中考数学 热点01 与圆有关的计算问题（四川成都专用）（解析版）

热点01与圆有关的计算问题圆得计算是四川成都中考数学的必考考点，常见以选填的形式，主要是求角、长度、面积等问题，一般出现在中考的第7或8题，偶尔也会出现在A卷填空题中，以简单题为主，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。【题型1与圆有关的角度问题】【例1】（2023·四川成都·统考二模）如图，是的直径，点在上，若则的度数为（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】利用圆周角定理求出再利用三角形角和定理求解即可．【详解】解：是的直径，故选：【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．【变式1-1】（2023·四川成都·统考二模）如图，正五边形内接于，连接，则的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，再根据圆的性质得，从而得到，根据正多边形的性质可得的度数，根据圆周角定理得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可求解．【详解】解：如图，连接，则有，∴，根据正多边形的性质可得：，∴，根据圆周角定理可得：，∴，故选：A．【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了圆周角定理，正多边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握圆的有关性质．【变式1-2】（2023·四川成都·统考二模）如图，在中，弦，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圆周角定理求出的度数，再利用平行线的性质即可求出的度数．【详解】解∶∵，∴，∵，∴．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，利用圆周角定理求出的度数是解题的关键．【变式1-3】（2023·四川成都·统考模拟预测）如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】先求出正六边形和正方形的边所对的圆心角，求差可得弦所对得圆心角，再分别求出优弧和劣弧所对得圆周角即可．【详解】如图，连接,,∵四边形是正方形∴∵六边形是正六边形∴∴∴弦所对圆周角的度数为或故选C．【点睛】本题考查正多边形和圆的关系，以及同弧所对圆周角是它所对圆心角得一半，注意有两个答案．【变式1-4】（2023·四川成都·模拟预测）如图，已知正五边形，，A、B、C、D、E均在上，连接，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，，，根据，得出，根据圆周角定理即可得出答案．【详解】解：连接，，，如图所示：∵，∴，∴，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆心角，弦之间的关系，解题的关键是求出．【题型2与圆有关的长度问题】【例2】（2023·四川成都·统考二模）如图，是的直径，点是上的一点，若，，于点，则的长为．

【答案】【分析】先利用圆周角定理得到，则可根据勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，则可判断为的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【详解】解：是的直径，，∵，，，，，而，为的中位线，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理．【变式2-1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．【详解】解：连接OB，OC，∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径为：3，∵∠BOC360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，故选：C．【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【变式2-2】（2023·四川成都·统考二模）如图，是正五边形的外接圆，这个正五边形的边长为，半径为，边心距为，则下列关系式错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据正多边形的性质求出，进而求出，，再解直角三角形即可得到答案．【详解】解：是正五边形的外接圆，，∵，，，∴，即，故B不符合题意；，即，故C不符合题意；，即，故A不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了圆内接五边形、解直角三角形的知识，掌握圆内接正五边形的性质，并求出中心角的度数是解题的关键．【变式2-3】（2023·四川成都·二模）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，的半径是R，它的外切正六边形的边长为（）

A． B． C．2 D．6R【答案】A【分析】求出，然后解直角三角形求出，再根据边长计算即可求解．【详解】解：如图，，

所以，，所以，外切六边形的边长．故选：A．【点睛】本题考查正多边形和圆，主要利用解直角三角形，熟记正多边形的性质并求出切点与相邻的顶点所对的圆心角的度数是解题的关键．【变式2-4】（2023·四川成都·二模）如图，半圆的直径，正方形的顶点C，D在半圆上，一边在上，则这个正方形的边长等于．【答案】【分析】根据题意得，设,则，由勾股定理得，从而求得正方形的面积．【详解】如图，找到半圆的圆心O，根据题意得，

设，则，由勾股定理得，解得．∴（负值舍去）．∴正方形的边长为，故答案为：【点睛】本题综合考查了正方形的性质，垂径定理和勾股定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．【题型3与圆有关的面积问题】【例3】（2023·四川成都·统考中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73）

【答案】184【分析】过点O作的垂线段，交于点，根据直角三角形的边长关系求出的角度，阴影面积即为扇形的面积减去三角形的面积，随机可以求出容纳观众的数量．【详解】解：如图，过点O作的垂线段，交于点，

