河北省承德市部分示范性高中2024届高三年级下册二模试题 数学 含解析

高三数学考试

本试卷满分150分,考试用时120分钟.

注意事项，

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题

区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡上作

答：字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题S分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={xly=lg（x?-3x+2）},B={yl产/+],工6R},则AC8二（）

A.（2,+a?）B.（-8,1）52,+e）C.（0J）u（2,+a?）D.（l,+«?）

2.已知z=2±l,则复数N对应的复平面上的点住（）

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.设〃为实数，若函数/（工）=3/一《炉+3在工=1处取得极小值，则〃=（）

A.lB.-C.OD.J

2

4.在qA8c中，。为8C中点，连接AO,设七为中点，且B4=M8E=.V,则配=（）

A.4.1+2）：B.-4x+yc.-4x-2yD.4y-2x

5.困数/（"二瓜山（2]-1）+cos（2工-/的图象的对称轴方程为（）

nlai,-八nkn,-

A.X=—I----,kwZB.X=-H,AGZ

3222

5nkn,八litkn,_

C.x=—+—,keZD.x=—+—,kGZ

122122

6.对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的''浙

升数”共有（）

A.97个B.91个C.84个D.75个

7.己知函数f（x）=x2（e'+e・'）,若〃满足/（%«）+/（】og0.2⑷<2|e+-|,则实数。的取值范围是

kc.

()

A（"TR（4,+8）C（0,4）D

8.已知国C:F+（）」2）2=1,厕C与y轴交于A（0,3）,8（0,】），斜率存在且过原点。的直线/与圆C相

交于仞,N两点，直线AM与直线8N相交于点P,宜线AM、直线8N、0线0P的斜率分别为

匕,42K，则（）

A.K+6&2=&BK+2&=〃3

C.2&]+&=&D.k、+k?=k、

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对于给定的数列｛〃“｝,如果存在实数P，q,使得47=pa„+q对任意〃wN成立，我们称数列｛«,｝是

“线性数列”，则下列说法正确的是（）

A.等差数列是''线性数列”

B.等比数列是“线性数列”

C.若〃工1且4=4，则%/（I'）

/1-〃

D.若p工I且q=q.则｛an｝是等比数列｛//1｝的前〃项和

10.已知直线/与抛物线£./=21相交于A（N，y）8（0为）两点，分别过A8作抛物线准线的垂线，

垂足分别为C，。，线段A8的中点到准线的距离为d，焦点为£。为坐标原点,则下列说法正确的是

（）

A.若d=?,则|ACl+忸。=11

B.若0A.L08,则丁以二一16

C.若直线/过抛物线的焦点产，则CFLDF

D.若/A..L68,直线。A,08的斜率之积为4,则直线/的斜率为士正

2

11.如图，在正四棱柱A88-AgCQj3M=2A8=2,石是棱A4的中点，P为线段8。上的点

（异于端点），且ED=PD，则F列说法正确的是（）

C,

A.E队是平面EDC的一个法向量

B.Z?P=-Z?D,

41

C点P到平面ECQ的距离为渔

18

D.二面角P—EC-D的正弦值为逑1

14

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(工)=2"+x在k=。处的切线的斜率为.

13.己知双曲线C：，-』=l(a>O,〃>O),R,工分别为其左、右焦点，尸为双曲线上一点，P£1PF2,

cib

且直线尸片的斜率为2,则双曲线的离心率为.

1siiu,siiix

14.已知tanv=-,则---------+----------=___________.

3cos3xcos2xcos2,vcosx

四、解答题：本题共5小题，共力分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知正项数列｛4｝的前〃项和为s”,满足SN=S”“+q,+2,数列也｝满足bn=log2^,

Z?j=0,/?2=1.

(1)写出为,生，4必，并求数列｛《,｝的通项公式；

(2)记以为数列｛，｝在区间(相一1,间£N")中的项的个数，求数列上优｝的前ni项和7；一

16.(本小题满分15分)

中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16口在北京开幕，各地报起了一股学习党史风潮，某

市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩(满分

100分)数据，统计结果如下表所示:

成绩区间[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90J00]

频数201802002802208020

(1)求上表数据中的平均值(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表)：

(2)根据样本估计总体的方法，用须率代替概率，从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛，记

他们之中不低于60分的人数为X，求X的分布列及数学期望.

