教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷4

教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷4一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设直线l平面α，过平面α外一点A与l、α都成30°角的直线有且只有()．A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：如图，和口成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC、AB都满足条件．故选B.2、下列叙述正确的是()．A、直线l在平面α内B、a∩b=A点A既在平面a上，又在平面b上C、α∩β=A平面α与平面β相交于A点D、l//α平面外的直线l平行于平面α标准答案：A知识点解析：规定“点”用大写字母表示，如A、B、C；“平面”用小写的希腊字母表示，如α、β；“直线"用两个大写的英文字母如AB，或一个小写的英文字母表示，如a、b．a∩b=A应该是直线a与直线b交于A点，所以B项说法错误．α∩β=A表示A点在平面α与平面β的交线上，所以C项说法错误．l//α有两种情况，一种是平面外的直线l平行于平面α；一种是直线l在平面α上，所以D项错误．3、已知α//β，则a与b的位置关系是()．A、平行B、异面C、平行或异面D、无法判断标准答案：C知识点解析：借助长方体模型(如图所示)可知，a与b有两种情况，一种是平行，一种是异面，所以答案选C.4、在正三棱锥P-ABC扣，已知底面边长a=1，高h=2，则该正三棱锥的体积为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：正三棱锥的体积公式为所以5、有两个圆柱形的木块A、B，底面直径的比为1：2，高的比为2：1，则木块A、B的体积比为()．A、1：1B、1：2C、1：4D、2：1标准答案：B知识点解析：圆柱体的体积公式为所以故A、B的体积比为1：2．6、如图所示，在棱长为1的正方体内，M为AB的中点，P为D1M上的动点，当P点到CC1的距离最小时，P点距D1点的距离是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：取A1B1中点N，连接MN、D1N，过P点作PP’//MN，P点到CC1的距离即转化为P’点到C1的距离．P点在面A1B1C1D1射影的轨迹为D1N，当C1P’⊥D1N时，P’距C1最短．因为Rt△C1P’D1∽Rt△D1A1N，所以又因为Rt△D1P’P∽Rt△D1NM，所以7、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，相互平行的直线有()．A、6对B、12对C、18对D、24对标准答案：C知识点解析：取正方体中的一条棱，与该棱相互平行的直线有3条，正方体中一共有12条棱，又因为每条棱重复了两次，所以相互平行的直线有对．8、已知三个半径为2的球两两相切，球心分别为O1、O2、O3，以三球球心为底面顶点的正三棱锥P-O1O2O3的表面积为则，分别与球O1、O2、O3相切，且以P为球心的球的半径为()．A、2B、C、4D、标准答案：A知识点解析：根据三棱锥P一O1O2O3的表面积为可以求出该正三棱锥为正四面体，则PO1=PO2=PO3=4，又因为相切球的球心距离等于两球的半径之和，所以所求球体的半径为r=4－2=2．9、如图所示，多面体为正方体ABCD—A1B1C1D1沿面对角线B1C、CD1、B1D1切割后得到的部分，则它的左视图为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：三视图为正视图、左视图和俯视图．B项为正视图或左视图，C项为俯视图．10、在棱长为2的正方体内，E、F、G、M、N、O是各棱的中点，截去三棱锥C1一EFG和A—MNO剩下的多面体的体积为()．A、6B、C、7D、标准答案：B知识点解析：正方体的体积为2×2×2=8，切去的两个三棱锥的体积剩下的体积为二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、已知有三条直线a、b、l，且a⊥l，b⊥l，则a与b可能的位置关系为：___________．FORMTEXT标准答案：平行、异面、相交知识点解析：在空间范围内，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系有三种可能：平行，异面，相交．12、在一个边长为a的正方体内，能切除的最大球体的体积为________，球体的表面积为__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：正方体切除的球体的最大直径为a，则体积为表面积为S=4πr2=πa2．