2024年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷及答案解析

2024年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上）

1.（3分）如图，数轴上点A表示的数是2023,0A=0B,则点B表示的数是（）

BOA

♦♦♦A

02023

A.2023B.-2023C.1D.--L

20232023

2.（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”

“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）

O

OO

OOO

A.OOOOB.

OOOOO

OOOOOO

OOOOOOO

3.（3分）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功.C919

可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）

A.0.186X105B.1.86X105C.18.6X104D.186X103

4.（3分）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知/

ACB=90°,点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7,则CD=（）

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A.-l<x<4B.x<4C.x<3D.3<x<4

6.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心0

的光线相交于点P,点F为焦点.若Nl=155°,N2=30°,则/3的度数为（）

7.（3分）下列命题是真命题的是（）

A.同位角相等

B.菱形的四条边相等

C.正五边形的其中一个内角是72°

D.单项式兀ab的次数是4

3

8.（3分）某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心

被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数.

年龄（岁）12岁13岁14岁15岁16岁

人数（个）2*83

在下列统计量，不受影响的是（）

A.中位数，方差B.众数，方差

C.平均数，中位数D.中位数，众数

9.（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，

弩马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天

行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可

追上慢马，由题意得（）

A.x=x+12B._2L.=_X_-12

240150240150

C.240（x-12）=150xD.240x=150（x+12）

10.（3分）在平面直角坐标系xOy中，点（1,m）,（3,n）在抛物线y=ax2+bx+c（a>0）

上，设抛物线的对称轴为直线x=t若ni<ri<c,则t的取值范围是（）

A.J.<t<2B.l<t<3C.0<t<lD.2.<t<1

第2页（共6页）

、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）若贝Uab=.

2b

12.（3分）已知一元二次方程x2-5x+2m=0有一个根为2,则另一根为_______.

13.（3分）如图，一束光线从点A（-2,5）出发，经过y轴上的点B（0,1）反射后经过

点C（m,n）,则2m-n的值是_______.

x

TV

14.（3分）如图，在直角坐标系中，OAVx轴相切于点B,CB为。A的直径，点C在函

数y=2L（k>0,x>0）的图象上，D为y轴上一点，ZiACD的面积为6,则k的值

X

为_________.

OBX

15.（3分）如图，在四边形ACBD中，对角线AB、CD相交于点0,ZACB=90°,BD=

CD,若/DAB=2NABC,则坦的值为

AB

D

Z

CB

三、解答题：（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8

分，第20题9分，第21题9分，第22题10分，共55分）

第3页（共6页）

16.（5分）计算：||-（4-兀）0-2sin60°+（g）,

17.（6分）先化简（x_i__3_）._jdz£_,然后从-1,1,-2,2中选一个合适的数

）2

x+1X+2X+1

代人求值.

18.（8分）2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布,

优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来.某校为了初步了解

学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳

动时间x分为如下四组（A：x<70；B：70^x<80；C：80^x<90；D：x290,单位：

分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图.

（1）本次抽取的学生人数为人，扇形统计图中m的值为；

（2）补全条形统计图；

（3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80

分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？

（4）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用

列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率.

19.（8分）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深.“低碳

环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.某公司销售甲、乙两

种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台

800元.该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自

第4页（共6页）

行车和2台乙型自行车，可获利350元.

（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？

（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超

过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？

20.（9分）麻城市思源实验学校自从开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测

效果很好.每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习

收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益

y的关系如图2所示（其中0A是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于当堂检

测的时间不超过用于精讲的时间.

（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；

（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；

（3）问此“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟

的学习收益总量最大？

21.（9分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.如图是从正面看

到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以AB为直径的半圆0,

MN为台面截线，半圆。与MN相切于点P,连结0P与CD相交于点E.水面截线

CD=6V3cn,MN//CD,AB=12cm.

（1）如图（1）求水深EP；

（2）将图（1）中的老碗先沿台面MN向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得A、

C重合，求此时最高点B和最低点P之间的距离BP的长；

（3）将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时/B0P=75°,

求滚动过程中圆心0运动的路径长.

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图(1)图⑵

22.（10分）“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数

量关系是处理问题的重要手段.

