新高考江苏省宿迁市2024年高三年级一模调研测试数学试题（九省联考模式）

宿迁市2024届高三年级调研测试

数学

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上"条

形码粘贴处".

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液.不按以上

要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4={x|04xS4,xeN},B={x\x=3k-\,keZ]，则=

A.{0,2}B.{2,4}C.{2}D.{1,3}

2.已知复数二满足二(3+4i)=5,其中i为虚数单位，则二在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

(a+?)+85[-今)=一：，贝！Isina的值为

3.已知。6(0,乃),COS

c立272

1D

A.-B.------D.----

3333

4.已知函数/(x)=2'-3T,则不等式/(/)</(2%+3)的解集为

A.(-1,3)B.(-oo,-l)U(3,+oo)

C.(-3,1)D.

5.设S“是等比数列｛勺｝的前〃项和，若S3,S,,S6成等差数歹U,q=-2,则%的值为

C11,

A.-2B.——C.-D.1

22

6.已知同=2,S3,向量Z在B上的投影向量为;否,则向量Z与否的夹角为

C黑

A.—D.丁或丁

6B-T66

5

7.已知椭圆-5~+=l(4>b>0)的左焦点为尸，过原点且斜率为学的直线与椭圆交于

ab2

____2

E。两点，若PF・QFc=-',则椭圆的离心率为

A3B也D*

22

8.人工智能领域让贝叶斯公式：P(48)=0站在了世界中心位置,AI换脸是

一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些"AT视频,"AI”视频占有率为0.00L

某团队决定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是

0.98,即在该视频B伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为"AI";它的误报率是0.04,即

在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为"AT.已知某个视频被鉴定为“AI",则

该视频是"AT合成的可能性为

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设随机变量X~N(0,l),f(x)=P(X<x),其中x>0,下列说法正确的是

A.变量X的方差为1,均值为0

B.P(|R4x)=1-2〃x)

C.函数，(x)在(0,+8)上是单调增函数

D./(-X)=l-/(X)

10.在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线C：V=4x,48为抛物线C上两点.下列说法

正确的是

A.若直线48过点(1,0),则△0/8面积的最小值为2

B.若直线48过点(4,0),则点。在以线段18为直径的圆外

C.若直线过点(1,0),则以线段力8为直径的圆与直线/:x=—l相切

D.过4B两点分别作抛物线C的切线，若两切线的交点在直线八x=-1上，则直线过点

(4,0)

11.已知正方体ZBCO—44G。的棱长为3,瓦£G分别为棱8片，DDi,CQ的点，

112

且BE=：BB］,DF=；DD-CG=|CC,，若点P为正方体内部(含边界)点，满足：

AP=AAE+pAF,入〃为实数，则下列说法正确的是

A.点P的轨迹为菱形AEGF及其内部

B.当；1=1时，点尸的轨迹长度为J1U

c.14Pl最小值为粤

D.当〃=；时，直线/P与平面/8CQ所成角的正弦值的最大值为洋

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知［乂2+占)的展开式中二项式系数和为32,则展开式中的常数项为.

13.已知定义在区间［0,句上的函数”刈=25访(如+彳］(0>0)的值域为,则。

的取值范围为.

14.在T轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该园推

内的空隙处放入n个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则n的最大值为

_________.(52sinl7°=—)

6

第14题圉

四.解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知S“为公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和，且

02tl=Aan+1(2eR,〃eN').

(1)求2的值；

(2)若=4s2,求证：H---+…"1------<!

Q2a3anan^\?

16(15分)如图，在四棱锥P—ABC。中，四边形,48。。为梯形，其中AB“CD

ZBCD=60°,AB=2BC=2CD=4,平面尸8。_L平面.43。。

(1)证明：/£><L尸。；

(2)若.48J.，且PC与平面.48CO所成角的正切值为2,求平面PBC与平面PAD所

成二面角的正弦值

17.(15分)某班欲从6人中选派3人参加学校篮球投篮比赛,现将6人均分成甲、乙两队进行

选拔比赛.经分析甲队每名队员投篮命中概率均为2;，乙队三名队员投篮命中的概率分别为]3,

32

3

“小P”).现要求所有队员各蝙一次(队员雌是否投中互不影响).

