2024年高考数学专项复习：设而不求韦达定理与三点共线问题（解析版）

2024年高考数学专项设而不求韦达定理与三点共线问题（解析

版）

钱而不或书达定理易三点关铁冏题

钱而系求卒达定理

知识与方法

在圆锥曲线的大题中，将直线与圆锥曲线的方程联立，消去。（或工）整理得出关于M或妨的一元二次方程

是常规操作，如果设直线与圆锥曲线的交点分别是4处%）、取），很多时候我们都不去求这两个交点的坐

标,而是直接根据交点坐标会满足上面得到的关于以或y）的一元二次方程，借助韦达定理来计算其他需要用

到的量，这种处理方法叫做设而不求.

一般地，若联立后得到的关键方程用ax2+bx+c=0（aW0）来表示，其判别式△=b2-4ac，则：

bJac

(3)山一z2|=V(g+c2)2-4工巡2=VA

a2同

（4）就+送=（的+徵）2—2为物=与等；（5）嘉+金=

借助韦达定理及其推论，我们可以计算很多关于◎和芯的具有对称结构的代数式.

典型例题

题1（★★★）

设为曲线上两点，入与B的横坐标之和为4.

（1）求直线的斜率；

（2）设〃•为曲线。上一点，。在M处的切线与直线48平行，且求直线AB的方程.

•M

谢2(★★★★)

已知抛物线C.y'2px过点P(l,l),过点(O,])作直线I与抛物线。交于不同的两点M、N,过点M作c

轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A、B,其中。为原点.

(1)求抛物线。的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)求证：A为线段■的中点.

刷3(2021•北京吃。-****)

已知椭圆氏4+*=l(a>b>0)过点A(0,—2),以4个顶点围成的四边形面积为475.

ab

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点P(0,—3)的直线Z斜率为％,交椭圆E于不同的两点3、。，直线AB交沙=—3于点朋■，直线AC

交"=—3于点N,若+\PN\W15,求k的取值范围.

•M

强化训练

跟踪训练［1.(★★★)

已知椭圆。:冬+/=l(a>6>0)的离心率为卓，长轴长为4V2.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若直线ky=far+小0/0)与椭圆。交于A、B两点，线段AB的中垂线过点P(l,0),求k的取值范

［跟踪训细2.；(★★★)

已知椭圆C:弓■+a=l(Q>b>0)的离心率为且过点(一

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点n(—1-,0)且不与y轴垂直的直线，交椭圆。于P、。两点,点41,0),证明：AP±AQ.

三点共线问题

知识与方法

在解析几何中，三点共线一般用斜率相等或向量共线来计算：

⑴斜率相等：4B、。三点共线〜心产以。或直线48、的斜率都不存在;

⑵向量共线：A,B,。三点共线^>AB//AC.

_____________________________螃^题

014(★★★★)

已知曲线C：(5—m)x2+(m—2)才=8(mCR).

(1)若曲线。是焦点在2轴上的椭圆，求m的取值范围；

(2)设m=4,曲线。与y轴的交点分别为A、B(点A位于点B的上方),直线沙=for+4与曲线。交于不

同的两点河、N,直线夕=1与直线交于点G,求证：4G、N三点共线.

•M

幽5（★★★★）

已知4B分别为曲线。金+才=1（夕>0«>0）与多轴的左、右两个交点，直线Z过点B且与力轴垂直，

a

S为Z上异于B的一点，连接AS交曲线。于点T.

（1）若曲线C为半圆，且T为圆弧检的三等分点，求S点的坐标；

（2）如下图所示，”是以BS为直径的圆与线段BT的交点,试问：是否存在a,使得O、M、S三点共线？若

存在，求出a的值;若不存在，说明理由.

强化训练

跟踪训练：1.：（★★★★）

已知椭圆车+¥=1的右焦点为F,设直线。=5与，轴的交点为E,过点F的直线。与椭圆交于4B

54

两点，河为线段EF的中点.

（1）若直线Zi的倾斜角为45°，求△4BW的面积S；

（2）过点口作BN,Z于点N,证明：A、M,N三点共线.

•M

［跟踪训练2.1(★★★★)

已知椭圆E:考■+卷=l(a>b>0)的右焦点为F,椭圆的上顶点和两个焦点的连线构成一个面积为四

ab

的等边三角形.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线l-.x—my+0)与椭圆E交于不同的两点A、B,设点A关于椭圆长轴的对称点为4,试

求从、F、B三点共线的充要条件.