（1）【问题情景】：如图（1）,正方形ABCD中，点E是线段BC上一点（不与点B、C

重合），连接EA.将EA绕点E顺时针旋转90°得到EF,连接CF,求/FCD的度数.

以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，

①小聪：过点F作BC的延长线的垂线；

②小明：在AB上截取BM,使得BM=BE；

请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.

（2）【类比探究】：如图（2）点E是菱形ABCD边BC上一点（不与点B、C重合），Z

ABC=a,将EA绕点E顺时针旋转a得到EF,使得/AEF=ZABC=a（a290°）,则/

FCD的度数为（用含a的代数式表示）.

（3）【学以致用】：如图（3）,在（2）的条件下，连结AF,与CD相交于点G,当a=

120°时，若理_」，求理的值.

CG-2CE

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2024年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上）

1.【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案.

【解答】M：VOA=0B，点A表示的数是2023,

/.0B=2023,

一点B在。点左侧，

二点B表示的数为：0-2023=-2023,

故选：B.

【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

2.【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的

图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的

图形重合，所以不是中心对称图形.

选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对

称图形.

故选：D.

【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后

与自身重合.

3.【分析】科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中n为整数.确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.

当原数绝对值N10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

【解答】解：将186000用科学记数法表示为：1.86X105.

故选：B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其

中lW|a|V10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长.

【解答】解：由图可得,

第1页（共14页）

ZACB=90°,AB=7-1=6(cm),点D为线段AB的中点,

CD=—AB=3cm,

2

故选:B.

【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

5.【分析】求出第一个不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【解答】解：fx-：2>l,

<4

由不等式x-2>l得：x>3,

...不等式的解集为3<x<4.

故选：D.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟知解集的规律.

6.【分析】由平行线的性质求出/0FB=25°,由对顶角的性质得到NPOF=Z2=30°,

由三角形外角的性质即可求出/3的度数.

【解答】解：：AB〃0F,

・・・N1+NOFB=180°,A->------

VZ1=155°,----------…

/.ZOFB=25°,U

ZPOF=Z2=30°,

/.Z3=ZP0F+ZOFB=30°+25°=55°.

故选：c.

【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线

的性质求出/OFB的度数，由对顶角的性质得到/POF的度数，由三角形外角的性质即

可解决问题.

7.【分析】根据真假命题的定义：题设成立，结论也一定成立的命题是真命题，题设成立，

结论不一定成立的命题是假命题进行判断，然后举出例子进行解答.

【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；

B、菱形的四条边相等，是真命题；

C、正五边形的其中一个外角是72°,内角是108°,原命题是假命题；

第2页（共14页）

2

D、单项式下边的次数是次原命题是假命题；

3

故选：B.

【点评】本题主要考查了真假命题，解题关键是熟练掌握真假命题的定义.

8.【分析】根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7,即可知出现次数最

多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案.

【解答】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为20-2-8-3=7,

故该组数据的众数为15岁，

总数为20,按大小排列后，第10个和第11个数为15,15,

则中位数为：15+15=15(岁)，

2

故统计量不会发生改变的是众数和中位数，

故选：D.

【点评】本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差

的定义和计算方法是解题的关键.

9.【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了(x+12)天，利用路程=速

度义时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一

次方程，此题得解.

【解答】解：.••慢马先行12天，快马x天可追上慢马，

二快马追上慢马时，慢马行了(x+12)天.

根据题意得：240x=150(x+12).

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一

次方程是解题的关键.

10.【分析】根据m<n<c,可得出a+b+c<9a+3b+c<c,解得3a<-b<4a,进而可确定t

的取值范围.

【解答】M:,.，m<n<c,

a+b+c<9a+3b+c<c,

解得-4a<b<-3a,

3a<-b<4a,

Va>0,

第3页(共14页)

・

••3a/一b/4a，

2a2a2a

/.3.<t<2.

2

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满

足解析式解题关键.

二、填空题：(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

11•【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答.

【解答】解：•.•亘=1,

2b

:.ab=2X3=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

12•【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根.

【解答】解：设方程的另一根为a,则廿2=5,

解得a=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了根与系数的关系.若二次项系数为1,常用以下关系：xi，X2是方程

x2+px+q=0的两根时，xx+x2=-p,x1x2=q,反过来可得p=-(x^Xg),q=x1x2,前者

是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数.

