2024年广东省江门市中考一模数学试题（含答案）

2024年广东省江门市中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.计算—1—2等于（）

A.1B.3C.-1D.-3

2.2023年新会区完成地区生产总值（GDP）lOl1.25亿元，成为江门市首个千亿GDP强区1011.25亿元用科学

记数法表示为（）

A.1.01125xlO8B.1.01125xl09C.l.O1125xlO10D.1.01125x10”

3.下列计算正确的是（）

A.2x+3y=5xyB.x-x4=x4C.x-x=2xD.=x6y3

4.如图是某个几何体的展开图，该几何体是（)

A.三棱柱B.圆锥C.四棱柱D.圆柱

5.关于x的一元二次方程依2+3%-2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.-3

6.2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分.为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训

练，现葵城中学七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7,12,10,6,

9,6则这组数据的中位数是（）

A.6B.7C.8D.9

7.下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

8.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）

9.如图，点。在直线上，OC±OD.若NAOC=120，则40。的大小为（）

D

1

A.30°B.40°c.50°D.60°

10.点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接P。并将线段P。绕点P顺时针旋转60，得线段

PE,连接BE,则/CSE等于（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.

11.若Jx-7在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是

12.分解因式：5必一5：/=

13.方程二一=-的解为____.

x+3x

14.如图，PA,PB是。的切线，A,B是切点.若/P=50，则

15.如图，在矩形ABC。中，点E,F分别在BC,AD±,AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF

是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

16.如图，直线y=Ax-2（左＞0）与双曲线丁=!在第一象限内的交点R,与x轴、y轴的交点分别为P、Q.过

X

R作枚，X轴，M为垂足，若qOFQ与的面积相等，则k的值等于—

2

三、解答题：本题共9小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

2x+y=l

17.（本小题4分）解方程组＜

x-2y=8'

18.（本小题4分）计算：（x+2y）（x-2y）+（x-2y）-.

19.（本小题6分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿,

适尽，问：城中家几何？

大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多

少户人家？

20.（本小题6分）如图，在,ABC中，AB=AC,^A=36,8。平分/ABC交AC于点。.求证：BC=BD.

21.（本小题8分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，

获得如图测试成绩折线统计图.根据图中信息，解答下列问题：

（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量；

（2）求小聪成绩的方差；

（3）现求得小明成绩的方差为扇、明=3（单位：平方分），根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位

同学的成绩较好？请简述理由.

小屿，小明6次测试成绩统计图

22.（本小题10分）定义：在.ABC中，/C=30，我们把/A的对边与/C的对边的比叫做NA的邻弦,

3

NA的对边

记作thin,即thiA丁.请解答下列问题:

NC的对边AB

已知：在一ABC中,/C=30.

（1）若NA=45，求thiA的值；

（2）若thiA=百，则24=°；

（3）若/A是锐角，探究thiA与sinA的数量关系.

23.（本小题10分）如图，。是ABC的外接圆，AB长为4,A5=AC,联结CO并延长，交边AB于点D,

交A3于点£，且E为A3的中点.求:

（1）边BC的长；

（2）;。的半径.

24.（本小题12分）在-ABC中，/5AC=90，A6=AC,点。为直线BC上一动点（点。不与B、C重

合），以4。为边在A。的右侧作正方形ADEF,连接CF.

（1）观察猜想：如图（1）,当点。在线段8C上时，

①BC与CF的位置关系是：；

②BC、CD,CF之间的数量关系为：（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考：如图（2）,当点。在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，

请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明.

25.（本小题12分）

如图，抛物线y=/一2》一3与X轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线/与抛物线交于A、C两点，其中C

点的横坐标为2.

（1）求4B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

4

（3）点G抛物线上的动点，在X轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边

形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：—1—2=—3,

故选D.

根据有理数的减法运算进行计算即可得解.

本题考查了有理数的减法，将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二

是减数的性质符号（减数变相反数）.