械而加靠卒运亥建易三龙卷戴网毁

极而系嘉卒运案理

知识与方法

在圆锥曲线的大题中，将直线与圆锥曲线的方程联立，消去。(或工)整理得出关于M或访的一元二次方程

是常规操作，如果设直线与圆锥曲线的交点分别是4处%)、取)，很多时候我们都不去求这两个交点的坐

标，而是直接根据交点坐标会满足上面得到的关于N或5的一元二次方程，借助韦达定理来计算其他需要用

到的量，这种处理方法叫做设而不求.

一般地，若联立后得到的关键方程用ax2+bx+c=0(aW0)来表示，其判别式△=b2-4ac,则：

(1)工1+22=-(2)a:a；2=—;

a1a

/62—

9—：------4-c-_=_./------4：—ac=_--V--A--•

（3）|iCi-2：2|=V（21+C2）2—4土巡2=

a2aa21«1

（4）/+曷=（劣1+22）2—2的劣2=b;（5）—+」-="1+电__b_

X

a2/逆2c

借助韦达定理及其推论，我们可以计算很多关于◎和芯的具有对称结构的代数式.

典型例题

题1(★★★)

设为曲线。：夕=(上两点，入与B的横坐标之和为4.

(1)求直线的斜率；

(2)设〃•为曲线。上一点，。在M处的切线与直线48平行，且求直线AB的方程.

X:-;=4%

【解析】（1）设4Q1,%）,L（±2，Z/2）,则x+x=4,且,两式作差得:（◎+宓2）（g—电）=

t2■2=4y2

4(%j),所以注■:牛=1,故直线AB的斜率为1.

(2)解法1:设如。，苧),/=专,由⑴可得，詈=1,故g=2,所以河(2,1),

设直线4B的方程为夕=为+力,联立["2:"消去4整理得：X2-4X-4t=0,

[x=4y

判别式A=16+16力>0,故力>—1,

由韦达定理，/什/2=4,力避2=-4灯yi+y2=Xr+x2+2t=4+2t,幼纺=（2詈）=F

MA=（g—2,%—1）,MB=（^2-2,?/2-1）,因为AM±W,所以或•诟=0,

2

即（的-2）（力2—2）+（%—1）（例一1）—X1X2—2（X1+X2）+%加一（%+%）+5=—44—8+1—4—2t+5=

0解得：±=7或一1（舍去），所以直线AB的方程为y—x+7.

解法2:设。'=5，由⑴可得，鲁=1,故g=2,

所以Al(2,l)，设直线AB的方程为y=x+t,

联立｛，二:;1消去U整理得：——4/一4t=0,判别式△=16+16/>0,故t>—l,

由韦达定理，Xi+x=4：,y+y=x+x+2t=4+2i,

212r2•M

所以AB中点为N(2,2+1),故\MN\=2+t-l=t+l

而\AB\=Vl+12•同一工2I=V2-"16+16t=4,2(1+1),因为AMI_，所以\AB\=2\MN\,

故4j2(l+t)=2(t+l),解得t=7或一1(舍去)，所以直线AB的方程为y=x+7.

交y=-3于点N,若+|PN|&15,求k的取值范围.

【解析】(1)由题意，6=2,四个顶点围成的四边形面积S=]x2a义2b=4啰，所以a=西,

、X24

即椭圆石的标准方程为---I——=1

54

⑵设8(孙")，。(力2,仍)，直线Z的方程为g=k力一3,

直线A3的斜率为"2,其方程为沙竺巳-2,

X1力1

%+2

y7—2

联立<，解得：力=—

ly=-3%+2,

62/2

所以|JW|=同理，|PN|=所以|PN|+|PN|=+

仇+2'统+2'%+2统+2'

y=kx—3

联立统_消去"整理得：(4+5肥)/-30版+25=0,

一5十4=1

判别式△=900A;2-100(4+5fc2)>0.

25

解得：k<—1或卜>1,由韦达定理，g+必2=一迎f,XiX2

4：+5k-4+5肥'

X1X

显然xrx2>0,故为、电同号，而%+2>0,仅+2>0,所以与~同号,

%+2纺+2

2kx1x2—(x1+x2)

故+小+*=*+*=事+M后力任2一k(①1+优2)+1

50k30k

4+5/？4+5肥

=|5对，由题意,|「河|十|PN|415,所以|5机415,故一34〈43,

25昭30fc2

4+5肥4+5“2十,

综上所述，k的取值范围为[-3,-1)U(1,3].