3

⑴若『，求甲、乙两队顺中5次的概率;

(2)以甲、乙两队投中次数的期望为依据,若甲队获胜，求p的取值范围.

18.(17分)已知函数/(x)=alnx+4,aeR.

X

(1)若。=202，求/(x)的极小值；

(2)若过原点可以作两条直线与曲线1y=/(x)相切，求a的取值范围.

X2y2

19.(17分)已知双曲线M-4=l(a>0,b>0)的右顶点为P,过点P且与x轴垂直的

ab

直线交f渐近线于。(1,2).

(1)求双曲线”的方程；

(2)过点。作直线/与双曲线M相交于48两点，直线04必分别交直线y=2于C,。两

点'求向+向的取值范围.

宿迁市2024届高三年级调研测试

数学

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上"条

形码粘贴处".

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上.如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不准使用铅笔和涂改液.不按以上

要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合/={x|0<x<4,xeN},B=^x\x=3k-1,k，则=

A.{0,2}B.{2,4}C.{2}D.{1,3}

【答案】C

【解析】力={0』23,4},8={小被3整除余2的整数}=>/08={2}，选C

2.已知复数z满足z(3+4i)=5,其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

5―•

【解析】z=—=3—4，=>OZ=(3,—4)，选D.

3+4z

_JIJI\4

3.已知a£(0,乃)，cosa+—+cosa--\-——，贝Dsina的值为

II3

1V2V7272

A.-B.----C・----D.------

3333

【答案】A

【解析】解法一：两角和与差余弦公式+同角平方关系

'7t\4后44

ae(0,7r),cosa+—+cosa----=——=>V2costt=——=>cosa=<0

I4J33

(TV\,sina=^=-,选A.

=>«e—,7T

U5)3收3

解法二：平方尚•语导公式

.TC(吟16

ae(0,;r),cosa+—不、+sina4——--=>l+2sina-\"—cosa+—

4jI4J34JI4J~9

/兀、7

Osin2a+—

I2J9

-,sina=&=L，选A.

=>cos2a=-=>aw(0/),sina=

33V23

4.已知函数/(x)=2、—3-,则不等式/(f)</(2x+3)的^为

A.(-1,3)B.(―%―l)U(3,+8)

C.(-3,1)D.(—8,—3)U(L+8)

【答案】A

【解析】解法一：/(x)=2X-3-x,xeRnf(x)T=>x2<2x+3=>xe(-1,3),选A.

解法二：特值当x=0时，/(0)</(3),排除民。，当x=l时，/(1)</(5)，排除C，选

A.

5.设S”是等比数列｛%｝的前九项和，若S3,59,S6成等差数列，囚=-2,则%的值为

C11I

A.-2B.C.—D.1

22

【答案】B

【解析】解法一：性质+特值

0]=-2=>tz7<0，排除C,D;当q=1时，2s9二邑+S6n18/=3al+6%=9q=>q=0

=>q。1=>%工-2排除A,选B.

解法二：基本量运算

由解法一知qW1,则2s9=S3+S6n牛(1—泊=一泊+3。一q6)

1-q"q"q

1<1Y1

3

=>-1)(2^+1)=0=>=--=>a1==-2X--=-不，选B.

2I2J2

n

解法三：二级结论sm+n=sni+q'sn

S9=S3+g3s6=S6+q6s3=>2S9=S3+S6+q3s&+q6s3,由2S9=S3+S6,

则亦6+q6s3=0nS6+q况=0,又§6=S3+q3s3=(1+/电，

则—g3s3=(i+/氏=(i+2力53=0n/=_；

或$3=0(舍去)，选B.

6.已知问=2,6=(V3,3),向量Z在右上的投影向量为;否，则向量Z与1的夹角为

71C.红_兀S冗

A.——B.——D.三或二

63666

【答案】A

、

【解析】向量£在至上的投影向量为1

2

又W=2百,则COStQ6=」^=¥^二号卜厨e[。,句=>M）=5，选A.