圆心O到栏杆的距离是5米，米，，，米，，，，可容纳的观众阴影部分面积（人），最多可容纳184名观众同时观看演出，故答案为：184．【点睛】本题考查了弓形的面积，根据特殊角三角函数值求角的度数，熟知扇形面积公式是解题的关键．【变式3-1】（2021·四川成都·统考中考真题）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可．【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB=，AB=6，∴扇形ABF的面积=，故选择D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．【变式3-2】（2023·四川成都·统考一模）如图，将直径的半圆绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意知，，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积，旋转的性质．解题的关键在于确定阴影部分的面积表达式．【变式3-3】（2023·四川成都·校考三模）如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据垂径定理求得，然后由圆周角定理知，通过解直角三角形求得线段、的长度；最后将相关线段的长度代入．【详解】解：如图，设线段、交于点，

∵是的直径，弦，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半，扇形面积的计算，运用了割补法求阴影部分的面积．掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键．【变式3-4】（2021·四川成都·二模）如图，圆O经过平行四边形的三个顶点A、B、D，且圆心O在平行四边形的外部，tan∠DAB＝，D为弧AB的中点，若圆O的半径为5，则平行四边形的面积为（）A．10 B．15 C．16 D．20【答案】C【分析】连接OD，交AB于点E，连接OA，由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，E为AB的中点，在直角三角形ADE中，由tan∠DAB的值，得到AE＝2DE，设DE＝x，则有AE＝2x，由半径为5，得到OA＝OD＝5，由OD﹣DE表示出OE，在直角三角形AEO中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与DE的长，利用平行四边形的面积公式即可求出面积．【详解】解：连接OD，交AB于点E，连接OA，如图所示，∵D为的中点，∴OD⊥AB，∴E为AB的中点，即AE＝BE，在Rt△ADE中，tan∠DAB＝，设DE＝x，∵OA＝OD＝5，∴AE＝2x，OE＝OD﹣DE＝5﹣x，在Rt△AOE中，根据勾股定理得：，即，解得：x＝0（舍去）或x＝2，∴AE＝4，DE＝2，∴AB＝2AE＝8，则．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、解直角三角形等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．（建议用时：30分钟）1．（2023·四川成都·成都实外校考一模）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵是的直径，弦，∴，∴．故选：B【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键．2．（2023·四川成都·模拟预测）如图，中，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为___________（结果保留π）（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】A【分析】连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积．【详解】解：如图，连接，，，，，．设，由勾股定理得．，，解得，的面积为．故选A．【点睛】本题考查了圆的内切三角形，切线的性质，勾股定理等，根据面积法求出半径r是解题的关键．3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为．【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，∴，，∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，∴，∵是所对的圆周角，∴所对的圆心角等于，∴的度数为，故选D．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键．4．（2022·四川成都·校考三模）如图，是的直径，是的弦，若，则弧长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连结，根据，得到，根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，根据直径的长求出半径，根据弧长公式即可得出答案．【详解】解：如图，连结，∵，∴，∴，∵直径，∴半径，∴弧长，故选：C．【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．5．（2023·四川成都·统考二模）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．【详解】解：连接OE，如图所示：∵OB=OC，，∴，∴，∵E是劣弧的中点，∴，∴；故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．6．（2022·四川成都·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（）A．π B．4π C．π D．π【答案】D【分析】连接，由，得，又，可得是等腰三角形，E为OB的中点，可得，由垂径定理得，在中，可求得，然后由，即可求得答案．【详解】解：如图，连接，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∵E为OB的中点，∴，∴，在中，，∴，∵，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、解直角三角形和求扇形面积等，熟练掌握相关定理和扇形面积公式是解题的关键．7．（2022·四川成都·统考二模）如图，圆形螺帽的内接正六边形的边心距为，则圆形螺帽的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，由边心距可求出半径，进而求得边长，即可求得面积．【详解】解：如图，△AOB是正三角形，，，则半径为4圆形螺帽的面积是故选D【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质解决问题的关键．