2024年陕西省西安市雁塔区高新某中学中考数学四模试卷

2024年陕西省西安市雁塔区高新三中中考数学四模试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意）

1.（3分）-2024的倒数是（）

A.-2024B.2024C.一1—D.—L_

20242024

2.（3分）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤蛇、秤盘三个部分组成.秤

秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤坨

片正面

e

A.B.C.D.

3.（3分）如图，直线若/1=24°,则//等于（）

A

a7]

b-C\

A.46°B.45°C.40°D.30°

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.3Q2+4Q3=7Q5B.（2Q）3=2Q3

C.a6-i~a2=a3D.2a2*3a=6a3

5.（3分）如图，在△45C中，ZC=45°我，4D_L5C于点Q,AC=2\耳，则斯的长为（）

A

zx

BDFC

A..|^/3B.2C.^3D.娓

6.（3分）点4（a,yi）,B（a+2,>2）是一次函数（k,b为常数,且左W0）的图象上的两点.若

yi-y2=-6,则左的值为（）

A.3B.1C.-1D.-3

第1页（共24页）

7.（3分）如图，在。。中，弧4B所对的圆周角//C3=55°.若。为弧上一点，OD"CB,则/CUC

C.21°D.22°

8.（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y=，+6x+c的图象经过点/（m-2,«）和点8（加+6,〃），其

顶点在x轴上（）

A.4B.8C.12D.16

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.（3分）下列实数：①殁②^，③遍④0,其中无理数有个.

72

10.（3分）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感.如图所示的五角星中，C、D两点都是

的黄金分割点，若/8=2.

11.（3分）雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形/BCD即（如图所示），连结

CF,连结GE,则S支的值为.

CF

D

12.（3分）如图，点/在反比例函数图象的第一象限的那一支上，点C在X轴正半轴上，且。C=2/8

x

QDBVOD）,若△NOC的面积为5,则左的值为.

第2页（共24页）

y

13.（3分）如图，E,尸是正方形48CZ）的边NB的三等分点，尸是对角线NC上的动点，空的值

PC

是_____________________.

三、解答题（共13题，计81分，解答应写出过程）

14.（5分）计算：-12024_1«_孤|+（3_冗）0_（蒋＞

6x-5>3(x+1)

15.（5分）解不等式组，i-x8+2X

、丁丁3-1

16.（5分）解方程:

2x-ll-2x

17.（5分）如图9,已知四边形/BCD是菱形，且//8C=56°,在8C上找一点£,使48/£=31°.（保

留作图痕迹，不写作法）

18.（5分）如图，在四边形48。中，点£、尸分别为对角线5。上的两点，连接N£、CF,若NBFC+N

AEB^180°,求证：四边形4BCD为平行四边形.

19.（5分）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发

展了十几个世纪.中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，原文如下：“今有羊，人出五；人出七，不

第3页（共24页）

足三.问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，还差45元；每人出7元，求人数和羊

价各是多少？

20.（5分）2024年3月5日，某社区开展学雷锋志愿者活动.某校4名学生成为该活动志愿者，其中男

生2人

（I）若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是；

（II）若从这4人中任选2人担任讲解员工作，请用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果，并求

出恰好选中一男一女的概率.

21.（6分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用

小区中的一个斜坡CD,首先在斜坡CA的底端C测得高楼顶端N的仰角是60°,再测得高楼顶端N

的仰角是37°,已知斜坡CD的坡比是i=l：620百米，且仄C、E三点在一直线上（如图所示）.假

设测角仪器的高度忽略不计（结果精确到01米）.（参考数据：sin37°^0.60,cos37°-0.80,tan37°

仁0.75,V3^1.73）

A

^坡

BE

77777777777777777777777777777777地面

22.（7分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在

中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，竞赛结束后随机

抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），3组：80Wx<85,。组：85Wx

<90,E组：95WxW100,并绘制了如图不完整的统计

学生成绩条形统计图学生成绩扇形统计图

人数

（2）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀,则优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为；

（3）该校要对成绩为95^x^100的学生进行奖励，请你估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数.