26Z2x220

另解：向量々在3上的投影向量为/

，排除c,D,观察选项"颜值",选

呜7

A.

/y2yp2

7.已知椭圆\+与=1(〃>6>())的左焦点为尸，过原点且斜率为一的直线与椭圆交于

ab2

------。2

2。两点,若PF.QF=_^，则椭圆的离心率为

AV3「夜厂1C也

A・B・C.—D.

2223

【答案】B

【解析】解法一：极化恒等式+解三角形+通径

而存=-]n|可-函2=*n匹卜*，又G=tanNFOQ=.

=>cosZ.FOO==>Z.OFO=—

-2\0Q\—2

山小V2b2>/2a2-c226、门

n尸2|=—c~-n—c=----------=>e-i-------e—1=0,

〜2a2a2

又ew（0,l），则e=*，选B.

解法二：向量坐标运算+坐标翻译垂直

____25

不妨设。（缶6）户>0，贝I」尸（一缶,一1）,PF^QF=~^>x=^c

=>p-c--~cnQF_LOF,下同解法一（略），选B.

2）

解法三：对称性+焦点三角形

_____2_________22

设右焦点片(一c,0),PF-QF--^—^PF-PFX-^-=>(a+exp)(a-exp)=,

(5、2行

又尸c^—c，则(a+ec)(a-ec)=^■，又ew(O[)，则e=4■，选B.

、2J22

解法四：余弦定理的向量形式+极化恒等式

22

——c22c

PF-OF=~—=>FO-00=-----=>

-2-2

222

c1FP+F0-P0c2

PF-OF=——=>

222

2

—6

同2+同c1------222

=>FP+|=6-C

2T

222

[a+exp)+(a+exo)=6-c,x0=-xp

则2a2+2e2Xp=6-c2,Xp=c2n2a?+2e*=6-c2,又eG(0,1)，贝！]e=,选B.

解法五:直线方向向量+解三角形+通径

------1------KC2+卜孚c，由AOQ=¥

PF-OF=-—=>「-前

-2

=>02=41,孝,4w0，则4=。=>0卜,

，下同解（略），选B.

另解：减少字母个数利于求值，还可。取特值.

8.人工智能领域让贝叶斯公式：尸(川B)二P0嚣⑷站在了世界中心位置，AI换脸是

一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些"AT视频,"AI”视频占有率为0.001.

某团队决定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是

0.98,即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为"AT;它的误报率是0.04,即

在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为"AT.已知某个视频被鉴定为"AT,则

该视频是"AT合成的可能性为

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

【答案】C

【解析】记"视顷是AI合成"为事件A,记"鉴定结果为AI"为事件B,

则P(/)=0001/(1)=0999,P(皿)=098,P(郎)二094,由贝叶斯公式得:

P(A)P(B\A)0.001x0.98

尸("忸)二二0,024,选C.

P(4)P(B㈤+P(才尸卜口)00。1x0.98+0.999x0.04

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设随机变量X~N(0,l),/(x)=P(X<x)，其中x>0，下列说法正确的是

A.变量X的方差为1,均值为0

B.P(|X|<^)=l-2/(x)

C.函数/(x)在(0,+8)上是单调增函数

D.〃r)=l-/(x)

【答案】ACD

【解析】随机变量X〜N(0,l)=>，=%=0,则A正确；

P(|X,x)=P(—x<XKx)=l—2[1-/(尤)]=2/(的一1,则B错误；

随机变量X〜N(0,l),结合正态曲线易得函数/(%)在

(0,+8)上是单调增函数，则C正确；

正态分布的曲线关于x=0对称，/(—x)=P(X<-x)=P(X>x)=1-f(x)，则D正确，

选ACD

10.在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线。:力=4%,45为抛物线。上两点.下列说法

正确的是

A.若直线过点(1,0),则△。力B面积的最小值为2

B.若直线过点(4,0),则点。在以线段为直径的圆外

C.若直线过点(1,0),则以线段45为直径的圆与直线/:x=-l相切

D.过48两点分别作抛物线C的切线，若两切线的交点在直线八x二-l上，则直线为3过点

(4,0)

【答案】AC

【解析】抛物线/=2PX(p>0)的焦点弦端点与顶点构成三角形&n=0=2,A正确；

抛物线V=2px(p>0),轴点弦(2,0)的端点与顶点连线互相垂直(充要条件成立)，则点

。在以线段为直径的圆上，B错误；

抛物线/=2.（7>0）的焦点弦为直径的圆与准线相切，C正确；

抛物线/=2PMp>0）的B嘘米德三角形性质：过准线上一点作抛物线两切线，切点恒过焦

点（充要条件成立），则直线48过点（1,0）,D错误.故选AC.