17.(本小题满分15分)

如图1,在直向中,N4P8=90C为08中点，PA=PC=1,取AC中点O,连接尸D,8D,

现把z>4PC沿着AC翻折，形成三棱锥P-A3C如图2,此时P8二万，取8c中点£,连接

PE、DE.记平面PAB和平面PDE的交线为/,Q为/上异于P的一点.

EC

灵

A

图

(1)求证：CDJ.平面ABC；

(2)若直线AQ与平面所成的的正弦值为巫，求。。的长度.

15

18.(木小题满分17分)

已知椭圆C:±+E=1(〃>〃>0)的左顶点到右焦点的距离是3,且C的离心率是L过左焦点F的直

crlr2

线/与椭圆交于A8两点，过左焦点且与直线/垂直的直线/'与椭圆交于两点.

(I)求椭圆C的标准方程：

(2)求|4B|十|MM的取值范围.

19.(本小题满分17分)

给定一个〃+1(〃GN.)元函数组：4(»,£(”-----/(“，若对任意正整数〃，均有

f„(*=(“，则把A(”称作该函数组的“初始函数”已知&)(x)是函数组a(x),

/\

品(同，・,一，8”(制的''初始函数"，n.g.(/)=&"sinx+：e”.

(D求函数82(”的单调区间：

(2)设g.a)=(a“sinx+dcosx)e'，〃wN',记％=〃“+%,数列｛%｝的前〃项和为S“是三个

互不相等的正整数，若|S」+|Sj=2|sJ,求入—+y+z除以4的余数.

参考答案

1.【答案】A

【解析】集合A中V-3入T2〉。，所以人yl或者人＞2,集合8中yj,所以Ac8=（2,+e）,故选

A.

2.【答案】D

*2+i（2+i）（l+i）l+3i］-3i

【解析】2=—r=7—V7—r所以彳二一二1-的对应点在第四象限，故选D.

1-122

3.【答案】B

【解析】令r（R）=•*-2公=0,则人•二（）或人・二2〃，因R=I时取极小值，则2。=1，即〃=5，故选

4.【答案】D

【解析】由于8E=；（8A+8O）=；84+；BC,所以BC=4BE—284=4），一2不，故选D.

5.【答案】C

［解析］/（x）=-V3cos2x+cos2x-当+sin2x•g=一日cos2x+gsin2x=sin（2/-,所以

2X-1=2+E，解得戈=生卜CZ,故选C.

32122

6.【答案】C

【解析】在1,2,…,9中任取3个数，.其大小关系确定，则“渐升数”共有C；=84个，故选C.

7.【答案】D

【解析】函数/&）=f（e'+e-'）为偶函数，所以）（】080.25〃）=/（一嗓44）=/（1。84〃），故。满足

/（log/z）＜e+-,当黑.0时，/r（x）=X2（er-e-v）+2x（e'+e'r）..0,因此/⑴在（0,+e）上革调

e

递增，在（y,0）上单调递减，注意到/11）=e+L因此解出〃的取值范围是但,4.

e\4J

故选D.

8.【答案】A

【解析】由题意得直线AM:y=Kx+3,与圆。方程联立，得++2Kx=0,可求出点

“1泠1多士同理得点火（（£■,弊?］,由于M.N在直线/上，因此与/=与.化

（&；+1k;+1）3+1Ar；+1）-2k｝2k?

简后得（占+3%）（孕?+l）=0,显然占匕工-1,否则点尸在阿C上，与题意矛盾，则勺+3为=0,再联

立直线AM:），=h（+3与直线8V:>=匕1+1,则点同了今，叁二冬］,因此人=生二^=-勺，

1&-占k「K）2

因此4+6&=&.故选A.