23.（7分）临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，单价均为50元/箱，且两家各自推出了

第4页（共24页）

不同的优惠活动

甲供货商：按原价九折出售；

乙供货商：若购买数量不超过15箱时，无优惠；若购买数量超过15箱时

设某水果店需要采购临潼石榴x箱，在甲供货商家购买的费用为刀，在乙供货商家购买的费用为

（1）请分别求出口，”关于x的函数表达式；

（2）若该水果店计划采购40箱临潼石榴，求在哪家购买费用更少？

24.（8分）Rt4/BC中，ZC=90°,。为上一点，CM为半径的。与3C相切于点。.

（1）求证：AD平分NBAC；

（2）连接。£,若AB=2BD,求cos/COE的值.

25.（8分）学校一处草坪上安装了一个固定位置可升降的喷水浇灌设施，即喷水口不仅可以左右摆动，还

可以上下移动，喷出的水呈抛物线形（如图1）,其形状大小始终保持一致，为了简化问题，我们固定

喷水装置，喷水口距水平地面1.6米，经测量发现在距喷水口水平距离3米处，此时距水平地面2.5米.

（1）求出当喷水口距地面1.6米时，对应抛物线的解析式及浇水半径（。。）.

（2）经调查发现，浇水半径需保持在6至10米，则喷水口的高度应控制在什么范围内？

图1图2

26.（10分）（1）如图1,P是半径为5的。。上一点，直线/与。。交于/、8两点，则点P到直线/的

距离的最大值为.

问题探究：

（2）如图2,在等腰△48C中，BA=BC,/是高和高BE的交点，求雇/时：的值.

问题解决：

（3）如图3,四边形48CD是某区的一处景观示意图，AD//BC,NBCD=90°,AB60m,M是48

第5页（共24页）

上一点，且NM=20"?.按设计师要求，修建花坛△4W和草坪△BCN,且需DN=25m.已知花坛的造

价是每平米400元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？

第6页（共24页）

2024年陕西省西安市雁塔区高新三中中考数学四模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意）

1.（3分）-2024的倒数是（）

A.-2024B.2024C.一1—D.—」

20242024

故选：C.

2.（3分）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤蛇、秤盘三个部分组成.秤

坨、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤蛇（）

3.（3分）如图，直线a〃6,若/1=24°,则//等于（）

【解答】解：：/1=24。，

ZADB=Zl=24°.

:直线。〃6,Z3=70°,

:./DBC=N2=70°.

•/ZBDC是△48。的外角，

第7页（共24页）

：.ZA=ZDBC-ZADB=70°-24°=46°.

故选：A.

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.3Q2+4Q3=7Q5B.（2。）3=2Q3

C.a6-i~a2=a3D.2a2*3a=6a3

【解答】解：A,3Q2+6〃3,不是同类项，不能相加，不符合题意;

B、（2a）6=8q3,故5不正确，不符合题意;

C、Q5+Q2=Q4,故。不正确，不符合题意；

D、3Q2-3Q=7Q3,故。正确，符合题意；

故选：D.

5.（3分）如图，在△/BC中，ZC=45°如,。于点。，AC=2疵,则跖的长为（）

A..|^/3B.2C.V3D.V6

【解答】解：在Rt^ZCZ）中，AC=2遥,

AD=ACsin45°=3A/6X返_=2向，

5

VtanB=y/~2,

：.ZB=60°,

在RtAABD中，=_辿__=

sin60°

2

:E、9分别为/C,

尸是△A8C的中位线，

；.EF=LB=2,

8

故选：B.

6.（3分）点/（a,yi）,B（a+2,j2）是一次函数〉=6+6Qk,6为常数，且左WO）的图象上的两点.若

〃->2=-6,贝!]k的值为（

A.3B.1C.-1D.-3

第8页（共24页）

【解答】解：:/（a,yl）,y2）是一次函数歹=履+6（k,且左W3）的图象上的两点，

>>y\=ak+b,yi=k（a+2）+b,

*.>i-y2=-6,

（ak+b）-\k（〃+2）+句=-6,

:・k=3,

故选：A.

7.（3分）如图，在。。中，弧所对的圆周角N4C5=55°.若。为弧48上一点，OD〃CB,则NCMC

的度数为（）

：.ZCED=\SO°-ZACB=125°,

VZAOD=75°,

VZEOA=105°,

：.ZCAO=ZCED-ZAEO=125°-105°=20°,

故选：B.