2.【答案】D

【解析】解：1011.25=1011.25xl08=1.01125X1011.

故选：D.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中L1。1<10,"为整数.确定"的值时，要看把原数变成a时,

小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值..10时，"是正整数；当原数的绝

对值<1时，"是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax1（T的形式，其中L,|a|<l。，n为整数，表

示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.【答案】D

【解析】解：42x与3y不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；

B、故此选项不符合题意；

C、=故此选项不符合题意；

D、（x2y）3=x6j3,故此选项符合题意；

5

故选：D.

根据合并同类项法则，同底数幕相乘，底数不变指数相加；塞的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把

积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解.

本题考查合并同类项、同底数幕的乘法、幕的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查的是三棱柱的展开图，需要对三棱柱有充分的理解.

侧面为三个长方形，上下两个面为三角形，故原几何体为三棱柱.

【解答】

解：三棱柱上下两个面为三角形，侧面是三个长方形，

观察图形可知，这个几何体是三棱柱，

故选：A.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键.

由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于。的不等式，可求得a的取值范围，则可求得答案.

【解答】

解：•••关于X的一元二次方程+3x-2=0有两个不相等的实数根，

.•.△>0且a/0,即32—4ax（—2）>0且a/0,

9

解得a>—且awO,

8

因此，只有B选项符合题意.

故选：B.

6.【答案】D

【解析】解：将该组数据按从小到大依次排列为6,7,9,10,12,

则这组数据的中位数是9.

故选：D.

根据中位数的定义直接求解即可.

本题中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个

数的平均数），叫做这组数据的中位数.

7.【答案】C

【解析】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.

故选：C.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中

心.

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折

叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合.

6

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.得到所求的情况数是解

决本题的关键.

画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即

可.

【解答】

解：画树形图得：

开始

正反

△△

正反正反

由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果,

21

，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为一=一.

42

9.【答案】A

【解析】【分析】

根据平角的意义求出。的度数，再根据垂直的意义求出答案.

本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键.

【解答】

解：ZAOC+ZBOC=180°.NAOC=120°，

ABOC=180°-120°=60°.

又・OCLOD,

ZCOD=90°>

:.NBOD=NCOD-NBOC=94-60=30，

故选：A.

10.【答案】C

【解析】解：过点E作石户_LAB,交AB的延长线于点F,则NF=90°，

7

D

:四边形ABC。为正方形，

:.AD=AB,ZA=ZABC=90°.

ZADP+ZAPD=90°，

由旋转可得PD=QE,则/DPE=90°，

:.ZAPD+ZEPF=9Q)，

:.NADP=NEPF,

在，APO和,EEP中，

NDAP=NPFE=90

<NADP=ZFPE,

PD=EP

:-APD三.FEP(AAS),

:.AP=EF,AD=PF,

又.AD=AB,

:.PF=AD=AB,即AP+PB=PB+5户,

:.AP=BF=EF,

又・NF=90，

5即为等腰直角三角形，

ZEBF=45，

又NCBF=90，

则NCBE=45°

故选C.

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的基本性质，以及等腰直角三角形的判定与性质.

过点E作的垂线，交AB的延长线于点F,可得出/尸为直角，又四边形ABCO为正方形，可得/A为直

角，得出，APDMFEP,则AD=P尸，AP=EF,再由正方形的边长相等得到A£>=A3,由

AP+PB=PB+BF,得到AP=5尸，等量代换可得出石歹=5尸，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得

出NEfib=45°，再由NCBE为直角，即可求出NCBE的度数.

8

11.【答案】x.7

【解析】解：由题意得：X-7..0,

解得:X..7,

故答案为：x.J.

根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案.

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

12.【答案】5(x+y)(x—y)

【解析】解：原式=5(必—y2)=5(x+y)(x—y),

故答案为：5(x+y)(x—y)

提公因式后再利用平方差公式即可.

本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提.