强化训练

跟踪训练[1](★★★)

已知椭圆。：5+/=l(a>6>0)的离心率为卓，长轴长为4V2.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若直线l-.y=kx+m(k丰0)与椭圆。交于A、B两点，线段AB的中垂线过点P(l,0),求k的取值范

围.

【解析】⑴由题意，椭圆C的离心率6=必/=坐，长轴长2a=4网，所以a=2g,b=2,故椭圆C

的方程为+4=1.

o4

n=kx+m

⑵设4(力1,S)，_8(劣2,纺)，联立2/_消去g整理得：(2fc2+l)a;2+4fcmT+2m2—8=0,

IT+T=1

判别式A=16fc2m2-4(2fc2+l)(2m2-8)>0,化简得：4(2fc2+l)-m2>0①，

由韦达定理，/1+/2=一~”1n,沙1+纺=心(力1+电)+2m=2},

2fc2+l2V+1

•••

所以AB中点为G(—2mm

2k2+1'2*+l

m

因为AB的中垂线过点P(1,O),所以PG，AB,从而一著1——fc=-l,

化简得：m=—，代入①得:4(2/C2+1)-

解得：k或%>，故k的取值范围为(一°°,一^^)U+oo).

跟踪训练/(★★★)

已知椭圆。/+£=l(a>6>0)的离心率为空，且过点(―手,岑)

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点n(-y,0)且不与y轴垂直的直线I交椭圆。于P、Q两点,点4(1,0),证明：AP±AQ.

(Va2-b2V2f—不2

【解析】⑴由题意，।。「=2,解得：7―，所以椭圆。的方程为<+/=i.

12a4b

2

(2)由题意,可设直线1的方程为，=my—：,代入号+/=1消去z整理得：(2病+1)才—去做—当=

0,

易得判别式A>0,设PQl,m),Q(22,92)，则%+%=，W2=~,'

O(ZilTLIX)t/(ZtiiLI.L)

所以⑻+g=f一诉|而，呼产叫做一号("如+六京/j

AP=(a；i-l,yi)，AQ=(22一1,纺)，

故AP・AQ=(0一1)(电-1)+%仇=，逆2—(g+电)+1+的仇

1-18m2216l-18m2+6+9(2m2+l)-16

9(2m2+l)3(2m2+l)9(2m2+l)9(2m2+l)

所以APLAQ.

三点共线问题

知审与方法

在解析几何中，三点共线一般用斜率相等或向量共线来计算：

⑴斜率相等：4B、。三点共线0石.=心。或直线力口、的斜率都不存在;

⑵向量共线：A,B,。三点共线^>AB//AC.

C

B

.4

典型例题

脚］4(★★★★)

已知曲线。:(5-m)x2+(m—2)靖=8(m6R).

(1)若曲线。是焦点在。轴上的椭圆，求小的取值范围；

(2)设m=4,曲线。与y轴的交点分别为A、B(点A位于点B的上方)，直线y=for+4与曲线。交于不

同的两点“、N,直线?/=1与直线BM交于点G,求证：4G、N三点共线.

y2

【解析】(1)原曲线方程可化为

8+81,

5—mm—2

87

曲线。是焦点在力轴上的椭圆，所以>0,解得：—<m<5.

5一馆m—2

⑵当m=4时，曲线C的方程为*+2瞋=8,由题意，4(0,2),B(0,-2),

(蓝：2：卜肖去沙整理得：(2k2+l)x2+16kx+24=0,判别式A=32(2肥—3)>0,故/>方,

联立

16k24

设M(x小伤+4),N(g,k22+4)，由韦达定理，x+x=—~，化便2=-不,

lf122肥+12肥+1

版1+63为

直线方程为g1-2,令^=1解得：%F、，所以已

X1tol+6kXi+6'

^,-l),AN=(,k+2)

故AG=X2X2

要证人、G、N三点共线，只需证Z苕与俞共线,

口、3/1

即证(fcrr+2)=-g成立，化简得：4kgg=-6(©+22)①

toi+o2

16k

由力1+/2=一和方便2

2fc2+l

网］5(★★★★)

已知人B分别为曲线。：耳+婿=l(y>0,a>0)与2轴的左、右两个交点，直线，过点B且与刀轴垂直,

a

S为Z上异于B的一点，连接AS交曲线。于点T.