8.（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y=/+bx+c的图象经过点4（m-2,n）和点5（冽+6,〃），其

顶点在x轴上（）

A.4B.8C.12D.16

【解答】解：・.,点/（m-2,n）和点B（冽+68+乐+。图象上，

第9页（共24页）

...对称轴是直线x=-k=m-2+m+4.

22

：.b=-2(m+4).

，・,二次函数＞=，+乐+。的顶点在X轴上，

:-7c=0.

-2(m+4)]2-4C=3.

，c=(m+2)2.

,\y=x1-2(m+2)x+(m+7)2.

把Z的坐标代入得，n=(m-2)2-2(m+2)(m-4)+(m+2)2=16.

故选：D.

二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)

9.(3分)下列实数：①22②工，③&④0,其中无理数有2个.

72

【解答】解：下列实数：①22②匹，③我，⑤-i.oiooioooi,共计2个.

72

故答案为：2.

10.(3分)符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感.如图所示的五角星中，。、。两点都是45

的黄金分割点，若48=2遍-1.

【解答】解：：点C是N3的黄金分割点，且/O8C,

：.AC=后"4B=h娓7,

64

故答案为：Vs■1•

11.(3分)雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形/5CQ防(如图所示)，连结

CF,连结GE,则的值为_小豆_.

CF—4一

第10页(共24页)

A

D

【解答】解：如图，取DE的中点”，由对称性可知，设圆心为O、0C,

:六边形/BCD即是正六边形，点。是中心，

AZgOC=360°=60°，

6

；OB=OC,

.♦.△BOC是正三角形，

：.OB=OC=BC,

在RtZXBOG中，设3G=x,

•'•<9G=7OB2-BG4=V3^>

:.GH=2OG=6近x,

在RtZkEG8中，设HE=xgx,

GE=4GH6+EH2=V^X,

'：CF=2OB=Sx,

•GE=V13

"CF-

故答案为：运.

4

12.（3分）如图，点N在反比例函数图象的第一象限的那一支上，点C在x轴正半轴上，MOC=2AB

第11页（共24页）

(DBVOD),若△4DC的面积为5,则左的值为—三

—2-

【解答】解：设/点坐标为(a,b),OC=2AB=2a,

点。为。2的三等分点(DBVOD),

'.BD=OD=^-b,

3

•；S梯形OBAC=SAAB/S4ADC+S&ODC,

(a+2a)Xb=I。+2+1

48323

ab=^~,

把/(a,6)代入双曲线y=K,

.".k=ab=^-.

3

故答案为：

2

13.(3分)如图，£,9是正方形/BCD的边N8的三等分点，尸是对角线NC上的动点，世的值是_2

PC-7'

【解答】解：作点£关于/C的对称点E,连接尸E交NC于点尸,

第12页(共24页)

：.PE=PE',

：.PE+PF=PE'+PF^E'F,

故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P处，

当PE+PF取得最小值时，求处的值期二的值即可.

PCP'C

V正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，

点E关于AC所在直线对称的对称点£在AD上，且AE=AE,

过点F作FGL4B交AC于点G,

则/GE4=90°,

:四边形/BCD是正方形，

ZDAB=ZB=90°,ZCAB=ZACB=45°,

C.FG//BC//AD,ZAGF^ZACB=45°,

GF=AF,

,:E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点，

：.AE'=AE=EF=FB,

•1"AE，AE6

3GFAF2

・•./G3G工4=1,

8P‘GGF2

：.AP'=^-AG=1-x^AC,

3339

：.P'C=AC-AP'=AC-1AC=L,

39

§AC

.AP，_9_2

"P7-?77

Fu-yAC~7,

o

故答案为：1.

7

三、解答题（共13题，计81分，解答应写出过程）

14.（5分）计算：一产题因_曰।+（3一兀）0-（卷）.

