浙江省浙江山海共富联盟2023-2024学年高一下学期6月联考数学试题(含答案)

学年第二学期浙江山海共富联盟调研考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.1.已知向量，点，则点B的坐标为（）A. B. C. D.2.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则（）A. B. C. D.43.已知向量，，则（）A. B. C. D.4.已知平面平面，直线，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知圆锥侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.若数据、、⋯的平均数是5，方差是4，数据、、⋯、的平均数是4，标准差是s，则下列结论正确的是（）A.， B.， C.， D.，7.在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.z在复平面内对应的点位于第四象限 B.C.（是z的共轭复数） D.若，则的最小值为10.下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）A.这10年粮食年产量的极差为15B.这10年粮食年产量的平均数为33C.这10年粮食年产量的中位数为29D.前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差11.如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P，使平面B.三棱锥的体积为定值C.若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，，，则最小角的余弦值＝______.13.若虚数是关于x的实系数方程的一个根，则______.14.我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本题13分）已知向量，满足，，，，的夹角为.（1）；（2）若，求实数；（3）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围.16.（本题15分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面ABC，，，M，N分别为，AC的中点.（1）求证：平面；（2）求直线MN与平面所成角的正弦值.17.（本题15分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.18.（本题17分）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求角A；（2）若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.19.（本题17分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.（1）证明：平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求四棱锥的外接球的表面积.2023学年第二学期浙江山海共富联盟调研考高一年级数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.题号12345678答案ACDBCDAC二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDACABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.题号121314答案814.【解答】：正八边形内角和为，则，取AC中点M，则，，，所以.四、解答题15.解：（1）∵，∴，∴……3分（2）∵,∴，得……8分（3）有题可得，可得，且即，所以且……13分16.【解答】解：（Ⅰ）证明：取BC中点K，连接NK，，∵M为的中点.∴，且，∵N为AC的中点.∴，且，∴四边形是平行四边形，故，……4分平面；平面，∴平面.……7分（Ⅱ）过点M作，连接NQ，∵是三棱柱，且平面ABC，∴平面ABC，∴平面，平面，∴，，∴平面……9分∴直线MN与平面所成角为；……11分∵，，∴，∴，过M作，∴，∴，∴，∴……15分17.【详解】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类家，生鲜类家，所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家.……2分（2）（i）根据题意可得，解得，……4分设75百分位数为x，因为，所以，解得，……8分所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元.平均数为，所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元.……12分（ii），……15分所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.18.【解答】：由，由正弦定理得，即，所以，得.……7分（2）法一：由M在边BC上满足，可得，两边平方可得，所以，所以，当且仅当时取“＝”，所以，所以……17分法二：由，则，由余弦定理可得，可得，又因为，所以，当且仅当时取“＝”，所以，所以……17分19.【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD，所以，因为ABCD为正方形，所以，因为，所以平面PCD，因为平面PCD，所以，因为，点E是PC的中点，所以，因为，所以平面PBC，……5分由平面PCD，平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，……6分其四个面的直角分别是，，，；……7分（2）找DC中点F，连接EF，