11.已知正方体4片GA的棱长为3,££G分别为棱84,DD-CQ的点，

117

且BE=-BB],DF=-DDX,CG=-CC],若点尸为正方体内部（含边界）点，满足：

AP=21E+JLIAF,为实数，则下列说法正确的是

A.点P的轨迹为菱形/EG尸及其内部

B.当;I=1时，点尸的轨迹长度为加

C.|4尸|最小值为噜

1/nn

D.当〃=,时，直线/P与平面/BCD所成角的正弦值的最大值为詈

【答案】ABD

【解析】万=4荏+〃后nP在菱形/EFG内，A正确；

当；1=1时，万=4衣+〃万=方=赤+〃/nP在线段EG上，尸的轨迹长度为

线段EG的长，即为质，B正确；

当〃=1时，万=4衣+=万=4荏+方=尸在面力ERG内，尸在RG上时，

有最小值为屈，C错误；

当〃二工时，万=4衣+4赤二>万=4万+!方=尸在面/EFG内，尸在自7上时,

/尸与面/BCD所成角的因玄值最大，即为丝,D正确.故选ABD.另：几何法和建系也

可.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知］公+4?|的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为_________.

Ix)

【答案】10

【解析】令x=1,则2"=32=〃=5=刀用=C4n当r=2时，常数项为=10.

13.已知定义在区间［0/］上的函数/(x)=2sin'8+区'(刃＞0)的值域为［一2,0］,则由

3)

的取值范围为

55

【答案】

653

【解析】解法一：换元法

人2万2万2万3万2万7%

令E+65乃=>——<卜CD7T<——=ge

TT23314

解法二：目标函数+伸缩变换

5万5万

535口51,

令y=2sinx+，°min-^—=—=>a)e

716max713

14.在T轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实/心球后，再在该圆锥

内的空隙处放入〃个小球，这些小球与卖11'球、圆锥的侧面以及底面都相切，则n的最大值为

BC

第14题圉

【答案】10

【解析】1."三切”：小球与实心球，圆锥底面,圆锥侧面皆相切=小球摆放态.

2.“轨迹”：离散型分布，小球与底面切点在圆锥底面的同心圆上O"圆环手串"

模型小球球心在同心圆上，此种转化便于解决问题.

3.“误区”：两相切小球的球心与切点三点共线吗？答案为共线，两小球切点在

圆环上吗？答案为否！实物模型手串理解，放大手串的珠子更直观，还可作正

多边形，让正多边形的顶点为圆心，直径为正多边形的边长更好理解！

R

4.“计算”：设实心球半径为R，小球半径为尸，则一二3,"手环穿"半径为

r

|"卜2折.

5J71何":令训"%必吟•=9呜=■=血］

=6=34。，关键条件sm17。=4的使用.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知S〃为公差不为0的等差数列｛q｝的前〃项和，且

aln=Aan+1(2eR,neN*).

(1)求力的值；

（2）若邑=45，求证：…+-^〈工

4a2anan+\]

【解析】（1）解法一：设｛%｝的公差为d（dwO）,

由。24=4%+1①，得％"+2=4a”+i+1②，

则②一①得生〃+2一。2n=44+「％），

即2d=4d,又dwO,则4=2.

解法二：设｛%｝的公差为dQwO)

因为%“二九零+1

所以q+(In-l)d=2[fl]+5-l)d]+1对€N.恒成立

即(4-2)血+(4—1)®—d)+1=0对wN.，械立

所以]("加=0

[(2-l)(a,-4Z)+l=0

又dwO，则;1=2.