2024

-l-|V3-V3|+（3-7T）°-（i

=-1-lV3-2I+1+刍

2

=-1-（2-V3）+1+$

2

第13页（共24页）

=-1-8+V3+1+—

2

=V3

2

6x-5>3(x+1)

15.(5分)解不等式组,l-x』8+2x

6x-5>4(x+1)①

【解答】解：,1-x-8+2x,

.丁427°

由①得：x>—,

8

由②得：X〉-1,

则不等式组的解集为x>旦.

4

16.(5分)解方程：空.

2x-ll-2x

【解答】解：

2x£3+3,

4x-ll-2x

去分母得：3x-3+2x-5=-2,

解得：X，

5

检验：把x=」■代入得：5x-l=0,

2

是增根.

X=1

X2

17.（5分）如图9,已知四边形45C。是菱形，且N/BC=56°,在BC上找一点E,使NB4E=31°.（保

留作图痕迹，不写作法）

【解答】解：如图，连接/C,交BC于点、E,

则/R4E=/C4E.

•.•四边形/BCD为菱形，

:./BAC=/DAC,AD//BC,

：.ZBAD=lSOa-ZABC=124°,

；.NBAC=/DAC=62°,

第14页（共24页）

:.NBAE=31°,

则点£即为所求.

18.（5分）如图，在四边形N3CD中，点£、尸分别为对角线3。上的两点，连接/£、CF,若NBFC+N

/匹=180°,求证：四边形4BCD为平行四边形.

设/C与交于点O,

NBFC+/AEB=180°,NBFC+/EFC=180°,

ZAEB=ZEFC,

C.AE//CF,

•：AE=CF,

四边形/FCE是平行四边形,

：.OA=OC,OF=OE,

,:DF=BE,

：.DF-OF=BE-OE,

即OD=OB,

四边形/BCD是平行四边形.

19.（5分）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发

展了十几个世纪.中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，原文如下：“今有羊，人出五；人出七，不

足三.问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，还差45元；每人出7元，求人数和羊

价各是多少？

【解答】解：设x人共同出资买羊，

第15页（共24页）

根据题意得：5x+45=7x+4,

解得：x=21,

，5x+45=5X21+45=150（元）.

答：21人共同出资买羊，羊价是150元.

20.（5分）2024年3月5日，某社区开展学雷锋志愿者活动.某校4名学生成为该活动志愿者，其中男

生2人

（I）若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是_"1」；

2

（II）若从这4人中任选2人担任讲解员工作，请用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果，并求

出恰好选中一男一女的概率.

【解答】解：（I）由题意得，恰好选中男生的概率是2=1.

42

故答案为：1.

2

（II）列表如下:

男男女女

男（男，男）（男，女）（男，女）

男（男，男）（男，女）（男，女）

女（女，男）（女，男）（女，女）

女（女，男）（女，男）（女，女）

由表格可知，共有12种等可能的结果.

其中恰好选中一男一女的结果有8种，

恰好选中一男一女的概率为g=2.

123

21.（6分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用

小区中的一个斜坡CD,首先在斜坡8的底端C测得高楼顶端/的仰角是60。，再测得高楼顶端工

的仰角是37°,已知斜坡CD的坡比是i=l：620愿米，且8、C、E三点在一直线上（如图所示）.假

设测角仪器的高度忽略不计（结果精确到0.1米）.（参考数据：sin37°^0.60,cos37°仁0.80,tan37°

-0.75,V3^1.73）

第16页（共24页）

A

\坡

77777777777777777777777777777777地面

【解答】解：在RtZ\/BC中，8C=20通米，

：tan//C"岖，

BC

，AB=3C・tanN/C2=20aX遥=60（米）,

过点D作DGLBE于点G,DHLAB于点H,

则四边形HBGD为矩形,

：.BH=DG,DH=BG,

设。G=x米，

'.AH=AB-BH=（60-x）米，

:斜坡CD的坡比是，=1：6,

；.CG=2x米，

:.BG=⑵历毋）米，

在RtZk/HD中，tan/4D8=&l,

DH

；—心0.75,

20V3+6x

解得：XQ3.2,

经检验，x是原方程的解，

答：点。离地面的距离约为6.7米.