8.（2022·四川成都·校考一模）如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知AB的长为10，∠CAO+∠CBO=30°，则弧AB的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=60°，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：∵OA=OB=OC，∠CAO+∠CBO=30°，∴∠ACO=∠CAO，∠BCO=∠CBO∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CAO+∠CBO=30°，∴∠AOB=60°，∴OA=OB=AB=10，∴弧AB的长为：．故选：D．【点睛】此题主要考查了弧长计算以及圆周角定义，正确掌握弧长公式是解题关键．9．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知⊙O的半径为5，AB、CD为⊙O的弦，且CD=6．若∠AOB+∠COD=180°，则弦AB的长为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE＝∠AOB+∠COD知∠BOE＝∠COD，据此可得BE＝CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【详解】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE＝180°，又∵∠AOB+∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝8，故选：C．【点睛】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是应用圆心角定理和圆周角定理解决问题．10．（2022·四川成都·一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝60°，AC＝6，则扇形OBMC的面积为（）A．24π B．12π C．8π D．6π【答案】B【分析】先根据∠OCA=60°，OA=OC，判断出△OAC是等边三角形，从而得扇形OBMC的圆心角及半径，再利用扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵∠OCA＝60°，OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，OA＝AC＝6，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴扇形OBMC的面积为＝12π．故选：B．【点睛】本题考查扇形面积的计算，解题关键是掌握扇形面积计算公式，难度不大．11.（2021·四川成都·统考三模）如图，正方形内接于⊙，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接OB、OC，利用正方形的性质得出OB=BCcos45°=，根据阴影部分的面积=（S⊙O-S正方形ABCD）÷4列式计算可得．【详解】解：连接OB、OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠OBC=45°，∴OB=BCcos45°=4×=，所以阴影部分的面积=（S⊙O-S正方形ABCD）÷4=[π×（）2-4×4]÷4=2π-4．故选：A．【点睛】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式．12．（2021·四川成都·统考二模）如图，⊙O与△ABC的边AB，AC相切于点B，D，若圆心O在BC边上，∠C=30°，OC=2，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切线的性质可证得∠ODC=90°，再求出∠DOC的度数，可得到∠BOD的度数，然后利用扇形的面积公式可求出阴影部分的面积．【详解】解：∵⊙O与△ABC的边AB，AC相切于点B，D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=90°，∴∠DOC=90°-∠C=90°-30°=60°，OD=OC=1，∴∠BOD=180°-∠DOC=180°-60°=120°，∴S阴影部分=．故答案为：B．【点睛】本题考查切线的性质，30°直角三角形的的性质，扇形面积的计算，解题关键在于利用圆切线的性质得出垂直关系．13．（2023·四川成都·模拟预测）如图，是⊙的直径，，是⊙的弦，点E是的中点，与交于点C，连接，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用邻补角的定义计算出∠BOF=140°,再根据圆周角定理计算出∠BEF=70°得到∠EBF=∠EFB然后利用三角形内角和计算度数．再由°，再计算∠F的度数即可．【详解】解：连接BF∵∴°，∵点E是的中点∴，35°故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理及推论、邻补角、三角形的内角和、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键．14．（2023·四川成都·统考二模）如图，已知圆周角，半径，则扇形的面积是．【答案】【分析】根据圆周角定理可得出，进而由扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，扇形面积公式．掌握扇形面积公式为是解题关键．15．（2023·四川成都·校考二模）如图，是的直径，是上一点，是上一点，且，若，则．【答案】/度【分析】先根据圆周角定理求得，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得即可求解．【详解】解：连接，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解答的关键．16．（2023·四川成都·统考二模）如图，已知是的弦，，，垂足为，交于点，若为上一点，连接、，则的度数是．【答案】/35度【分析】根据垂径定理得出，进而求出，再根据圆周角定理可得．【详解】解：，为半径，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．17．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距为．【答案】/【分析】连接，，由正六边形可求出，进而可求出，根据角的锐角三角函数值即可求出边心距的长．【详解】解：连接，，正六边形是圆的内接多边形，，，，，的周长等于，，，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．18．（2023·四川成都·模拟预测）如图，是的直径，B，D是上