13、已知平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，且a//β，b//α，则平面α与平面β的关系是________．FORMTEXT标准答案：α//β知识点解析：面与面的关系只有两种：相交和平行．假设平面α与平面β相交，交线为l，又因为α//β，根据线面平行的性质定理得a//l，同理，b//l，进而推出a//b，与a、b为异面直线相矛盾，所以α//β．14、已知三棱锥A一PBC，AP=3，PB=PC=4，且AP⊥底面PBC，则二面角A—BC—P的正弦值为__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：如图所示，三棱锥A—PBC，M为BC中点，连接PM，AM，根据余弦定理计算得BC=6，因为AP⊥底面PBC，PM⊥BC，所以AP⊥BC，BC⊥AM，∠AMP即为所求二面角.15、如图所示的多面体ABCDEF，△ADE是等边三角形，ME//底面．F为EM延长线上的动点，ME=2，底面四边形ABCD是长为4，宽为2的矩形，面ADE⊥面ABCD，当面BCF与底面ABCD的夹角为________时，VM—ABCD=VF—BCM+VE—ADM，此时ME：MF________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为所以以面CFM为底，B点到面CFM的距离即为A点到面CDEF的距离C点到FM的显巨离为2，则求得MF=6，所以ME：MF=1：3；当MF=6时，F点在底面的射影F’到BC的距离为F’N=6+2－4=4，所以则面BCF与底面ABCD的夹角为∠FNF’的余角，所以夹角为三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、在正四棱锥P—ABC中，AB=2，点M、N分别是AB、BC的中点，求异面直线CM与PN所成的角．标准答案：如图，取BM中点D，连接PD、DN．因为DN//CM，所以∠PND即为异面直线CM与PN所成的角．在正四棱锥P—ABC中，AB=2，在△DNP中，根据余弦定理得，即异面直线CM与PN所成的角为知识点解析：暂无解析已知正四面体的外接球的体积为求：17、正四面体的体积.标准答案：在正四棱锥P—ABC中，M是AB中点，N是底面中心，O是外接球球心．设正四面体的边长为a，根据正四面体和等边三角形性质可知，N为P点在底面的投影．因为O为外接球的球心，所以OC=OP，则(PN－OP)2+CN2=OP2．由此解得因为外接球的体积为知识点解析：暂无解析18、相邻两个面夹角的余弦值．标准答案：∠PMC即为相邻两个面夹角，知识点解析：暂无解析19、已知直线a、b及它们在面α的投影a’、b’．某同学认为，a’//b’是a//b的充要条件．判断该同学的观点是否正确，并说明理由．标准答案：该同学观点错误．如图(1)所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，假设A1D为a，BC1为b，异面直线a与b在底面ABCD的投影分别为AD与BC，即a’与b’，因为AD//BC即a’//b’，而a与b异面，所以由a’//b’不能推出a//b．如图(2)所示，已知a//b，过a作平面α，a在面α投影a’即为a，过b作平面β⊥平面α，则交线即为b在面α的投影b’，且b’α．假设a’与b’相交于O点，则a∩面β=O，所以a与面β内的所有直线的位置关系只有相交和异面两种情况，与a//b矛盾，即a’与b’相交的假设不成立，所以a//b，则a’//b’．综上所述，a’//b’是a//b必要不充分条件，所以该同学观点错误．知识点解析：暂无解析20、已知三棱柱ABC—A1B1C1，底面ABC为边长为2的正三角形，A1在底面的投影为BC边的中点O．证明：四边形BCC1B1为矩形．标准答案：根据三棱柱的性质可知，三个侧面均为平行四边形，如图，M为B1C1的中点，连接OM、A1M．因为MB1//OB且MB1=OB，所以OM//BB1//AA1且OM=BB1=AA1．因为△ABC为正三角形，AO⊥BC，根据三垂线定理可知，即∠B1BC=90°，所以平行四边形BCC1B1为矩形．知识点解析：暂无解析已知正三棱柱ABC—A1B1C1，底面边长为1，A1A=2AB，M、N分别为CC1、AB的中点，21、求异面直线A1B1与MN的距离；标准答案：如图，取A1B1中点P，连接PN，过P作PQ⊥MN交于Q点，因为AA1⊥面A1B1C1，PN//AA1，所以PN⊥面A1B1C1，所以PN⊥A1B1．在等边三角形A1B1C1中，P为A1B1中点，所以C1P⊥A1B1．因为所以A1B1⊥面CC1PN，又因为PQ面CC1PN，所以A1B1⊥PQ，又因为PQ⊥MN，所以PQ是异面直线A1B1、MN的公垂线，即为两直线