解法三：利用必要性解题

取〃=1,2求出结果（4=2），将4=2代回验证

(2)由=4§2得4q+6d=4(2q+d),即2a1=d,

所以%=%+(〃一l)d=2axn-a｛,

又。2%=2%+l即4印一％二2（2的一囚）+1,则0=1,

因此=2w-l,

则-----1----------F•••H-----------=--------1----------F…H-------------------------

a/a2a3a/”+i1x33x5(2«-l)(2w+1)

111

——+d-----

23352z7-l2w+lj212w+l)2

16.(15分)如图，在四棱锥P-/BCQ中，四边形1867)为梯形，其中

ZBCD=60°,AB=2BC=2CD=4,平面P3Q1平面43CQ.

(1)证明：ADLPD;

(2)若2B1PD，且PC与平面ABCQ所成角的正切值为2，求平面PBC与平面P4D所

成二面角的正弦值.

P

【解析】

(1)因为/BCD=60°,BC=CD=2,所以△BCD为等边三角形，

所以58=28。=4,

又四边形/BCZ)为梯形，ABHDC，则43。=60。，

在△48。中，由余弦定理可知，

AD2=AB2+BD2-2AB-BDCQSAABD=+2^-2x4x2x-=\2,

2

根据勾股定理可知，AD2+BD2=AB2，即4Q13。.

因为平面尸80_1_平面/BCD,平面尸3。。平面

ABCD=BD,4。u平面/BCD,

所以401平面尸3。，又因为尸。u平面P5。，

所以401尸。.

(2)法一：由(1)可知4)_LPQ,

又因为IP。,AD[}AB=A，所以尸。1平面/BCD,

DP

所以/PCD就是PC与平面ABCD所成角，所以tan/PCD=京=2，

所以PO=4;

,DB,DP正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系。-斗

则8(0,2,0),C(-V3,l,0),尸(0。4),

所以而=(0,—2,4),5C=(-73-1,0),

设平面P8C的法向量为X=(x//),

-2y+4z=0,

则有取4二(一26,6,3),

—\[3x—y=0,

由题意得言二。1,0)为平面以。的法向量,

62757

所以cos(勺,乙”2

底一19

巧

即平面PBC与平面PW所成二面角的正弦值誓.

法二：在平面48CD内，延长与/。相交于点M,

连接，则P"为平面尸8。与平面以。的交线

在平面PQ〃内，过点。作ZW1PM,垂足为N,雌助

由（1）得，AD1PD

因为AD_LPZ）,ABLPD,力。。43=/期在面/5。。内

所以PQ1面月BCD

因为BQu面/BCD，所以尸。15。

又因为4018。，PD1BD,/。0尸。=。且均在面尸4。内

所以BO1面P4。，即BOJL面PQM

因为P〃u面PDM，所以BQ_LP"

因为PM1BQ,DN1PM,MDPl=0且均在面BON内

所以尸又，面瓦尔,由5Nu面BZW，所以3N1PM

所以4D=DM=26

PD-DMPD-DM4A/21

在直角二角形PND中DN=—……=T『--==三一

PMy/pD2+DM27

后

在直角三角形BND中tanZBND=--

6

所以平面PBC与平面尸/O所成二面角的IB玄值

19

所以ZBND就是二面角B-PM-D的平面角

又因为尸。1平面4BCQ,

所以/PCD就是PC与平面458所成角，

DP

所以tan/PCO=4=2，所以尸。=4

DC

因为DC"AB，所以器=空=1.

AMAB2

17.(15分)某班欲从6人中选派3人参加学校篮球投篮比赛，现将6人均分成甲、乙两队进行

21

选拔比赛.经分析甲队每名队员投篮命中概率均为5，乙队三名队员投篮命中的概率分别为不，

32

3

1,。(0vp<1).现要求所有队员各投篮一次(队员投篮是否投中互不影响).

3

(1)若。=彳，求甲、乙两队共投中5次的概率；

(2)以甲、乙两队投中次数的期望为依据，若甲队获胜，求p的取值范围.

【解析】

(1)记"甲，乙两队共投中5次"为事件力，

则可以是甲队投中3次，乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次.