A

斜坡

777777^77777^777777^7777777777地面

22.（7分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在

中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，竞赛结束后随机

抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），3组：80Wx<85,C组：85Wx

<90,E组：95<xW100,并绘制了如图不完整的统计

第17页（共24页）

学生成绩条形统计图学生成绩扇形统计图

人数

（2）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，则优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为108。；

（3）该校要对成绩为95^x^100的学生进行奖励，请你估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数.

【解答】解：（1）90+30%=300（名），

。组人数为：300X25%=75（名），

众数90落在C组，中位数落在C组，

补全学生成绩条形统计图如下：

学生成绩条形统计图学生成绩扇形统计图

（2）360°X‘5+15=108。,

300

优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为108。，

故答案为：108°；

（3）3000X_1L=150（名），

300

答：估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数大约为150名.

23.（7分）临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，单价均为50元/箱，且两家各自推出了

不同的优惠活动

甲供货商：按原价九折出售；

第18页（共24页）

乙供货商：若购买数量不超过15箱时，无优惠；若购买数量超过15箱时

设某水果店需要采购临潼石榴x箱，在甲供货商家购买的费用为在乙供货商家购买的费用为

(1)请分别求出口，”关于x的函数表达式；

(2)若该水果店计划采购40箱临潼石榴，求在哪家购买费用更少？

【解答】解：(1)根据题意，得yi=0.2X50x=45x；

当0WxW15时，j2=50x；

当x>15时，78=50X15+0.7X50(%-15)=35x+225；

50x(0<x<15)

综上，ys=35x+225(x>15)'

关于x的函数表达式为J4=45X(x20)；关于x的函数表达式为5°x.

135x+225(x>15)

(2)当x=40时，.1=45X40=1800,”=35X40+225=1625,

V1800>1625,

在乙供货商购买费用更少.

24.(8分)中，ZC=90°,。为上一点，CU为半径的。与3C相切于点。.

(1)求证：AD平分/B4C；

(2)连接若48=28。，求cos/CDE的值.

切。。于，

：.OD±BC,

：.ZODB=ZACB=90°,

C.OD//AC,

：.ZODA=ZCAD,

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

.,.ZCAD=ZBAD,

第19页(共24页)

平分/A4C；

(2)设交OO于R

连接。尸，

：/尸为OO的直径，

ZADF=90°,

由(1)得/ODB=90：

：.ZODA=NBDF=ZOAD,

/B=/B,

MBDFsABAD,

•ADBA_c

"DF'BD"2，

tan//FD=2,

•・•四边形AEDF内接于OO,

1・NCED+NAED=NAED+NAFD=180°,

・・・/CED=NAFD,

tanZCED=tanZAFD=2,

VZACD=90°,

・CDc

CE

设CE=a,则CO=2a,

DE=7CE8<D2=V5a，

cosZCDE=型=冷普&_.

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25.（8分）学校一处草坪上安装了一个固定位置可升降的喷水浇灌设施，即喷水口不仅可以左右摆动，还

可以上下移动，喷出的水呈抛物线形（如图1）,其形状大小始终保持一致，为了简化问题，我们固定

喷水装置，喷水口距水平地面1.6米，经测量发现在距喷水口水平距离3米处，此时距水平地面2.5米.

（1）求出当喷水口距地面1.6米时，对应抛物线的解析式及浇水半径（。。）.

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(2)经调查发现，浇水半径需保持在6至10米，则喷水口的高度应控制在什么范围内？

图1图2

【解答】解：(1):喷水口距水平地面1.6米，经测量发现在距喷水口水平距离2米处，此时距水平地

面2.5米，6.5),1.8),

...设此时对应抛物线的解析式为y=a(x-3)2+7.5(a<0),把点(4,得：

1.6=。・(6-3)2+8.5,

解得：a--0.7,

...当喷水口距地面1.6米时，对应抛物线的解析式为了=-4.1(x-3)7+2.5,

当y=2时，0=-0.7(x-3)2+4.5,

解得：xi--7,X2—8,

浇水半径为4米；

(2)•.•喷水口上下移动，喷水时的出水速度及喷水口的装置不变，其形状大小始终保持一致，

设此抛物线形的解析式为夕=-01(x-3)2+k,

若抛物线经过点(6,3)2+k,

解得：左=0.3,

此时抛物线为y