13.【分析】点A(-2,5)关于y轴的对称点为A'(2,5),根据反射的性质得，反射光

线所在直线过点B(0,1)和A'(2,5),求出AB的解析式为：y=2x+l,再根据反射

后经过点C(m,n),2m+l=n,即可求出答案.

【解答】解：I,点A(-2,5)关于y轴的对称点为A'(2,5),

二反射光线所在直线过点B(0,1)和A'(2,5),

设AB的解析式为：y=kx+l,过点A'(2,5),

：.5=2k+l,

.,.k=2,

：.AB的解析式为:y=2x+l,

:反射后经过点C(m,n),

・•2m+1=n,

第4页(共14页)

2m-n=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出AB的解析式.

14.【分析】过点A作AE_Ly轴于点E,设。A的半径为r,则AC=AB=r,BC=2r,设AE

=a,则点C的坐标为（a,2r）,据此可得k=2ar,然后再根据AACD的面积为6可求

出ar=12,据此可得此题的答案.

【解答】解:过点A作AE_Ly轴于点E,

设。A的半径为r,

•二0A与x轴相切于点B,

/.AC=AB=r,BC=2r,

设AE=a,

则点C的坐标为（a,2r）,

••k=2ar,

7

SAACD4AC'AE=6.

.1自

•,r*a=o»

即：ar=12,

k=2ar=24.

故答案为：24.

【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌

握三角形的面积计算公式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的

点都在函数的图象上.

15.【分析】过点A作AE〃BC交VD于E,过点D作DHLBC于H,交AE于T,交AB于

K,先证NEAB=NABC=NDAE,进而可证AADT和△AKT全等，得AD=AK,再证四

边形ACHT为矩形得AT=CH=BH,进而可证AATK和ABHK全等得AK=BK,由此得

AB=2AK=2AD,据此可得他的值.

AB

【解答】解：过点A作AE〃BC交VD于E,过点D作DHLBC于H,交AE于T,交

AB于K,如图所示：

VAE//BC,

ZEAB=ZABC,

第5页（共14页）

•/ZDAB=2/ABC,

ZDAE+ZEAB=2ZABC,

ZDAE=/ABC,

ZDAE=ZEAB,

VAE〃BC,DH±BC,

ADH±AE,

即NATD=ZATK=90°

在AADT和△AKT中，

rDAE=ZEAB

，AT=AT，

ZATD=ZATK=900

.'.△ADT^AAKT(ASA),

?.AD=AK,

VBD=CD,DH±BC,

/.BH=CH,

VDH±BC,DH±AE,ZACB=90°,

四边形ACHT为矩形，

；.AT=CH=BH,

在AATK和△BHK中，

，ZEAB=ZABC

■NAKT=NBKH,

AT=BH

.'.△ATK^ABHK（AAS）,

?.AK=BK,

/.AB=2AK=2AD,

.AD=j

"AB2'

故答案为：1.

2

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和

性质，理解等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质

是解决问题的关键.

三、解答题：（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8

第6页（共14页）

分，第20题9分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16•【分析】先化简绝对值，零次寨及特殊角的三角函数、负整数指数累，然后计算加减法

即可.

【解答】解：原式=«-1-2*坐~+5

=4.

【点评】本题目主要考查绝对值，零次赛及特殊角的三角函数、负整数指数累，熟练掌

握各个运算法则是解题关键.

17•【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从-1,

1,-2,2中选一个使得原分式有意义的值代人化简后的式子计算即可.

【解答】解：（x-1-工-）+『-4

x+1X2+2X+1

（x+1）__3_jg（x+l）2

x+1x+1X2-4

_「（x+1）2

x+1,>2-4

=x+l,

：x+lW0,x2+2x+lW0,X2-4#O,

-1,x#±2,

/.x=l,

当x=l时，原式=1+1=2.

【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

18.【分析】（1）由D组的人数除以所占百分比得出本次抽取的学生人数，即可解决问题；

（2）求出C组的人数，补全条形统计图即可；

（3）由该校九年级学生人数乘以参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学

生所占的比例即可；

（4）画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一

名男生的结果有12种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）本次抽取的学生人数为54-10%=50（人），

/.m%=154-50X100%=30%，

第7页（共14页）

/.m=30,

故答案为：50,30；

（2）C组的人数为：50-10-15-5=20（人）,

补全条形统计图如下：

50

答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生约

有300人；

（4）若D组中有3名女生，则有2名男生，

画树状图如下：

开始

男男女女女

z/V

男女女女男女女女男男女女男男女女男男女女

共有20种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有12

种，

二抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率是£=3.

