第4章 数列 章末测试（基础）（解析版）

第4章数列章末测试（基础）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案。每题5分，8题共40分）1．（2021·河南高二月考）设数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，所以.故选：D．2．（2021·河南高二月考）设等比数列的前项和为则（）A． B． C． D．【答案】C【解析由题意，设等比数列的公比为，又故选：C3．（2021·河南高二月考）设等差数列的前项和为，若成等差数列，且，则的公差（）A． B． C． D．【答案】D【解析成等差数列，，即，，可解得.故选：D.4．（2021·河南高二月考）猜想数列的一个通项公式为（）A． B．C． D．【答案】D【解析根据数列可得，分母3，5，7，9，…满足，分子2，8，26，80，…满足，又数列的奇数项为负，偶数项为正，所以可得.故选：D.5．（2021·江苏省阜宁中学高二月考）在数列中，，则此数列最大项的值是（）A．107 B． C． D．108【答案】D【解析，因为，且，所以此数列最大项为.故选：D.6．（2021·全国高二课时练习）数列中，，对所有的，，都有，则等于（）A． B．C． D．【答案】C【解析当时，；当时，；当时，；当时，；则，；所以.故选：C.7．（2021·全国高二课时练习）一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（）A．300米 B．299米C．199米 D．166米【答案】A【解析由题意，可得小球10次着地共经过的路程为：米故选：A.8．（2021·上海市大同中学高二月考）有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2021个数字为（）A．5979 B．5980 C．5981 D．以上都不对【答案】C【解析由题可得第次报数的个数为，则第次报完数后总共报数的个数为，再代入正整数，使的最小值为37，得，而第37次报时，3人总共报数为次，当第次报完数3人总的报数个数为，即报出的第2035个数字为，故报出的第2021个数字为.故选：C二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2021·全国高二课时练习）已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则的值可能为（）A． B．1 C． D．－2【答案】BC【解析由题意，可知，即．又，∴，∴或．故选：BC．10．（2021·全国高二课时练习）（多选）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”则下列说法正确的是（）A．此人第二天走了96里路B．此人第三天走的路程占全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里D．此人第五天和第六天共走了30里路【答案】AC【解析设此人第天走了里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，其前n项和为Sn，因，即，解得，，由于，即此人第二天走了96里路，A正确；由于，，B错误；后五天走的路程为(里)，(里)，此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，C正确；由于，D错误.故选：AC11．（2021·全国高二课时练习）（多选）已知数列的通项公式为，则下列是该数列中的项的是（）A．18 B．12 C．25 D．30【答案】BD【解析】因为，所以越大，越大．当时，；当时，；当时，；当时，．故选：BD．12．（2021·全国高二课时练习）已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（）A．是等差数列 B．C． D．是等比数列【答案】ABD【解析】因为，，所以，所以，所以是公差为3的等差数列，A正确；因为，所以，，B正确；时，由，得，但不满足此式，因此C错误；由得，所以是等比数列，D正确．故选：ABD．三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2021·河南高二月考）设等差数列的前项和为，若，则______．【答案】【解析】是等差数列，由可得，即，可得，则.故答案为：33.14．（2021·全国高二课时练习）已知，，且，，成等差数列，则有最小值_____【答案】【解析】因为，，成等差数列，所以，即所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.15．（2021·全国高二课时练习）已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则最长边的边长等于________．【答案】14【解析】三边长构成公差为4的等差数列，∴设处于中间长度的一条边长为x，则最大的边长为，最小的边长为，的一个内角为，即为最大角，则它对应的边的长度最长，即为，则，

化简得：，解得，

所以三角形的三边分别为：6，10，14，最长边为14，故答案为：14．16．（2021·全国高二课时练习）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n个图中有________个点．【答案】n2－n＋1【解析】图（1）只有1个点，无分支；图（2）除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；图（3）除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；图（4）除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点；…猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1．故答案为：n2－n＋1四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2021·河南高二月考）在等差数列中，.（1）求的通项公式;（2）求的前项和及的最小值.【答案】（1）；（2），-36.【解析】（1）设的公差为，根据题意得解得，所以.（2）根据等差数列的前项和公式得则当时，取得最小值.18．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式．【答案】（1）a2＝3，a3＝6；（2）an=.【解析】(1)由S2＝a2，得(a1＋a2)＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，∴a3＝(a1＋a2)＝6.(2)∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝.∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1满足上式，∴an＝.19．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}满足a1＝，Sn是{an}的前n项和，点(2Sn＋an，Sn＋1)在的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若cn＝n，Tn为cn的前n项和，n∈N*，求Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵点(2Sn＋an，Sn＋1)在的图象上，∴，∴.∵，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，即,（2）∵,∴，①∴，②①－②得，∴.20．（2021·全国高二课时练习）已知数列的前项和是，且.(1)证明数列是等比数列，并求其通项公式；(2)设，求满足方程的的值.【答案】(1)证明见解析；；(2)100.【解析】(1)证明：由得，，又因为，所以，因为①，所以当时，②，由①②得，即，故是以为首项，为公比的等比数列，从而.(2)由(1)中可知，所以，从而，故，解得，.21．（2021·全国高二专题练习）已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1＝3，前n项和为Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20＝330.数列{bn}满足，a∈R.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＋1≤bn，n∈N*，求a的取值范围．【答案】（1）an＝3n；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，则，则，解得，所以；（2）由（1）知，则由因为随着的增大而增大，所以时，最小值为，所以.22．（2021·全国高二专题练习）某学校实验室有浓度为2g/ml和0.2g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2g/ml和0.2g/ml的两种K溶液各300ml分别装入两个容积都为500ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为ang/ml，B瓶中溶液浓度为bng/ml.(lg2≈0.301，lg3≈0.477)（1）请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；（2）若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01g/ml，则至少要经过几次？【答案】（1）是，an－bn＝0.9·()n-1；（2）8次.【【解析】（1）由题意，得b1＝＝0.65g/ml，a1＝＝1.55g/ml.当n≥2时，bn＝(