13.【答案】X=3

【解析】解：方程两边同时乘以x(x+3)得：

2x=x+3,

解得x=3,

检验：X=3时，x(x+3)/0,

二方程的解为x=3.

故答案为：.x=3

先将分式化为整式，然后求解并检验.

本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况.

14.【答案】130°

【解析】解：PA,PB是(。的切线，A,B是切点，

.-.OA±PA,OBLPB,

:.NOAP=/OBP=90，

•ZOAP+^AOB+ZOBP+360，NP=50，

../AO3=360-90-90-50=130.

故答案为：130°.

先根据切线的性质得到—Q4P=/O3P=90，然后根据四边形的内角和计算N495的度数.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.

15.【答案】AE=AF(答案不唯一)

【解析】解：这个条件可以是AE=AF,

理由：一.四边形ABCD是矩形，

:.AD//BC,

9

即AF//CE,

AF=EC,

，四边形AECF是平行四边形，

AE=AF,

四边形4ECF是菱形，

故答案为：AE=AF（答案不唯一）

根据矩形的性质得到A。/ABC,即AP//CE,推出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得

到结论.

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.

16.【答案】2&

【解析】【分析】

根据。尸。与相似以及它们面积相等，可以得到两三角形全等，再根据一次函数求出点P、Q的坐标，

进而得到。P、0Q的长度，再根据三角形全等表示出点R的坐标，代入反比例函数表达式，解方程即可求得k

的值.

本题综合考查了一次函数和反比例函数图象的性质，利用三角形面积相等得到两三角形全等是解本题的突破

口，也是解题的关键.

【解答】

解：y^kx-2,

，当尤=0时，y=-2,

2

当丁=0时，丘—2=0,解得x=—,

k

所以点，点Q（o,—2）,

2

所以。尸=—,OQ=2f

k

:J_x轴，

:sOPQs_MPR,

•.-OPQ与.尸的面积相等，

与△尸的相似比为1,即MPR,

4

:.OM=2OP=~,RM=OQ=2,

双曲线y=K经过点R,

x

10

•_=2

"4,即上2=8，

k

解得勺=2夜，k2=-272（舍去）.

故答案为：2亚.

2x+y=10①

17.【答案】解:

x-2y=8②

①x2+②，可得5%=10,

解得x=2,

把x=2代入①，可得：2x2+y=l,

解得y=-3,

x=2

原方程组的解是《。

b=-3

【解析】应用加减消元法，求出方程组的解即可.

此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键.

18.【答案】解：(x+2y)(x-2y)+(x-2y)2

=x2-4y之+%2-4xy+4y2

=2x2-4xy.

【解析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算即可.

本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键.

19.【答案】解：设城中有x户人家，

Y

依题意得：X+—=100,

3

解得尤=75.

答：城中有75户人家.

【解析】本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键是找准等量关系，列出方程.

设城中有x户人家，根据鹿的总数是100列出方程，并解答，即可.

20.【答案】证明：AB^AC,^A=36,

180-36

ZABC=NC==72,

2

平分NABC交AC于点D,

ZABD=36，

:./BDC=NABD+NA=72，

11

:.NBDC=NC,

BC=BD.

【解析】根据等腰三角形的性质得出/ABC=NC,进而解答即可.

此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出=解答.

21.【答案】解：（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，

小聪成绩的平均数：1x（7+8+7+10+7+9）=8（分），

小明成绩的平均数：-x（7+6+6+9+10+10）=8（分），

6

答：应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是8分，8分；

（2）小聪成绩的方差为：!xr（7-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（10-8）2+（7-8）2+（9-8）2l=^（平方分）；

（3）小聪同学的成绩较好，

理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定.故小聪同

学的成绩较好.

【解析】（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可;

（2）根据方差的计算方法计算即可；

（3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定.

本题考查平均数、方差，折线统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会计算一组数

据的平均数和方差.

22.【答案】（1）在Rt_B7/C中，sinC=—=-,即5c=25".

BC2

RH、历L

在Rt二班A中，sinA=—,即四=行皮/.