9.【答案】AB（全部选对得6分，选对I个得3分，有选错的得0分）

【解析】数列｛4｝为等差数列，则4向-q=〃，即。川=%+4,满足“线性数列''的定义，故A正确：

数列｛q｝为等比数列，则雪=4,即q+小改”，满足“线性数列”的定义，故8正确：

/\

设0“+1-£=〃（％-"），*wR，则k_加=q,解出女=7■纥，则。〃----=pn~l4一丁”，因此

\-pI\-p）

a/°"）故C错误：

”1-P

若〃=0且，/*0,则为=力显然。错误.故选AB.

10.【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得。分）

【解析】因为〃=:■,所以忸必=',g|j|4C|+|B^=11,故从正确：

设直线。A：）=AX*HO,由［）：?；可得点八（/，：］，由于0A_L08,则直线08:）・=一，工，同

广=2尤k）k.

理求出点4（2代,一2A）,因此,X=7,故8错误；

设直线/的方程为工=〃厅+彳，由｛2可得产一2/〃），-1=0,则

2i心，

yy?=-1乂&=一）;44二一V”因此*a」hF=T,故c正确：

八fx=my+n,_、

设直线/的方程为x=/".y+几〃60，由彳,2_0.可得:r-2"?）-2〃=0,则A=4m~+8〃>0，且

y=

»+x=2〃7,yg=-2/i,由于£4，F4,因此

222

=；P-2H+1-1[(y,+y2)-2y],y2]=n-3n-m+-^=□.因为直线QA,08的斜率之积为4,则

—•—=---------=4,因此〃=-',/〃=土形，满足△=4〃『+8〃>o，故直线/的斜率为±—2.

A&弘)3〃22

故。正确,故选ACD.

II.【答案】ACD（全部选对得6分，选对I个得2分，选对2个得4分，有选错的得。分）

【解析】由于是正四核柱，易知。CJLE。，在A£QR中，改为EM=ED=戊,DR=2,所以

ED；+ED?=DD：,故EDJED,又EOu平面EOC,DCu平面EDC,EDcOC=。，所以

EQ上平面EDC,故A正确：

在ABD。中，3为BD=丘,DD]=2,8D产"，则cos/BDQ=舍,在

.尸。。中，利用余弦定理可求得〃。=巫或/>〃二遥（舍去），因此8P=彳8。],故B错误：

33

V三棱……=^xlx2xl=kVfl.VA£xlxlx|=l,V；..48<7）=lxlxlx|=1,

I11|

^.（W,=lx2x^xIx^=r>因此％-£3=z，因为L平面EOC，所以

ED-LEC,SEcn二Lx6x6=显，设点8到平面EC。的距离为八匕一田彳=4/ix亚=」，因此

22326

f7一2

h=—，由于BP=-8。「所以点P

63

到平面EC、的距离为强,故c正确：

（1]41

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则£（1,0,1）,c（。,l,o）,P-,-,-,^（0,0,2）,

I』・）•/）

£D；二(一1,0,】)为平面EDC的一个法向量.£P=^-|,|^j,£C=(-lJ-1).设平面PEC的一个法

1E211

/、n-EP--A+-V+-Z=O,

向量为〃=(为):z),则'33"3令

”-EC=-x+j-z=0,

Ef)•fjJ]a

1

z=lT^=(2JJ),cosEQ,4=-=--,因此二而知P-EC—O的正弦值为Ml,故。正

卢阳同1414

确，故选ACD.

12.【答案】ln2+l

【解析】/'(x)=2Fn2+l,则r(0)=ln2+l.

13.【答案】小

【解析】由于直线外;的斜率为2,因此仍q=2,且|P图一|P用=2”,因此|P£|=〃|P用=4a,因

为PF、1PF2,所以(2q)2+(4〃尸=4c2,则e=小.

a1()

14.【答案】—

，皿sinxsin(3x-2x)sin3xcos2x-cos3xsin2x、、

【解析】-----------=-：-----------L=-------------------------------------=tan3x-tan2x.

cos3xcos2xcos3xcos2xcos3xcos2x

sinrSE(2/T)sin2xc6n-CQ5245il«C

---------------=——-----------=---------------------------------=tan2x-tanx»

cos21cosxCOS2ACOS^COS2/COSX

lift以------------4-----------------=tan3xtaiix,而

COS3JCCOS2Xcos2.rcosx

2tanx

2+tanA?

o/_、tan2x+taavi_tanv3tanx-tanx13

tan3.r=tan(2/+x)=--------------=-?-1圳<，----=--------—=—,

l-tan2.rtanx2tan'x1-3tan\v9

1----------—

1-tanx

因此原式二0一，二w.

