240

【答案】B

【解析】

【分析】设招聘x名硕士生,然后根据题意结合扇形统计图列方程可求出工的值，再根据比例可求得结果.

【详解】设招聘X名硕士生，由题意可知，x+40()X0.4=(40()+80+x)x(0.4-0.04),

解得x=20，

40

所以本科生教师共分得树苗x1500=120棵.

400+80+20

故选：B

7T

5.设0<x<2,贝“xcosxcl”是“％<1”的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合余弦函数的性质分析判断即可.

兀11

【详解】若0<X<-，xcosxvl,则-----，而----->1,

2cosxcosx

所以“XCOS%V1”推不出“x<r；

TT

若x<l,又0cxe-，则0<cosx<l,

2

所以0<XCOSX<1,即"X<1”可以推出"XCOSX<1

所以“XCOSX<1”是“X<1”的必要不充分条件，

故选：B

6.若a=log3（）.3,6=sin一,c=5°/，则（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<h

【答案】C

【解析】

【分析】由指数函数、对数函数、三角函数的性质可得4<0,Z?G（O,1）,C>1,即可得答案.

3兀

【详解】因为a=log30-3<0,/J=sinyG（0,1）,c=5°」>l，所以a<6<c.

故选：C.

7.已知正三棱柱ABC-A4G的顶点都在球。的球面上，若正三棱柱ABC-44G的侧面积为6,底

面积为K，则球o的表面积为（）

19兀77r

A.——B.—

33

C.2兀D.7兀

【答案】A

【解析】

【分析】设正三棱柱的底面边长为。，高为〃，根据题意里程方程组求得。=2,力=1,设的外接

圆半径为r,求得/•=区5,结合球的截面圆的性质，列出方程求得球。的半径为R,进而求得球的表

3

面积.

【详解】由正三棱柱ABC-A4G是直三棱柱，设其高为〃，AC=5C=A5=a,

因为正三棱柱ABC-A4G的侧面积为6,底面积为内，

可得3ax/z=6,且且〃=百，解得。=2,〃=1,

4

2r——2、同

设一ABC的外接圆半径为广，则一.兀，解得r=£巴，

sin—3

3）

设球。的半径为R,则R2=/2+（—h）2=4—+—1=1」0，

23412

1919TI

所以球。的表面积为4兀、==上.

123

故选：A.

8.弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，其中“五经”是国学经典

著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》.小明准备学习“五经”，现安排连续四天进

行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》不能安排在相邻两天学习，

《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有()

A.32种B.48种

C.56种D.68种

【答案】D

【解析】

【分析】利用排列组合分别讨论不排《周易》，排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，排《周易》且

《诗经》与《礼记》只安排一个，三种情况，再利用分类加法计数原理将所有情况相加即可.

【详解】①若《周易》不排，先将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，

再将《诗经》与《礼记》插空，则共有A；A；=12种安排方式.

②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，

在《尚书》和《春秋》中先选1种，然后将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，

再将《诗经》与《礼记》插空，减去将《周易》排在第一天的情况即可，

共有C；A；A；-C；A；=2()种安排方式；

③若排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个，

先在《诗经》与《礼记》中选1种，然后将《周易》排在后三天的一天，

最后将剩下的3种书全排列即可，

共有C；C；A；=36种安排方式.

所以共有12+20+36=68种安排方式.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线/：4x+3y+6=0与圆C：(x—+V=9相交于E,F两点,贝U()

A.圆心C到直线/的距离为1B.圆心C到直线/的距离为2

C.|EF|=V5D.|EF|=2A/5

【答案】BD

【解析】

【分析】根据点到直线的距离公式计算可知A错误，B正确；利用几何法求出弦长可知C错误，D正确.

【详解】因为圆心C（1,O）到直线/的距离〃=一产=2,所以A错误，B正确.

因为1=2,9-22=2#>,所以C错误,D正确.

故选：BD

1（Q

10.已知函数/O）=；；sin2x--,下列说法正确的是（）

2\6）

TT

A.f（x）的最小正周期为一

2

B./（X）的极值点为x=]+—（«€Z）

1Ji

C./（x）的图象可由函数y=gsin2x的图象向右平移五个单位长度得到

D.若毛）=/（%2），则X=X2+E（%GZ）

【答案】BC

【解析】

【分析】由正弦函数的最小正周期的计算公式可判断A；对Ax）求导，令/'（x）=O可判断B；由三角函数

27r

的平移变换可判断C；由/（玉）=/（w）,求出％=%+也（左€2）或玉=3■-工2+E（左€2）可判断口.