205

【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识.树状图

法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题

时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

19.【分析】（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y

元，根据该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型

自行车和2台乙型自行车，可获利350元.列出二元一次方程组，解方程组即可；

第8页（共14页）

(2)需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车(20-m)台，根据资金不超过

13000元，列出一元一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：(1)设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润

是y元，

由题意得：fx+2y=650,

x+2y=350

解得:卜=15°,

ly=100

答：该公司销售一台甲型自行车的利润是150元，一台乙型自行车的利润是100元；

(2)需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车(20-m)台，

由题意得：500m+800(20-m)W13000,

解得：m210,

答：最少需要购买甲型自行车10台.

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：

(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次

不等式.

20•【分析】(1)由图设该函数解析式为y=kx,即可依题意求出y与x的函数关系式.

(2)本题涉及分段函数的知识.需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法解出即

可.

(3)设学生当堂检测的时间为x分钟(0<x<15),学生的学习收益总量为W,则老师

在课堂用于精讲的时间为(40-x)分钟.用配方法的知识解答该题即可.

【解答】解：(1)设y=kx,

把(1,2)代入，得：k=2,

；.y=2x,(0WxW40)；

(2)当0WxW8时，设y=a(x-8)2+64,

把(0,0)代入，得：64a+64=0,

解得：a=-1,

y=-(x-8)2+64=-x2+16x,

当8<xW15时，y=64；

(3)设学生当堂检测的时间为x分钟(0<x<15),学生的学习收益总量为W,则老师

在课堂用于精讲的时间为(40-x)分钟，

第9页(共14页)

当0WxW8时，W=-X2+16X+2(40-x)=-x2+14x+80=-(x-7)2+129,

当x=7时，Wmax=129；

当8WxW15时，W=64+2(40-x)=-2x+144,

VW随x的增大而减小，

/.当x=8时，Wmax=128,

综上，当x=7时，W取得最大值129,此时40-x=33,

答：此“高效课堂”模式分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使

这学生在40分钟的学习收益总量最大.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式

求二次函数的最大值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键.

21•【分析】(1)连接0C,由切线的性质及垂径定理得出CE的长，由勾股定理求出OE的

长，则可得出答案；

(2)过B点作AD的平行线，与PO的延长线相交于点F.证明AAOE^ABOF(ASA),

得出OE=OF,由勾股定理得出答案;

(3)由弧长公式可得出答案.

【解答】解：(1)连接0C,

..•半圆0与MN相切于点P,

/.OP±CD,

CD=6V3err,

图⑴

CE*D=3«cir

在Rt^OCE中，由勾股定理,可得0E=V62-(3近产=3cm，

；.EP=0P-OE=6-3=3cm；

(2)过B点作AD的平行线,与PO的延长线相交于点F.

,；AD〃BF,

?.ZOAE=Z0BF,

在△AOE和ABOF中，

'ZOAE=ZOBF

<OA=OB

,ZAOE=ZBOF

」.△AOE四△BOF(ASA),图(2)

第10页(共14页)

/.OE=OF,

由（1）可得OE=3cm,CE=3CIT,

/.OE=OF=3cm,CE=AE=BF=3,>/3cir.

由勾股定理可得，BP=V92+(3V3)2=&/3cir*

(3)由(1)可知OE=3cm,OC=6cm,

在R17XCOE中，ZCOE=60°,

,/ZBOP=75°,

/.ZAOC=45°,

由题意可得圆心。运动的路径长为弧AC的长度，

,TAC=奇兀X6=1•兀(cm).

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，弧长公式,勾股定理，全等三角形的判定

与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

22.【分析】(1)在AB上截取BM,使得BM=BE.证明AAME^AECF(SAS),得出/AME

=ZECF=135°,则可得出结论;

(2)由"SAS”可证△AEM^AEFC,可得/AME=NECF,由等腰三角形的性质可求

解;

(3)过点A作APJ_CD交CD的延长线于点P,证明AAPG^AFCG,得出空4,