AB2

BC

..thiA----='\/2；

AB

(2)60或120

(3)在ABC中，thL4=+.

AB

BH

在Rt二BHA中，sinA=---.

AB

在RtBHC中,sinC=—即5c=29.

BC2

thiA=2sinA

【解析】解：如图，作由/_LAC,垂足为〃，

B

12

(1)见答案

（2）thiA=G

NC=30，

cc。A3

...tan30------，

BC

../ABC=90，

..NA=60，

根据对称性，LABC是钝角三角形时，^BAC^12Q

故答案为：60或120；

(3)见答案

【分析】

(1)如图，作垂足为H.根据三角函数的定义即可得到结论;

(2)根据三角函数值即可得到结果；

(3)根据三角函数的定义即可得到结论.

本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

23.【答案】解：(1)E点为的中点，CE为直径，

:.CE±AB,

AD=BD，

即CD垂直平分AB,

,-.BC=AC=AB=4；

(2)连接。8,如图，

AB=BC=AC,

ABC为等边三角形,

..NA=60°，

../BOC=2NA=120°，

13

.•.NBOD=60°，

在Rt50。中，BD=-AB=2,

2

:.0D=&BD=正,

33

OB=2OD=,

3

即。的半径为M.

3

【解析】（1）利用垂径定理的推论可判断c。垂直平分AB,所以CB=C4=4；

（2）连接0B,如图，先证明ABC为等边三角形得到NA=60°，利用圆周角定理得到N3OC=120°，则

/BOD=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB即可.

本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外

心.也考查了圆周角定理.

24.【答案】BC=CF+CD

【解析】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF,

NR4C=/DAF=90°，

：.ZBAD=ZCAF,

在,与_E4c中，

AD=AF

1.1</BAD=/CAF,

AB=AC

:._DAB^FAC,

：.ZB=ZACF,

ZACB+ZACF=90°>即5CLCF；

故答案为：BC±CF；

②,ZMB均E4C,

：.CF=BD,

BC=BD+CD,

BC=OF+CD；

故答案为：BC=CF+CD；

（2）CFIBC成立;5C=CD+CF不成立，CD=CF+BC.

，正方形ADEF中，AD=AF,

■ZBACZDAF

：.ZBAD=ZCAF,

14

在,7MB与cE4c中,

AD=AF

<NBAD=/CAF,

AB=AC

：._DAB^_FAC

：.ZABD=ZACF,

■ZBAC=90°.AB=AC,

..ZAC3=ZABC=45°.

ZABD=180°-45°=135°)

ZBCF=ZACF-ZACB=135°—45°=90°.

:.CF±BC.

CD=DB+BC,DB=CF,

CD=CF+BC.

⑴①根据正方形的性质得到NR4C=NZMF=90°，推出.根据全等三角形的性质即可

得到结论；

②由正方形AOEF的性质可推出ZMBZAE4C,根据全等三角形的性质得到5=5。，ZACF=ZABD,

根据余角的性质即可得到结论；

(2)根据正方形的性质得到N54C=NZMF=90°，推出ZMBg'E4c，根据全等三角形的性质以及等

腰直角三角形的角的性质可得到结论.

本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正

确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

25.【答案】解：(1)令y=0,解得%=-1或々=3

..A(—1,0*(3,0)

将C点的横坐标x=2代入y=犬_2x_3得y=_3

C(2,-3)

设直线AC的解析式是：y^kx+b

将点A、C坐标代入得：

-k+b=0

<2k+b=-3

解得：k=-l,b=-l,

」.直线AC的函数解析式是y=-x-l；

15

(2)设P点的横坐标为x(—l领k2)

则P、E的坐标分别为：P(X,-X-I),E^x,x1-2x-3^

P点在E点的上方，PE=(—X—1)—(f—2x—3)=—f+x+2=—1x—gj+(,

19

.•.当X=一时，PE的最大值==；

24

⑶存在4个