皿山、(2丫［1尸311(3丫］丫11(3丫

则P(4)二--xC；—x—+—x-+C；-x-x-x-

⑴|_2244232⑷

5119

=1—=—；

36872

19

答：甲、乙两队共投中5次的概率为二.

72

(2)记甲、乙两队投中次数分别为,

,2、2

则入~53,三，所以E(X)=3x：=2;

V3J3

丫的取值为QL2,3,

则尸(y=o)=!xj(l—夕)=?,

24o

PCY=1）=-x-（1-p）+—x—（I-p）+-x—p=-----

2424248

/_13,、11133+p

P（y=2）=-xz（l-^）+-x-p+-x-p=—

133

p（y=3）=-x-p=-p

248

所以，丫的分布列为

Y0123

1一-4-3p3+p3

P-p

8888

135

^：E^=-+-+P=-+P

18.（17分）已知函数/（x）=alnx+],aeR

x

（D^fl=2e2，求/（x）的极小值；

(2)若过原点可以作两条直线与曲线歹=/(x)相切，求a的取值范围.

【解析】

222

（1）/'"）=三2e2_2ex-2

1(1、

令r")<o得0<%<一，则/⑶在0,-±单调递减,

ekej

1(\\

令/'(X)>0得X>-，则/(X)在一,+8上单调递增,

eVe；

则/(%)的极小值为了上=2e2In-+e2=-e2;（列表也可）

9e

d—与

XXX

设切点分别为(4/(*)),(x2,/(x2)),

则/(x)在X=再处的切线方程为y-/(芭)=丝ax一—2(X-否)，

再

又切点过原点，所以0-/(xj=丝—(0-%]),

石

即2+a(ln%-1)=0,同理士•+a(In%2-1)=0，

国x2

3

所以国/2为方程W+a(lnx-1)=0两个不同的根，

x

设g(x)=3+a(lnx—l),贝11/(%)=-g+巴=--$竽:,

XXXX

若aWO,g'(x)<0,则g(x)在(0,+8)单调递减,不符合题意；

若a>0,令g'(x)<0得，xe0,、口，g(%)在。，电单调递减,

lVajI、。J

令g'(K)>0得XG［需,+oo,g(x)在(居,+8单调递增.

所以g(%)m"g［监=十(晤1],

ON

6

若g(X)minN°，即

e

3

此日昉木~+6?(lnX1)=:0没有两个不同的根，不符合题意；

X

若gOOmm<0，即。>93

，g(e)=—>0,

ee

1-6a

因为a>一，所以二一一=--<u，所以一<J—,g一=

eaaaraVayaJ

/6、则"(a)=3-No,

令。(a)=3a-Ina—1a>—,

、e?a

所以久a)在[9,+s[上单调递增

,h［a}>h->0,

leJ、e，

(1、

即g—=a(3a-\na-V)>0,

3

又g(x)=—+a(lnx-1)的图像是不间断的曲线，

x

所以存在芭户2满足5＜玉＜＜e使得双玉)=冢X2)=0，

所以”的取值范围是。〉9

e

22

19.(17分)已知双曲线时:存-与=1(。＞0,方＞0)的右顶点为尸，过点尸且与x轴垂直的

直线交T渐近线于。(L2).

(1)求双曲线时的方程;

(2)过点。作直线，与双曲线M相交于48两点，直线尸4P3分别交戢y=2于C,。两

乙+L的取值范围

点,求

\QC\\QD\

盛析】

(】)因为双曲线=l的渐近线方程为,，

aa

a=1,(,

£2=1,

所以8c解得L.

一二2,6=2,

,a

所以双曲线时的方程为丁-炉-I.

(2)解法一:由题知，直线的

设方程为y=k(x_l)+2,4(斜率存在了(三，力)，

片的一1)+2,,,,

啦,,得(4一/)f+2A("2坎一储+4"8w0，,

4fly-4=0,

则4一/。0且△>()，所以2v2且左。一2

2k(k-2)-k2+软一8

$十二-------产，平2=o——

4—124—左2

因为PA的方程为y=(x-1),由题意得必wO，贝！Uwl,

-1

所以{k|