(1)若曲线C为半圆，且T为圆弧检的三等分点，求S点的坐标；

(2)如下图所示，”是以BS为直径的圆与线段BT的交点,试问：是否存在a,使得。、M、S三点共线？若

存在，求出a的值;若不存在，说明理由.

•M

【解析】(1)当曲线。为半圆时，a=1,由点T为圆弧检的三等分点得ZBOT=60°或120°,

当Z.BOT=60°时，ASAB=30°,又1=2,所以在ASAB中，|SB|=|4B|•tan30°=卷2,故

弟书

当/BOT=120°时，同理可求得点S的坐标为(1,2同)，综上所述，点S的坐标为(1,亨)或

(1,2⑹

⑵解法1:由题意，>1(—a,0),B(a,0)，直线AS不与坐标轴垂直，可设其方程为x=my-0),

222

联立；2+3,2=：2消去。整理得：(m+a)y-2may=0,解得：“=°或?军-2，

2ma=a（病—刈/a（病—/）2ma\

所以以,从而x=my—a

m2+a2TTm2+a2）\m2+a2'mW/

联立[二:解得：尸辞，所以S(a,辞),

因为点河在以8s为直径的圆上，所以SAI，BM,又河是圆与线段BT的交点,

所以SAILAT,

2ma

故O、M、S三点共线等价于OS±BT,即kos-*=-——,a岁—=-1，结合a>0可解得：a

m矶m-Q)

m2+a2~a

=V2,

所以存在a=2,使得O、M、S三点共线.

解法2:显然AS的斜率存在且大于0,故可设直线ZS的方程为y=k(x+a),

联立r=卜侬十°)解得：y=2Ra,所以S(a,2%a),故直线OS的斜率kos=—=2k,

[x=aa

22

设T(①o,yo)，则咨+*=1,所以%=1一居，

aa

1Xp

，一,,_,,_y。yo_Vo_'—薪_1

从而ksr—k・f^BT-；・——27——2r—7

g+ax0-a局―/就一02

所以直线BT的斜率为k=--因为点M是线段AT与以BS为直径的圆的交点，所以

BTak

,2

S7W,从而kBTkMS=---^—kMS=—l,故直线MS的斜率为kMS—ak

ak

而O、M、S三点共线等价于kos=kMS,即ak—2k,所以a故存在a使得。、M、S三点

共线.•••

强化训练

〔跟暗训练11・J（★★★★）

已知椭圆名+4=1的右焦点为F，设直线。=5与2轴的交点为E,过点F的直线h与椭圆交于4B

54

两点，，■为线段EF的中点.

（1）若直线。的倾斜角为45°,求△ABM的面积S；

（2）过点B作BN±/于点N,证明：4N三点共线.

【解析】（1）由题意，七（5,0）,F（l,0）,7W（3,0）,设4（的,%）,四外,统）,

若直线h的倾斜角为45°,则其方程为沙=/-1,

y—x—1

2消去力整理得：9婿+8g-16=0,判别式△=82-4x9x（-16）=640

{x

故S4ABM=y,\FM\'I%—仍|=0一缈1=，彳=8^^.

（2）证法1：当g轴时，易得4M、N三点都在力轴上，故4M、N三点共线,

当不与g轴垂直时，设其方程为力=mg+1,

x=my+1

联立y2_消去必整理得：（4加+5）d+8小沙一16=0,易得判别式△>（）,

IT+T=1

了达定理，"例=——，幼幼=小

MA—（X—3,幼）,因为N（5，U2）,所以丽H=（2,必）,

要证4M、N三点共线，只需证宓与丽共线,即证（g—3）?/2=2%，即（的一3）%—2%=0,也即

（myx+1-3）统一2m=0,故只需证?n阴统一2（%+w）=0

而.「2（%+如=山（-已）-2（七）=。,所以三点共线.

证法2：当轴时，易得A、M、N三点都在c轴上，故A、M、N三点共线，

当人不与沙轴垂直时，设其方程为t=小沙+1,

x—my+1

联立/“一消去c整理得：（4加+5）靖+8馆“-16=0,易得判别式△>（）,

由韦达定理'"片一—'"曲=一—

由题意，N（5,切），

rrp,,L_阴％_2功一（0—3）奶_2%—（?71%+1—3）例