27c

【详解】/（X）的最小正周期为7=1=兀，所以A错误；

由/'（X）=cos（2x-y]=0,得彳=二+蛆（ZGZ）,

I6；32

由三角函数的性质可验证/（X）的极值点为X=^+与（&eZ）,所以B正确；

将y=gsin2x的图象向右平移三个单位长度得到=gsin（2x-2]的图象，所以c正确；

若/&）=/（马），则小11（2%-看）=小11（2工2-胃，

所以sin（2X[-看）=sin2々一巳），则一季=2々一《+2E（keZ）或

兀71

2%|---F2X—=兀+2kli（kwZ）

6~969

则%=%+kn(k€Z)或％=三一%2+kn(kGZ),所以D错误.

故选：BC.

22

11.已知双曲线c：\-1=1（。>02>0）的右焦点招（g,o）到渐近线的距离为i,p为c上一点，下

列说法正确的是（）

A.C的离心率为理

2

B.|尸周的最小值为交

C.若A,8为C的左、右顶点，P与A,8不重合，则直线R4，尸3的斜率之积为；

D.设C的左焦点为《，若△「耳用的面积为坐，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意列关于8c的等式，从而可得双曲线的方程，计算离心率，|桃|的最小值，结合动点

2

P满足的方程手-公=1,列式计算原八•即8,在焦点三角形鸟中，由双曲线的定义，余弦定理以

及三角形面积公式列式即可计算出/耳2居.

L\cb\L

【详解】由已知可得C=J5，/1=b=\,所以a=0,

yla2+b2

则C的方程为工—V=i,离心率为卓=逅，A正确；

2722

因为的最小值为c-a=G-四，所以B错误；

2

设/伍，几）,则/_y：=i,A（-V2,o）,B（V2,0）

2日-1

卜卜一约y。_2__L，所以c正确；

|附HP-=2a

设N6P6=e,由.恒用2=归耳『+归名「—2|pf；||p周cose

S"=:®||PKkin。

S_♦_1一百

可得0~一7一号，得tan—=>/3,

tan—tan—2

22

则N£P居=二三，所以D正确.

3

故选：ACD

12.已知函数/(x)=e'T—x,若Vxe(0,+«o),/(幻之。#一x-xlnx),则实数”的取值可能为

()

A.2B.-e

C.yD.1

【答案】BCD

【解析】

【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法，构造新函数，利用导数的性质判断其单调性，再利用单调

性进行求解判断即可.

【详解】因为x>0,

pXT

所以/(x)>"(x?-x-xlnx)=>-------1>a(x-l-lnx)=>et-l-lnx-1>a(x-l-ln.r).

设f=x-l-lnx(x>0),则有r'=l-L

x

当x>l时，f'>0,函数f=x—1—Inx单调递增，

当0<x<l时，t'<0,函数f=x-l-lnx单调递减，所以f(X)min=f(D=。，

所以原问题转化为当Vze[0,+oo),e'一1N成恒成立，

由e'—1Na,=e'—1一勿20，设g(7)=e'—>0),

g'(f)=e'—a,因为「20,所以e'Nl，

当aVl时,gV)>0,函数g(f)=e'—l-at单调递增,

所以有g(f)min=g(°)=0，显然Vre[0,+8),e'-INa，恒成立;

当a>1/t»当/■>Ina时，函数g(f)=e'-1-af单调递增，当OWt<lna时，g(f)=e'-1-af单调递减，

因此有g(f)〈g(O)=gQ)WO,所以VfG[0,+oo),e'-lNaf不恒成立，

综上所述:a<\,故选项BCD符合题意，

故选：BCD

【点睛】：关健点睛：对不等式进行变形，构造函数，利用导数的性质是解题的关键.

三、填空千题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知f可量a=(1,2),b=(1-???,2Z?7-4).若a//b，则〃？=_________.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】i1平行向量的坐标运算求解即可.

3

【详解】1因为日〃人，所以2加-4=2(1—机)，解得m=].

3

故答案为:

2-

.(<7一三)=彳,贝ijcos(2a+=_________

14已知s

【答案】

9

【解析】

利用诱导公式及倍角公式变形计算cos(2a+即可.