939

15.【答案】⑴1,2,3,44=〃(〃£河)⑵7；,=2m>1

【解析】（1）由5”<2=5“八+%+2可得《小一《,=2.

由。=logM，可得q=1，%=2、％=q+2=3,4=%+2=4,

当〃为偶数时，令〃=2AMeN\«2,=生+2(A-1)=2A：

当〃为奇数时，令〃=24-1,4eN*Mw=%+2k-1)=2攵-1.

综上所述，4”=〃(〃£N);

(2)由(l)得•“=〃(〃wN。,则a=log/,

,M

由1V/%,m,可得】og??"<log2/znlog,2.

,''

因为bn=log2/?是一个递增数列，所以2""v几，2'",故c,n=2'"-2°=2'""♦

故数列｛嚷｝是首项为1，公比为2的等比数列，，=上==2"'-1.

1—2

Q

16.【答案】(1)63.2(2)略，|

【解析】(1)x=35x0.02+45x0.18+55x0.2+65x0.28+75x0.22+85x0.08+95x0.02=63.2；

(2)由题意可知，X~8(3,：，则X=0,L2,3,

)喑"(x=xC36

P(X=0=(|)丁法’

[27.

2(3、:哉制X=3啕

P"=2)=Cf@~V25'

所以X的分布列为

X0123

8365427

P

125125125125

矶Xi河

17.【答案】(1)略(2)6或矩

11

【解析】(1)证明：由题意知PD=也,cos/8cA=BU+CD.-BD・=一立解得8。二.口，

22BCBD2V2

当P8=6时，有PD?+BD?=,即PD」.BD,

由。是AC的中点，PA=P。得PO」.AC,

而8DcAC=。,BDACu平面ABC,故尸。」.平面ABCx

(2)解：以0Aop为x轴，z轴.过0作平面PAC的垂线为)’轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则。(0,0,0),4.利用/8QC的余弦值

设平面尸D8的法向量为”=（%,>o，4）,

PD•"=0,..

则不妨取用=1,解得〃=(1,2,0).

PBF=0,

设O（T［，Y，Z］）,则尸0=，A#=（一弓:，^^，。），P0与人8共线，设为PQ=ZA8,

因此心卜净一冬争，用

.没直线A。与平面尸。B所成角为仇

则sin0=|cos(40,〃，n-AQ

化简得11*2-6〃-5=0,解得k=l或攵=-(■,

因此IP@=医=6或IP0=J零+号=竽

18.【答案】(1)—+^=|(2)

43

c_1

【解析】(I)由题意得｛1=5'解得〃=2,c=l,则。？=.2-/=3,

"+c=3,

所以椭圆。的标准方程为二+汇=I:

43

（2）由（1）可知，左焦点尸（-1,0）,当宜线/斜率不存在或者斜率为0时，|/W|+|MN|=7.

当直线/斜率存在旦不为。时，

设直线/:y=k"+】），直线/'：），=一;a+l）,A（M，X）,8（,,.y2）,M（.q，）'J，N（&,y4），

K

y=k(x+l),

联立方程组《『),2整理得(4代+3)犬+弘2;v+4y-l2=0.

143

-8k24--12

r则lll…'…

因此|A却二而一J+G'「）J="工了_4中?=喀二？'

同理可得|何/7|=零?

34

网+5|=7+赤33人4

所以=7--------72-----

12r+胃+25

由于12代+我..24,当且仅当公=1时等号成立，则竽”|A8|+|MM<7,

48

综上所述，|AB+|何N|c—,7.

19.【答案】(I)地区间(2也——,2^714--、kwZ,减区间(2E+1n2Am+~5^n~),2wZ(2)。或3

44

【解析】（I）根据题意可知g2a）=2coue,g3W=2（cosx-si】Me"

函数J=g2（x）的定义域为R，

令g；（x）=g、（x）=2（cosx-sinr）ev>0,即cosx>siiu*.

解得：2/at--<x<2