【分析】：

=

【详解】cosI2aH—।=-cos|2aH-----n\=-cos[2a-------|2sincc—|-1

I3；I3)I3JI3；

-2x\—

9

故答案为:_1

9,

15.如图,某圆柱与圆锥共底等高，圆柱侧面的展开图恰好为正方形，则圆柱母线与圆锥母线所成角的正

切值为一

【答案】—

2兀

【解析】

【分析】先根据圆柱侧面展开图为正方形得出2兀-3。=。4,然后根据题意找到圆柱母线与圆锥母线所成

的角即可求得.

【详解】因为圆柱母线与圆锥旋转轴平行，所以圆柱母线与圆锥母线所成角的大小等于N840.

因为圆柱侧面的展开图恰好为正方形，所以2兀・30=。4,所以tan/84O=ge=-!-.

OA2n

故答案为：—.

2兀

16.已知抛物线C：f=i6y的焦点为尸，直线/与。交于A,B两点,且的中点到X轴的距离为

6,则|AB|的最大值为.

【答案】20

【解析】

【分析】根据抛物线的性质，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可.

【详解】由题意知尸(0,4),抛物线C的准线方程为y=T.

设AB的中点为M，分别过点A,B,M作准线的垂线，

垂足分别为C,D,N,

因为M到x轴的距离为6,所以|MN|=6+4=1().

由抛物线的定义知IACRAG,\BD\=\BF\,

所以2|MN|=|AC|+|BD|=|AF|+|砌=20.

因为|AF|+|5尸因AB|,所以|AB120.

所以当|A/q+|8F|=|A5|,即直线/过焦点/时，取最大值为20.

故答案为：20

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等比数列｛q｝中，q=3,且3%是4和%的等差中项.

(1)求｛凡｝的通项公式；

⑵若a”>0,b,二号,求数列也｝的前〃项和S“.

【答案】(1)答案见解析

n

(2)S,(=(n-l)x2+l

【解析】

【分析】(1)根据等比数列的通项公式和等差中项的含义即可得到关于夕的方程，解出即可；

(2)分析计算得勿=〃X2"T,利用错位相减法即可得到答案.

【小问1详解】

设｛4｝的公比为4，4*0,因为3%是肉和牝的等差中项，

所以6%=%+%，则64/=+4/,

化简得d+q—6=0,解得4=2或4=一3,

当q=2时，a,,=q/T=3X2"T,

当q=-3时，勺=4"=3X(-3)"-'=-(-3)".

【小问2详解】

因为。”>0,所以a“=3x2"T,b„=nx2'"',

S„=1X2°+2X2'+3X212+L+nx2n-',①

则2s.=1x21+2x22+3x2、+〃x2",②

则①一②得—S“=2°+2^+22++2"T—〃X2"=^^—〃X2”=(1—〃)X2"—1.

"1-2

故=(〃—l)x2"+l.

18.已知二ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

3

(1)若a=10,c=3,tan6=二，求.ABC的面积；

4

(2)若。2=仇人+，)，证明：A=2B.

【答案】(1)9(2)证明见解析

【解析】

3

分析】(1)先由tan8=—求出sinB,然后利用三角形面积公式求解即可；

4

(2)由已知条件结合余弦定理可得c=b(l+2cosA),再利用正弦定理统一成角的形式，化简后可证得结

论.

【小问1详解】

因为tan3=3,所以91n0.=—,即4sinB=3cosB,

4cosB4

因为sin2B+cos25=1,B£(0,7i)

3

所以解得sin8=，.

113

所以的面积S=-«csinB=—xl0x3x-=9.

225

【小问2详解】

证明：因为"=/?(0+c),a2=b2+c2-2bccosA，

所以Z??+/—2bccosA=b2+bc化简得c=b(l+2cosA),

所以sinC=sinB(l+2cosA),

即sin(A+3)=sin8+2sinBcosA,

所以sinAcosB+cosAsinB=sinB+2sinBcosA,

所以sin(A-B)=sinB.

因为A-8e(0,2，BG(0,7I),

所以A—8=8或4-8=兀-3(舍去)，

所以A=2B.

19.某单位准备从8名报名者(其中男性5人，女性3人)中选4人参加4个副主任职位竞选.

(1)设所选4人中女性人数为X,求X的分布列与数学期望；

(2)若选出的4名副主任分配到A,B,C,。这4个科室上任，一个科室分配1名副主任，且每名副

主任只能到一个科室，求A科室任职的是女性的情况下，8科室任职的是男性的概率.

3

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=±

2

⑵-

7

【解析】

【分析】(1)根据题意得X的可能取值为0,1，2,3,求出X取每个值的概率可得分布列，由期望公式

可得期望；

(2)根据条件概率公式可求出结果.

【小问1详解】

依题意，X的可能取值为0，1,2,3,

c41C'c33

所以P(X=0)=k=n，P(X=l)=-^=~,

j14j7

223

P(X=2)=C^c^=33,P(X=3)=C^C1'=1L,

c；7C：14

X的分布列为

X0123

13_1

P2

147714

3313

所以E(X)=lx二+2x2+3x-==.

77142

【小问2详解】

设加=“A科室任职的是女性"，N="8科室任职的是男性”，

r1A33C；CA15

则尸(〃)=告2==，P(MN)

A；856

P(MN)1585

所以P(N|M)______—__x_=_

P(M)-563-7

20.如图，四棱锥P-A8CD的底面是边长为2的菱形，A4D为等边三角形.

（1）若PCJ_A。，证明：AC^CD.

（2）在（1）条件下，若PC=3，AC=2,求平面P钻与平面外。夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵普

【解析】

【分析】（1）根据等边三角形的三线合一性质，结合线面垂直的判定定理以及性质定理，可得答案;

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，结合夹角的求解公式，可得答案.

【小问1详解】

证明：取AO的中点。，连接。P,OC.

因为.Q4Z）为等边三角形，所以POLAO.

又PC_LAO,PO?\PC=P,PO,PCu平面POC,

所以平面PCO,因为COu平面尸OC,

所以ADJ_CO,即OC是线段AO的中垂线，

所以AC=C£）.

【小问2详解】

由（1）知PO_LAO,又AC=C£>=2,所以COLA。，且ADJ_平面PCO.

以。为坐标原点，分别以OC，0。的方向为x,了轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则A(0,—1,0),C(V3,0,0),0(0,1,0).

在△POC中，PO=OC=5PC=3,由余弦定理易得NPOC为120。,

(3、

所以点尸的坐标为——,0,—,

I22J

所以A3=OC=(6,一1,0),AP———,1,—,AD=(0,2,0).

y/3x-y=0,

设〃=（x,y,z）是平面QA6的法向量，可得，J33令y=3,得〃=(百,3,-1).

----%+y+—z=0,

〔2----'2

2y1=°,

设右=（不,y,zj是平面抬£）的法向量，可得，百3令4=1,得利=(6,0,1)

一~废玉+y+2ZI=0'

设平面PAB与平面PAD所成的二面角为0，

\n-m\_V13

则|cos31=

|n||m|13

21.已知4—2,0）是椭圆。：f+E=l（a>b>0）的左顶点，过点。（1,0）的直线/与椭圆C交于P，。两

点（异于点A）,当直线/的斜率不存在时，|PQ|=3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求△AP。面积的取值范围.

22

【答案】(I)土+匕=1;

43

⑵K.

【解析】

3

【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆c过点a,j）,再代入求解作答.

（2）设出直线/的方程，与椭圆C的方程联立，结合韦达定理求出△APQ面积的函数关系，再利用对勾

函数的性质求解作答.

【小问1详解】

依题意，a=2,当直线/的斜率不存在时，由|P。=3,得直线/过点（1,|）,于是:+磊=1,解得从=3，

22

所以椭圆。的方程为三+匕=1.

43

小问2详解】

依题意，直线/不垂直于y轴，设直线/的方程为x="+l,P（玉,乂）,。（々，%），

x=ty+l

由2消去X整理得（3/+4）y2+6）—9=0,则M+y=£^9=不工,

一+—=1\/3/+43r+4

43

△APQ的面积S=}AO||凹一%1=|53+%）2-4〉必=

1851+产18

3产+4-37r।］，令〃=J1+/21，对勾函数y=3〃+工在［1,+8）上单调递增,

J1+产'

18"I,当且仅当f=0时取等号,

则3〃+，24,即3-1+00<—

24,从而3G21

+t+j----------------

uvl+rJ1+:

【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横（纵）截距、图形上

动点的横（纵）坐标为变量，建立函数关系求解作答.

22.已知函数/。)=«%3+"2+£%(“力0),且6a+Z?=0,/(l)=4iz.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若xe[0,3],函数F(x)=/(x)-xe-,有三个零点不，々，x3,且药<々</，试比较

芯+/+%3与2的大小，并说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)xt+X2+X3<2,理由见解析

【解析】

【分析】(1)分类讨论。〉0与。<0,结合导数与函数的关系即可得解；

(2)观察式子先确定占=0,再利用转化法与换元法得到21nf2-21nf3=f2-f3,进而利用双变量处理方

法得到G_4=2(.2+1)In2―4(〃-1),利用导数证得(2+/3